專題01空間直角坐標系

r教學目標、教學重難點

知識清單--空間中兩點間的距離公式

一空間直角坐標系中的中點坐標公式

J空間中點的對稱問題

L根據(jù)坐標作出空間中點的坐標

空間立角坐標系

一結(jié)合圖形確定點的坐標（已建系）

由圖形確定點的坐標（未建系）

題型精講一

一利用距離公式確定點的坐標

一利用距離公式判斷三角形的形狀

一利用空間距離求軌跡：

u至回里超的最值回題

強化訓練

1通過具體情境，感受建立空間直角坐標系的必要性，了解空間直角坐標系，會用空

間直角坐標系刻畫點的位置.

教學目標

2.掌握空間兩點間的距離公式.

1.教學重點：建立空間直角坐標系、求點的坐標、空間兩點間距離公式的應(yīng)用.

教學重難點

2.教學難點：建立恰當?shù)目臻g直角坐標系.

知識清單

知識點01空間直角坐標系

1.建立空間直角坐標系

⑴在平面直角坐標系的基礎(chǔ)上，道過原點0,再增加一條與xQv平面垂直的Z軸，如圖所示，就建立了三個

維度的空間直角坐標系，可記為空間直角坐標系上迎

（2）在空間直用坐標系O-xyz中，點O叫做坐標原點，x軸，『軸，z軸統(tǒng)稱為坐標軸.由坐標軸俑定的平面叫

作坐標平面,x,v軸確定的平面記作xOy平面,v,z軸確定的平面記作yOz平面,z,x軸確定的平面記作@

平面.

2.右手直角坐標系

在空間直角坐標系中，讓右手四指與大拇指垂直，并使四指先指向工軸的正方向，然后讓四指沿握拳方

向旋轉(zhuǎn)90“指向y軸的正方向，此時大拇指指向即為z軸的正方向,則稱這樣的坐標系為右手系，如圖所

示.

說明：如無特別說明，我們通常建立的坐標系均為右手直角坐標系.

【知識歸納】

空間直角坐標系的作圖原則

1.使x軸正方向與y軸正方向、x軸正方向與z軸正方向所成的角為135。，z軸垂直于y軸.

2.y軸與z軸的單位長度相等，x軸的單位長度為y軸（z軸）單位長度的一半.

【即學即練］

1.下列空間直角坐標系中，是右手直角坐標系的是（將正確的序號填全填上）.

【答案】①④

【解析】在①?中，讓右手拇指指向X軸的正方向，則食指剛好指向了y軸的正方向，故它們是右手直角坐

標系.

2.如圖所示,在三棱錐A-BCD中,AB_L底面BCD,BC1BD,請敘述如何建立空間直角坐標系.

【解析】因為AB_L底面BCD,所以AB_LBC,AB_LBD,又BC_LBD,所以以點B為坐標原點建立如圖所示的空間直

角坐標系.

知識點02空間直角坐標系中點的坐標

1.空間中點的坐標表示

在空間直角坐標系中，對于空間任意?點P,都可以用?個三元有序數(shù)組(x,y,z)來表示，有序?qū)崝?shù)組

(x,y,z)叫做點P在此空間直角坐標系中的坐標，記作P(x,y,z).其中人.叫做點P的土坐標(即橫坐標)，y

叫做點P的y坐近(即縱坐標)，z叫做點P的三坐標(即豎坐標).

2.空間中點的坐標的確定

給定空間直角坐標系中任意一點P.

⑴如圖①，當點P在xOy平面上時，在xOy平面直角坐標系中點P的坐標是(x,y),我們把x,y分別看作點P

在空間直角坐標系中的x坐標、y坐標，點P的z坐標取0,即點P在空間直角坐標系中的坐標為(x,y,0).

⑵如圖②，當點P不在xOy平面上時，過點P作xOy平面的垂線,垂足為P,點P'的坐標為(x,y,0),我們把x,y

分別看作點P在空間直角坐標系中的x坐標、y坐標,用實數(shù)z來表示點P的z坐標，即點P在空間直角坐標

系中的坐標為(x,y,z).

圖①圖②

【深度剖析】

在數(shù)軸上一個實數(shù)便確定了一個點的位置，在平面直角坐標系中，則需一對有序?qū)崝?shù)(x,y)確定一個點

的位置，而在空間直角坐標系中，則是由三個實］數(shù)組成的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)才能確定一個點的位置.

3.空間點與坐標之間的對應(yīng)關(guān)系

空間直角坐標系中，點與點的坐標之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系,即對于空間直角坐標系內(nèi)的任一點P,都可以

用?個三元有序數(shù)組(x,y,z)來表示，反之，任何?個三元有序數(shù)組(x,y,z)都可以確定空間中的一個點P.

4.空間中特殊點的特征

(1)坐標原點的坐標：0(0,0,0).

(2)坐標平面上點的坐標特征如下表：

坐標平xOv平xOz平

yOz平面

面面面

坐標特

z=0y=0x=0

點

點的坐(x,y,0(x,0,z

(3)坐標軸上點的坐標特征如下表:

坐標軸x軸y軸z軸

坐標特丫=0,z=x=0,z=

x=0,y=0

點00

點的坐(x,0,0((),y,0

(0,0,z)

標))

【即學即練】

1.點A（-l,2,0）在空間直角坐標系中的位置是在（）

A.z軸上B.xOy平面上C.yOz平面上D.zOx平面上

【答案】B

【解析】（1）由點A的z坐標為0,x坐標與y坐標均不為0,知該點在xOy平面上.

2.點B（0,0,2）在空間直角坐標系中的位置是在（）

A.x軸上B.y軸上C.z軸上D.xOy平面上

【答案】C

【解析】點B的x坐標、y坐標均為0,z坐標不為0,故點B在z軸上.

知識點03空間中兩點間的距離公式（重點）

1.長方體體對角線的長度

如果一個長方體的長、寬、高分別為a,b,c,那么對角線的長為d二癥五三即長方體的對角線長度的

平方等于長方體的三度（長度、寬度、高度）的平方和.

特別地，棱長為a的正方體的體對角線長為顯

2.空間兩點間的距離公式

（1）距離公式:空間中任意兩點Mi（x?,y1,z1）,M2（X2,y2?2）間的距離

M|M,l二J（不美）2+（"-乃）2+（ZI-Z2）2,

特別地，空間中任意一點P（x,y,z）到原點O的距離為IOPI=，W+y2+z2.

[2）距離公式的推導：

設(shè)Mi（xi,yi,z〉M2（X2,y2,Z2）為空間任意兩點,我們作長方體，如圖所示,MiM?為長方體的對角線，長方體的每

一條棱都與坐標軸平行，要求MIM2的長，只需求出PN,MiP和NNb的長.由于MiP平行于x軸，所以|MF|=|X2-

222

xi|,同理，『N|=|y2Wl,|NM2|二|z2Z|,再利用勾股定理，就有|MIM2|=Jl^PI+|PN|-|NM2|,即

IMiMd=-無力2+優(yōu)_%）2+（Z2-ZQ2.這就是空間兩點間的距離公式.

【深度剖析】

（1）公式中Xi與x2,yi與y2,zi與zu的位置可以互換.

(2)可類比平面上兩點間的距離公式記憶,記憶口訣:對應(yīng)減,平方加,開根號.

⑶當ZFZ2=O時,這兩點都在xOy平面上,此公式即為平面上兩點間的距離公式.

【即學即練】

1.求下列距離：

(l)A(l,1,0),B(3,4,1)兩點間的距離;

(2)C(-3,1,5)到平面yOz的距離；

(3)D(4,-2,3)到y(tǒng)軸的距離.

【解析】(1)由兩點間的距離公式得，|AB|二J(3-1)2+(4-爐+(1-0)2=舊.

(2)C(-3,1,5)到平面yOz的距離為3.

(3)1)(4,-2,3)到y(tǒng)軸的距離為,42+32=5.

知識點04空間直角坐標系中的中點坐標公式(重點)

己知空間中兩點P1(X1,yi,Zi),p2(x2?y2,z2),若線段PR的中點為P0G0,y0,z0),

X1+X2

Xo=

2

則,yo=yM

2

Z1+Z2

zo=2

這個公式稱為空間直角坐標系中的中點坐標公式，它是平面直角坐標系中的中點坐標公式的拓展.

【深度剖析】

空間中點坐標公式可以看作平面內(nèi)中點坐標公式的升級版，只是比平面內(nèi)的坐標多了一個豎坐標而已

【即學即練】

1.(24-25高二上?廣東佛山?階段練習)在空間直角坐標系中，已知點4(-2,3,-5)創(chuàng)2,-1,7),則線段肥的

中點坐標是()

A.(2,-2,6)B.(0,1,1)C.(-2,2,-6)D.(0,—1,—1)

【答案】B

【解析】依題意，點A(-2,3,-5),“(2,-1,7),則線段岫的中點坐標是(0,1,1).

故選：B

2.(24-25高二下?全國?課后作業(yè))已知點&T1,4),8(71,0),則線段岫的中點加在)6平面上的射影點

的坐標為()

A.(0,1,2)B.(2,1,2)C.(2,-1,2)D.(-2,1,-2)

【答案】A

【解析】???A(-3,1,4),5(7,1析),

線段AB的中點”的坐標為(2,L2),

根據(jù)在)OZ平面上的射影點的特點為：橫坐標為0,縱坐標，豎坐標保持不變,

從而點M在｝，Oz平面上的射影點的坐標為(0J2),

故選:A.

知識點05空間中點的對稱問題(拓展)

在空間直角坐標系內(nèi)，已知點P(x,y,z),則有：

①點P關(guān)于原點的對稱點是Pi(-x,y,-z);

②點P關(guān)于橫軸(x軸)的對稱點是P2(x,-y,-z);

③點P關(guān)于縱軸(y軸)的對稱點是P：,(-x,y,-z);

④點P關(guān)于豎軸(z軸)的對稱點是Pi(-x,-y,z);

⑤點P關(guān)于x()y坐標平面的對稱點是PsCx,y,-z);

⑥點P關(guān)于yOz坐標平面的對稱點是Pb(-x,y,z);

⑦點P關(guān)于xOz坐標平面的對稱點是P?(x,-y,z).

【即學即練】

1.(25-26高二上?廣東?階段練習)已知點”(1,2,3)是空間直角巨標系O-A＞，Z中的一點，下列點的坐標與

點做關(guān)于xOz平面對稱的點是()

A.(-123)B.(K-2,-3)

C.(-L-2.3)D.(1,-2.3)

【答案】D

【解析】設(shè)點M關(guān)于X。平面對稱的點為必(x，yz),則MM的中點為(1,0,3),

x+1=1x2x=1

從而7+2=0,解得卜=-2,所以必(1,—2,3).

z+3=3x2z=3

故選：D

2.125-26高二上?山西晉中?階段練習)在空間直角坐標系。-燈z中，點P(1.2.-3)關(guān)于xOy平面的對稱點

坐標為()

A.(123)B.(一12-3)C.(1,-2,-3)D.(-1,-2,3)

【答案】A

【解析】顯然。(1，2,-3)關(guān)于M?)，平面對稱點坐標為戶(123).

故選:A.

題型精講

題型01根據(jù)坐標作出空間中的點

【典例1】在空間直角坐標系中，作出點M(6,-2,4).

【解析】解法一:如圖所示,從原點出發(fā)沿x軸正方向平移6個單位長度得到點Mi,再將M,沿與y軸平

行的方向向左平移2個單位長度得到點M2,然后將M2沿與z軸平行的方向向上平移4個單位長度即得點M.

解法二:先確定點M2(6「2,O)在xOy平面上的位置，因為點M的豎坐標為4,所以|MM?|=4,旦MM?平行于

z軸，點M和z軸的正半軸在xOy平面的同側(cè)，這樣就可確定點M的位置了.

解法三:以O(shè)為一個頂點,構(gòu)造三條棱長分別為6,2,4的長方體，使此長方體在點0處的三條棱分別在x

軸正半軸,y軸負半軸,z軸正半軸上，則長方體上與頂點0相對的頂點即為所求的點M.

方法技巧

根據(jù)點的坐標確定點的位置

從原點0(0,0,0)出發(fā)沿X軸移動1x4個單位長度得到P,(xo,0,0),再沿與y軸平行的方向移動|為|個單

位長度得到P2(xo,y。,0),再沿與z軸平行的方向移動|z°|個單位長度得到P(xo,yo,z。)，其中xo,y,,z。的正負決

定沿坐標軸的正負方向移動.

【變式1】蒼高二下?全國?課堂例題)在空間直角坐標系中描出點尸(3.4.5).

【答案】答案見解析

【解析】方法一：第一步：從原點出發(fā)沿“軸正方向移動3個單位長度.

第二步：沿與軸平行的方向向軸正方向移動4個單位長度.

第三步：沿與z軸平行的方向向z軸正方向移動5個單位長度，即得點。(如圖所示).

方法二：以0為頂點構(gòu)造長方體，使這個長方體在點0處的三條棱分別在“軸、軸、z軸的正平軸上，且

棱長分別為3,4,5,如圖,

則長方體與頂點0相對的頂點即為所求點兒

題型02結(jié)合圖形確定點的坐標(已建系)

【典例2-1】(多選)(24-25高二上?福建三明?期末)如圖，在長方體用GR中，AB=5,

4)=4,M=3,分別以有向直線為X軸，y軸，Z的正方向，以1為單位長度，建立空間直

角坐標系，則下列說法正確的是()

A.點片的坐標為(4,5,3)

B.點G關(guān)于點8對稱的點為(5,8,-3)

C.點A關(guān)于直線對稱的點為(0,5,3)

D.點C關(guān)于平面4"與A對稱的點為(8,5,0)

【答案】ACD

【解析】由圖形及其已知可得，點用的坐標為(4,5,3)

點G(0.5,3)關(guān)于點8(4,5,0)對稱的點為(8,5,-3)

因為AR-AG-炳予-5,所以四邊形ABCQ為菱形，

所以點44,0,0)關(guān)于直線BD、對稱的點為￡(0,5,3)

點C(OSO)關(guān)于平面ABB.A.對稱的點為(8,5,0)

故選：ACD

【典例2-2］如圖，在長方體ABCD-AiBiC<Di中,AD=2,DC=4,DDi=3,以點D為原點，建立如圖所示的空間直

角坐標系D-xyz.

(1)求點BI,G,DI,A的坐標；

D

4/B

(2)若點E為線段CQi的中點，試求點E的坐標.[3產(chǎn)

【解析】⑴過點Bi向三個坐標平面yDz,xDz,xDy作垂線，分別交平面yDz,xDz,xDy于點CiA,B,故

|xi|=|BC|=2」yi|=|BiAi|=4,|zi|=|BBi|=3,由圖可知x、y、z均為正數(shù)，故點Bi的坐標是(2,4,3).同理求得

CI(0,4,3),DI(0,0,3),A(2AO).

(2)因為E是CiDi的中點C(0,4,3)D(0,0,3),所以由中點坐標公式得，點E的坐標為(等，詈，等)，即為

(0,2,3).

方法技巧

結(jié)合圖形確定點的坐標的技巧

確定點的坐標時，最常用的方法就是求出與軸平行或重合的線段的長度，即將坐標轉(zhuǎn)化為與軸平行或重合

的線段氏度.

【變式2-1](25-26高二上?廣西百色?階段練習)已知正方形ABCQ-A'B'CU的棱長為1,8'和QC相交

于點0,連接AO,如圖所示，以通為x軸，加為)'軸，瓦甲為z軸，建立空間直角坐標系，則點0的坐標

為()

【答案】A

【解析】由空間直角坐標系，且正方體棱長為1,可得b(l,l,l),D(O,l,O),

乂四邊形CD'DC為正方形，所以。為CO的中點，故

故選：A

【變式2-2】(24-25高二上?四川南充?期中)如圖所示，在空間直角坐標系中，BC=2,原點。是BC的中

點，點O在平面Oyz內(nèi)，＞ZBDC=90,NDCB=30,則點。的坐標為.

【答案】3,制.

【解析】連接。力.如下圖所示:

因為N8DC—90，NDCB-30，則NO8Z5—60，

因為0為8C的中點，則。。=；8。=。8,故AOB。為等邊三角形，

故NCOE>=120，ROC=^-BC=\,

2

故點Z）（0,cosl20,sinl20）,即點。0-1.

\/

題型03由圖形確定點的坐標（未建系）

【典例3】在三棱柱ABC-AiBiC,中，側(cè)棱AAi_L底面ABC,所有的棱長都是1,建立適當?shù)淖鴺讼担懗龈鼽c

的坐標.

【分析】建立空間直角坐標系，求出有關(guān)線段的長，再寫出各點的坐標.

【解析】如圖所示，取AC的中點0和AICI的中點Oi,連接BOQOi,可得BO_LAC,OOi_LAC,OOi_LBO,分別

以O(shè)B.OC.OOi所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系.

???三棱柱各棱長均為1,???OA=OC=OC產(chǎn)OiAW，OB=?,

???點A,B,C均在坐標軸上，

AA（O,-1,O）,B（^,O,O）,

c(o,1,o).

???點A,,C)在yOz平面內(nèi),???A|(O，T，1)C(()3，1).

??,點Bi在xOy平面內(nèi)的射影為點B,且BBi=l,

???BG，0,1),??.各點的坐標分別為A(0,《,0),B停0,0),C(0；,0),Ai(0，Tl)Bg,0,l)C(0q,l).

【技巧點撥】需注意的是，空間中點的坐標受到空間直角坐標系的制約，同一個點在不同的空間直角坐

標系中的坐標是不同的，故本題若建立其他的空間直角坐標系，則得到各點的坐標也會隨之改變.

方法技巧

確定空間中點的坐標的兩種方法

(I)垂面法:即找到點P在三條坐標軸上的投影.方法是過點P作三個平面分別垂直x軸、y軸、z軸于A,B,C

三點(A,B.C即為點P在三條坐標軸上的投影)，點A,B,C的坐標分別為(x,0,0),(0,y.0),(0.0,z),則(x,y,z)就是點P

的坐標.

(2)垂線法:先將P投射(沿與z軸平行的方向)到xOy平面上的一點Pi,由PiP的長度及與z軸正方向的異

同確定豎坐標z,再在xOy平面上用同平面直角坐標系中一樣的方法確定Pi的橫坐標X、縱坐標y,最后得出

點P的坐標(x,y,z).

【變式3-1](24-25高二下?全國?課前預習)建立適當?shù)目臻g直角坐標系，寫出底面邊長為2,高為3的正

三棱柱的各頂點的坐標.

【答案】答案見解析

【解析】以8c的中點0為原點，分別以有向直線OA,0B為x軸、軸的正方向，以1為單位長度，建立空

間直角坐標系，如圖所示.

由題意知，|叫=3從而可知各頂點的坐標分別為A(30,0),8(0J0),C(0-l,0),A(萬。目,

4(0,1,3),C,(o.-1.3).(答案不唯一)

【變式3?2】(2025高二?全國?專題練習)如圖，已知四棱錐P-ABCQ,是以A。為斜邊的等腰直

角三角形，BC//AD,CDLAD,PC=AD=2DC=2CB=2,E為PD的中點.試建立合適的空間直角坐

標系，并求出點E的坐標.

【答案】4）.

【解析】在四棱錐P-ABC。中，CQ1A。，

以點O為坐標原點，麗方向為“軸正方向，萬心方向為）'軸正方向,

由公外。是以A。為斜邊的等腰直角三角形，IAO|=|PC|=2,得|八4|=|〃。=&,

x=1

\PA^(x-2)2+y2+z2=2

1

則，|PO|2=Y+),2+Z2=2,而z>0,解得V=——

2

\PCf=x2+(y-\)2+z2=4

V3

z=----

2

即得點亭，因E為PD中點，則點E的坐標為（卜（,

題型04計算空間兩點間的距離

【典例4-1］（24-25高二上?安徽阜陽?階段練習）在空間直角坐標系。-口z中，點A（2,-4,-8）到平面Mb

的距離與其到平面的距離的比值等于（）

A.；B.；C.2D.4

【答案】C

【解析】因為點A（2.y—8）到平面工。的距離為|T=4,到平面yOz的距離為2，

4

所以它們的比值等于5=2.

故選：C.

【典例4-2]已知AABC的三個頂點A(1,5,2)3(2,3,4),C(3,U5).

(1)求aABC中最短邊的邊長；

(2)求AC邊上中線的長度.

【解析】(1)由空間兩點間的距離公式得

|AB|=J(1-2)2+(5-3)2+(2-旬2=3,

|BC|=J(2-3)2+(3-1)2+(4-5產(chǎn)二遍，

|AC|=J(l-3)2+(5-1)2+(2-5產(chǎn)二回，

AAABC中最短的邊是BC,其長度為論.

(2)由中點坐標公式得,AC的中點坐標為(2,3,(),

AAC邊上中線的長度為J(2-2)2+(3-3產(chǎn)+(4,)2三.

方法技巧

計算空間兩點間的距離

(1)若兩點坐標已知，則直接代入空間兩點間的距離公式求解.

(2)若點的坐標未知，則需利用平面圖形及空間圖形的性質(zhì)結(jié)合空間直角坐標系求出點的竺標，再代入

空間兩點間的距離公式.

【變式4-1](25-26高二上?湖北?階段練習)在空間直角坐標系。一中，點4(—L—2,3)關(guān)于原點0的對

稱點為M，點石(2,1.2)關(guān)丁人平面的對稱為點N,則線段MN的長為()

A.73B.MC.5D.3A/3

【答案】A

【詳解】點A(—1，-2,3)關(guān)于原點0的對稱點M(l,2,-3),點3(2,1,2)關(guān)于40)，平面的對稱點/丫(2,1,-2),

所以MN=y/(l-2)2+(2-l)2+(-3+2)2=6.

故選：A

【變式4-2](24-25高二下?甘肅定西?階段練習)如圖所示，在長方體中.

|人用=|5=3,|人，\|=2,點M在AG上，IMG|=2|八M,點N在QC上且為QC的中點，以A為坐標原

點，分別以AaAZXM所在的直線為X軸，y軸，Z軸，建立空間直角坐標系4-x)，z如圖.

⑴求G，Q的坐標；

⑵求線段MN的長度.

【答案】⑴。(3,3,2),"(0,3,2)

⑵與

【解析】(1)如圖，由題意可知C(3,3,O),"(O,3,O),

因|DR|=|CG|=|M|=2,則6(3,3,2),0(032).

(2)QN為8的中點,

是AG上的靠近點A的三等分點，

(3-l)2+(l-2)2=^I

由兩點間的距離公式，得|MN|

題型05利用距離公式確定點的坐標

【典例5-1](24-25高二上?廣東佛山?階段練習)已知點M在z軸上,且點M到點4(-1,0,2)與點

氏3,-1,1)的距離相等,則點M的坐標為()

A.(0,0.3)B.(0.0,-3)C.(3,0,0)D.(-3,0.0)

【答案】B

【解析】設(shè)例(。,。,，〃)，

由題意可得Jl+0+<〃_2『=J(O—3)2+(O+l)2+(m一I)?,解得心二一3,

所以點M的坐標為(。，。，―3),

故選：B

【典例5-2】已知點4。，1，0),B(—1,0,-1),C(2,1,1),若點P(x,0,z)滿足%_LA8,PALAC,試

求點。的坐標.

【分析】由%_LAB,以JLAC可得△必從△必C均為直角三角形，從而可利用勾股定理構(gòu)造關(guān)于x,z的方

程組求解.

【解析】_L48,???△弘8為直角三角形,

：.\PI3\2=\PA\2+\AB\2,即

(x+l)2+(z+l)2=f+l+z2+l+l+l,

即x+z=l,①

又：以_LAC,???△以C為直角三角形，

.,.|Pq2=|M|2+|/1q2,即(X-2)2+1+(Z-1)2=f+I+Z2+4+0+1,

即2x+z=0,②

X=-1>

由①@得r

[z=2,

，點戶的坐標為(-1,0,2).

方法技巧

利用空間兩點間的距離公式確定點的坐標

設(shè)出點的坐標，利用空間兩點間的距離公式構(gòu)造力程求解.此外，要注意點的坐標的巧設(shè)，如在x軸上的點

可設(shè)為（X。。）,在xOy平面上的點可設(shè)為（x,y,0）.

【變式5-1］（23-24高二下?福建漳州?階段練習）在）平面內(nèi)求一點。，使它與三個已知點A（3』,2）,

5（4.-2.-2）,C（0.5J）等距離.

【答案】（。/，一2）

【解析】根據(jù)題意可設(shè)點。坐標為（O,y,z）,

由空間兩點間距離公式可得：

M=7(3-O)2+(l-y)2+(2-z)2，

\BD\=^(4-0)2+(-2-y)2+(-2-z)2,

\CD\=7(o-o)2+(5-y)2+(i-z)2?

\^\=\CD\

根據(jù)題意可得:

.忸*|CD|

222222

7(3-O)+(l-y)+(2-z)=^(O-O)+(5-y)+(l-z)

即；i------------------------i---------------------

7(4-O)2+(-2-y)2+(-2-z)2=J(O-of+(5一y)2+(l-z)2

所以￡+7)，“

解得:｛工，

故點。坐標為(0,1,-2).

【變式5-2]在空間直角坐標系中，已知A(3,0,1)和B(1,0,-3),試問

(1)在y軸上是否存在點M,滿足|MA|=|MB|?

(2)在y軸上是否存在點M,使aMAB為等邊三角形？若存在，試求出點M坐標.

【分析】假設(shè)存在符合條件的點M,并設(shè)出點M的坐標，構(gòu)造相應(yīng)的方程，若方程有解，則點M存在，否則

點M不存在.

【輝析】(1)假設(shè)在y軸上存在點M,滿足|MA1=1MB

因M在y軸上，可設(shè)M(0,y,0),由|MA|=|MB|,

可得T2+y2+]2T]2+y2+32,

顯然，此式對任意y￡R恒成立.

這就是說y軸上所有點都滿足關(guān)系|MA|二MB|.

所以存在無數(shù)點M,滿足|MA|=|MB|.

(2)假設(shè)在y軸上存在點M,使aMAB為等邊三角形.

由(1)可知，y軸上任一點都有|MA|=|MB|,

所以只要MA|二|AB|就可以使得AMAB是等邊三角形.

因為MA'=7(3-0)2+(0-y)2+(1-0)2=710+y2

IAB|=7(1-3)2+(0-0)2+(-3-l)2=V20

10+y2=V20,解得尸

故y軸上存在點M使AMAB等邊，

M坐標為(0,V10,0),或(()，-Vio,0).

題型06利用距離公式判斷三角形的形狀

【典例6]已知三角形的三個頂點坐標分別為A(l,-2,-3),-1)0(00-5),試判斷該三角形的形狀.

【分析】可以先利用空間兩點間的距離公式求出三邊的長，再探究三邊長的關(guān)系，從而確定三角形的形狀.

【解析】|AB|=J(1+I)2+(-2+I)2+(-3+19=3,

|BC|=J(-l)2+(-1)2+(-1+5『=3匹

2

|AC|=JM+(_2)2+(.3+5)=A/9=3.

???IAB|=|AC|,且IABF+1AC|2=|BCF=18,

???△ABC是等腰直角三角形.

【技巧點撥】從邊長入手是判斷三角形形狀問題的突破口，而兩點間的距離公式恰恰是求三角形邊長的一

大“利器”.

方法技巧

根據(jù)兩點間的距離公式判斷三角形的形狀

利用空間兩點間的距離公式求出三邊長,若三邊長相等，則為等邊三角形;若兩邊的平方和等于第三邊的平

方，則為直角三角形;若只有兩條邊相等，則為等腰三角形.

【變式6-1](25-26高二上,遼寧?階段練習)已知&。，一1」)，"(2,2,3),C(4O,1),則這三點()

A.構(gòu)成直角三角形B.構(gòu)成等腰三角形C.構(gòu)成等腰直角三角形

D.不能構(gòu)成三角形

【答案】B

[詳解]因為|A8|=J(2_0)2+(2+lf+(3_l)2=舊，

\AC\=>/(4-0)2+(0+1)2+(1-1)2=V17,

18cl=J(4-2j+(0-2『+(1-3)2=,

所以|A6|=|AC|,\AB\+\AC\>\BC\f\AB\+\BC\>\AC\t

所以能構(gòu)成等腰三角形，

故選：B

【變式6-2](25-26高二上?河北?階段練習)設(shè)空間直角坐標系中：點人(1107),8(5,2.10)9(354),則VABC

是()

A.以人為直角頂點的等腰直角二角形

B.以8為直角頂點的等腰直角三角形

C.以C為直角頂點的等腰直角三角形

D.等邊三角形

【答案】B

【解析】因A(11,0,7),8(5,2,10),C(3,5,4),

則|AB|=7(5-11)2+(2-0)2+(10-7)2=436+4+9=7，

22：

\BC\=A/(3-5)+(5-2)+(4-10)=54+9+36=7,

\AC\=^(3-11)2+(5-0)2+(4-7)2=V64+25+9=7衣,

因為I+|3C|2=|AC『，且MB|=|BC|=7,

所以VABC是以"為直角頂點的等腰直角三角形.

故選:B.

題型07利用空間距離求軌跡

【典例7]求到兩點A(230),B(5,l,0)距離相等的點P的坐標滿足的條件.

【解析】設(shè)P(x,y,z),則|PA|=J(X-2)2+(y-3)2+z2,

|PB|=J(x-5)2+(y-1)2+z2.

???|PA|=|PB|,JJ(x-2)2+(y-3)2+z2=J(x-5)2+(y-1)2+z2.

化簡得6x-4y-13=0,

???點P的坐標滿足的條件為6x-4y-l3=0.

方法技巧

求空間中動點的軌跡方程的步驟

與平面內(nèi)點的軌跡方程求法和仿，求空間中動點的軌跡方程的步驟可歸納為：設(shè)點，找等量關(guān)系，根據(jù)

等量關(guān)系列方程，化簡方程即得所求.

【變式7-1](24-25高二上?河南南陽?階段練習)如圖，已知點戶在棱長為4的正方體。畫CR的

表面上運動，以0為原點，OB,OD,所在直線分別為1軸、)'軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐

標系.若點Q(x,yz)滿足尤2+)?+(z-4/=9,則點〃的軌跡長為()

A.3兀B.6兀C.--D.—

22

【答案】C

【詳解】由d+)P+(z-4)2=9可知，點P在以Q(0O4)為球心，3為半徑的球上,

因為點尸在正方體。。4GA的表面上，

所以點〃的軌跡長為3個半徑為3的四分之一的圓，

所以軌跡長為3x§@=

42

故選:C.

【變式7-2](20-21高三下.浙江.階段練習)已知三棱錐4-8CD的所有棱長均為2,E為BD的中點,空間

中的動點戶滿足B41PE，PC1AB,則動點尸的軌跡長度為（)

1\71VFLr

A.——DR.-a-cD.JLr

1682

【答案】C

【詳解】正四面體A-BCZ）放入正方體，則正方體的棱長為上,建立空間直角坐標系如圖所示,

E冬冬母,。（友,&,0）,8（0,0,&）,設(shè)尸（x.y,z）,

-x,^-yt42-z\,AP=(x,y,z),同=(&-x,垃-.

APPE=0

由于R41莊，PC1AB,所以

PCAB=0'

----xz)z=0

即《2“-小+

1&=0

x2~~^~x+y2--^-y+z1-2z=0

即?

y+z-\/2=0

2/

423

x-----+y-z----

即4914,

-72=0

（V2?表示球心為］叵顯叵‘半徑為H=4的球.

+廣彳4'4'2

），+z-應(yīng)=0表示垂直于Mz平面的一個平面.

所以尸的軌跡是上述平面截球面所得圓.

球心到平面），+Z-右=。的距離為d=

4'4'2VPTl74

所以截得的圓的半徑r=JRJ姮

4

所以截得的圓，也即P點的凱跡的長度為2兀，=2兀乂叵=叵花.

42

故選:C

題型08空間距離的最值問題

【典例8】已知正方形ABCD,正方形ABEF的邊長都為1,且平面ABCI)與平面ABEF互相垂直，點M在AC上移

動，點N在BF上移動,若|CM|=|BN|=a(0<a<V2).

⑴求MN的長；

(2)a為何值時,UN的長最短？

【分析】本題可建立空間直角坐標系,利用坐標系求解.

【解析】(1)因為平面八1優(yōu)1)_1_平面ABEF,平面ABCDA平面ABEF=AB,AB1BE,

所以BE_L平面ABC,所以AB,BC,BE兩兩垂直.

以B為原點,BA,BE,BC所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.則M(?a,0,1-

所以|MN|=J俘a-￥a）+（04a）+（1-等-0）

=Va2-V2a4-

(2)因為|MN|=J(a^)+1,所以當a4時，IMN|…吟

【技巧點撥】合理地建立空間直角坐標系是解決問題的關(guān)鍵，而研究某量的最值問題通常將這個量表示為某

一個已知量的函數(shù),通過函數(shù)的最值來判斷.

【變式8-1】已知4。,5—x,2x—I),B(l,x+2,2—x),求取最小值時4、B兩點的坐標，并求此時的|AB|.

【解析】由空間兩點間的距離公式得

|AB|=J(l-x)2+[(x+2)-(5-x)]2+[(2-x)-(2x-l)]2

-V14x2-32x+19

IP）"

當x押,|AB|取得最小值,為木苧.

此時A（?7'?）,B（L7>7）

【變式8-2］（2024高二上?全國?專題練習）如圖，在棱長為1的正方體與CQ中，以正方體的三

一1---

條棱所在直線為軸建立空間直角坐標系。-冷2,=.在線段G。上找一點M，使得點M到點尸的

距離最小，并求出點M的坐標.

【答案】（0,1,1}

【解析】在棱長為1的正方體相8-4心62中,

因為麗=g甌，又4（1,1,0）,9（0,0,1）,

設(shè)P（x,y,z）.

I221

則=解得x=5，y=,,z=§,

所以點戶的坐標為

\JJD）

由D(o,o,o)，G(o」，i)得可=(0,“)，

設(shè)線段CQ上一點M的坐標為（0,叫〃?），

則有|MP|二=\J2m2-2m+\=

當陽=；時，|MP|最小，所以點”的坐標為（0《,￡|.

強化訓練

1.（25-26高二上?福建福州?階段練習）點43,-2,4）關(guān)于點（0,1,-3）的對稱點的坐標是（)

A.(T-。)B.(T2T)C.已f3方1R1D.(6f“)

【答案】A

【詳解】點A(3,-2.4)關(guān)于點(0.1,-3)的對稱點的坐標是(0x2-3,lx2-(-2),(—3)x2-4),即(-3,4,70).

故選：A

2.(24-25高二下?全國?課后作業(yè))已知空間中兩點A(xJ2),4(2,3,4),且|四=26,則實數(shù)x的值是

()

A.-6B.-2或6C.-4D.-4或2

【答案】B

【詳解】因為4工1,2),6(2,3,4),所以|AB卜-2『+(1-3尸+(2-44=2網(wǎng),

所以.*-4..12=0，解得-2或6.

故選:B

3.已知空間中有兩個動點八(l-x，2-x,x),8(3,4-x,x).則|AG|的最小值為()

A.2B.4C.3D.6

【答案】A

【分析】首先表示出麗，再由向量模的坐標表示計算可得.

【解析】因為A。-x,2-x,x),B(3,4-x,x),

所以所以|A8|=J(2+X)2+4N2,當且僅當1=-2時取等號.

故選:A

4.(23-24高二上?北京西城?階段練習)在空間直角坐標系中，A(L-2,-3),?(-1,-1,-1),C(0,0,-5),則

VABC是()

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.形狀不確定

【答案】B

【詳解】由?(-1,-1-1),C(0,0,-5),

可得|人四二7(111)2?(2I1)2+(3?1)2=3,|八C|=J(10『I(2Op+(3I5)2=3,

\CB\=7(-l-O)2+(-l-O)2+(-l+5)2=3上，

故|ABf+|4q2TBep,1ABl=忸4,

因此VABC是等腰直角三角形，

故選：B

5.(23-24高二上?北京?期中)在空間直角坐標系。-q2中，若有且只有一個平面叫使點A(2,2,2)到a的

距離為1，且點用〃7，。，0）到a的距離為4,則，〃的值為（）

A.2B.1或3

c.0或4D.2-Vi7或2+g

【答案】B

【詳解】由題意可知，滿足題意時，以點A為球心，半徑為I的球面與以點B為球心，半徑為4的球內(nèi)切，

所以，球心距等于兩球半徑之差的絕對值，

即、+2、2,=4-1=3,解得/〃二]或3.

故選:B.

6.（23?24高三下?山西?階段練習）在棱長為4的正方體488-人4G2中，E是CD的中點，尸是CG上

的動點，則三棱錐A-0印外接球半徑的最小值為（）

A.3B.2百C.V13D.V15

【答案】C

【詳解】連接AE，取AE的中點G,可知G為VAZ）E的外心，

過G作平面4BCD的垂線，可知三棱錐A-QEF外接球的球心0在該垂線上，

設(shè)GO=〃,CF=mG（0.4],

以。為坐標原點，■分別為X,），,Z軸，建立空間直角坐標系，

則D（0,0,0）M（4,0,0）,F（0,2,0）,G（2,l,0）,0（2,l,n）,F（0,4,m）,

因為。0二0?，即3+1+〃2=14+9+（〃2-〃）2,

整理得〃=：+&N2、叵工=2&,當且僅當中=±即〃=2應(yīng)時，等號成立，

2rnV2rn2m

所以三棱錐A-0EF外接球半徑的最小值為=Vi3.

故選：c.

7.（24-25高二上?福建廈門?階段練習）如圖，在長方體ABCD-ABCA中，AB=AD=3,M=H記

M為棱BC的中點，若空間中動點〃滿足NAPQ=NCPM,則點尸的軌跡與側(cè)面CGQ。相交所形成的曲線長

為（）

D-

3

【答案】D

【詳解】因為點〃的軌跡與側(cè)面C