專題05拋物線

（4知識&9題型&3易錯）

知識圖譜

定義

雙曲線的定義雙曲線的集合表示

/對雙曲謝義第理解

雙雌的標準方程：焦點在X、海上的方程

雙曲線的標準方程與幾何性質

雙曲線一雙畦謝簡單幾何性質：范圍、對稱性頂點、軸、離心<漸i隙

亙線與雙曲線的位置關系

直線與雙曲線的位置關系班與雙曲線做級長公式

雙雌的中點空問題

知識清單

【清單01】拋物線的定義

1、定義：把平面內與?個定點/和?條定直線/（/不經(jīng)過點F）距離相等的點的軌跡叫做拋物線.定點廠叫

做拋物線的焦點，直線/叫做拋物線的很線.

2、拋物線集合表示：2=｛叫阿日=d,d為點/到準線/的距離｝.

3、要點辨析：

（1）定點/不在定直線/上，否則動點”的軌跡不是拋物線，而是過點尸垂直于直線/的一條直線.

（2）拋物線的定義中指明了拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離的等價性，故二者可相互轉化，這

也是利用拋物線定義解題的實質.

【清單02】拋物線的標準方程與幾何性質

1、拋物線V=2px（p>0）的幾何性質

（1）范圍：由方程/=2px（p>0）可知，對于拋物線上的點x>0,9,拋物線在J軸的右側，開

口方向與x軸的正方向相同：當x的值增大時，用的值也增大，這說明，拋物線向右上方和右下方無限延伸.

（2）對稱性：以一>'代j，方程V=2融（〃>0）不變，所以拋物線關于*軸對稱.我們把拋物線的對稱軸叫做

拋物線的軸.

（3）頂點：拋物線與它的軸的交點叫做拋物線的頂點.在方程,=2pHp>0）中，當x=O時，尸0,因此拋

物線的頂點就是原點.

1/14

(4)離心率：拋物線上的點M與焦點的距離和點M到準線的距離4的比竺，叫做拋物線的離心率，用e表

d

示.由拋物線的定義可知，e=l.

2、四種標準方程對應的拋物線的性質比較

標準方程/=2PHp>0)y2=-2PMp>0)x2=2py[p>0)x2=-2py(p>0)

ftw木

圖形才

范圍xN0、ywRx<0,yeR”0,xeRy40,xeR

對稱軸y=0x=0

焦點坐標尸(o閨

咚。)《-多0)2)l2)

準線方程TXy=-Ey/

=222

頂點坐標0(0,0)

離心率e=[

通徑2P

【清單03】焦半徑公式

1、焦半徑的定義

設拋物線)/=2px(p>0)上一點M(%,%),焦點為產(chǎn)，準線為/,則線段M廠叫做拋物線的焦半徑，過點M

作準線/的垂線段由拋物線的定義可知，|M曰=|A〃力=%+5.

2、用坐標表示焦半徑公式

(1)拋物線_/=2px(P>0)，|胴日=M+卷=/+g

⑵拋物線爐=-2px(〃>0)，|MF|=xo~^=~xo+,

(3)拋物線f=2勿(p>0),\MF\=++?

⑷拋物線f=-20，(〃〉0),\NfF\=y0-+^.

【注意】在使用焦半徑公式時，首先要明確拋物線的標準方程的形式，不同的標準方程對應于不同的焦半徑

公式.

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【清單04】直線與拋物線的位置關系

1、直線與拋物線的位置關系有三種情況：

相交（有兩個公共點或一個公共點）；相切（有一個公共點）；相離（沒有公共點）.

2、以拋物線j/=2px（p>0）與直線的位置關系為例：

（1）直線的斜率及不存在，設直線方程為x

若。>（）,直線與拋物線有兩個交點；

若。=0,直線與拋物線有一個交點，且交點既是原點又是切點；

若。<0,直線與拋物線沒有交點.

（2）直線的斜率〃存在.

設直線=+拋物線產(chǎn)=2px（〃>0）,

直線與拋物線的交點的個數(shù)等于方程組什十”,的解的個數(shù)，

（y=2外

即二次方程公x?+2（的一p）x+〃=0C^k2y2-2py+2bp=0）解的個數(shù).

①若k*0,

則當△>（）時，直線與拋物線相交，有兩個公共點；

當△=（）時，直線與拋物線相切，有1個公共點；

當△<（）時，直線與拋物線相離，無公共點.

②若〃=0,則直線y=b與拋物線『二2〃工（〃>0）相交，有一個公共點.

3、直線與拋物線相交弦長問題

設AB為拋物線y2=2px（p>0）的弦，力（芭,凹），,弦AB的中點為〃（%,%）.

（1）弦長公式：\AB\=4uie\X]-x2|=^l+p-|y,-^2|（4為直線初的斜率，且〃*0）.

（2）中點弦斜率：kAB=—,

歹。

推導：由題意，知五=2p,q,①必2=2p』②

由①?②，得（乂+八）（y一為）=2〃（不一心），故江上=—E—,即38=2.

當一/?+%兒

2

（3）中點弦直線方程：直線/出的方程為了-為=2。-%）.

%

4、拋物線的焦點弦性質

如圖，48是拋物線=2px（p>0）過焦點T7的一條弦，設力（西,必），*小必），力8的中點”（七,盟），過

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點A，M,8分別向拋物線的準線/作垂線，垂足分別為點4，4，A/1，

根據(jù)拋物線的定義有力尸=的，BF=BB,,\AB\^\AF\+\BF\^\AA\+\BB\

故忸目=?4|+|四|-

又因為MM,是梯形AA\B】B的中位線，所以|4回=1+網(wǎng)=21MM|,

從而有下列結論：

（1）以力8為直徑的圓必與準線i相切.

M(xo,%)

(2)\AB\=2%（焦點弦長與中點關系）

乙7B(X2,y2)

(3)|陽=%+w+p.

（4）若直線力〃的傾斜角為a,則|力卻=且一

sin-a

（5）A,8兩點的橫坐標之積，縱坐標之積均為定值，即引七=片，必必=-p2.

【題型一拋物線的定義及辨析】

g

緊扣”到定點與定直線距離相等”的本質，避免與橢圓、雙曲線定義混淆

1、明確三要素：必須同時滿足“一個定點（焦點F）”“一條定直線（準線/）”“定點不在定直線上”

這三個條件；

2、抓住距離關系：拋物線上任意一點P,到焦點F的距離（|PF|）與到準線/的距離（d）始終相等，即

3、區(qū)分定義與方程：定義是幾何本質，拋物線方程（如），=2px）是定義在特定坐標系下的代數(shù)表達,

解題時需能雙向轉化.

【例1】（24-25高二下?廣東?期末）已知拋物線y=2Y,則拋物線的焦點到準線的距離為（）

4/14

【變式1-1］（24-25高二下?黑龍江齊齊哈爾?期中）設點尸（見〃）（〃>0）為拋物線尸=8彳上一點,尸為焦點,

若|叩|=6,則〃=（）

A.472B.4C.25/2D.32

【變式1-2］（24-25高二下?浙江?期中）已知拋物線C:/=4y的焦點為尸，點外嘰〃）在拋物線。上，若

|勿|=3,則〃=.

【變式1?3】（24-25高二下?江蘇鹽城?期中）已知拋物線C:/="焦點為少，拋物線上一點P的橫坐標為

2,則|'|=.

【題型二利用定義解決距離和差的最值問題】

解決這類問題的關鍵是：距離轉化

1、統(tǒng)一距離類型：根據(jù)拋物線定義，將拋物線上任意一點P到焦點F的距離（|PF|）,轉化為該點到準線

/的距離（d）,即|尸刊二d；

2、轉化目標：通過上述轉化，將原本含“焦點距離”的復雜和差問題，轉化為僅含“點到直線距離”或

“西點間距離”的平面幾何最值問題，利用“兩點之間線段最短”或“點到直線垂線段最短”求解.

【例2】（25-26高二上,河南南陽州中）已知。為拋物線/=4?上的任意一點，尸為拋物線的焦點，點”（2,3）,

則|PM+|PF|的最小值為（）

A.3B.V13C.4D.3>/2

【變式2-1］（24-25高二上?安徽黃山?期木）已知點尸是拋物線丁=l/上的動點，定點月Q,0）：貝心至U點力

4

的距離與。到x軸的距離之和的最小值為（）

A.V2-1B.-C.V3-1D.三

【變式2-2］（24-25高二下?湖北,期中）已知拋物線C：V=4x的準線為/,直線r:>/5x+y+9后=0,動點

M在C上運動，記點M到直線/與/'的距離分別為4,則4+4的最小值為（）

5/14

A.2萬B.3x/3C.4x/3D.5x/3

【變式2-3]（24-25高二下?遼寧朝陽?期中）已知過拋物線C：/=2px（p>0）的焦點戶的動直線交拋物線。

于乩8兩點，。為線段力8的中點，戶為拋物線。上任意一點，若|PP|+|PQ|的最小值為6,則，=—.

【題型三與拋物線有關的軌跡問題】

1、定義法（優(yōu)先適用）：若題干中明確或可推導出動點到“一個定點”與“一條定直線”的矩離相等，

且定點不在定直線上，直接判定須點軌跡為拋物線，再結合已知條件確定拋物線的參數(shù)（如焦點、準線、

標準方程）.

2、直譯法（通用方法）：設出動點的坐標（x,,y）,根據(jù)題干給出的幾何約束條件（如距離關系、位置

關系），直接翻譯成關于ry的弋數(shù)方程，再通過整理、化簡方程，判斷是否為拋物線的標準形式或一

般形式.

3、相關點法（動點依賴已知點）：若所求動點的運動依賴于另一個在拋物線上的己知動點（相關點），

先設出兩個點的坐標，根據(jù)依賴關系列出坐標間的等式，再將匚知動點滿足的拋物線方程代入，消去相

關點坐標，得到所求動點的軌跡方程.

【例3】（24-25高二上?安徽滁州?期中）在平面直角坐標系工0中，動點尸（人/）到直線x=-l的距離比它

到定點（3,0）的距離小2,則點2的軌跡方程為（）

A./=6xB.y2=\2xC.y2=-6.rD./=-12x

【變式3-1]（24-25高二上?福建福州?月考）已知動點P到點/2,0）的距離比它到直線x=-l的距離大1,

則動點P的軌跡方程為（）

A.y2=4xB.y2=-AxC./=-8xD.y2=8x

【變式3-2]（24-25高二上?遼寧?月考）已知動點，（x,力滿足5j（x-l）2+（y-l）2=|3x+4y-5卜則動點。軌

跡是（）

A.圓B.橢圓C.拋物線D.雙曲線

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【變式3-3］（2024?湖南長沙?二模）已知圓N：x2+y2-6y+5=0,宜線y=T,圓”與圓N外切，且與

直線V=7相切，則點M的軌跡方程為.

【題型四由拋物線方程研究幾何性質】

二二6

由拋物線方程求焦點與準線方程的基本方法

（1）已知拋物線方程求焦點坐標與準線方程時，一般先將所給方程式化為標準形式，由焦點方程準確得

到參數(shù)〃，從而得焦點坐標與準線方程，要注意〃>0；

（2）焦點所在坐標軸由標準方程的一次項確定，

系數(shù)為正，焦點在正半軸；系數(shù)為負，焦點在負半軸.

【例4】（25-26高二上?云南昭通力考）拋物線方程為y=,則此拋物線的準線為（）

4

A.x=一-—B.y=---C.x=-\D.y=-1

1616

4

【變式4-1］（25-26高二上?河南駐馬店?月考）拋物線的焦點坐標為（）

A.停。）B.加C.加D.加

【變式4?2】（25?26高三上?湖北?月考）已知拋物線C:4;■叩2=o恰好經(jīng)過圓〃：（.］）2+（”2）2=1的圓

心，則拋物線C的焦點坐標為（）

A.（0,1）B.（1,0）C.（-L0）D.（0,-1）

【變式4?3】（25-26高三上?陜西咸陽?月考）拋物線/=2px（p〉0）的焦點與雙曲線工―的右焦點重

3

合，則拋物線的準線方程為（）

A.x=-5B.x=-4C.x=-3D.x=-2

【題型五求拋物線的方程】

7/14

求拋物線標準方程的方法

（1）直接法：直接利用題中已知條件確定焦參數(shù)P;

（2）待定系數(shù)法：先設出拋物線的方程，再根據(jù)題中條件，確定焦參數(shù)p.當焦點位置不確定時，應分類

2

討論或設拋物線方程為X=〃沙或=mx.

注意：①已知焦點坐標或準線方程可確定拋物線標準方程的形式；

②已知拋物線過某點不能確定拋物線標準方程的形式，需根據(jù)四種拋物線的圖形及開口方向確定.

【例5】（25?26高三上?江蘇南京?月考）已知拋物線的準線方程為則該拋物線的標準方程為（）

A.y2=2xB.y2=x

C.x2=2yD.x2=y

【變式5-1]（24-25高二下?北京東城?期中）已知拋物線的準線方程為x=-l,則該拋物線的標準方程為（）

A.x2=2yB.y2=2xC.x2=4yD.y2-4x

【變式5-2]（24-25高二上?陜西渭南?期末）（多選）以直線工-2卜-1=0與坐標軸的交點為焦點的拋物線

的標準方程為（）

A.x2=-yB.x2=-2y

C.y1=2xD.y2=4x

【變式5-3]（24-25高二上?江蘇常州?期中）以雙曲線《-金=1的右焦點為焦點的拋物線的標準方程為一

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【題型六直線與拋物線的位置關系】

解題的通用流程

1、設方程：根據(jù)已知條件設出直線和拋物線的方程。直線方程優(yōu)先考慮斜截式，需單獨討論斜率不存在

（即x=的情況；拋物線方程優(yōu)先用標準形式.

8/14

聯(lián)立消元:蔣直線菊我行應楊麗■癌一君王二不凝7適南西j7而旬渾身二根豪MF1

；元方程（可能是一次或二次方程）.!

；3、判斷方程類型：

!（1）若得到一元一次方程：直線與拋物線只有一個交點，此時直線為拋物線的“平行于對稱軸的直線''（非

!切線）；

；（2）若得到一元二次方程：設其一般形式為4Y+&+c=o（或力必+繪+。=。），計算判別式

!△二6-44。，通過△判斷位置關系來判斷.

?__________________________________________________________________________________________________

【例6】已知拋物線/=2PM，＞0）與斜率為32P的直線恰有一個公共點人則點P的縱坐標為（）

【變式6-1］（2024?江蘇宿遷三模）已知拋物線C:/=y,點則“機＞1”是“過”且與。僅有一個

公共點的直線有3條”的（）

A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式6-2］（22-23高二上?上海楊浦?期中）已知過點外（）/）的直線/與拋物線y=4》相交于不同的兩點，

%為直線斜率，則A的取值范圍為.

【變式6-3］（24-25高二上?內蒙古興安盟?月考）已知拋物線C:/=8x的焦點為尸，過尸的直線與C交于

彳（』,必）,5（工2，必）兩點，O{2,＞；”）

⑴求的值；

（2）求直線40與C的公共點個數(shù).

【題型七直線與拋物線相交弦長問題】

9/14

r匕：

!按照“設方程并分類討論一一聯(lián)立消元得一元二次方程一一韋達定理一一代入弦長公式”這個流程求解直，

I線與拋物線相交的弦長問題.但要注意焦點弦的弦長可使用焦半徑公式簡化求解.

I________________________________________________________________________________________J

【例7】已知拋物線C:歹2=4.丫的焦點為尸，過點尸且斜率大于0的直線/交C于44兩點，若陷考，

則/的斜率為（）

A.—B.73C.—D.V2

32

【變式7-1］（24-25高二上?遼寧?期中）過拋物線E-V=2x焦點的直線交E于4B兩點，線段AB中點M到

V軸距離為1，貝1"4卻=.

【變式7-2］（24-25高二下?重慶?月考）經(jīng)過拋物線C：_/=2px（p>0）的焦點E且傾斜角為5的直線交。于

4

點、4,B,且|力司=8,則〃=.

【變式7-3］（24-25高二下?云南曲靖?月考）已知拋物線y=4/與一條過焦點的直線相交于48兩點，若

弦的中點M的縱坐標為?，貝“力必=.

O

【題型八拋物線的中點弦問題】

--------------------------------F--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1、優(yōu)先選擇點差法：點差法無需聯(lián)立方程求解，可直接建立中點與斜率的關系，計算量遠小丁?韋達定理

法，尤其適用于已知中點求弦所在直線方程的場景.

2、分類討論斜率存在性：

（1）若用點差法推導時，若得到的斜率關系式中分母為（），需亙獨討論斜率不存在的情況；

（2）若中點在拋物線對稱軸上，中點弦通常垂直于對稱軸，需式先考慮斜率不存在的直線.

3、必做驗證步驟：無論用點差法還是韋達定理法，求出直線方程后必須驗證判別式A>0,避免Hl現(xiàn)“所求

直線與拋物線無交點或相切”的無效解.

10/14

【例8】(24?25高二下?山西?期中)已知/為拋物線C:/=8x的焦點，過產(chǎn)的直線交。于X,A兩點，若

弦"的中點的橫坐標為4,則|加|=()

A.8B.10C.12D.16

【變式8?1】(24-25高二下?陜西西安?期末)直線y=—l被拋物線)J=4x截得的線段在的中點坐標是()

A.(2,1)B.(3,2)C.(6,5)D.(4,3)

【變式8-2](24-25高二上?吉林長春?期中)已知拋物線C:_/=4x,直線/與拋物線C相交于4,B兩點.

若線段48的中點為(2,1),則直線/的方程為()

A.y=2x-3B.y=3x-5C.y=x-3D.y=x-\

【變式8-3](24-25高二上?河南南陽?月考)已知點7(6,0),不關于x軸對稱的N兩點在拋物線/=4x

上，H為線段MN的中點,且THLMN,則點〃的橫坐標為.

【題型九拋物線的綜合應用】

【例9】(25-26高二上?河南?期中)已知拋物線C：V=4x的焦點為尸，橢圓+￡=1(〃>0)的右

焦點為歹，離心率e=；.

(1)求橢圓￡的方程；

⑵動直線/：y=〃(x-3)恒過定點八過點尸(1,2)作拋物線C的切線與橢圓七交于兩點，求"MV的

面積.

【變式9-1](24-25高二下?廣西梧州?期中)已知拋物線C:/=2px的焦點為八點b在直線2x+3j-2=()

上，過焦點尸作一條直線，交。于48兩點.

(1)求拋物線。的方程：

11/14

(2)若直線x=l與拋物線C交于R。兩點，求證：直線力2與4。的交點在一條定直線上

【變式9-2](24-25高二上?河北滄州?月考)已知拋物線C:_/=4x的焦點為F,點PC%,%)在。上.

(1)判斷直線打》=2(工+小)與。的公共點個數(shù)；

(2)若直線PF與C交于另外一點0,直線QR與C的準線垂直，垂足為H,。為坐標原點，求證：點P,O,

K共線.

【變式9-3](25-26高二上?河南南陽?期中)已知直線/：x—2y+2=0與拋物線C：_/=2px(P>0)相切于

點P.

(1)求。的方程以及點尸的坐標.

(2)過點。(-1,-2)的動直線乙與。交于48兩點(均不與點夕重合)，力〃的中點為此

(i)當0W〃x軸時，求心的方程；

(ii)設直線處,08的斜率分別為勺，k2,證明：尢?&為定值.

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