專題11數(shù)列（選填題）14種常見考法歸類知識五年考情（20212025）命題趨勢知識1等差數(shù)列（5年5考）考點01等差數(shù)列定義的判斷2023·新課標(biāo)Ⅰ卷1.數(shù)列選填題的命題呈現(xiàn)出注重基礎(chǔ)、強調(diào)綜合等趨勢，具體如下：基礎(chǔ)考查為主：等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量計算是重點考查內(nèi)容。這類題目主要考查學(xué)生對數(shù)列通項公式、前n項和公式等基礎(chǔ)知識的掌握程度。2.性質(zhì)應(yīng)用?？迹簲?shù)列的性質(zhì)也是命題熱點之一，等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)均有涉及，通過對性質(zhì)的考查，檢驗學(xué)生對數(shù)列特征的理解和靈活運用能力。3.綜合程度提高：數(shù)列與其他知識的綜合考查逐漸增多，這種命題方式要求學(xué)生具備較強的知識整合能力，能夠?qū)?shù)列知識與函數(shù)、不等式等其他知識相結(jié)合，解決綜合性問題?？键c02等差數(shù)列基本量的計算2021·上海考點03等差數(shù)列前n項和基本量的計算2025·全國二卷2025·上海2024·新課標(biāo)Ⅱ卷2023·全國甲卷2022·上海2022·全國乙卷考點04等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用2024·全國甲卷2021·北京知識2等比數(shù)列（5年4考）考點05等比數(shù)列基本量的計算2023·全國乙卷考點06等比數(shù)列前n項和基本量的計算2025·全國一卷2025·全國二卷2023·全國甲卷2023·上海2022·全國乙卷考點07等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)2023·新課標(biāo)Ⅱ卷2021·全國甲卷考點08等差、等比數(shù)列的綜合2025·北京2023·北京知識3數(shù)列性質(zhì)、通項與求和（5年4考）考點09數(shù)列的性質(zhì)2023·北京2022·全國乙卷2022·北京2021·全國甲卷考點10由遞推公式求數(shù)列通項2025·天津2023·天津2022·北京2022·浙江考點11數(shù)列求和2021·新高考全國Ⅰ卷2021·北京2021·浙江知識4數(shù)列綜合應(yīng)用（5年5考）考點12數(shù)列與其他知識的綜合2025·上海2024·上海2024·全國甲卷2024·北京2023·全國乙卷2022·新高考全國Ⅱ卷2021·浙江考點13數(shù)列的極限2021·上?？键c14數(shù)列新定義2024·北京2021·新高考全國Ⅱ卷考點01等差數(shù)列定義的判斷A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】C【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結(jié)合數(shù)列前n項和與第n項的關(guān)系推理判斷作答.，【詳解】方法1，甲：為等差數(shù)列，設(shè)其首項為，公差為，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件，C正確.因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件.故選：C考點02等差數(shù)列基本量的計算【答案】【分析】直接代入等差數(shù)列的通項公式可得答案.故答案為：.考點03等差數(shù)列前n項和基本量的計算【答案】98其余各項均不相等，故答案為：98．A． B． C． D．【答案】B【分析】由等差數(shù)列前n項和公式結(jié)合題意列出關(guān)于首項和公差d的方程求出首項和公差d，再由等差數(shù)列前n項和公式即可計算求解.故選：B.A．25 B．22 C．20 D．15【答案】C【分析】方法一：根據(jù)題意直接求出等差數(shù)列的公差和首項，再根據(jù)前項和公式即可解出；方法二：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出等差數(shù)列的公差，再根據(jù)前項和公式的性質(zhì)即可解出．【詳解】方法一：設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項為，依題意可得，故選：C.故選：C.【答案】【分析】直接根據(jù)等差數(shù)列求和公式求解.故答案為：【答案】95故答案為：.【答案】2故答案為：2.考點04等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用A． B． C．1 D．【答案】D【分析】可以根據(jù)等差數(shù)列的基本量，即將題目條件全轉(zhuǎn)化成和來處理，亦可用等差數(shù)列的性質(zhì)進行處理，或者特殊值法處理.【詳解】方法一：利用等差數(shù)列的基本量故選：D方法二：利用等差數(shù)列的性質(zhì)故選：D方法三：特殊值法故選：DA． B． C． D．【答案】B故選：B.A．64 B．96 C．128 D．160【答案】C故選：C.考點05等比數(shù)列基本量的計算【答案】故答案為：.考點06等比數(shù)列前n項和基本量的計算A． B． C．15 D．40【答案】C【分析】根據(jù)題意列出關(guān)于的方程,計算出,即可求出.故選:C.A．14 B．12 C．6 D．3【答案】D故選：D.15．（2025·全國一卷·高考真題）若一個等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且前4項和為4，前8項和為68，則該等比數(shù)列的公比為.【答案】【分析】法一：利用等比數(shù)列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比數(shù)列的通項公式與前項和的定義，得到關(guān)于的方程，解之即可得解；法三：利用等比數(shù)列的前項和性質(zhì)得到關(guān)于的方程，解之即可得解.所以該等比數(shù)列公比為2.故答案為：.所以該等比數(shù)列公比為2.故答案為：2.所以該等比數(shù)列公比為.故答案為：.【答案】189【分析】由等比數(shù)列前項和公式求解，故答案為：189.【答案】故答案為：【答案】AD【分析】對A，根據(jù)等比數(shù)列通項公式和前項和公式得到方程組，解出，再利用其通項公式和前項和公式一一計算分析即可.故選：AD.考點07等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A故選：A.【答案】C方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)求解．【詳解】方法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項為，故選：C．方法二：設(shè)等比數(shù)列的公比為，故選：C．考點08等差、等比數(shù)列的綜合A． B． C．16 D．18【答案】C【分析】由等比中項的性質(zhì)結(jié)合等差數(shù)列的基本量運算即可求解.故選：C.【答案】48384故答案為：48；384.考點09數(shù)列的性質(zhì)【答案】B【分析】法1：利用數(shù)列歸納法可判斷ACD正誤，利用遞推可判斷數(shù)列的性質(zhì)，故可判斷B的正誤.故A不成立.故選：B.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是根據(jù)首項給出與通項性質(zhì)相關(guān)的相應(yīng)的命題，再根據(jù)所得命題結(jié)合放縮法得到通項所滿足的不等式關(guān)系，從而可判斷數(shù)列的上界或下界是否成立.【答案】D【詳解】[方法一]:常規(guī)解法[方法二]：特值法A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C故選：C.A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】B但是不是遞增數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件．故選：B．【點睛】在不成立的情況下，我們可以通過舉反例說明，但是在成立的情況下，我們必須要給予其證明過程．考點10由遞推公式求數(shù)列通項A．112 B．48 C．80 D．64【答案】C故選：CA．16 B．32 C．54 D．162【答案】C【分析】由題意確定該數(shù)列為等比數(shù)列，即可求得的值.所以數(shù)列是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，故選：C.①的第2項小于3；

②為等比數(shù)列；③為遞減數(shù)列；

④中存在小于的項．其中所有正確結(jié)論的序號是．【答案】①③④故數(shù)列不是等比數(shù)列，②錯；故答案為：①③④.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題在推斷②④的正誤時，利用正面推理較為復(fù)雜時，可采用反證法來進行推導(dǎo).【答案】B故選：B．【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用遞推關(guān)系進行合理變形放縮.

考點11數(shù)列求和【分析】（1）按對折列舉即可；（2）根據(jù)規(guī)律可得，再根據(jù)錯位相減法得結(jié)果.兩式作差得：【點睛】方法點睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】使數(shù)列首項、遞增幅度均最小，結(jié)合等差數(shù)列的通項及求和公式求得可能的最大值，然后構(gòu)造數(shù)列滿足條件，即得到的最大值．【詳解】若要使n盡可能的大，則，遞增幅度要盡可能小，不妨設(shè)數(shù)列是首項為3，公差為1的等差數(shù)列，其前n項和為，則，，對于，，所以n的最大值為11．故選：C．【答案】A由裂項求和法得：故選：A．考點12數(shù)列與其他知識的綜合A．4個 B．3個 C．1個 D．無數(shù)個【答案】B要使、、的值均能構(gòu)成三角形，要使、、的值均能構(gòu)成三角形，綜上可知，正整數(shù)的個數(shù)有個.故選：B.A．1 B．2 C．4 D．【答案】C【分析】結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)將代換，求出直線恒過的定點，采用數(shù)形結(jié)合法即可求解.故選：CA．－1 B． C．0 D．【答案】B【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項公式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個元素分析、推理作答.故選：BA．直線和圓 B．直線和橢圓 C．直線和雙曲線 D．直線和拋物線【答案】C【分析】首先利用等比數(shù)列得到等式，然后對所得的等式進行恒等變形即可確定其軌跡方程.對其進行整理變形：故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查軌跡方程，關(guān)鍵之處在于由題意對所得的等式進行恒等變形，提現(xiàn)了核心素養(yǎng)中的邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，屬于中等題.A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】D故選：D【點睛】思路點睛：與等比數(shù)列性質(zhì)有關(guān)的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立為轉(zhuǎn)為關(guān)于與公比有關(guān)的不等式恒成立，必要時可利用參變分離來處理.【答案】2357.5/【分析】根據(jù)體積為公比為10的等比數(shù)列可得關(guān)于高度的方程組，求出其解后可得前兩個圓柱的高度.考點13數(shù)列的極限考點14數(shù)列新定義【答案】ACD故選：ACD.①若與均為等差數(shù)列，則M中最多有1個元素；②若與均為等比數(shù)列，則M中最多有2個元素；③若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則M中最多有3個元素；④若為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，則M中最多有1個元素.其中正確結(jié)論的序號是.【答案】①③④【分析】利用兩類數(shù)列的散點圖的特征可