期中壓軸真題（11大題型77道）

真題實(shí)戰(zhàn)?百填通關(guān)

選填小壓軸j題型六特殊四邊形與相似三角形綜合題

題型一多結(jié)論問題1題型七綜合實(shí)踐探究題

題型二最值問題i題型八四邊形與相似三角形旋轉(zhuǎn)綜合題

題型三多解問題;題型九四邊形與與相似三角形翻折綜合題

解答壓軸：題型十四邊形與與相似三角形動(dòng)點(diǎn)綜合題

題型四特殊四邊形綜合題:題型十一坐標(biāo)系中的代數(shù)幾何綜合題

題型五相似三角形綜合題

題型一多結(jié)論問題（共10小題）

1.（24-25九年級(jí)上?北京?期中）如圖，已知正方形力88的中心為O.將正方形力8C。繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)60。得到正方形HB'CZ）',兩個(gè)正方形的公共點(diǎn)為G,H,I,J,K,L,M,N.對(duì)人邊形GHIJKLMN

給出下面四個(gè)結(jié)論:

①該八邊形各邊長(zhǎng)都相等；

②該八邊形各內(nèi)角都相等；

③點(diǎn)O到該八邊形各頂點(diǎn)的距離都相等；

④點(diǎn)。到該八邊形各邊的距離都相等.

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

5

C

C

C.②④D.①②③④

2.（24?25九年級(jí)上?甘肅蘭州?期中）已知：如圖，在正方形月6c。外取一點(diǎn)￡,連接4￡、BE、DE,過

點(diǎn)A作力上的垂線交OE于點(diǎn)P,若力￡=月。=3五,尸8=10.下列結(jié)論：①△彳。。三△/￡5；②

4EB=135。；③E6=8：④加加+=33；⑤CO=11.其中正確的個(gè)數(shù)是（）

3.（24-25九年級(jí)上?廣東佛山?期中）如圖，在正方形48co中.。是對(duì)角線力。與8。的交點(diǎn)，M是BC

邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M不與B,。重合），過點(diǎn)。作CN垂直?！苯涣?于點(diǎn)N,連結(jié)?！?、ON、MN.下

列四個(gè)結(jié)論：①M(fèi)C=NB；②0M=0N；③S四邊形。網(wǎng)二卜勵(lì).行88；?AN1+CM1.其中結(jié)論

正確的有（）

DC

ANB

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

4.（24-25九年級(jí)上?寧夏銀川期中）如圖，點(diǎn)尸是正方形力的對(duì)角線80上一點(diǎn)，PEd.BC于點(diǎn)、E,

PF±CD于點(diǎn)凡連接EF給出下列四個(gè)結(jié)論:①4P=；②NPFE=NB”；③AP工EF；④PD=收EC;

其中正確的是（）

A.①②③B.①④C.①②④D.①②③④

5.（24-25九年級(jí)上?江西九江?期中）如圖，在正方形45CO外取一點(diǎn)E,連接。E,AE,CE,過點(diǎn)。

作。E的垂線交力E于點(diǎn)?，DE=DP=2,PC=2幾.下列結(jié)論：①△/PQg^CE。；②點(diǎn)C到直線QE

的距離為20;?CELAE；④S正方形襁皿=5+2近，其中正確結(jié)論的序號(hào)為（）

B.②③④C.①③④D.①②③④

6.（24-25九年級(jí)上?山西晉中?期中）如圖，已知四邊形為8CQ為正方形，AB=2g，E為對(duì)角線4C上

一點(diǎn)，連接。￡,過點(diǎn)E作EE1QE,交4c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，以b為鄰邊作矩形OE/G,連接

CG.下列結(jié)論：①矩形OEFG是正方形：@CE=CF；③CG平分NOCF；?CG=AE,其中結(jié)論正確

的字號(hào)有（）

A.①③④B.①②④C.①②③D.①②③④

7.（24-25九年級(jí)上?陜西西安?期中）如圖，在正方形/也CO中，邊長(zhǎng)為2的等邊△力七廠的頂點(diǎn)E、/分

別在8c和8上，下列結(jié)論：①CE=CF；②NAEB=75°；③EF=4BE；④，印=1;

⑤S/w=；-其中正確的個(gè)數(shù)為（）

8.（24-25九年級(jí)上?河北衡水?期中）如圖，在正方形49C。中，是等邊三角形，8P、。的延長(zhǎng)

線分別交力。于點(diǎn)￡、F,連接SD、DRBD與CF相交于點(diǎn)H.給出下列結(jié)論：①C"=2/E；②

△DFPS^BPH；@DF=DH；?DH2=PHPB.其中正確的是.

9.（24-25九年級(jí)上?山東青島?期中）如圖，在正方形/出中，△4PC是等邊三角形，8P、CP的延長(zhǎng)

線分別交力。于點(diǎn)從F,連接8DDP,8。與W相交于點(diǎn)從給出下列結(jié)論：①AE=；FC,（2）

NPDE=T5。,③獸也=；,④沁^=6,⑤DE—PFFC,其中正確的為.

10.（24-25九年級(jí)上吶蒙占呼和浩特?期中）如圖，把矩形"8C。繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到矩形廠ECG,

且點(diǎn)E落在力。上，連接BE,BG,BG交CE于卓、H,連接若FH平分/EFG,有下列結(jié)論：①

AE+CH=EH：②NDEC=2NABE：③BH=GH：?CH=1AB.其中正確的有.

題型二最值問題（共14小題）

11.（24-25九年級(jí)上?廣東深圳?期中）如圖，在正方形［8CZ）中，E是對(duì)角線力。上的動(dòng)點(diǎn)，以DE為邊

作正方形QMG,A/是8的中點(diǎn)，連接G",若正方形力8C。的邊長(zhǎng)為8,則GM的最小值為（）

A.2B.26C.2y/2D.4

12.（24-25九年級(jí)上?四川成都?期中）在平面直角坐標(biāo)系中，彳（1，0）,網(wǎng)0,@,過點(diǎn)8作宣線8C〃x

軸，點(diǎn)P是宜線8C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以《尸為邊在/P右側(cè)作處小尸。，使4PQ=90。，且力P:/Q=l:2,

連結(jié)45、"Q,則△力“。周長(zhǎng)的最小值為

13.（24-25九年級(jí)上?四川成都?期中）若點(diǎn)A。是矩形的兩個(gè)對(duì)角頂點(diǎn)，且矩形相鄰兩邊的比值為1:3,

我們稱尸、?；椤熬匦蔚挠押命c(diǎn)”，這個(gè)矩形被稱為關(guān)于P、。的“友好矩形如圖，點(diǎn)/坐標(biāo)為（18），

點(diǎn)C在直線T=2x+4上，矩形/出8是關(guān)于點(diǎn)/、。的“友好矩形”（力B=頂點(diǎn)從。到直線y=2x+4

+9"的最小值為

14.（24-25九年級(jí)上?四川成都?期中）如圖，在放△/8C中，ZACB=90°,。是斜邊上一點(diǎn)，且

爪*2,連接8.E為CD中點(diǎn),連接火以“為腰作等腰直角三角形成尸’且4勿=9。°.

15.（24-25九年級(jí)上?四川成都?期中）如圖，正方形力8CQ的邊長(zhǎng)為4,ABEF是等邊三角形,點(diǎn)尸在邊

8c的上方，點(diǎn)E在射線8c上運(yùn)動(dòng).連接b,取W的中點(diǎn)M,則線段的長(zhǎng)度的最小值為

16.（24-25九年級(jí)上?浙江金華?期中）如圖，在矩形力8c。中，/8=4,8c=3,E,b分別為CD

邊的中點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿￡4向點(diǎn)/運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)尸出發(fā)沿尸C向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，連接尸0,

過點(diǎn)、B作BHA.PQ于點(diǎn)H,連接。”.若點(diǎn)P的速度是點(diǎn)。佗速度的2倍，在點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)力的

過程中，線段掃過的面積為一，線段?！ㄩL(zhǎng)度的最小值為一.

17.（24-25九年級(jí)上?陜西西安?期中）如圖，等邊AABC的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)。是邊4c上的一動(dòng)點(diǎn)，連接

BD,以8。為腰向上作等腰△。%:，其中4Z必=120。，連接力E,隨著點(diǎn)。從點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A的過程中,

則力￡的最小值為.

18.（24-25九年級(jí)上?全國(guó)?期中）如圖，矩形力4。。中，AB=6,力。=3,E為48的中點(diǎn)，F(xiàn)為EC上一

動(dòng)點(diǎn)，P為DF中點(diǎn),連接尸8,則尸8的最小值是.

19.（24-25九年級(jí)上?廣東珠海期中）如圖，在正方形49CO中，44=7,E為4B邊上一點(diǎn)，點(diǎn)尸在BC

邊上，且6F=3,將點(diǎn)E繞著點(diǎn)尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到點(diǎn)G,連接。G,則。G的長(zhǎng)的最小值為.

20.（24-25九年級(jí)上,陜西西安?期中）如圖，四邊形N5CO是邊長(zhǎng)為5的正方形，點(diǎn)。是6。上一動(dòng)點(diǎn),

以我為斜邊在〃邊的右側(cè)作等腰口也4尸。，4。尸=90。，連接。。、CQ.則。。最小值為.

21.（24-25九年級(jí)上?福建漳州?期中）如圖，在邊長(zhǎng)為5的正方形48c。中，點(diǎn)必為線段CZ）上一點(diǎn)，且

2

點(diǎn)P是對(duì)角線力。上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PEJ.4Q于點(diǎn)E,尸產(chǎn)_LCO于點(diǎn)E則尸M+E廠的

22.（24-25九年級(jí)上?天津?yàn)I海新?期中）如圖，已知正方形/8C。，48=10,E為BC邊上的一點(diǎn)、,連接

AE,將繞點(diǎn)石順時(shí)針旋轉(zhuǎn)9D。，得到石尸.連接。尸，以。尸為邊作正方形DFMN,設(shè)正方形DFMN

的面積為S,則S的最小值為

BE

23.（24-25九年級(jí)上?江蘇揚(yáng)州?期中）如圖，已知點(diǎn)力、4的2標(biāo)分別為（-12,0）、（0,5）,點(diǎn)尸為坐標(biāo)平

面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若8。=3,點(diǎn)。為線段力。的中點(diǎn)，連接。。，則。。的最大值為

24.（24-25九年級(jí)上?江蘇南京?期中）如圖，在邊長(zhǎng)為5的正方形力88中，點(diǎn)E,RG分別在邊力用力。,。。

上，EG與BF交于點(diǎn)P,AE=\,BF=EG、DG>AE,則QP長(zhǎng)的最小值為

題型三多解問題（共6小題）

25.（24-25九年級(jí)上?四川成都?期中）如果三角膨的兩個(gè)內(nèi)角a和尸滿足2a+6=90。，那么我們稱這樣

的三角形為“準(zhǔn)互余三角形“，在RtZ\/18C中，N4CB=90°,JC=12,8C=16,點(diǎn)。是8c上一點(diǎn)，連接

AD,若△/必。是準(zhǔn)互余三角形，則力。的長(zhǎng)為.

26.（24-25九年級(jí)上?上海靜安?期中）從三角形一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線

段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形

相似，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的優(yōu)美線.如圖，等腰口△MQV斜邊上的高。尸就是它的優(yōu)美

線.在△力8C中，AB=^AC=2t若/。是△48C的優(yōu)美線，且△力8。是等腰三角形，那么優(yōu)美線

AD=_____

27.（24-25九年級(jí)上?廣東河源?期中）如圖所示，在邊長(zhǎng)為4的正方形/14C。中，對(duì)角線4C與8。相交

于點(diǎn)O,E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊BC（不與8、C重合）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EG_LE/L交CD與G,

當(dāng)△力EG為等腰三角形時(shí)，W的長(zhǎng)為.

AD

28.（24-25九年級(jí)上?四川成都?期中）如圖，正方形48co的力長(zhǎng)為4,點(diǎn)E在。。邊上，CE=3,若點(diǎn)

E在正方形的某一邊上，滿足CF=BE,且b與跖的交點(diǎn)為M,則CM=.

29.（24-25九年級(jí)上?江西贛州?期中）在。中，ZC=90%N45C=25。，點(diǎn)。是48的中點(diǎn)，將04

繞點(diǎn)。向三角形外部旋轉(zhuǎn)1得到02（0＜。＜180。），當(dāng)△PBC恰為等腰三角形時(shí)，a的值為

30.（24-25九仔級(jí)上?貴州貴陽(yáng)?期中）如圖，已知在矩形紙片,4ACO中，49=2,BC=2五，點(diǎn)、E足AB

的中點(diǎn)，點(diǎn)"是/。邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿石/所在直線翻折，得到△"加?’連接4C,4力，則

當(dāng)“'OC是等腰三角形時(shí)，彳尸的長(zhǎng)是

:T

BC

題型四特殊四邊形綜合題（共7小題）

31.（24-25九年級(jí)上?廣東韶關(guān)?期中）【閱讀理解】

半角模型是指有公共頂點(diǎn)，銳角等于較大角的一半，且組成這個(gè)較大角的兩邊相等.通過旋轉(zhuǎn)或截長(zhǎng)補(bǔ)短,

將角的倍分關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的相等關(guān)系，并進(jìn)一步構(gòu)成全等三角形，用以解決線段關(guān)系、角度、面積等問題,

【初步探究】

如空1,在正方形力4CQ中，點(diǎn)反尸分別在邊上，連接/￡;彳尸,所.若/以"=45。，洛△4。尸繞

點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)。與點(diǎn)8重合，得到A/BG.易證：AAEF且AAEG.

（I）根據(jù)以上信息，填空：

?^EAG=°：

②線段BE、EF.。尸之間滿足的數(shù)量關(guān)系為；

【遷移探究】

（2）如圖2,在正方形力AC。中，若點(diǎn)E在射線C8上，點(diǎn)尸在射線。。上，NE肅=45°,猜想線段

BE、EF、。產(chǎn)之間的數(shù)量關(guān)系，清證明你的結(jié)論；

【拓展探索】

（3）如圖3,已知正方形力8c。的邊長(zhǎng)為3上,NE力y二45。，連接8。分別交力￡、4F于點(diǎn)M、N,若點(diǎn)

恰好為線段的三等分點(diǎn)，且用求線段MN的長(zhǎng).

32.（24-25九年級(jí)上?海南?？?期中）在矩形/仍。。中，AD=nAB,E,尸分別在48,4c上.

①如圖1,求證：AAED且ABFA；

②如圖2,點(diǎn)G為。延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，OE的延長(zhǎng)線交4G于〃，若4/=/。，求證：4G=AE+BG；

CF

（2）如圖3,若E為力8的中點(diǎn)，ZADE=NEDF.求/的值（結(jié)果用含”的式子表示）.

33.（24-25九年級(jí)上?海南?？?期中）在平面內(nèi)，把—個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)?定的角度，可以將這個(gè)

圖形轉(zhuǎn)換到另一個(gè)位置，從而易于解題.請(qǐng)你閱讀學(xué)習(xí)這種旋轉(zhuǎn)變換方法，并運(yùn)用其解答問題:

圖1圖2圖3圖4

（1）如圖1,在四邊形力8。。中，4B=4D,/BAD=/BCD=90。,4E工BC于E,求證：AE=EC；

證明：=可將圖1中的“8E繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到△?!￡）￡,如圖2,請(qǐng)你利用圖2完

成第（1）題：

（2）根據(jù)第（1）題的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，嘗試用旋轉(zhuǎn)變換解答下面的問題：

①如圖3,在直角△力4C中，。為斜邊力8上一點(diǎn)，/0=2,BD=\,四邊形QEb是止方形，設(shè)ZUOE

和4臺(tái)。尸的面積分別為S，s2,求4+S2的值；

②如圖4,己知：N4C5=90。，Z5JC=60°,AC=\,ZAPB=ZBPC=ZAPC,求產(chǎn)力+尸8-尸C的值.

34.(24-25九年級(jí)上?廣東廣州?期中)已知正方形力ACQ,將線段8力繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)＜90。)得到線

段BE,連接E4EC.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)￡在正方形45CD的內(nèi)部時(shí)，若BE平分/ABC,則44EC=°；

(2)當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCD的外部時(shí)，

①在圖2中依題意補(bǔ)全圖形，并求/力￡。的度數(shù)：

②作/歐。的平分線8“交EC十點(diǎn)G.交口的延長(zhǎng)線十點(diǎn)尸，連接Cb.用等式表不線段力E,FB,FC

之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

35.(24-25九年級(jí)上?貴州貴陽(yáng)?期中)在RQ/C8中，4c8=9()。，點(diǎn)。是"的中點(diǎn)，點(diǎn)。是直線4C

上一點(diǎn)，連接oo.

(1)【問題解決】

如圖①，當(dāng)/1C=8C,點(diǎn)。在線段4C上時(shí)，將射線0。繞點(diǎn)0順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。交8C于點(diǎn)E,連接

OC.求證：CE=/O；

(2)【問題探究】

如紹②，當(dāng)4C=3。，點(diǎn)。在線段。延長(zhǎng)線上時(shí)，將射線繞點(diǎn)。順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。交8C延長(zhǎng)線于

點(diǎn)、E,請(qǐng)猜想CQ,CE,CB三條線段之間的關(guān)系并證明你的猜想；

(3)【拓展延伸】

如國(guó)③，當(dāng)NA4c=30。，點(diǎn)。在線段4c延長(zhǎng)線上時(shí)，將線段0。繞點(diǎn)。逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。得到OE,

點(diǎn)E恰好落在線段8c的延長(zhǎng)線上.若8=2,求線段的長(zhǎng).

36.(24-25九年級(jí)上?廣東珠海?期中)【問題呈現(xiàn)】

如鋁1,的頂點(diǎn)在正方形.4BC。兩條對(duì)角線的交點(diǎn)處，NM/W=90。，將NMPN繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)

過程中，/A//W的兩邊分別與正方形的邊力。和C。交于點(diǎn)E、F(點(diǎn)F與點(diǎn)、C,。不重合).探

索線段0E、DF、力。之間的數(shù)顯關(guān)系.

圖1

【問題初探】

(I)求證：“PEaDPF,并直接寫出線段。七、DF、之間的數(shù)量關(guān)系二

【問題引申】

(2)如圖2,連接石廠，若正方形力8CQ的邊長(zhǎng)為10,其他條件不變，在/MAV旋轉(zhuǎn)過程中，求〃)￡尸

的面積的最大值；

【創(chuàng)新拓展】

(3)如圖3,將圖1中的正方形改為40c=120。的菱形4?。。，ZMPN=60°,其他條件不變，

請(qǐng)你寫出線段。￡、DF、4。之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

37,(24-25九年級(jí)上?北京?期中)如圖，RtZUBC中，/5=90。，/力。?=磯0。＜。＜45。)，點(diǎn)七是線段

4C延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)。為線段EC的中點(diǎn)，連接￡4.將射線￡4繞點(diǎn)￡順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。得到射線過點(diǎn)

A作力尸J.EM,垂足為點(diǎn)尸，連接E0.

(1)用等式表示線段5力與。產(chǎn)之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)求/尸的大小(用含。的代數(shù)式表示)；

(3)若點(diǎn)。滿足4C=C0,直接寫出一個(gè)。的值，使得W_L4E.

題型五相似三角形綜合題（共3小題）

38.（24-25九年級(jí)上?上海?期中）已知在△力8c中，點(diǎn)。在邊/出上，點(diǎn)E在射線C4上.直線與直線CQ

相交于5E點(diǎn)尸.

，求證：EF=EC；

(2)如果AB=AC=3BC,AD=BC,

FR

①如圖2,當(dāng)EC=28C時(shí)，求行的值；

FC

②填空：當(dāng)8。=2,力。=345時(shí).那么“?的長(zhǎng)為

39.（24-25九年級(jí)上?四川成都?期中）如圖，在銳角△力8C中，ZABC=45°,過點(diǎn)A作力8C于點(diǎn)

D,過點(diǎn)B作BEJ.AC于點(diǎn)E,力。與8E相交于點(diǎn)〃，連接。/4EB的平分線EF交A8于點(diǎn)F,連

接DF交BE于點(diǎn)、G.

(1)求證：/DBG=NDAE；

(2)試探究線段力民8區(qū)。E之間的數(shù)量關(guān)系;

(3)若CD=C”,BE=12,求G"的長(zhǎng).

40.(24-25九年級(jí)上?全國(guó)?期中)如圖，在Rt△力8c中，Z5^C=90°,/8=力。，點(diǎn)。為18延長(zhǎng)線上

一點(diǎn)，連接CO,作4"_LC。于"，交BC于點(diǎn)、N,作力P1BC于P,交CD于點(diǎn)Q.

備用圖

⑴求證：AN=CQ；

(2)點(diǎn)￡在歷1的延長(zhǎng)線上，且力E=連接EN,求證：。0=硒：

2FN

(3)在(2)的條件下，延長(zhǎng)E/V交8于凡當(dāng)月后=；力4時(shí)，求"的值

3FN

期型六特殊四邊形與相似三角形綜合題(共5小題)

41.(24-25九年級(jí)上?上海?期中)若一個(gè)三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積，我們把這個(gè)三角形叫

做比例三角形.

(1)已知△/是比例三角形，48=3,8C=4,請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的力。的長(zhǎng)；

(2)如圖1,在四邊形力8C。中，AD//BC,對(duì)角線4。平分乙奶。,乙%C=N4X?.求證：zUBC是比例

三角形；

(3)如圖2,在(2)的條件下，當(dāng)4￡>C=90。時(shí),求出空的值.

AC

42.(24?25九年級(jí)上,江蘇常州,期中)如圖1,平行四邊形力儀力的面積為96,45=10,8C=12,NB

為說角.點(diǎn)E在邊8c上，過點(diǎn)￡作邊4C的垂線，交平行四邊形的其它邊于點(diǎn)尸，在叱的右側(cè)作正方形

EFGH.

備用圖備用圖

(1)如圖2,若點(diǎn)G在對(duì)角線力。上，則正方形ER"的邊長(zhǎng)為；

(2)設(shè)廠G與對(duì)角線/C交于點(diǎn)尸，如果點(diǎn)〃與點(diǎn)C重合，求力尸:CP的值;

(3)如果點(diǎn)尸在邊力5上，且△G。;與△3￡戶相似，求陽(yáng)的長(zhǎng).

43.(24-25九年級(jí).匕陜西西安?期中)已知四邊形力伙力，點(diǎn)￡、卜'、G、〃分別在邊力3、8C、CD、DA

上.

B

圖2

FG

(1)如圖1,四邊形力28是正方形，EG_L"/,求證學(xué)=1；

FH

FG

(2)如圖2,矩形中，44=3,8c=5,EG±FH,求的值;

Fh

(3)如圖3,四邊形彳BCO中，48C=90。，AB=AD=8,BC=CD=4,點(diǎn)E、廠分別在線段44、BC

np

上，旦擊1座，求隼的值.

AF

44.（24?25九年級(jí)上?四川成都?期中）如圖，在正方形力AC"中，48=3&，點(diǎn)七為力。上一點(diǎn)，過點(diǎn)￡

作EF上BD,與相交于點(diǎn)尸.

(1)連接就若BF=EF,求線段C77的長(zhǎng);

FNDN

(2)連接阻過點(diǎn)尸作垂足為點(diǎn)與BD交于點(diǎn)N.求證：-=—

FM

(3府⑵的條件下，連接心與皿相交于點(diǎn)。…求的的值.

45.(24-25九年級(jí)上?福建泉州期中)如圖1,四邊形4?。。中，ND/1B=4BC=90。，AB=BC=l,

點(diǎn)、E在上.

C

(1)當(dāng)力七=40,NDCE=2NBCE,求證：ZZ)CF=45°.

(2)如圖2,延長(zhǎng)及84相交于點(diǎn)尸，延長(zhǎng)CE及。力相交于點(diǎn)G,△/￡1￡＞的周長(zhǎng)為2.

①求力AWG的值.

②連接FG,FGLCF,取"G的中點(diǎn)"，連接CM,作連接NG,求NG與NC的數(shù)量關(guān)系.

題型七綜合實(shí)踐探究題(共6小題)

46.（24-25九年級(jí)上?四川眉山期中）探索發(fā)現(xiàn)：如圖（1）,”是正方形力邊力8上的點(diǎn)，GEF

是等腰直角三角形，NDEFW,連接BD交E尸于點(diǎn)G,連接CE.

(1)求證：ADEGsADAF；

4F

⑵若FG=EG,求行的值：

（3）遷移拓展：如圖（2）,F,H是菱形4BCD邊力B,。。上的點(diǎn)，連接40，F(xiàn)H交于點(diǎn)、G,

FG

N840=120。，""二30。，若尸為48的中點(diǎn)，求出777的值.

（JH

47.（24-25九年級(jí)上遼寧鞍山期中）綜合與探究：在中，N/〃C=9（T,。為彳。的中點(diǎn)，4MDN

的兩邊分別交直線48，BC于點(diǎn)E,F,月./M0N=9O’.

【問題探究】

如圖1,若4B=8C,點(diǎn)E在線段上，點(diǎn)F在線段8c上,

⑴判斷DE與DF的數(shù)量關(guān)系是.

(2)求證：BE+BF=-ACx

2

【拓展延伸】

⑶若羽=3,BC=5,連接叱，當(dāng)力￡=1時(shí)，求叱的長(zhǎng).

48.(24-25九年級(jí)上?四川成都期中)綜合與實(shí)踐課上，大府新區(qū)某個(gè)班數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣小組對(duì)圖形中兩條

互相垂直的線段間的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行探究時(shí)，遇到以下問題，請(qǐng)你逐?加以解答:

（1臊作判斷

如國(guó)1,在正方形4BCD中，點(diǎn)E,F,G,〃分別在邊力8,CD,AD,BC上，且EFLGH,若

=則"'的長(zhǎng)為:

如青2,在矩形力3C。中，BC=3AB,點(diǎn)E,F,G,〃分別在邊力3,CD,AD,BC±.,且

EFA.GH,若GH=8,則石尸的長(zhǎng)為:

（2）遷移探究

如織3,在RtZX/BC中.4c=90",AB=AC,點(diǎn)。,E分別在功力“，8cb.HAE1CD,試訐明:

ACBE=CEAD

（3所展應(yīng)用

如國(guó)4,在矩形/出CO中，AB=9,BC=21,4E平分/BAD交BC于點(diǎn)E,點(diǎn)尸為線段BE上一點(diǎn),

BG_L4F交力E于點(diǎn)〃，交矩形力4CO的邊于點(diǎn)G.當(dāng)少為跖的三等分點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)求出G"的長(zhǎng).

49.（24-25九年級(jí)上?福建泉州,期中）（1）問題背景：如圖（1）,已知連接4。和

CE,求證：“BDsACE；根據(jù)以下證明過程，完成填空部分:

證明：△/￡)￡：,

ABAC

，/BAC=NDAE~AD~~AE

:"BAD=NCAE,

e^ABDs.zCE；

(2)嘗試應(yīng)用

如圖(2),在△/18C和△/￡)石中，ABAC=ZDAE,NABC=/ADE,4C與力E相交于點(diǎn)尸，點(diǎn)。在8c

邊上，連接CE；求證：AADFs^ECF；

(3)拓展創(chuàng)新

如組(3),點(diǎn)。是內(nèi)一點(diǎn)，NBAD=NCBD,ZBDC=90°,43=4,AC=26過點(diǎn)力作力8

的垂線，過點(diǎn)。作力。的垂線，兩垂線交于點(diǎn)時(shí)，連接8M,其中器二百，求力。的長(zhǎng).

AD

5().(24-25九年級(jí)上?河南周口?期中)學(xué)習(xí)幾何圖形時(shí)，張老師善于通過“由特殊到一般''的教學(xué)方法引導(dǎo)

學(xué)生探究幾何圖形的變化規(guī)律，幫助學(xué)生形成發(fā)展的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣.下面是張老師在“全等三角形與相似

三角形”主題下設(shè)計(jì)的問題，請(qǐng)你解答.

如翱，在矩形44c力中，點(diǎn)￡是線段C5延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接力石，過點(diǎn)力作力/"1_/化交射線DC于點(diǎn)

F.

(1)【知識(shí)回顧】如圖1,當(dāng)/。=/8時(shí)，4F與力E之間的數(shù)量關(guān)系是：；

(2)【類比探究】如圖2,當(dāng)*=上(￡>0且&")時(shí)，試判斷力廠與片后之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由(用

AB

含A的式子表示)：

(3)【拓展應(yīng)用】若力。=2力8=8,連接8。交"?于點(diǎn)G,連接EG,當(dāng)3=2時(shí)，直接寫出EG的長(zhǎng).

51.(24-25九年級(jí)上?遼寧沈陽(yáng)?期中)【問題初探】

如組1,在四邊形為4C。中，AB=AD,/BAD=NBCD=9M,連接力C,若四邊形"CO的面積為

24.求彳。的長(zhǎng).

①如圖2,小輝同學(xué)采用“補(bǔ)”的方式將四邊形的面積轉(zhuǎn)化成三角形的面積，進(jìn)而解決問題；

②如圖3,小麗同學(xué)采用“割”的方式將四邊形分割成兩個(gè)全等的三角形和一個(gè)矩形，進(jìn)而解決問題.

(I)請(qǐng)你選擇?名同學(xué)的思路寫出完整的解答過程：

【類比分析】

李老師發(fā)現(xiàn)，兩名同學(xué)通過“割”或“補(bǔ)”的方式把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的面積，為了幫助學(xué)生

更好地感悟這種轉(zhuǎn)化思想，李老師對(duì)圖形進(jìn)行了變式.

(2)如圖4,在四邊形力8c。中，ABA.AD,ADA.DC,將線段8C繞點(diǎn)6逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段8E,

連接力￡,且48=2,CD=4,求△48E的面積；

【學(xué)以致用】

(3)如圖5,在RtZ\49C中，N.4=90。，E為斜邊8C上一點(diǎn)，BE=5,EC=?,且四邊形力力E/是正

方形，請(qǐng)直接寫出S。山與5想印的和.

題型八四邊形與相似三角形旋轉(zhuǎn)綜合題（共10小題）

52.（24-25九年級(jí)上?福建泉州?期中）已知：在正方形力中，M在/出上，點(diǎn)N在C。上，把正方形

力8c。沿MV翻折，使點(diǎn)4落在邊/I。上的點(diǎn)E處，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P,EP交CD于F.

AED

⑴連施，求證：BE平分NAEF；

（2）過點(diǎn)B悍BG〃EM交MN于點(diǎn)G,連接BF交MN與點(diǎn)、H.

①求證：N8HW=45。：

53.（24-25九年級(jí)上?河南周口?期中）【問題呈現(xiàn)】

如組①，△48c和△力OE都是等邊三角形，連接班）、CE.求證：BD=CE.

【類比探究】

BD

如圖②，△力8。和△/￡）￡：都是等腰直角三角形，48c=4DE=90。，連接80、CE.請(qǐng)直接寫出—

CE

的值.

【拓展提升】

jn3

如弱③，△44。和△力?！甓际侵苯侨切危琋4BC=4DE=90°,且-=—=CE.

BCDE4

4BD&…

(I)求的值;

CE

54.（24-25九年級(jí)上?廣東佛山?期中）某學(xué)習(xí)小組在開展研究等腰直角三角形與一些特殊圖形之間關(guān)系的

活動(dòng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)它們之間存在角和邊的多種關(guān)系.

【初步探索】（1）如圖1,兩個(gè)全等的等腰△力8c和4HG尸，NBAC=NHGF=90。,按如圖所示的位置

擺放（圖中所有的點(diǎn)、線都在同一平面內(nèi)），點(diǎn)A與點(diǎn)，重合，房和"F分別交8c于點(diǎn)M、N；

①直接寫出圖中一對(duì)相似而不全等的三角形：:

②直接寫出線段8"、MN、CN存在的數(shù)量關(guān)系：；

【遷移探索】（2）如圖2,已知等腰△/〃?/對(duì)，NHGF=90。,將其頂點(diǎn)〃與正方形為8co的頂點(diǎn)A重

合，4G分別交4C,BD于點(diǎn)M,P,力/分別交8C,CD于點(diǎn)、N,。：

①證明AAMNS"QP.

②猜想線段4P、PQ、的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想：

【運(yùn)用探索】（3）如圖3,在矩形/18C。中，點(diǎn)E,E分別在邊8c,QC上，ZEJF=45°,

AD=2AB=4BE=4a,求的長(zhǎng).（用含〃的式子表示）

-D

BEC

圖1圖2圖3

55.（24-25九年級(jí)上?福建福州期中）（1）問題提出

如羽①，在與RdOEC中，NABC=NDEC=90°,NB4C=30。，點(diǎn)D在邊BC上,連接力。，點(diǎn)

E在邊/C上，點(diǎn)/為/I。的中點(diǎn)，連接BE,BF,EF,則△B￡F的形狀是」

（2）問題探究

如曼②，將圖①中的ADEC繞點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)。在線段力E上時(shí)，求證：BE=BF；

（3）拓展延伸

rn4

在國(guó)②中，若慮=4,三求線段EE的長(zhǎng).

BC5

56.（24-25九年級(jí)上?陜西咸陽(yáng)?期中）【問題探究】

（I）如圖1,在菱形44c。中，Z￡）=120°,AB=4,￡為43的中點(diǎn)，/為邊/I。上的動(dòng)點(diǎn)，則￡、F

兩點(diǎn)之間的距離最小為;

（2）如圖2,在△力8C中，AB=AC,ZBAC=\20°,E是線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與4、。重合），連接

AE,將線段力石繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到線段4E,連接EF,點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是邊8C、Eb的中

點(diǎn).求證：BE=2MN；

【訶題解決】

（3）如圖3,正方形力4CD是一塊蔬菜種植基地，邊長(zhǎng)為30千米，對(duì)角線8。為該基地內(nèi)的一條小路,

點(diǎn)G為小路4。上一個(gè)采購(gòu)點(diǎn)，且8G=20G.管理人員計(jì)劃在個(gè)路4。上確定一點(diǎn)七（不與點(diǎn)"、。重

合），連接力石，以線段力石為腰向右擴(kuò)建一個(gè)等腰直角三角形區(qū)域（/。尸=90。），用來種植新品有機(jī)

蔬菜，N為臨時(shí)倉(cāng)庫(kù)，其中N是線段E尸的中點(diǎn).現(xiàn)要沿GN修建蔬菜運(yùn)輸軌道，為節(jié)省成本，要使運(yùn)輸

軌道的距離盡可能的短，請(qǐng)問運(yùn)輸軌道GV是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出GN的最小值：若不存在，

請(qǐng)說明理由.

圖1圖2圖3

57.（24-25九年級(jí)上?安徽合肥?期中）【問題探究】

（I）如圖1,在菱形44c。中，Z￡）=120°,48=4,￡為43的中點(diǎn)，/為邊/I。上的動(dòng)點(diǎn)，則￡、F

兩點(diǎn)之間的距離最小為」

（2）如圖2,在△力8c中，AB=ACtZBAC=\20°,E是線段8c上一動(dòng)點(diǎn)（不與B、。重合），連接

AE,將線段力石繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到線段4E,連接EF,點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是邊8C、Eb的中

點(diǎn).求證：BE=2MN；

【問題解決】

（3）如圖3,正方形/"CO是一塊蔬菜種植基地，邊長(zhǎng)為30千米，對(duì)角線8。為該基地內(nèi)的一條小路,

點(diǎn)G為小路4。上一?個(gè)采購(gòu)點(diǎn)，且6G=2OG.管理人員計(jì)劃在個(gè)路4。上確定-一點(diǎn)七（不與點(diǎn)"、。重

合），連接力石，以線段力石為腰向右擴(kuò)建一個(gè)等腰直角三角形區(qū)域（/。尸=90。），用來種植新品有機(jī)

蔬菜，N為臨時(shí)倉(cāng)庫(kù)，其中N是線段E尸的中點(diǎn).現(xiàn)要沿GN修建蔬菜運(yùn)輸軌道，為節(jié)省成本，要使運(yùn)輸

軌道的距離盡可能的短，請(qǐng)問運(yùn)輸軌道GN是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出GN的最小值：若不存在，

請(qǐng)說明理由.

圖3

58.(24-25九年級(jí)上?山東濟(jì)南?期中)△川?。和△力OE是兩個(gè)全等的三角形，△*￡>￡繞點(diǎn)力旋轉(zhuǎn),

AB=AD=4,BC=DE=3,Z.ABC=Z.ADE=90°.

圖1備用圖

⑴如圖1連接30,CE,在繞點(diǎn)力旋轉(zhuǎn)過程中，求到的值;

CE

(2)如圖2,在△<￡>￡繞點(diǎn)力旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)。恰好落在△力8。的中線8M的延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)EO交4C

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)凡求Cb的長(zhǎng);

(3)在△4OE繞點(diǎn)力旋轉(zhuǎn)過程中，探究GD,￡三點(diǎn)能否構(gòu)成直角三角形.若能，請(qǐng)直接寫出所有直角三

角形8七的面枳：若不能，請(qǐng)說明理由.

59.（24-25九年級(jí)」二?四川成都?期中）在平行四邊形中，48=12,力。=的面積為48.

圖I圖2備用圖

⑴如圖1,求邊上的高C”的長(zhǎng)；

（2）產(chǎn)是邊力8上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C,。同時(shí)繞。按照逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。得到C',。'.

/）如圖2,當(dāng)。'落在射線C4上時(shí)，求8。的長(zhǎng)；

/7）當(dāng)△/C'。是直角三角形時(shí)，求的長(zhǎng).

60.（24-25九年級(jí)上?福建泉州期中）如圖，Rt△4/，/歷1C=9O。，力C=3,/1B=4,且4C

與4E、力/分別交于P、Q.

F

（圖1）（圖2）（圖3）

⑴如圖（1）,當(dāng)AB、尸三點(diǎn)共線時(shí)，求〃的值;

（2）當(dāng)/由圖（1）位置，繞點(diǎn)力逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).

①如圖（2）,當(dāng)日EJ.SC時(shí),求8。的值;

FP

②如圖（3）,當(dāng)CE6時(shí)，求）的值.

61.(24-25九年級(jí)上?四川成都?期中)如圖，在菱形48C。中，AB=2屈,4c=12,點(diǎn)￡在射線5c

上，連接。E,把。E繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后得到的線段與對(duì)角線力。交于點(diǎn)R旋轉(zhuǎn)角

NEDF=NBAC,射線。后與射線力C交于點(diǎn)尸.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)￡在線段8C上時(shí)，求證：AFDPSAFCD；

(2)如圖2,已知點(diǎn)E在線段8。的延長(zhǎng)線上，當(dāng)。b=5時(shí)，求線段CE的長(zhǎng);

(3)如圖3,連接￡7、當(dāng)E9〃48時(shí)，求線段￡戶的長(zhǎng).

題型九與相似三角形有關(guān)翻折綜合題（共5小題）

62.（24-25九年級(jí)上?四川眉山?期中）如圖（1）,先把一張矩形紙片/8C力上下對(duì)折，設(shè)折痕為MN；

如藥（2）,再把點(diǎn)4疊在折痕線上，得到△力8E.過點(diǎn)4向右折紙片，使。、。、力三點(diǎn)仍保持在一條直

線上，得折痕尸。，其中48=4,AD=10，

圖⑴圖⑶

(1)求證：APBEs^QAB.

（2）你認(rèn)為△〃郎和△〃屋?相似嗎？如果相似，給出證明，如果不相似，請(qǐng)說明理由.

（3）如圖（3）,沿4G折疊，使點(diǎn)E落在力。上為點(diǎn)”，連結(jié)石交8N于凡求8F（已知：直角三角形斜

邊的中線等于斜邊的一半）

63.(24-25九年級(jí)上?廣東佛山?期中)如圖1,四邊形48co是矩形，AB=6,力。=8,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出

發(fā)，沿力。方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒.

圖1番用圖

(1)尺規(guī)作圖：沿過點(diǎn)尸的直線將矩形48C。折疊，使得點(diǎn)A與點(diǎn)。重合，在圖1中作出該折痕；

(2)在(1)的條件下，該折痕分別與"C相交于點(diǎn)￡,F點(diǎn),連接/F,CE,求四邊形4出萬(wàn)的周

長(zhǎng)；

(3)過點(diǎn)。作/C的垂線，是否存在某一時(shí)間1,使得該直線被矩形的邊所截得的線段長(zhǎng)為5,若存在，求/

的值，若不存在，說明理由.

64.(24-25九年級(jí)上?廣東佛山?期中)綜合與運(yùn)用

(1)發(fā)現(xiàn)：如圖①所示，在正方形力3c。中，E為AD邊上一點(diǎn),將“所沿跖翻折到△加沙處，延長(zhǎng)叱

交CO邊于G點(diǎn).則N8EG+N8GE=。：

(2族究：如圖②，在矩形片8c。中，E為力。邊上一點(diǎn)，且40=8,48=6.將△力￡9沿翻折到

處，延長(zhǎng)E廣交8c邊于G點(diǎn)，延長(zhǎng)BF交CD邊于點(diǎn)、H,連接G",若FH=CH,求證：

△BEFS^HGF,并直接寫出面枳比工8即：S〉HGF的值.

(3)拓展：如圖③,在菱形48co中.48=6.月為。。功卜的三等分點(diǎn)，ZZ)=60°.將人力力翻折

得到△々苫，直線E廣交直線8c于點(diǎn)P,求PC的長(zhǎng).

65.(24-25九年級(jí)上?福建?期中)如圖1，在四邊形48co中，AB=AD,/BAD=/BCD=9伊，對(duì)角線

力C平分/6C0,交4。于￡點(diǎn)，將△力七。沿翻折得△力口.

(1)求證：AD2=ACAFZ

(2)若BC=2CD,

①求產(chǎn)的值；

、4ADF

②如圖2,連接3尸交力。十〃點(diǎn).求證：AH=DH.

66.(24-25九年級(jí)上,山西陽(yáng)泉期中)綜合與探究

F

3

圉2

【觀察與猜想