專題01三角形（期中復習講義）

.明?期中考情.

核心考點復習目標考情規(guī)律

三角形的基本性掌握三角形中三邊關(guān)系、邊角關(guān)系以及三基礎(chǔ)必考點，常出現(xiàn)在選擇題和填空題

質(zhì)角形中特殊的線段并能解決相關(guān)問題

全等三角形的判熟練運用全等三角形的判定方法，解決證高頻易錯點，容易忽視對應(yīng)邊、對應(yīng)角的匹

定與性質(zhì)明與計算問題配條件

角平分線與垂直理解角平分線和垂直平分線的性質(zhì)與判蹤合題常見考點，常與全等三角形結(jié)合考查

平分線定，并能應(yīng)用于實際問題

等腰三角形的性掌握等腰三角形（等邊三角形）的性質(zhì)與常作為綜合題的背景，易忽略分類討論

質(zhì)與判定判定方法，解決相關(guān)問題

■記?必備知識.

知識點01三角形的基本性質(zhì)

（1）三邊關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。

（2）邊角關(guān)系：在同一個三角形中，較大的邊所對的角也比較大，較大的角所對的邊也比較大。

?示例：（1）已知三條線段長度分別為3cm、4cm、5cm,判斷能否組成三角形。

（2）在AABC中，AB=5cm,BC=6cm,AC=7cm,請比較三角形三個內(nèi)角的大小。

?易錯點：（1）忽略三邊關(guān)系的“任意''二字，只檢查兩邊之和大于第三邊，未考慮兩邊之差小于第三邊。

（2）應(yīng)用邊角關(guān)系時，未確保比較的邊和角在同一個三角形中。

知識點02全等三角形的性質(zhì)與判定

性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)用相等。

判定：SAS、ASA、AAS.SSS、HL（僅適用于直角三角形）。

?示例：1.如圖，已知AABC各內(nèi)角的度數(shù)和各邊的長度.卜面是同學們用不同的方法畫出的三角形，并將

所畫三角形的三個元素標出、則所畫三角形不一定與A/IBC全等的是（)

A

2.如圖，點8、?、C、E在同一直線上，BF=CE,OF=OC,在△ABC和△￡）￡?中,還需再添加一個條件

才能便△A8C0△￡）￡：凡則不能添加的條件是（）

A.AO=DOB.AB=DEC.ZB=ZED.ZA=ZD

3.下列說法正確的是（）

A.面積相等的兩個直角三角形全等

B.周長相等的兩個直角三角形全等

C.斜邊相等的兩個直角三角形全等

D.有一個銳角和斜邊上的高對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等

?易借點：

在證明全等時，忽略對應(yīng)邊、對應(yīng)角的順序，導致判定錯誤。

知識點03角平分線與垂直平分線的性質(zhì)與判定

角平分線性質(zhì)定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等。

角平分線判定定理：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上。

垂直平分線性質(zhì)定理：垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等。

垂直平分線判定定理：到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上。

?易諾點：混淆角平分線與垂直平分線的性質(zhì)與判定，錯誤應(yīng)用定埋。

?示例：1.如圖，在AABC中，4。平分NB4C,4D的垂直平分線交于點八交8c的延長線于點￡,下

列結(jié)論：①/H）E=90。；?DF//AC,③N8=/C4E；④NEAD=NEDA,其中正確的有（）

BDCE

A.?@??B.①②③C.①②④D.②③④

2.如圖，在△A8C中，ZC=90°,AB=\Ocm,BC=6cm,若點〃從點A出發(fā)，以每秒lc〃?的速度沿折線

A-CTB-A運動，設(shè)運動時間為t（/>0）秒.若點P恰好運動到AB的垂直平分線上時，，的值

為_______________________.

4

3.如圖，在中，AB,AC邊的垂直平分線分別交4c于點。，E,垂足分別是M,N.若BC=10,則

AA。石的周長為.

A

）知識點04等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)與判定

等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩底角相等（“等邊對等角“）；等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平

分線重合（“三線合一”），

等腰三角形的判定：有兩個角相等的三角形是等腰三角形（”等角對等邊。

等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的內(nèi)角都等于60。

等邊三角形的判定：三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角是60。的等腰三角形是等之三角形.

?示例：1.如圖，在△ABC中，AB=ACt點。、E、廠分別在AB、BC、AC邊上，KBE=CFfBD=CE.

（I）求證：AOE尸是等腰三角形；

（2）當NA=40。時，求/QE尸的度數(shù).

.4

2.如圖，AASC為等邊三角形，BO平分NA8C交AC于點。，。后〃8C交A8于點E.求證：AE=^AB.

?易緒點：在應(yīng)用“三線合一''時，忽略其前提是等腰三角形；在判定等腰三角形時，忽略等角對等邊的條件。

?破?重難題型.

「題型一全等三角形的判定與證明

解I題I技I巧

1.分解圖形，找準三角形

2.利用變換，找到對應(yīng)關(guān)系

3.分析已知條件，證明缺失條件

4.選擇合適的判定方法進行證明

易|錯|點|撥

忽略HL定理僅適用于直角三角形的條件

【典例I]

如圖，在A4BC和△￡￡>/中，ZC=ZF=90°,AC=EF,A、D、B、E四點在同一直線上，AC.EF交于點、

0.請從①BE=A。；②NA=/E；③3C=O/中選擇一個選項作為已知條件，使得

你添加的條件是：（只填寫一個序號），并寫出證明過程.

【變式1】如圖，在四邊形A8CQ中，已知AB〃C。，連接3D,AE_LA8交8Q于點E,CF_LCD交B。于

點F,DE=BF,求證：&ABEQ4CDF.

【變式2】如圖，在"BE與ACBZ）中，AEJ_8。于點E,CDLBD于點、D,AB=BC,BE=CD.求證：Rl"BE

^RtABCZ).

0題型二角平分線與垂直平分線的性質(zhì)與判定的應(yīng)用

解I題I技I巧

1.識別角平分線或垂直平分線。

2.應(yīng)用性質(zhì)定理，得出距離相等或線段相等。

3.垢合全等三角形進行證明或計算。

4.若需判定角平分線或垂直平分線，需驗證點到角兩邊或線段兩端的距離相等。

【典例I】如圖，在中，BC=9cm,AC=\2cm,CO是NAC8的平分線，力—于點E,DE=

則△A6C的面積為an2.

BC

【典例2】已知△ABC中，BE平分N4BC,BE交AC于點E,CD平分NAC3,交A8于點。，BE與CD交

于點O.求證：480c=90°+*N84C；

【變式1】已知△ABC中，BE平分乙4BC交AC于點E,CD平分/AC8交4B于點D,BE與CD交于點O,

連接OA.求證：OA平分N朋C.

【變式2】如圖，在AWC中，邊AB,8c的垂直平分線PQ,P￡相交于點P.

（1）求證：PA=PB=PC；

（2）請判斷點夕是否也在邊AC的垂直平分線上？并說明理由；

（3）由（1）（2）你能得出什么結(jié)論？（寫一條即可）

「題型三等腰三角形（等邊三角形）的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用

解|題|技|巧

1.識別等腰三角形，應(yīng)用等邊對等角或等角對等邊。

2.用“三線合一”簡化證明過程。

3.垢合全等三角形進行證明或計算。

易|錯|點|撥

在未明確腰和底的情況下，需分類討論。

【典例1】等腰三角形的周長為13cm,其中一邊長為5cm,則該等腰三角形的底邊長為（）

A.3cmB.5c7〃C.3c7〃或5c〃？D.4c7〃或5c〃？

【典例2】如圖，A48C中，AB=AC,8。平分NA8C交4c于點D,且8D=8C.求NA的度數(shù).

A

【變式1】如圖，△用臺。中，AB=AC,3￡>平分NA3c交AC于點。，且6￡>=5C,點E為線段A6的中點,

連接。E,判斷直線。￡與A4的位置關(guān)系，并說明理由.

.過?分層驗收.

期中基礎(chǔ)通關(guān)練（測試時間：10分鐘）

1.若等腰三角形的兩邊長分別為2和5,則它的周長為（）

A.9B.7C.12D.9或12

2.如圖，AB//CD,BP和CP分別平分NA8C和NOCB,A。過點P,且與AB垂直.若AO=8,則點P到

BC的距離是.

3.如圖，已知點A、D、B、尸在一條直線上，AC=EF,BC=DE,要使aABCg△尸DE,還需添加一個條件,

這個條件可以是.

AC

D,

4.已知：如圖，EDA.AB,FCA.AB,垂足分別為。、C,AE//BF,且AE=8戶.求證：AC=BD.

5.如圖，在RSA8C中，ZC=90\邊A8的垂直平分線交A8和AC于點。，E,并且BE平分NABC.

(1)求NA的度數(shù)；

(2)若CB=l,求A8的長.

6.用直尺和圓規(guī)做一個三角形，使它和已知三角形全等(要求用兩種方法作圖，保留作圖痕跡，不必寫做

法).

7.如圖，A/WC中，NACB=90。，Z4=30°,。石垂直平分線段AC.

(I)求證：△〃(?￡：是等邊三角形.

(2)若BC=3,求OE的長.

CDA

期中重難突破練(測試時間：10分鐘)

1.如圖，在△ABC中，"=AC,NA=40。，以點4為圓心，以4C的長為半徑畫弧，交AC干點。，連接

BD,則/人8。=()

A.20°B.30°C.40°D.70°

2.如圖.在RSA8C中，NAC8=90。，CD上AB于點、D,E是斜邊A3的中點，若NACD=5NBCD,則/

ECD=.

3.如圖，在四邊形4BCZ）中，4O〃BC,BC=BD,點E在BD上,ZA=ZBEC=90°.求證：2ABD/4ECB.

4.如圖，在中，AD_LS。，垂直平分AC,交AC丁點R交6C丁點E,且BD=DE,連接AE.

(1)求證：AB=EC：

(2)若△ABC的周長為42?！?，AC=I6em,求QC的長.

A

(I)加圖2,將儀器放置在△ABC匕使點。與頂點人重合，D,E分別在動人8,AC匕沿AF畫一

條射線AP，交BC于點P.A尸是N84C的平分線嗎？請判斷并說明理由；

(2)如圖3,在(1)的條件下，過點P作PQJ_4B于點Q,若PQ=4,AC=6,求△APC的面積.

6.如圖，在RtAAAC中，NACA=90。，N8=30。，￡＞笈是AA的垂直平分線，交44、笈。于點。、E連接

CD.AE.求證：

(I)AAQC是等邊三角形；

(2)點E在線段。。的垂直平分線上.

期中綜合拓展練(測試時間：15分鐘)

1.如圖，已知NMON=30。，點①、4、A?…在射線ON上，點41、電、小…在射線OM上，△A/iA?、

△A282A3、△A3B3A4、…均為等邊三角形,若。41=2,則A47歷一的邊長為（)

A.32B.64C.128D.256

2.如圖，點A、B、C、。在同一條直線上，點、E、產(chǎn)分別在直線/W的兩側(cè)，且AE=BF,AE//BF,ZAEC

=ZBFD.

（1）求證：AC=DB；

（2）求證：AAOE四△8CE

3.如圖1,AB=\0cm,ACLAB,BDA.AB,垂足分別為A、B,AC=706點尸在線段AB上以3c〃?/s的速

度由點4向點4運動，同時點。從點區(qū)出發(fā)在射線〃。上運動，它們運動的時間為/（$）（當點。運動

結(jié)束時，點Q運動隨之結(jié)束）.

I）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當t=\時，△ACP與ABPQ是否全等？此時線段PC和

線段PQ有怎樣的位置關(guān)系？請分別說明理由；

（2）如圖2,若“AC_LA8,8。，4中改為“/。43=/。04"，點。的運動速度為45?/$,其他條件不變，

當aACP與aBP。全等時，求巴相應(yīng)的x