專題02立體幾何中的探索性問題（舉一反三專項訓練）

【人教A版（2019）］

題型梳理

【類型I線、面平行的探索性問題】..............................................................1

【類型2線、面垂直的探索性問題】.............................................................10

【類型3與空間角有關的探索性問題】..........................................................20

【類型4與空間距離有關的探索性問題】........................................................29

知識梳理

知識點立體幾何中的探索性問題

1.與空間向量有關的探索性問題：

在立體幾何中，與空間向量有關的探究性問題主要有兩類：一類是探究線面的位置關系:另一類是探究線

面角、二面角或點線面距離滿足特定要求時的存在性問題.

2.立體幾何中的探索性問題的求解策略：

解決這兩類探索性問題的解題策略是：先建立空間直角坐標系，引入參數(shù)（有些是題中己給匕），設出關

鍵點的坐標，然后探究這樣的點是否存在，或參數(shù)是否滿足要求，從而作出判斷.

C）對于存在判斷型問題的求解,應先假設存在，把要成立的結論當作條件、據(jù)此列方程或方程組，把“是

否存在”問題轉化為“點的坐標是否有解，是否有規(guī)定范圍內的解”.

（2）對丁位置探究型問題,通常借助向量，引進參數(shù)，綜合已知和結論列出等式，解出參數(shù).

題型歸納

【類型1線、面平行的探索性問題】

1.（24-25高三下?北京海淀?開學考試）如圖，在正方體48co-%B1GD］中，尸為線段8cl的中點，E為線

段4cl上的動點，下列四個結論中，正確的是（）

A.EF||平面「BCD］

B.存在點E,使￡尸1平面

1/38

C.存在點E,使EFIIaC

D.DB[1EF

【答案】D

【解題思路】當E與4重合時，EFn平面4BCDi=4，即可判斷A；設正方體的棱長為1,以點。為坐標

原點，以04,DC,0D]所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，設市=2不7(0W2W1),可得前

坐標，由前兩=—可知EF與98i不垂直，即可判斷B；若則加=/(砧，列方程組求解

可判斷C；由西?而：=0可判斷D.

【解答過程】當6與4重合時，又FW平面418CD1，則EFn平面4鳳?。1=4，故A錯誤；

設正方體的棱長為1,以點。為坐標原點，以。力，DC,所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,

則。(0,0,0),8(1,1,0),C(0,l,0),6(0,1,1),FQ,1,1),

設布=aZ^(0V2工1),又？X=(1，-1，。)，??.序=(2,-a,0)，

西=(0,1,1),則尻=西+字=(尢1一尢1),-A,I),FF=Q

???西=(0,0,1),加?西=一J羊0,???EF與不垂直，而8%u平面B/gC,則EF與平面B/gC不垂

直，故B錯誤;

_,__,傳-，=一4

彳工=(-1,1,一1),若EFII4C,則加=kA?則〈A=k，此方程無解，故不存在點E,使EFII&C,

故C錯誤；

???西=(1,1,1),EF=Q-A,A,-0,D^-EF=j-A+A-j=0,：,DBX1EF,故D正就.

故選：D.

2.(24-25高二上?福建泉州?期末)如圖，在正四棱柱/8CD—4i/C]Di中，AA^AAB,點E,F,G分別是

CQCG的中點，點M是線段4。上的動點，則下列說法錯誤的是()

2/38

A.當人＞1時，存在M,使得CMJ■平面E7P

B.存在M,使得AM〃平面EFG

C.存在M,使得平面MBG〃平面EFG

D.存在人使得平面M8]C_L平面EFG

【答案】A

【解題思路】對于ABD：建系，利用空間向量結合線、面位置關系分析判斷，對于C：根據(jù)面面平行的判

定定理分析判斷.

【解答過程】以。為原點，分別為x,y,z建立空間直角坐標系，如圖：

設力8=2,則441=24(/1>0),則4(2,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),G(022/1),

因為點E,F,G分別是BC,CD,eg的中點，

所以E(l,2,0),尸(0,1,0),6(0,2,X),

對于選項B：設平面EFG的一個法向量為適=(x,y,z),

因為加=(-1,-1,0),EG=(-1,0,A),

w(n-FF=-x-y=0,fc=lj解得元=(尢—兒i),

.n-EG=-x+Az=0

設麗=k西,

因為4(2,0,2/1),則西=(2,0,24),可得麗=(2匕0,2放)，即M(2k,0,2狗,

則函=(21一2,0,2萩)，

3/38

若AM〃平面EFG,則俞1元

可得2(2k-2)+2M=/l(4k-2)=0,且4>0,解得k=；,

即A1為的中點，故B正確；

對于選項A：由B可知：CM=(2k,-2,2Ak),

若CM1平面￡TG,則說//H,

則弓=?=牛，當且僅當;l=k=l時成立，故A錯誤：

對于選項D：由B可知：M(2/c,0,2M),則由=(2k,-2,2狗,

因為當(2,2,22),則8西=(2,0,2/l)cR=(2,0,22),

設平面MB】C的法向量為沅=(a,hc),

rill,CM—2ka—2b+2k入c—0rr＜曰—/i八?1、

則一kr,ric，取nC=l，得租?=(一尢0,1)，

m-CBX=2Q+21c=0

若平面MB]C1平面EFG,則率1元=—￥+i=o=%=i,故D正確;

對于選項C：當M與。重合時，

因為瓦G分別是BC,CC］的中點,

貝IJEG//8C1，且EGu平面EFG,Bg仁平面EFG,

可得8。"/平面EFG,

同理可得：〃平面EFG,

且gng=g,g,DCiu平面Bg,

所以此時平面M8C"/平面EFG,故C正確;

故選：A.

3.(多選)(24-25高二上?山東青島?期中)如圖所示，在四棱錐P-4BCD中，底面48CD為正方形，PD1

底面48C。，PD=DC=2,O,N分別為0&P8的中點，M為棱PC上的動點，則()

4/38

B.存在點M,使OM〃面P/10

C.OM最小值為當

D.存在兩個點M,使OM與4D所成的角為60。

【答案】ABC

【解題思路】建立空間直角坐標系，用空間向量分析各選項，可得結果.

【解答過程】如圖，以。為原點，建立空間直角坐標系.

則。(0,0,0),N(l,1,1),0(1,1,0),P(0,0,2),C(0,2,0)

M為棱PC上的動點，可設M(0,t,2—￡),0<t<2.

所以而=(1,1,1),OM=(一1"一1,2—0.

對A：1)NOM=(1,1,1)-(-1,t-1,2-t)=-l+t-l+2-t=0,所以ON1OM,故A正確；

對B：因為平面P40的法向量可取元=(0,1,0),由元麗=0nt=l,所以點M為線段PC中點時，OM〃

面PAD,故B正確；

對C：因為|OM|=+(-1)2+(2T)2=/(￡-/+岸電=爭當”利取等號，故C正確；

對D：由n」="皇或

|0M|」D4|2V2tz-6t+6x2222

因為0W￡W2,所以t=等不合題意，所以使OM與AO所成的角為60。的點M只有1個，故D錯誤.

故選：ABC.

5/38

4.(24-25高二上?北京石景山?期末)如圖，在正四棱柱48G9-力道解]。1中，48=2,=4,E為棱Cg

上的一個動點，給出下列四個結論：

?A1Bl1BE；

②三棱錐E-BSD'的體積為定值；

③存在點E,使得ACII平面BDiE：

④存在點E,使得001.平面

其中所有正確結論的序號是.

【答案】①②③

【解題思路】以。為原點，建立空間直角坐標系，結合空間向量的坐標運算，以及空間向量的應用，逐項判

定，即可求解.

【解答過程】以。為原點，ZM,DC,DDi所在的直線分別為％y,z軸，建立空間直角坐標系，

如圖所示，則4(2,0,0),B(2,2,0),C〔0,2,0),4(2,0,4),當(2,2,4),Ci(0,2,4),Di(0,0,4),

設￡(0,2,a),aE[0,4],則否可=(0,2,0),麗=(-2,0,a),

因為硒'?而=0,所以否瓦‘1而，即4B118E,所以①正確；

由0田肛=V%-BM，因為△々8E的面積為定值，點。1到平面的距離也是定值，

所以小為定值，所以②正確；

又由屁=(-2,0,Q),西=(-2,—2,4)

設平面刖道的法向量為五=(d*),則L/

?。?a,可得y=-4—a,z=2,所以元=(a,4—a,2),

因為/=(-2,2,0),由尼?五=-2a+8-2a=0,解得a=2,所以③正確：

又因為西=(2,2,4),用=(2,2,-4),則西?方西=一8工0,

所以不存在點E,使得&Q1平面8。山，所以④錯誤.

故選：?@?.

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z.

5.（24-25高二上?福建福州?期中）在四棱錐P-4BCD中,平面P,42_L平面力BCD,PA1PD,PA=PD,AB1

⑴求證：POL平面PAB；

（2）在棱P4上是否存在點M,使得8M〃平面PCD?若存在，求出翳的值；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）證明見解析

Q）存在，胃U

【解題思路】（1）面面垂直得到線面垂直，再由線線垂直證明線面垂直；

（2）取力。中點，證明三條直線兩兩垂直，然后建立空間直角坐標系，得到對應點的坐標，設3=九使

得BM〃平面PCD,用空間向量建立等量關系，求得2的值.

【解答過程】（I）*：W\PADQWiABCD=AD,ffiP/lDL^ABCD,

ABLAD,ABa^ABCD,

l^iPAD,

VPDu面PAD,

：.AB1PD,

又PD1PA,PAC\AB=A,ABu面PAB,PAc^PAB

：.PD1面P48,

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(2)取40中點為。,連結C。，P0

\'CD=AC=\[5,

：.C01.AD,

?：PA=PD,

：.P0LAD

???面P40C面48co=4。，[fijP/lDL^iABCD,

??.PO1平面/BCD

0D。&。4兩兩垂直，建立如圖所示空間直角坐標系0-xyz,

易知P(O,O,1),8(1,1,0),0(0,—1,0),。(2,0,0),

則麗=(1,1,-1),PD=(O,-1,-1),PC=(2,0,-1).CD=(-2,-1,0),

設元為面PDC的法向量，令方=(勺，力,Z。

貝￡野，z=。=葭(],一2,2)

.n-PC=2x—z=0

假設存在M點使得8M〃面PC。，設黑=九M(O,yo，Zo),

又力(0,1,0),P(O,O,1),而=(0,-1,1),5(1,1,0),宿=(O,yo-l,z。)

茍而二A而=M(0,l-兒/1)?,?麗=(-1,-尢4)

?IBM〃面PG9,有為PCD的法向希，

工麗?元=0,即-1+2/1+2/1=0,得4=工

4

綜二，存在M點，即當詈.時，M點即為所求.

6.(24-25高二上?廣西玉林?期中)如圖，在四棱錐P-4BCD中，平面PAD1平面力BCD,PA1PD,AB1AD,

PA=PD,AB=1,AD=2,AC=CD=V5.

8/38

c

(1)求證：P01平面24B；

⑵求直線P4與平面PCD所成角的余弦值；

(3)在棱PB上是否存在點M,使得AM〃平面PCD?若存在，求出胎的值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)證明見解析

(21

(3)不存在，理由見解析.

【解題思路】(1)由面面垂直得到線面垂直，進而得到ABIPD,結合PD1P4得到線面垂直；

(2)作出輔助線，得到垂直關系，再建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，求出平面PCO的法向量，利用

線面角的夾角公式求出答案；

(3)設麗=a同，其中0W/IW1,求出向量前的坐標，根據(jù)福?詁=0,求出2的值，即可得出結論.

【解答過程】(1)證明：因為平面R4O，平面A8CD,旦平面P4DC平面718co=30,

且HBJLAO,48u平面ABC。，所以，481平面

因為PDu平面24。，所以，AB1PD,

因為PD1PA,PAHAB=A,PA.4Bu平面P48,所以，PDJL平面P4B.

(2)解：取力。中點為0,連接0C、0P,

又因為產力二P0,則P014Q,則40=P0=l,

因為4C=CD=?,則。Cl/D,MCO=y/AC2-0A2=V5^1=2,

在平面八BCO內，因為0C_L4D,A8_L4D,貝lj。?！?18,

因為A81平面P4D,則OC_L平面P40,

以點。為坐標原點，0C、。力、0P所在直線分別為“、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系。-xyz,

則P(0,0,l)、8(1,1,0)、。(0,—1,0)、4(0,1,0)、。(2,0,0),

則可=(0,1，-1),而=(0,1,1),DC=(2,1,0),

設平面PCD的法向量為五=(%,y,z),則IF尸=y+z=0,

(n-DC=2x+y=0

9/38

取x=1,可得元=(1,-2,2),設PA與平面PC。的夾角為仇

則sin。=|cos(n,PA)\=,調=-4==則cos。=V1—sin20=g,

所以，直線24與平面PC。所成角的余弦值為g.

(3)解：設麗=ABP=A(-l,-1,1)=(一九一尢Q,其中0￡入W1,

則俞=AB+BM=(1,0,0)+(-A,-A,A)=(-A+1,-入㈤,

因為AM〃平面PCD,則祠?元=-入+1+2入+2/1=1+3；1=0,解得入=一§

因此，在棱PB上不存在點M,使得力M〃平面PCD.

【類型2線、面垂直的探索性問題】

7.(24-25高二上?上海嘉定?期中)在正方體48。9一/1e1。1。1中，Q為44上一動點，則下列各選項正確

的是()

A.存在點Q使得RQ與平面&CQ垂直B.存在點Q使得DQ與平面&CQ垂直

C.存在點Q使得&Q與平面81CD垂直D.存在點Q使得OiQ與平面BiCO垂直

【答案】D

【解題思路】如圖，以。為原點，以D4D&CDi分別為％y,z軸建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為1,

求出平面B[CD的法向量,設Q(W)(0<t<1),然后逐個分析判斷即可.

【解答過程】如圖，以。為原點，以。4。&。氏分別為％y,z軸建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為I,

則0(0,0,0),8(1,1,0),81(1,1,1),C(0,l,0),。式0,0,1),

所以坑二(0,1,0),西二(1,1,1)，

設平面8道。的法向量為萬=(x,y,z),則

m-DC-=y=Q，令工=1,則沆=(1,0,—1),

m-DB]=x+y+z=0

設Q(l,0/)(0WtWl),

對于A,麗=(0,-l,t),若8Q與平面/CD垂直，則的與無共線，則存在唯一人使麗=4沆，則(0,-1")=

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0=A

所以-1=0,方程組不成立，所以的與玩不共線，所以8Q與平面8ICD不垂直，所以A錯誤,

t=-A

對于B,麗=(l,O,t),若DQ與平面BiCD垂直，則由與隹共線，則存在唯一〃，使麗=〃而，貝l](l,O,t)=

’1=4

〃(1,0,-1),所以0=0,得￡=-1不合題意，所以而與而不共線，所以OQ與平面當。。不垂直，所以B

錯誤，

對于C,BXQ=(0,-l,t-1),若BiQ與平面4CO垂直，則為Q與沅共線，則存在唯一入,使B1Q=入。,

(0=A___

則(0,-1"一1)=21(10—1),所以-1=0,方程組不成立，所以瓦Q與沆不共線，所以81Q與平面

(t-1=-Ai

aCD不垂直，所以C錯誤，

對于D,和=(l,0,t-l),若DiQ與平面SCO垂直，則方I與沆共線，則存在唯一M，使仄@=〃i訪，則

1=〃】

(1,0,亡-1)="(1,0,-1)，所以。=0，得￡=0符合題意，所以當Q(LO,O)時，萬適與沆共線，此時

1=一〃]

0他與平面Bi。。垂直，所以D正確，

故選：D.

8.(2025?北京朝陽?一模)在棱長為1的正方體力中，E,F,G分別為棱力&，BC,CQ

的中點，動點H在平面EFG內，且=L則下列說法正確的是()

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A.存在點從使得直線OH與直線FG相交

B.存在點H,使得直線。HJ?平面E/G

C.直線與平面E/P所成角的大小為々

D.平面EFG被正方體所截得的截面面積為手

【答案】C

【解題思路】連接DF,DG,取FG的中點M,連接DM,點。到線段FG的最短距離大于1,即可判斷A；建立

空間直角坐標系，點。到平面E/G的距離為胃=?<1,即可判斷B；由0%，平面E/G,連接0%交EG

于點0,Rt△08/與Rt^OOH全等，所以乙/“。==今即可判斷C；平面EFG被正方體所截得的

?J

截面圖形為正六邊形，且邊長為弓，可求截面面枳.

【解答過程】

連接DF,DG,所以|0r|=|DG|=g,附|=爭取FG的中點M,連接DM,

所以|。河|=乎>1,點。到線段FG的最短距離大于1,所以不存在點H,使得直線。”與直線尸G相交，故A

4

不正確;

以D為坐標原點，分別以D4,DC,皿所在直線為“軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則￡(1,0,3嗯，1，0方

<7(0,1,1),0(0,0,0),

所以而二(一31,-3,12=(-1,1,0),尻二(1,0,3

設平面"G的法向量為元=(3,z),所以，亙?二。，即卜找+"N=°,

(EG-n=0—x+y=0

令％=1,則y=l,Z=1,所以九=(1,1,1),

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所以點D到平面EFG的距離為母=扇=曰＜1,而DH=1,所以不存在點H,使得直線DHJ?平面"G,

故B不正確；

因為西=(1,1,1),所以。8T平面ErG,連接叫交EG于點。，所以。為陰的中點，DO=B}O=^f

所以為直線與平面E”所成角，

因為。"=1,在內△。?！爸校瑂in^DHO=—DH=2

所以NOHO=%因為RtAOBi”與RtZkOOH全等，所以乙為“。=40〃。=會故C正確；

延長GF交當8的延長線于N,連接EN交ABFP,連接PF,取小弓的中點K,0/1的中點/,

連接KG,E),KJ,KG//EP,EJ/tGF.KJ//PF,

平面EbG被正方體所截得的截面圖形為正六邊形，且邊長為當，

所以截面面積為6X；X^X^=￥，故D不正確.

2244

故選：C.

9.(多選)(24-25高二上?全國課后作業(yè))在正方體4^。一為當。1。1中，Q為力%上一動點，則()

A.存在點Q使得8Q與平面&CD垂直B.不存在點Q使得BQ與平面/CD垂直

C.存在點Q使得QQ與平面叢C0垂直D.不存在點Q使得與平面&CD垂直

【答案】BC

【解題思路】建系，通過直線方向向量與平面法向量的關系逐個判斷即可.

【解答過程】如圖，以。為原點，以04DC,所在直線分別為北y,z軸建立空間直角坐標系，

設正方體的棱長為1,則。(0,0,0),8(1,1,0),81(1,1,1),6(0,1,0),。1(0,0,1),

所以反二(0,1,0),西=(1,1,1).設平面8儲。的法向量為沅=(x,y,z),則[一三℃=y=0，

,m-DB]=x+y4-z=0.

13/38

令x=l,則沅=(1,0,-1)是平面B1CD的一個法向量.設Q(LO,￡)(OWtCl).

>Q=(0,-l,t),若8Q與平面為CD垂直，則的與沆共線，則存在唯一的人使麗=/沆，貝式0,—1")=

2(10-1),等式不可能成立，

所以的與沅不共線，所以不存在點Q使得BQ與平面垂直，

而=(1,0,t-1),若DW與平面aCD垂直，則而與沅共線，則存在唯一的〃，使乖=〃沅，則［1,0"-1)=

”(1。-1)?

得〃=1,t=0,

所以當Q的坐標為(1,0,0)時，點與沆共線，此時DiQ與平面&CD垂直，

故選：BC.

10.(24-25高二上?北京?期中)如圖，正方體力8。。一力道￡〃的棱長為2,點E,F分別為棱的中

點，點G為線段為0上的一個動點，給出下列四個結論：

①三棱錐當-E/G的體積為定值；

②存在點G,使AR，平面EFG；

③存在點G,使平面EFG〃平面AC。"

④設直線FG與平面40。遇1所成角為仇則sin。的最大值為竽.

其中所有正確結論的序號為.

【答案】①②④

【解題思路】對于①選項，利用等體積法判斷；對于②、③、④三個選項可以建立空間直角坐標系，利用

14/38

空間向量求解

【解答過程】易得平面力。。14〃平面BCG/,所以G到平面8CC1B1的距離為定值，

又SaBiEF為定值，所以三棱錐G-81EF即三棱錐Bi-EFG的體積為定值，故①正確.

對于②，如圖所示，以。為坐標原點，為%軸，DC為y軸，為z軸,，建立空間直角坐標系,

則4(200),8(2,2,。),D(0,0,0),C(0,2,0)，4(2,0,2),D、1(0,0,2),

g(0,2,2),E(l,2,2),尸(2,2,1),

所以碇=(-2,2,2),前=(-2,2,0),河=(-2,0,2),加=(1,0,-1),

設麗=/1西(0W/lW1),則G(2/l,0,2/l),

所以前=(22-1,-2,2/1-2),FG=(2A-2,-2,2A-1),

因為4G，平面EFG,

所以1碇?麗=-2(22-1)+2x(-2)+(-2)x(2A-2)=0

解得a=9,當G為線段上靠近。的四等分點時，&C_L平面EFG,故②正確.

4

對于③，設平面4CD1的法向量為沆=(%y,z),

(m-AC=-2%+2y=0而T3T.

則mil一___?,取z=l,得y=l,x=l,

,m-AD]=—2x+2z=0

所以平面的一個法向量沅=(1,1,1),

設平面E尸G的法向星為五=(Q,b,c),

則1_n-EF=a-c=0

,取Q=l,得6=里/,c=1,

(n-EG=(22-1)Q-2b+(2A-2c)=0

所以平面EFG的法向量為元=(1,券,1),

因為平面EFG〃平面力CD】，所以舊II記,

設記=々元即(l,l,l)=k(l,學,1),

15/38

解得k=l/=：,又因為ow4wi,不合題意,

4

線段4。上不存在點G,使EFG〃平面AC5,故③錯誤.

對于④，平面4DD遇1的法向量為口=（0,1,0），

?0_|語|_2

則

=而詞=屈2_i2入+9’

因為8A2-12A+9=8(A-^)2+^>|

所以sind=/2<-^=W，

V8A2-12A+9J93

所以sin。的最大值為竽.故④正確.

?5

故答案為：①②④.

11.（24-25高二上?貴州?期中）如圖，在直三棱柱力BC-A/Ci中，CA=CB=-AAr=1,BC1AC,P

為上的動點，。為棱C1C的中點.

（1）設平面4]8Qn平面=若尸為48的中點，求證：PQ/fh

（2）設麗=4兩，問線段上是否存在點尸，使得4Pl平面&BQ?若存在，求出實數(shù)4的值；若不存在，

請說明理由.

【答案】（1）證明見解析；

（2）存在，A=1.

?5

【解題思路】（1）設48的中點為E,連接PE,PQ,CE,易證四邊形PECQ為平行四邊形，可得PQ〃EC,進而

得到PQ〃平面48C,再根據(jù)線面平行的性質求證即可；

（2）建立空間直角坐標系，結合空間向量及API平面48Q列出方程組求解即可.

【解答過程】（1）證明：設力B的中點為E,連接PE,PQ,CE,

因為尸為的中點，。為gC的中點，

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所以PE〃44PE=g4遇，QC=2(：,

在直三棱柱/48C-48iG中，A\A”C、C,A}A=C}C,

所以44〃QC,月A4=QC,

所以四邊形PECQ為平行四邊形，

則PQ//EC,又PQ仁平面48C,ECu平面4BC,

所以"Q〃平面48C，

又平面＜i8Qn平面48C=1,PQu平面418Q,

所以PQ〃L

(2)在直三棱柱力BC-Ai/g中，eg_L平面48C,BCLAC,

故可以。為原點，以所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,

因為G4=CB=^AA[=1,

所以B(1,O,O),Q(0,0,l),4(0,1,2),4(0,1,0),

則風=(-1,1,2),布=(0,-1,-1),AB=(1,-1,0),

又麗=2西(0W/l工1),則麗=(一兒；1,2/1),

所以而=AB+BP=(1-A,A-1,21),

若HP1平面A$Q,則，竺.竺廣°,

"&Q=0

則『07?M一才4丁。,解得

(—(X—1；—2A=03

所以線段上存在點尸，使得力尸上平面力/Q,此時"提

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12.（24-25高二上?上海?期中）如圖，在四棱錐S-48co中，平面S401平面ABCD,SA=SD=AD=2,

四邊形A8C0為正方形，E為4。的中點，F(xiàn)為SB上一點、,“為BC上一點，且平面EFM〃平面SCD.

（1）求證：M為線段BC中點；

（2）求二面角S-BC-。的正切值；

（3）在棱SC上是否存在點N,使得平面DMN1平面力BCD?若存在，求管;若不存在，說明理由.

【答案】（1）證明見解析

（3）存在,旦提=；

【解題思路】（1）由面面平行的性質可證得EM〃C0,由此可得出四邊形CDEM,可證得CM=；8C,即可

證得結論成立；

（2）利用面面垂直的性質可推導出SE1平面力BCD,然后以點E為坐標原點，EA,而、麗的方向分別為X、

y、z軸的正方向建立空間直角坐標系，利用空間向量法結合同角三角函數(shù)的基本關系可求得二面角

。的正切值；

（3）設的元，其中04241,根據(jù)平面0MN_L平面結合空間向量法求出實數(shù);I的值，即可得出

結論.

【解答過程】（1）證明：因為平面EFM〃平面SCD.平面4BCDn平面EFM=EM,平面ABC。n平面SCD=CD,

可得EM〃CD,

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又因為CM〃OE,則四邊形COEM為平行四邊形，則CM=D凡

因為E為4D的中點，則。E=所以，CM=DE=gAD=：BC,

故點M為BC的中點.

(2)解：因為S4=SD,E為/D的中點，則SE14O,

因為3F面S40_L'F面718c0,平面S40n平面48co=40,SEu平面S40,

所以，5s平面48?！?，

乂因為四邊形4BC0為正方形，以點E為坐標原點，瓦(、而、礪的方向分別為X、

y、z軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，

因為S4=SD=AD=2,則S(0,0,V5)、8(1,2,0)、6(-1,2,0),

設平面S8C的法向量為訪=(%i，yi，zD，而=(2,0,0),SC=(-1,2,-V3),

則［一而'取力=兩可得沆=(°,何)

{m.-SC=—無i+2yl—V3zi=0

易知平面48CD的一個法向量為五=(0,0,1),cos(m,n)==-i=%，

|二m|,:|n二|V77

則s\n(m,n)=J1一cos?〈記,道)=J1-(券)=子，

所以，tan優(yōu)用=迫=亨.親=當

cosmm72V72

由圖可知，二面角S-BC-。的平面角為銳角，

因此，二面角S-BC-D的正切值為手.

(3)解:易知S(0,0,V5)、C(一1,2,0)、。(一1,0,0)、M(0,2,0),

設m=ASC=-V5)=(-尢2/1,-V3A),其中0W4W1,

則而=DS+SN=(1,0,V3)+(-尢2尢-V3A)=(1一尢24,V3-V3A),DM=(1,2,0),

設平面DMN的法向量為五=(%2，%，22)，

u-DM=%?+2y=0

則__2,

.標=(1一；)x2+22y2+(心一^)Z2=0

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取用=273(1-A),則￡=(273(1-A),V3U-1),4A-2),

因為平面DMN1平面ABCD,則五1元，

則可?五二4入-2=0,解得;1=5

所以，當點N為SC的中點時，平面。MN1平面力故稱，

【類型3與空間角有關的探索性問題】

13.(24-25高二上?上海楊浦?期末)如圖，已知正方體力BCD-A/gDi的棱長為1,點M為棱的中點,

點P在正方形Beg/內部(不含邊界)運動，給出以下三個結論：

①存在點P滿足PDi1M81；

②存在點P滿足PQ與平面4D1M所成角的大小為60。：

③存在點戶滿足MOi+MP=蔡；

其中正確的個數(shù)是()

A.0B.IC.2D.3

【答案】D

【解題思路】建立空間直角坐標系，設P(%l,z),(x,z6(0,1)),利用空間向量法一一計算可得.

【解答過程】如圖建立平面直角坐標系，則4(1,0,1),%(0,0,1),當(1,1,1)，

設P(陽l,z),(x,zG(0,1)),則西一(0弓，1)'用一(尢，1，2—1)

若PD「MBi，則西?W=g+z-l=O,解得z=g,

所以存在點P滿足PC11MB],故①正確：

因為萬方=(1,0,0),而？=(1;,一1),設平面為D1M的法向量為五=(a,b,c),

(n-。遇1=a=0

?n=(0,2,1),

(H-D^M=a+1b—c=0

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設與平面為D1M所成角為仇（0?！?V60。）,

則sin6=呵同=pH

|OiP||n|V5XVX2+1+(Z-1)2,

令x=0,z=1,則sine=^=W>g,所以U>60。,

令％=0,z=0,則sin9=3=^vg所以8V60。，

vlO102

所以存在點P滿足PD]與平面ARiM所成角的大小為60°,故②正確;

因為|m|=J12+(§2+(_]y='MP=(x-l,pZ),

所以|加|=J(x-I)24-z2+|GQ,1),所以MDi+MPW(2,3),

所以存在點P滿足M%+MP=裝；故③止確.

故選：D.

14.（24-25高二上,北京順義?期中）如圖，在正方體ABCD-A/iCiDi中，點E是線段BCi的中點，點〉是

線段80上的動點，下列結論中錯誤的是（）

A.對于任意的點?，均有EF14C

B.存在點凡使得EFII平面A4]B】B

C.存在點凡使得EF與C的所成角是60°

D.不存在點F,使得EF與平面ABCMi的所成角是30。

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【答案】D

【解題思路】建立空間直角坐標系，利用空間向量研究空間中線線、線面關系即可.

【解答過程】設正方體棱長為2,如圖所示建立空間直角坐標系，

則4(2,0,0)4(2,0,2),C(0,2,0),E(l,2,l),8(2,2,0),0(0,0,2),6(0,2,2),

設而=痂=(2A,2A,0)(AG[0,1]),

則屁=(1,2,1)=>EF=DF-DE=(2A-1,2/1-2,-1),A^C=(-2,2,-2),

所以而?A[C=-2(2A-1)+2(21-2)+2=0=E尸_L&C,故A正確；

易知平面的一個法向量為赤=(2,0,0),

則京-DA=2(2A-l)=0=>A=1,即點/是線段8D的中點時，

滿足E尸II平面44淖窗,故B正確;

由上可知竭=(0,0,2),

所以當cos(麗西)=高禽=3最"=一”"竽，

即入=弓5時，使得EF與所成角是60°，故C正確；

4

由上可知而=(0,2,0)，福*=(-2,0,2),設平面ABGDi的一個法向量為元=(x,y,z),

則有］,令％=l=y=0,z=l,即五=(1,0,1),

I-乙X十ZZ-U

若石尸與平面48G01的所成角是30。，

則有si的。=黯=/⑵手工一力卬="/

即存在點F,使得EF與平面48。山1的所成角是30。，故D錯誤.

故選：D.

15.(多選)(24-25高二上?遼寧?期中)如圖，長方體力8。。-41%的。1中，AA1=2,AB=AD=273,E

是側面的中心，〃是底面的中心，點M在線段71。上運動，則下面選項正確的是()

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A.四面體M—41BC的體積為定值

B.點E到平面的距離?

C.異面直線EF與&C所成的角為!

?5

D.存在點M,使得直線與平面&8C所成的角為；

【答案】ABD

【解題思路】A選項，證明出線面平行，得到點M到平面4BC的距離為定值，結合Soso為定值，故四面

體的體積為定值，A正確；B選項，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，得到點到平面的

距離；C選項，利用異面直線夾角向量公式求出答案；D選項，設出點M的坐標M(0,￡,0),利用線面角的向

量求解公式得到￡=在，D正確.

【解答過程】A選項，因為40〃BC,40,平面力iBC,8Cu平面力道。，

所以A。//平面A18C,

又點M在線段上運動，所以點M到平面4/C的距離為定值，

乂Szs48C為定值，故四面體M-4BC的體積為定值，A正確；

B選項，以A為坐標原點，48MDA4］所在直線分別為％y,z軸，建立空間直角坐標系，

則E(0,V3,1),4(0,0,2),8(26,0,0),C(2N/3,273,0),

設平面2418c的法向量為而=(%y,z),

則竊?AXB=(x,y,z)-(273,0,—2)=2>/3x-2z=0

沅.麗=(%,y,z).(0,-26,0)=-2V5y=0

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解得y=0,令X=l,則Z=V5,故沆=(1,0,8),

故點E到平面48c的距離

,|前詞|(2x^,-V3,-l)(l,0,V3)|2V3-V3V3n一匚市

d=k=--------7i與-------=F-=5'B止確；

C選項，F(xiàn)(V3,V3,0),EF=(V3,0,-l),

(J|||「cd喬~A~C\=%=(百OT)(2、氏2、氏-2)=_M_=竺

人(，1)呼|?陽|V341XV124-12+42X2V77，

故異面直線EF與所成的角不為全C錯誤；

D選項，設M(0,t,0),0<t<2V3,

由B選項知，平面&BC的法向量為沆=(1,0,V3)

設直線4M與平面4BC所成角為6,

則sin”|cos(不同|=蹲=筆組"二號獸=件,

1'"HiM||m|Vt2+4xx/T+32Vt2+4Jl+4

令卒=手，解得t=&,負值舍去，

Vt2+42

故存在點M,使得直線41M與平面所成的角為:，D正確.

故選：ABD.

16.(24-25高三下?四川巴中?階段練習)如圖，棱長為1的正方體中，P為線段力道上的動點(不含端點)，

以下正確的是.

①GP_L9。；

②存在點P,使得〃面OBQ；

③HP+PDi的最小值為巨竽公

④存在點P，使得GP與面4。止所成線面角的余弦值為噂

【答案】①②

【解題思路】建立如圖空間直角坐標系。一砂2,設麗=/I西(OV/lVI),則利用空間向量

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法即可證明①②④；將平面4418與平面為。1。8沿展開成平面圖，得AP+PDi之力小，利用余弦定理計

算即可判斷③.

【解答過程】由題意，建立如圖空間直角坐標系D-xyz,

則。(0,0,0),8(1,1,0)，4(1,0,1),8］(1,1,1),的(0,1,1),。］(0,0,1),

所以西=(0,-1,1),西=(1,1,1),礪=(1,1,0),西=(0,1,1),

設麗=疝否(0vav1),則前二(0,—尢/i),所以P(I,I-a,4,

所以市=(1,-1,A-1),9=(1,1-AfA-1).

①：于?西=(1,-/M-1).(1,1,1)=1-14-1-1=0,

所以9_L西，故①正確；

②：設平面OBg的一個法向量為元=(修,九*1),

則g竺^一"1+%一°,令與=1,得〃=一1,21=1,所以元=(1,-1,1),

(九?06=月+zi=0

前?布=2/1—1,當入/時，n-~D［P=0,此時元J.萬F，即0產〃平面OBCi，

所以當點P為的中點時，氏P〃平面。8%,故②正確：

③：將平面44】8與平面415cB沿力道展開成平面圖，線段4D］即為4P+PD］的最小值.

在中，ND遇遇=1,由余弦定理，

得皿=JA1A2+力小2_2AiA.&DiCos^