專題3.3奇偶性（舉一反三講義）

【人教A版】

題型歸納

【題型I函數(shù)奇偶性的定義與判斷】.............................................................2

【題型2由函數(shù)奇偶性求函數(shù)值、解析式】.......................................................4

【題型3由函數(shù)奇偶性求參數(shù)】..................................................................5

【題型4函數(shù)奇偶性的應(yīng)用】....................................................................6

【題型5抽象函數(shù)的奇偶性】....................................................................8

【題型6函數(shù)圖象的識(shí)別與判斷】...............................................................11

【題型7函數(shù)圖象的應(yīng)用】.....................................................................13

【題型8抽象函數(shù)的性質(zhì)】.....................................................................16

【題型9函數(shù)的性質(zhì)綜合】.....................................................................20

舉一反三

知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的奇偶性

1.函數(shù)的奇偶性

⑴定義：

一般地，設(shè)函數(shù)次處的定義域?yàn)?,如果Vx￡/,都有7仁/,

偶函數(shù)且7（?x）=/a），那么函數(shù)"丫）叫做偶函數(shù).

定一般地，設(shè)函數(shù)/（x）的定義域?yàn)?,如果VxW/,都有-x￡/,

義奇函數(shù)且/（-x尸況外，那么函數(shù)40叫做奇函數(shù).

非奇非

既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)的函數(shù)，稱為非奇非偶函數(shù).

定義域

定義域必須是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間.

特征

設(shè)函數(shù)/（X）的定義域?yàn)?,則有/（X）是偶函數(shù)且

等價(jià)./（-.r）:/（x）=0;&）是意函數(shù)-xE/,且/沁）4於）=0?特別地，

形式若兒丫）和，還可以判斷斗潦=土1是否成立.

（2）奇偶函數(shù)的圖象特征（幾何意義）

①奇函數(shù)的圖象特征：若一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖象是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形:反

之，若一個(gè)函數(shù)的圖象是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù).

②偶函數(shù)的圖象特征：若一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖象是以y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形;反之，

若一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸刈稱，則這個(gè)函數(shù)是偶圖數(shù).

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③奇偶函數(shù)的結(jié)論：奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的亙調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有

相反的單調(diào)性：偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的最大(小)值，取最值時(shí)的日變量互為相反數(shù)；奇

函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時(shí)的自變量也互為相反數(shù).

(3)奇、偶函數(shù)圖象對(duì)稱性的應(yīng)用

①若一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；

②若一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).

2.函數(shù)奇偶性的判斷

判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個(gè)必備條件：

(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域：

(2)判斷/(X)與/(-X)是否具有等量美系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式

(/(x)t/(R=O(奇函數(shù))或/⑴辿㈤=0：偶函數(shù)))是否成立.

3.函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

(1)利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求叁數(shù)的型值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)

或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值.

(2)畫函數(shù)圖象:利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關(guān)問題.

【題型1函數(shù)奇偶性的定義與判斷】

【例1】(24-25高一下?山西大同?階段練習(xí))下列函數(shù)中是奇函數(shù)的是()

A./(x)=x+1B.f(x)=|x3|

C./(x)=-2xD.fM=x2+x

【答案】C

【解題思路】利用函數(shù)的奇偶性的定義依次判斷即可.

【解答過程】對(duì)A,函數(shù)/■(%)定義減為R,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，/(-xj=-x+l,不滿足/(-%)=-/(%),故A

不符合題意：

對(duì)B,函數(shù)/?(%)定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，/(-x)=|-x3|=|.r3|,不滿足/■(-%)=-/"(%),故B不符合題

忠；

對(duì)C,函數(shù)/(%)定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，八一%)=2%,滿足/?(—%)=—/?(%),故C符合題意；

對(duì)D,函數(shù)/(%)定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，/(-X)=x2-X,不滿足八一切=一/(幻，故D不符合題意.

故選：C.

【變式1-1](24-25高一上?云南大理?期末)下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的是()

A.y=x2(x>0)B.y=|x+1|

2

c'=可D-y=3x-1

【答案】c

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【解題思路】根據(jù)偶函數(shù)的定義，逐項(xiàng)分析即可得解.

【解答過程】對(duì)于A選項(xiàng)，y=%2(%>o)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A錯(cuò)誤：

對(duì)于B選項(xiàng)，|x+l|^|-x+l|,所以y=忱+1|不是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)y=導(dǎo)定義域?yàn)镽,且房在二品，所以y=島是偶函數(shù)，故C正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，3x-1裝3(-無)一1,所以y=3%-1不是偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.

故選:C.

【變式1?2】(25?26高一上?全國?單元測(cè)試)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在(0,+8)上單調(diào)遞減的是()

A.y=xB.y=y/\x\C.y=D.y=1-x2

【答案】C

【解題思路】根據(jù)函數(shù)解析式及奇偶性定義判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可得.

【解答過程】A：函數(shù)y=%是奇函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞增，不符合；

B、D：函數(shù)y=洞，y=l-％2是偶函數(shù)，不符合；

C：函數(shù)y二:是奇函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞減，符合.

故選：C.

【變式1-3](24-25高一上?貴州畢節(jié)?期末)已知/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，g(x)是定義在R上的偶函數(shù),

貝I」()

A./(%)9(%)是偶函數(shù)B.f(g(x))是奇函數(shù)

C./G)—ga)是奇函數(shù)D-g(/(x))是偶函數(shù)

【答案】D

【解題思路】根據(jù)奇偶性的定義判斷即可.

【解答過程】因?yàn)榘送馐嵌x在R上的奇函數(shù)，所以/(-無)=一/(%)；

g(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以g(-%)=gO)，

則/(一%)g(一乃二一八%)。。)，所以/(%%(%)為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

f(g(-X))=/(g(%))，所以/'(gCO)為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

fC-x)-g(-x)=-f(x)-g(x)f則/(%)-g(%)為非奇非偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；

g(/(-x))=g(-/a))=g(f。))，故g(f(%))為偶函數(shù)，故D正確.

故選：D.

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【題型2由函數(shù)奇偶性求函數(shù)值、解析式】

【例2】(24-25高一上?甘肅蘭州?期末)已知函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，當(dāng)％>0時(shí),/(X)=X2-3,那么/(一2)

的值是()

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】B

【解鹿思路】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)/(乃為奇函數(shù)，當(dāng)3>0時(shí)，/(%)=x2-3,

則/(-2)=一/(2)=-(4-3)=-1.

故選：B.

【變式2-1](24-25高一上?陜西西安,階段練習(xí))已知y=f(x)是定義在RI二的奇函數(shù)，當(dāng)x20時(shí),f(x)=x2-

2x,則在R上/?(%)的表達(dá)式為()

A.-x(x-2)B.|x|(x-2)C.x(\x\-2)D.|x|(|x|-2)

【答案】C

【解題思路】利用函數(shù)奇偶性求對(duì)稱區(qū)域解析式，再利用絕對(duì)值H勺意義，把分段函數(shù)乂寫成含絕對(duì)值的函數(shù)

即可.

【解答過程】當(dāng)％VO時(shí)，一x>0,=(-x)2-2(-x)=x2+2x,

再由y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以/'(-%)=-/(%)，

即有/(%)=-/(-x)=-(x2+2x)=-x2-2x,

所以當(dāng)％V0時(shí)，/(x)=-x2-2x=x(-x-2),

當(dāng)xZ0時(shí)，/(x)=x2-2x=x(x-2),

綜上可得:f(x)=x(M-2),

故選：C.

【變式2-2](24-25高一上?江蘇淮安?階段練習(xí))設(shè)f(%)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)％N0時(shí)，f(x)=2x2+%,

則/(-1)=()

A.-2B.1C.-1D.-3

【答案】D

【解題思路】根據(jù)奇函數(shù)的定義可得/(-1)=-/(1)，求出f(l)即可.

【解答過程】因?yàn)?(%)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，/(X)=2x2+x,

所以f(1)="1)=(2x12?1)=3.

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故選：D.

【變式2-3］(24-25高一上?遼寧盤錦?階段練習(xí))已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，/(x)=

x2-x-1,則當(dāng)％V0時(shí)，()

A.f(x)=x2+x-1B./(x)=x2-x-1

C.fM=x2+x+1D./(x)=x2-x4-1

【答案】A

【解題思路】利用偶函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)解析式即得.

［解答過程】當(dāng)％V0時(shí)，一%>0,則/(-無)=(-x)2+x-l=x2+x-l,

???函數(shù)/(%)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，???/?(-%)=/(X),

???/(x)=x2+x-l,x<0.

故選：A.

【題型3由函數(shù)奇偶性求參數(shù)】

【例3】(24-25高三上?廣西河池?期末)已知/&)二名事為奇函數(shù)，則。=()

Vl-x2

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【解題思路】利用/(0)=0求出a值并驗(yàn)證即可.

【解答過程】函數(shù)/Ix)=的定義域?yàn)?-1,1)，而/?(%)為奇函數(shù)，則/?(())=a=0,

此時(shí)/)=卷，/(一工)=品廠一忘=一/(%),即/⑴為奇函數(shù)，

所以Q=0.

故選：B.

【變式3-1］(24-25高一上?河南激可?期末)已知f(x)=ax2+故是定義在［2Q-3,4Q］上的偶函數(shù)，那么Q+b

的值是()

A.B.|C.-1D.1

【答案】D

【解題思路】利用偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可求得a的值，由偶函數(shù)的定義可得。(-%)2+&(-%)=ad+

bx,可求b的值，進(jìn)而可求得結(jié)論.

【解答過程】因?yàn)閒(x)=ax2+法是定義在［2Q—3,4a］上的偶函數(shù)，

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所以2Q-3+4Q=0,解得Q=%所以定義域?yàn)閇-2,2]

又/(-%)=/(%),ffilUa(-x)2+fc(-x)=ax24-bx,所以2bx=0,

又％E[—2,2],所以b=0,所以a+b=g+0=/

故選：D.

【變式3?2】(24-25高一上?浙江杭州?期中)已知函數(shù)/?(%)=，I-X，若丫=/(%+。)-8為奇函數(shù)，則()

A.a=l,b=-1B.a=1,b=1C.a=-1,b=-1D.a=—l,b=1

【答案】A

【解題思路】/(%)的對(duì)稱中心為(1,-1),根據(jù)y=f(x+a)-b為奇函數(shù)得到f(%)關(guān)于(a,b)對(duì)稱即可得解;

【解答過程】左)=產(chǎn)=4型=-1-三，

l-x1-xX-1

因?yàn)?(I-%)+/(I+x)=-1-^77+_1_=_2，

所以f(x)的對(duì)稱中心為(1,一1),

由題意得函數(shù)y=/(X+Q)-8為奇函數(shù)關(guān)于(0,0)對(duì)稱，

則/(%)關(guān)于(a,b)對(duì)稱，

解得Q=l,b=—1,

故選:A.

【變式3-3](24-25高一上?重慶?期中)設(shè)/?(.丫)=。.丫3+以2+o;+26+。是偶函數(shù)，且定義域?yàn)?b-l.2b),

則a+b-c=()

A-IB-IC-7D-I

【答案】B

【解題思路】根據(jù)奇偶性可得Q=0,c=0,b-l+2b=Ot解出b,進(jìn)而得出答案.

【解答過程】由偶函數(shù)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，所以匕-1+2b=0=b=j

?J

顯然a=0,c=0,所以a+b-c=g.

故選：B.

【題型4函數(shù)奇偶性的應(yīng)用】

【例4】(24-25高一上?廣東揭陽?期末)設(shè)偶函數(shù)/'(%)的定義域?yàn)镽,當(dāng)工￡(0,+8)時(shí)，/(%)是增函數(shù)，則

/(-V7),/(n),/(一3)的大小關(guān)系是()

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A./(n)>/(-3)>/(-V7)B.fW>/(-V7)>/(-3)

C./(n)<A-3)</(-⑺D./(IT)</(-V7)</(—3)

【答案】A

【解題思路】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合單調(diào)性即可求解.

【解答過程】由于/(%)為偶函數(shù)，故f(-V7)=f(V7)，/(-3)=/(3),

由干汽€(0,+8；)時(shí)，f(x)是增函數(shù)，7T>3>x^7,

故/8)>/(-3)>/(一?),

故選：A.

[變式4-11(24-25高一上?天津西青?期末)已知函數(shù)/(幻是定義在R上的奇函數(shù)，/(x)=/(%+4),且/?(一1)=

-1,則/'(2024)+f(2025)=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【解題思路】根據(jù)函數(shù)周期性和奇函數(shù)性質(zhì)求解.

【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)/'(X)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以/(0)=0,/(I)=-/(-1)=1,

又/(%)=/(x+4),即函數(shù)/(%)是周期為4的周期函數(shù)，

/(2024)+/(2025)=/(506X4)+/(506X4+1)=/(0)+/(I)=1.

故選：C.

【變式4-2](24-25高一上?安徽蚌埠?期末)若函數(shù)y=/(均是奇函數(shù)，則下列各點(diǎn)一定是函數(shù)y=f(%+1)+2

圖象對(duì)稱中心的是()

A.(1,-2)B.(-1,2)C.(-1,-2)D.(1,2)

【答案】B

【解題思路】利用函數(shù)的圖象變換求解.

【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x)是奇函數(shù)，

所以函數(shù)y=/(%)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

又函數(shù)y=/(%+1)+2的圖象是y=/(x)的圖象向左平移1個(gè)單位，

向上平移2個(gè)單位得到的，

所以函數(shù)y=/(X+1)+2圖象對(duì)稱中心的是(一1,2),

故選：B.

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【變式4-3](24-25高一上?安徽合肥期末)已知/(%)為/?上的奇函數(shù),/(2)=2,^Vxbx2€(0,+8)且句>全，

都有汕山3>0,則不等式(無-2)/(%-2)<4的解集為()

xl-x2

A.(-oo,0)U(4,4-oo)B.(-oo,0)C.(4,+co)D.(0,4)

【答案】D

【解題思路】設(shè)gQ)=x/(x),由題意得到g(x)為偶函數(shù)目在(0,+8)上單調(diào)遞增，由2/(2)=g(2)=4,將

原不等式轉(zhuǎn)化為2)<g(2),然后利用g(x)的圖象與性質(zhì)符問題轉(zhuǎn)化為-2<x-Z<2,解不等式即可

得解.

【解答過程】設(shè)g(x)=xf(x),由收1,％2e(0,+8)且不>xJf的)T2f(X2)>o

X1-X2

則g(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增,,?,/■(%)為奇函數(shù)，???f(一功=一/迎),

g(r)=-xf(-x)=xf(x)=g(x)

故0(x)為偶函數(shù)，

而0(無-2)=(x-2)f(x-2)<4=2/(2)=g(2),

則-2VX-2V2,解得：0vx<4,

故選:D.

【題型5抽象函數(shù)的奇偶性】

【例5】(24-25高一上?云南昆明?期末)己知函數(shù)/'(%)的定義域?yàn)镽,且f(l)=-2,若f(%)?f。)=/(x+y)+

fQ-y),則()

A./(0)=0B.f(2)=1

C./"(%)為偶函數(shù)D./(%)為增函數(shù)

【答案】C

【解題思路】通過賦值法，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可求解.

【解答過程】令％=l,y=0,則/(1)/(0)=/(I)+/(I),

則一2/(0)=-4=/(0)=2,故A錯(cuò)誤；

令％=Ly=l,則/(l)f(l)=/(2)+/(0)，

則4=f(2)+2=/(2)=2,故B錯(cuò)誤；

令x=0,

則/(O)f(y)=/(y)+-y)=2f(y)=f(y)+f(-y)=f(y)=

所以/'(%)為偶函數(shù)，故C正確；

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由/(0)=2,/(I)=-2,可知不是增函數(shù)，D錯(cuò)誤.

故選：C.

【變式5-1](24-25高一上?重慶?期中)若％,y￡R,/(%+y)+/(x-y)=2/(x)/(y),且/⑵=；,則

f(2020)+/(2022)+/(2024)=()

A.-2B.-1C.-iD.0

【答案】A

【解題思路】利用賦值法，判斷函數(shù)的周期，對(duì)稱性，再利用周期性和對(duì)稱性求值.

【解答過程】令％=2,1=0,得2f(2)=2/(2)f(0),得/1(0)=1,

令y=2,f(x+2)+f(x-2)=2/(x)/(2)=f(%),

又/1(%4-4)4-f[x)=f(x+2),故f(X+4)=-f(x-2),即f(x+6)=-f(x),

故/(%)得到周期丁=12,

令x=0,/(y)+/(-y)=2f(y),即f(y)=f(-y),故f(x)是偶函數(shù)，

又/(2+6)+/(%)=O/(x+6)+/(-x)=0,所以/(%)得到圖象關(guān)于(3,0)對(duì)稱，

所以/'⑶=0,f(4)=-/X2)=W，K6)=-/(0)=-1,八8)=-八2)=-5

所以/(2020)+/(2022)+/(2024)=/(4)+/(6)+/(8)=-1-1-1=-2.

故選:A.

【變式5-2](24-25高一上?浙江溫州,期末)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/?(%)滿足：WR,/(%)-<(y)=/(%-

y)4-2(x-y)y,且f(6)=0,則()

A.f(0)=lB./■⑶=9

C./(x)是奇函數(shù)D.Vxe/?,/(x)+/(-x)>0

【答案】D

【解題思路】利用賦值法結(jié)合題干信息逐項(xiàng)分析求解.

【解答過程】對(duì)A,令％=6,y=0,則/(6)-/■(())=/(6-0)+2(6-0)x0,

由"6)=0,則0-/(0)=/(6)+0,即一/"(())=0,所以/'(0)=0,故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,令x=6,y=3,則/'(6)-/(3)=/(6-3)+2(6-3)x3,因?yàn)?(6)=0,

所以0-/(3)=*3)+18,解得f(3)=-9,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,令％=0,則/(0)-/(y)=/(-y)-2y2,

又/(0)=0,所以f(y)=f(y)2y2,則_/?(#)=f(r)—2/,

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當(dāng)無,0時(shí)，/(-x)=-/(x)+2x2/(x),不滿足奇函數(shù)的定義,

所以/'(%)不是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤：

對(duì)D,由C選項(xiàng)知,-/(x)=/(-x)-2x2,BP/(X)+/(-X)=2X2>0,

所以VxGR,/(x)+/(-x)N0,故D正確.

故選:D.

【變式5-3](2025?甘肅慶陽?一模)已知函數(shù)外幻的定義域?yàn)?/(人%+①)=八幻+八')，*1)=1,則

下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A./(0)=0B./(%)是奇函數(shù)

C./(2024)=2024D./(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)版0)對(duì)稱

【答案】D

【解題思路】利用賦值法％=1,丫=0可得/(0)=0,即可判斷A,利用y=—x,即可根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷

B,利用/(/■(%+1-%))=/(%)4-/(1-x)=>l=f(x)+/(I-%)可判斷/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)e，；)對(duì)稱，即可

判斷D,結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)，即可求解C.

【解答過程】取％=l,y=o,則f(f(l))=/(l)+/(0),即/(l)=f(l)+/(0)，得/(0)=0,故A正確；

取)，=一X,則/(/(%-x))=/(x)+/(-%),得/(0)=/(x)+/(-%)=0,故/1(%)是奇函數(shù)，B正確；

對(duì)任意的%都有/V(%+1-X))=/(x)4-/(1-x),可得1=/(z)+/(I-X),

囚此/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)G，3對(duì)稱，故D錯(cuò)誤；

由于1=f(x)+/(I-0且/(%)是奇函數(shù),得1=/(X)-/(X-1),即/a)=/(x-l)+l,

因此八2)=/(I)+1=2,/(3)=；(3)+1=3J(4)=/(3)+1=4,…,/'(2024)=2024,C正確.

故選：D.

知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)的圖象

1.函數(shù)圖象的對(duì)稱性

⑴圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形:函數(shù)產(chǎn)/G)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(〃,b)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)

g(x)=f(x+a)-b為奇函數(shù).

(2)圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱圖形：函數(shù)產(chǎn)/G)的圖象關(guān)于直線x=a成軸對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)以*=/心+〃)

為偶函數(shù).

2.函數(shù)圖象的識(shí)別、判斷

(I)排除法:利用特殊點(diǎn)的值來排除；

(2)利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性來判斷.

3.對(duì)稱性的三個(gè)常用結(jié)論

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(1)若函數(shù)/(x)滿足/(a+x)可(6-x),則y=f(x)的圖象關(guān)于直線工=―5一對(duì)稱?

(2)若函數(shù)/(X)滿足./(a+x)=：/3-x),則度/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.

(3)若函數(shù)/(x)滿足/(a+x)t/(6-x尸c,則)『/(》)的圖象關(guān)于點(diǎn)1，9對(duì)稱.

【題型6函數(shù)圖象的識(shí)別與判斷】

【例6】(24-25高一上?四川成都?價(jià)段練習(xí))函數(shù)丫二懸?的圖象大致為()

【解題思路】利用函數(shù)的奇偶性排除兩個(gè)選項(xiàng)，再利用0V%V1時(shí)函數(shù)值的正負(fù)即可判斷得解.

【解答過程】函數(shù)丁=丹中，,一1尹0,解得入不±1,函數(shù)的定義域?yàn)閧XWR|XH±1},

由我告=翟？得函數(shù)y二會(huì)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，排除AD；

當(dāng)0VXV1時(shí)，獸V0,排除選項(xiàng)C,選項(xiàng)B符合要求.

X—1

故選：B.

【變式6-1](24-25高一上?江蘇常州?階段練習(xí))函數(shù)/(無)二千的圖象大致形狀是()

11/24

【答案】A

【解題思路】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值的符號(hào)可得正確的選項(xiàng).

【解答過程】外外的定義域?yàn)椋啄恕馈?｝,而/(一無)=一/二一/(%),

一2

因此/Xx)為奇函數(shù)，故排除CD,

當(dāng)0VXV2時(shí)，，(%)=*<0,故排除B,

X—2

故選：A.

【變式6-2](24-25高一上?四川南充?期中)函數(shù)/(%)的大致圖象如圖所示，則/■(%)可能是()

A.f(%)=±B./(%)=三

C/(%)=號(hào)D.fM=

【答案】C

【解題思路】根據(jù)圖象分析/(%)的奇偶性以及定義域，然后逐項(xiàng)判斷即可.

【解答過程】由圖象可知，八%)為奇函數(shù)且定義域?yàn)椋鸛|xH±l｝,

對(duì)于A：定義域?yàn)椋鹸|%H±l｝關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，/"(一%)=14—=六=/(%),是偶函數(shù)，不符合：

對(duì)于B：定義域?yàn)椋╔H1｝,不符合；

對(duì)于C：定義域?yàn)镠±1｝關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，/(-X)=-2=-=-fM，是奇函數(shù)，符合;

(―X)-1獷7

對(duì)于D：定義域?yàn)?|%工±2｝,不符合；

故選：C.

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【答案】D

【解題思路】判定函數(shù)的奇偶性和正負(fù)即可得解.

【解答過程】/(%)=』的定義域?yàn)?-8,0)U(o,+8),它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且/"(一%)=/(%),

x"r|X|

所以義%)是偶函數(shù)，排除AB,

當(dāng)XH0時(shí)，fa)=$>0,排除C,經(jīng)檢驗(yàn)，D符合題意.

xz+|x|

故選：D.

【題型7函數(shù)圖象的應(yīng)用】

【例7】(24-25高一上?天津?yàn)I海新?期中)已知函數(shù)AX)是(一8,0)1^(0,+8)上的奇函數(shù)，且當(dāng)xv0時(shí),

函數(shù)的部分圖象如圖所示，則不等式V0的解集是()

X

A.(-3,-1)U(1,3)B.(-3,-1)U(0,1)U(3,+oo)

C.(—8,—3)U(—1,1)U(3,+8)D.(—8,—3)U(—1,0)U(0,1)U(3,+8)

【答案】D

【解題思路】根據(jù)題設(shè)，將不等式化為號(hào)＜0,結(jié)合奇函數(shù)對(duì)稱性及圖象確定其解集.

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【解答過程】由題設(shè)““)一"一外=互絲V0,即儂V0,

XXX

當(dāng)％V0時(shí)，早<0=/(x)>0,

由圖可知，xe(-OO,-3)U(-l,0)W/(x)>0,北^(-3,-1)時(shí)/(%)<0,

當(dāng)%>0時(shí)，vV0=f(x)V0,

根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱性，有x€(0,l)U(3,+8?jf(x)<0,%E(l,3/jf(x)>0,

所以，不等式的解集為(-oof-3)U(-1,0)U(0,1)U(3,+co).

故選:D.

【變式7-1］(24-25高一上?全國?課后作業(yè))已知函數(shù)/1(%)是定義在區(qū)間［。2-6,田內(nèi)的奇函數(shù)，且/?(%)在區(qū)

間(0,旬內(nèi)的圖象如圖所示，則的單調(diào)遞增區(qū)間為()

A.［-2,-1］B.［-1,1］C.［一2,—1］和［1,2］D.［1,2］

【答案】C

【解題思路】根據(jù)奇函數(shù)的定義求出Q的值，由圖象可得函數(shù)在［1,2］內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱性，求

出函數(shù)在［-2,-1］內(nèi)單調(diào)遞增,即可得解.

【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)/'(%)是定義在區(qū)間［。2-6,a］內(nèi)的奇函數(shù)，

所以卜2［6ta=0,解得Q=2,

(az-6<a

所以函數(shù)/(均是定義在區(qū)間［-2,2］內(nèi)的奇函數(shù)，

由圖可知，函數(shù)在［1,2］內(nèi)單調(diào)遞增，由奇函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，

因此八力的單調(diào)遞增區(qū)間為［-2,-1］和［1,2］.

故選:A.

【變式7-2］(24-25高一上?貴州六盤水?期中)己知函數(shù)/(幻=工—：的部分圖象如圖所示，則()

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A./(%)的定義域?yàn)镽B./(%)的值域?yàn)?0,+8)

C./(盼在區(qū)間(一8,0)上單誡遞減D.fM>0的解集為(一1,0)U(1,+oo)

【答案】D

【解題思路】根據(jù)解析式和圖像直接判斷AB：對(duì)于C結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)分析判斷；對(duì)于D：利用單調(diào)性解

不等式即可.

【解答過程】對(duì)于選項(xiàng)A：顯然函數(shù)的定義域?yàn)閧刈XH0},故A錯(cuò)誤：

對(duì)于選項(xiàng)B：由圖象可知/(%)可以為負(fù)值，所以/(幻的值域不為(0,+8),故B錯(cuò)誤；

因?yàn)?'(-%)=-x-^=-(x-；)=-/(X),可知f(x)為奇函數(shù).

對(duì)于選項(xiàng)C：由圖象可知：八%)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，

則/(%)在區(qū)間(-8,0)上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?G)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，

且/(1)=0,此時(shí)f(x)>0的解集為〉,+8)；

又因?yàn)?(%)在區(qū)間(一8,0)上單調(diào)遞增，

且/(T)=-f⑴=0,此時(shí)/(D>0的解集為(-4,0)；

綜上所述：/(%)>0的解集為(一1,0)1^1,+8),故D正確；

故選：D.

【變式7-3](24-25高一上?四川南充?期中)已知偶函數(shù)/X%)與奇函數(shù)g(四的定義域都是(-2,2),它們?cè)赱0,2)

上的圖象分別如圖1、圖2所示，則使關(guān)于％的不等式/(x)g(x)>0成立的％的取值范圍為()

01圖2

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A.(-2,-1)U(1,2)B.(-1,0)U(0,1)

C.(-2,-1)U(0,1)D.(-1,0)U(1,2)

【答案】C

【解題思路】補(bǔ)全兩個(gè)函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得出不等式/?(%加(%)>0的解集.

【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)/(X)為偶函數(shù)，函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，補(bǔ)全這兩個(gè)函數(shù)的圖象如下圖所示:

因?yàn)樯咝?>。，貝喘霽或偏北，

由圖可得，不等式組的解集為(一2,-1),

9(%)<o

不等式瞰2jJ的解集為(0,1).

綜上所述,不等式/(加(戈)>0的解集為(一2,-1)U(04).

故選：C.

【題型8抽象函數(shù)的性質(zhì)】

【例8】(24-25高一上?安徽宿州?期中)已知定義在(一8,0)U(0,+8)上的函數(shù)/"(%),滿足/"(孫)+2=

/(%)+/(、)，且當(dāng)%>1時(shí)，八無)>2,則下列說法錯(cuò)誤的是()

A./(-I)=2B.fCO為偶函數(shù)

C./(-2025)</(-2024)D,若，a+2)<2,則一3<%V-1

【答案】C

【解題思路】A選項(xiàng)，先令x=y=l,可得/(1)=2,再令乃=)，=一1,可判斷選項(xiàng)正誤；

B選項(xiàng)，令y=-l,結(jié)合Ax)定義域可判斷選項(xiàng)正誤；

C選項(xiàng)，由題可判斷/"(%)在(0，+8)上單調(diào)遞增，后由B選項(xiàng)分析可判斷選項(xiàng)正誤：

D選項(xiàng)，由ABC選項(xiàng)可解不等式/'(x+2)V2.

【解答過程】A選項(xiàng)，在/'(xy)+2=/(x)+f(y)中，令％=y=1.

得/(l)+2=/(l)+f(l),解得/<1)=2：再令x=y=-l,

得/(1)+2=/(-1)+/(-1),解得/(-1)=2,故A正確；

B選項(xiàng)，令、=1,得"x)I2=fM?/(1)，所以f(x)=fW，

16/24

又/G)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以/(X)是偶函數(shù)，故B正確；

C選項(xiàng)，設(shè)0<必<%2，則1=￡>1，所以/'(￡)>2,

所以/(不)=/(比1)=/Q)+/(必)-2>/(不),

所以/Q)在(0,+8)上是增函數(shù)，因?yàn)?(%)是偶函數(shù)，

所以/(均在(一8,0)上是減函數(shù)，從而八一2025)>。-2024),故C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng),因?yàn)橥饣檬桥己瘮?shù),則r(x+2)V2O/(|%+2|)V/(l)，

又/(外在(0,+8)上是增函數(shù)，所以|x+2|V1,解得一3Vxv-1,故D正確.

故選：C.

【變式8-1](2025?新疆烏魯木齊?二模)已知/(%),g(x)都是定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意x,y滿足-y)=

fG)g(y)-g(x)/(y)，且f(-2)=/(1)*o,則下列說法正確的是()

A./(O)=1B.函數(shù)g(2x+l)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱

C.g(l)+g(-1)=0D.若/W=l,則2鬻/(n)=1

【答案】D

【解題思路】利用賦值法結(jié)合題目給定的條件可判斷AC,取f(x)=sin^x,gM=cos-x可判斷B,對(duì)于D,

通過觀察選項(xiàng)可以推斷/'(')很可能是周期函數(shù)，結(jié)合f(x)g(y),g(%)f(y)的特殊性及一些己經(jīng)證明的結(jié)論，

想到令y=-1和y=1時(shí)可構(gòu)建出兩個(gè)式子，兩式相加即可得出f(x+1)+/(%-1)=-/(x),進(jìn)一步得出

/Q)是周期函數(shù)，從而可求2%：八九)的值.

【解答過程】解：對(duì)于A,令x=y=O,代入已知等式得/?(())=/"(O)g(O)—g(O)f(O)=O,得/i(())=0,故

A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,取/(x)=sinfzgO)=cos4%,滿足/'(%-y)=fMg(y)-g(x)f(y)及/'(-2)=/(I)*0,

JJ

因?yàn)椤?3)=cos2ir=1*0,所以g(x)的圖象不關(guān)于點(diǎn)(3,0)對(duì)稱，

所以函數(shù)g(2x+I)的圖象不關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,令y=0,x=1,代入已知等式得/(l)=/(l)g(0)-g(l)/(0)，

可得/'(l)[l-g(0)]=-g(l)f(O)=O，結(jié)合/1(1)60得1-g(0)=o,g(0)=l,

再令％=0,代入己知等式得/"(-)/)=/'(O)g(y)-g(0)/(y)，

將"0)=0,9(0)=1代入上式，得/■(一y)=-f(y),所以函數(shù)/(%)為奇函數(shù).

令x=l,y=-l,代入已知等式,得f(2)=/(l)g(-l)-、(l)f(-l),

17/24

因?yàn)閒(-l)=一/⑴,所以f(2)=f(l)[g(-l)+g(l)],

又因?yàn)閒(2)=-/(-2)=-/(l),所以-f⑴=f(l)-(-l)+g(l)],

因?yàn)?(l)HO,所以g(l)+g(-1)=-1,故C錯(cuò)誤：

對(duì)于D,分別令y=-1和y=1,代入已知等式，得以下兩個(gè)等式：f(x+1)=f(x)g(—l)-g(x)/(-

1)=/(x)g(i)-g(%)/(i)，

兩式相加易得+1)+fa-1)=-fix),所以有+2)+fM=-/a+i),

即：/(%)=—f(x4-1)—f｛x+2).

有：-/(x)+fM=f(x+1)+f(x-1)-f(x+l)-/(x+2)=O,

即：/(x-l)=/(x+2),所以/(x)為周期函數(shù)，且周期為3,

因?yàn)?'(1)=1,所以/(-2)=1,所以/(2)=-/(-2)=-1,/(3)=/(0)=0,

所以/?⑴+f⑵+/⑶=0,

所以X督3f(n)=1=/(I)+f(2)+/(3)+…+/(2023)=/'(2023)=/(I)=1,故D正確.

故選：D.

【變式8-2](24-25高一上?遼寧丹東期中)定義域?yàn)椋親0｝的函數(shù)/出滿足/⑺+f(y)=/(xy).

(1)求證：/0)=-/(x)：

(2)求證：/(x)為偶函數(shù)；

(3)當(dāng)X>1時(shí)，/(%)>0,求證：/■(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，在(一8,0)上單調(diào)遞減.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析?

⑶證明見解析

【解題思路】(1)取x=y=l計(jì)算出/(1)=0,再取y=：即可；

(2)取y=-1,再取％=y=-l計(jì)算出/(-1)=0即可；

(3)利用定義法證明函數(shù)在(0,十8)上的單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)奇偶性得出忸數(shù)在(-8,0)上的單調(diào)性.

【解答過程】(1)取％=y=1代入/(X)+f(y)=/(xy),得/(I)=0,

取),=拊入f(代+/(y)=f(xy),

得/(“)+/G)=。，故f(3=-/a).

(2)取y=-1代入f(x)+/(y)=f(xy),得f(%)+/(-l)=/(-x),

取x=y=1代入f(x)If(y)=f(ky),f(1)I/(1)=/(l),所以f(1)=0,

18/24

所以/(x)=/(一x),因?yàn)楫?dāng)無G{x\xH0}時(shí)，-xG[x\x豐0),所以/(%)為偶函數(shù).

(3)設(shè)不,必€(0,+8),%1V必,則由題設(shè)/管)>0.

所以/(%2)-/U1)=/(%2)+/(￡)=/仔),0JU2)>/(4)"(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

因?yàn)?(%)為偶函數(shù),所以/■(一無2)>八一打)，而一打，一必€(_8,0),一巧>_不，所以外外在(一8,0)上單

調(diào)遞減.

【變式8-31(24-25高一上?重慶?期中)已知函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意的x,y6R都有f(xy)=/(x)/(y),

且x<0時(shí)，f(x)<0,%>1時(shí)，/(x)>1.

(1)求/(I)的值并判斷函數(shù)/■(%)的奇偶性；

(2)討論/(%)的單調(diào)性并證明;

(3)若/'(4)=16,/'(%)/'(%+1)-4八>"+6)20對(duì)任意的。6[0,1]成立，求實(shí)數(shù)》的取值范圍.

【答案】(1)/(1)=1，奇函數(shù)

(2)增函數(shù)，證明見解析

(3)(-co,-4]U[4,+oo)

【解題思路】(1)對(duì)已知式中的工y依次賦值，求得=/(-1)=-1,利用奇偶性定義證明即得；

(2)先證明%>0時(shí)，/(無)>0,力y=/(x)是R上的奇函數(shù)，可得/(0)=0,再由函數(shù)的單調(diào)性定義證明

在/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，再由奇函數(shù)即得/Xx)為R上的增函數(shù)：

(3)通過賦值法,將題設(shè)不等式化成/"(/+幻之f(2ax+12),再利用f(x)在R上是增函數(shù)將其化成/+(1-

2a)%-12工0對(duì)任意的aw[0,1]成立問題，結(jié)合一次函數(shù)的圖象即可求得.

【解答過程】(1)因?qū)θ我獾模￡R都有/'(xy)=/(x)/'(y).

當(dāng)x>l時(shí)，令y=l,則/"(x)=/(x)f(l),因則/'(1)=1；

再令x=y=-l,則/(1)=/(-1)/(一1)，即尸(-1)=1,因/(-1)<0,則/'(-1)二-1.

令y=-1，則/(-%)=/(-1)/(%)=-/(%),故y=/(%)是奇函數(shù).

(2)/(X)在R上是增函數(shù).以下提供證明：

當(dāng)OVX<1時(shí)，則人：)>1,由/(I)=/Q.?=/(%)/(：)=1,可得0</W<l,

又/(I)=1>0,且X>1時(shí)，f(x)>1,故%>0時(shí)，/(%)>0.

又因/'(%)是定義在R上的奇函數(shù),所以/XO)=0.

任取Xi>%2>0，則己>1，從而/篇)>1

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fGl)一/(%2)=/(^2~)-f(%2)=f3)f管)一f(%2)=f3)(f償)t)>0

.?.f(M)>f(%2),???f(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增,

又因/V)是R上的奇函數(shù)，則/'(%)在(一8,0)上單調(diào)遞增，且/'(0)=0,

故/(%)在R上是增函數(shù)；

(3)在fay)=/a)/(y)中，令x=y=2,可得/(4)=/(2)=死，因/(2)>0,則/(2)=4,

B&/W(x+l)-4/(ax+6)工U可得/(%)/(%+1)>/(Z)/(ax+6),

BP/(x2+x)>/(2ax4-12)

因/(%)在R上是增函數(shù)，即得%2+(1-2a)%-12之0對(duì)任意的aw[0,1]成立，

設(shè)g(a)=-2xa+x2+x—12,

則小2”、c,解得戈Z4或工工-4

即實(shí)數(shù)x的取值范圍為(-8,-4]U[4,+co).

【題型9函數(shù)的性質(zhì)綜合】

【例9】(24-25高一上?北京東城?期末)已知y=f(x)奇函數(shù)，/(%)=/(2-幻恒成立，且當(dāng)04x41時(shí)，

f(x)=x,設(shè)g(x)=f(x)+f(x+1),則下列說法不氐唧的是()

A.g(2022)=-1

B.函數(shù)y=g(x)為周期函數(shù)

C.函數(shù)y=g(x)的圖象既有對(duì)稱軸又有對(duì)稱中心

D.函數(shù)y=g(x)在區(qū)間(2022,2023)上單調(diào)遞減

【答案】D

【解題思路】推導(dǎo)出函數(shù)/?(%)是周期函數(shù)，可推導(dǎo)出函數(shù)g(x)為周期函數(shù)，結(jié)合周期性可判斷AB選項(xiàng)；利

用函數(shù)的對(duì)稱性可判斷C選項(xiàng)；求出函數(shù)y=g(x)在(2022,2023)上的解析式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷D

選項(xiàng).

【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x)為奇函數(shù)，/(%)=/(2-%)恒成立，

則/(%)=-f(x-2),故/(%+4)=-f(x+2)=f(x),

故函數(shù)/(%)是周期為4的周期函數(shù)，

對(duì)于A選項(xiàng)，g(x+4)=f[x+4)+f(x+5)=f(x)+f[x+1)=g(x),

所以,函數(shù)g(x)是周期為4的周期函數(shù)，

則0(2022)=g(4X505+2)=g(2)=/(2)+/(3),

20/24

當(dāng)當(dāng)04%工1時(shí),/(x)=x,則/(3)=/(-1)=一/(1)=-1,/(2)=—/(0)=0,

所以，g(2022)=f(2)+/(3)=-l,A對(duì);

對(duì)于B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，B對(duì)：

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)間(l-x)=/(I-x)+/(I-x+1)=/(I-x)+f(2-%)=/(2-(1-x))+/(x)

=/(x+1)+/(x)=g(x),

所以，函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x