2026高考數(shù)學(xué)第二輪專題

專題突破練17圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)

必備知識(shí)夯實(shí)練

1.（2025湖北黃岡二模）設(shè)時(shí)存0,“曲線加+辦2二c為橢圓”是“比＞0”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

2.（2025安徽淮北二模）若拋物線V二4%的焦點(diǎn)是橢圓。:三+9=1（，心0）的一個(gè)焦點(diǎn),則橢圓

C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（）

A.2B.2V3

C.4D.8

3.（2025江蘇蘇州模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓泌＞0）的右焦

點(diǎn)為E右頂點(diǎn)為A,上、下頂點(diǎn)分別為歷⑸,點(diǎn)。在線段Bi尸上，且|8。|=2|。川.若。3〃A%

則C的離心率為（）

4.（2025浙江臺(tái)州二模）已知B"為雙曲線C:搐-5=1（〃＞（）力＞0）的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)后作

直線/與雙Illi線C的右支交于A,B兩點(diǎn)，且|AB|二|BFi|,cosN4BR苦，則雙曲線C的離心率

為（）

C獨(dú)D）

=33

5.已知雙曲線5-5=1（心0/＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為尸⑺,拋物線y2=4^5x的準(zhǔn)線1經(jīng)過

R,且/與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)A,若NBBAW，則雙曲線的方程為（）

4

164416

C.--y2=lD，-J=l

44

6.（多選題）（2025山東泰安二模）已知雙曲線若-/=1（心0力>0）的左、右焦點(diǎn)分別為Q42,

則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.若“2力二百,則雙曲線的任一焦點(diǎn)到漸近線的距圖為V5

B.若點(diǎn)尸在雙曲線。上,則直線PFi與P6的斜率之積為4

C.以線段a22為直徑的圓與雙曲線。在第一象限交于點(diǎn)P,且|PO|=|PB|,則雙曲線C的離

心率e=V5+l

D.若過F2的直線/與x軸垂直且與漸近線交于A,B兩點(diǎn),NAFiOW，則雙曲線C的漸近線

方程為y=±2y/3x

7.（多選題）（2025安徽黃山二模）已知拋物線C-.）r=2px的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A（8,8）在拋物線上，過

點(diǎn)尸作直線交拋物線于兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.|MN|的最小值為4

B.以線段MN為直徑的圓與直線x=-2相切

C.當(dāng)加=2麗時(shí)，則|MN|二9

D.而赤=12

8.（2022全國(guó)甲，文15）記雙曲線。:5-捻=1（"0力>0）的離心率為e,寫出滿足條件“直線）=2x

與。無公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值:.

9.（2025江西宜春一模）己知拋物線C:/=4x的焦點(diǎn)為￡點(diǎn)P在C上且位于第一象限，過點(diǎn)

P作直線垂直于C的準(zhǔn)線，垂足為A,若直線AF的傾斜角為尊則|PF|=.

10.（2025湖北宜昌二模）已知橢圓C:捻+5=139>0）的左、右焦點(diǎn)分別為Fi,G過點(diǎn)F2的

直線與。交于43兩點(diǎn).若八22|二2|8月|,八川二|3人|,則橢圓。的離心率為.

關(guān)鍵能力提升練

11.（2025河北秦皇島二模）已知雙曲線*-Qim>0/>0）的左頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F（c,0）,

過點(diǎn)A且斜率為左的直線/與圓a-c）2+y2=G〃）2相切與。交于第一象限的一點(diǎn)B.若生任1,

則C的離心率的取值范圍是（）

A.[3,3+2VS]

B.[3,3+4V5]

CJ3+2V2J+4V3]

D.[3+4V3,7+4V3]

12.（多選題）（2025陜西西安二模）設(shè)雙曲線。占-1=13＞0力＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為月,乃,

下列說法正確的是（）

A.若C的漸近線的斜率為4則C的離心率為苧

B.若C的漸近線方程為尸爭(zhēng):，且點(diǎn)（2,9）在C上，則67=2

C.過點(diǎn)Fi的直線與C的右支相交于A,B兩點(diǎn)，若|A8|=4〃,NQAB=90。,則C的離心率為半

D.若C的左、右頂點(diǎn)分別為M,N,且尸是C上異于M,N的一點(diǎn)，則直線PMJPN的斜率之積

為《

13.（2025山東荷澤模擬）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為Fig,這點(diǎn)6的

直線交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，且PQJ_FQS則橢圓C的離心率為.

核心素養(yǎng)創(chuàng)新練

14.（多選題）（2025浙江杭州二模）設(shè)曲線=直線y=ax+b與曲線C的交力、的可能

個(gè)數(shù)的集合記為。3,。）,則（）

A.O（a,。）={0,1,2,3}

B.D（?,2）={0,l,2}

C.0（。,-3。）={0,1,2}

D.若。（〃必={3},則|〃|＞；且/X0

答案；

1.A解析若曲線o?+力2=c為橢圓，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為號(hào)+。=](存圾

ab

因?yàn)闄E圓中分母須大于(),所以￡>()且於(),又因?yàn)榧咏?,那么ac>0且區(qū)>(),所以充分性成

ab

立.

當(dāng)ac>0時(shí)，比如a=Z?=l,c=l,此時(shí)曲線方程為x2+)2=1,它表示的是圓不是橢圓，必要性不成

立.所以“曲線ax2+by1=c為橢圓”是“〃c>0”的充分不必要條作故選A.

2.C解析在拋物線)，2二人中樵點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).所以橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且c=l(c為橢圓

的半焦距).在橢圓中,加二4=3+1=4,又因?yàn)椤?gt;0,所以。=2.則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=2x2=4.故

選C.

3.B解析由題可得，點(diǎn)&(0力)/(〃,0)/(c,0),口網(wǎng)=(〃,4).

??,|自。|=2|。用,則點(diǎn)D為線段BiF靠近點(diǎn)F的三等分點(diǎn)，

故。(:c,f)，加二瓦7=(。,功)，

由OD〃A&得士=工,化簡(jiǎn)得=:.故選B.

a-ba2

4.B解析由雙曲線定義得,|AFiHA尸2|二出尸】卜|即切=2〃,|小尸2|=2C.

設(shè)|8尸||=汝8|=帆,則|B尸2|二加勿，由圖,|A正2|=|AB|?|8尸2|=2Q,|A尸i|=4a,

在^ABFi中,由余弦定理得cosN46R=〃‘丁""2=

Inrm9

解得m=3a、

，|8乃|二，〃-2〃=〃.在4BF\Fi中,由余弦定理得cosZFiBF\=cosZABF\=^—7—-=

2x3〃?a9

，7/二3/,故離心率e=二=.故選B.

a3

5.D解析拋物線)，2二4后的準(zhǔn)線方程為x=-V5,則c=V5ji]FI(-V5,0),F2(V5,0),

，b(X=-C

不妨設(shè)點(diǎn)A為第二象限內(nèi)的點(diǎn)，聯(lián)立尸-尸，可得_bc

k-GI尸a，

即點(diǎn)A(?C,絲).

a

因?yàn)锳R_LFi乃,且NRQ=",

4

則4RF2A為等腰直角三角形,

（：=2,（4=1,

且|帕|二尸典，即存2c,可得沁所以‘鼠氏解得卜2,

?°Q=/+/,LG

因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為f-==l.故選D.

4

6.ACD解析由雙曲線的性質(zhì)知,焦點(diǎn)到漸近線的距離為仇故A正確；

當(dāng)點(diǎn)P為雙曲線頂點(diǎn)時(shí)，直線PFi與PF2的斜率之積為0,故B錯(cuò)誤；

由題意點(diǎn)P在圓f+V=c2上，又儼O|二|PB|,所以如三,代入圓的方程，可得沖=與,將點(diǎn)

艮哈=3+2低

所以e=：=Jl+/=j4+2VJ=y/J+l,故C正確；

直線/的方程為x=c,與漸近線產(chǎn)土夕相交于4（吟）,B（c,今），

所以Q/'=（2G"）,Q0=（c,0）,即cosg=g^^j=—^==；,化簡(jiǎn)可得！=12,解得絲275,所以雙

0a

曲線漸近線方程為產(chǎn)±2V5x,故D正確.

故選ACD.

7.BCD解析由題得,82=2〃x8,解得p=4,則C:六8尤"2,0）,

由題可設(shè)直線MN:廠）+2,聯(lián)立拋物線方程得產(chǎn)8yl6=0,顯然』＞0,

所以）"+”=8，加”=-16,則|時(shí)N|二，1+理.］仇+）2）2_4匕）&=8（1+尸心8,當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí)等號(hào)成

立,A錯(cuò)誤；

由拋物線的定義知|M/V|=ti+x2+4,而線段MV的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為恰，

所以線段MN的中點(diǎn)與直線x=-2的距離為守+2,即為|MN|的一半，

所以以線段MN為直徑的圓與直線x=-2相切,B正確；

若兩，且則yi=2|），2|,而yi”=-16,

所以y尸40,)-275,

則)“+”=8/=2應(yīng)□，二日，

所以Ki+x2=/(yi+y2)+4=/x2V5+4=5jUJ|MN|=xi+x2+4=9,C正確;

y

M

由。命。A二犬|犬2+)“"=(尸+1)}1丫2+2/()“+?)+4=-16r2-16+16/2+4=-l2,D正確.

故選BCD.

8.2（答案不唯一，只要1〈空方即可）

解析由題意知,雙曲線C的漸近線方程為產(chǎn)士夕,要使直線產(chǎn)入與雙曲線C無公共點(diǎn)，只

需0<-<2即可.由0<紜2,得0<4",所以1</5,故1〈”V5.

aaaL

9.4解析因?yàn)閽佄锞€。:產(chǎn)=4工的焦點(diǎn)為居所以"1,0）,

由題意可得ZAPF=ZPFx,ZAPF+ZAFP+ZMP=TT,

所以/必尸二兀-Z/lfx=K-y=p

又由拋物線定義得|%|二|PQ,

所以△PAF為等邊三角形，設(shè)準(zhǔn)線與X軸交于點(diǎn)F；在RtA中,N必尸二30。,

所以|AF|=2|F/1=4,

所以|PF|=|AF|=4.

10.Y解析由已知可設(shè)I乃用二元

則依尸2|=2X,|BFI|=|A8|=3X,

由橢圓的定義有|明|十|BFI|=2a=4x,故.

???|4乃|二〃邛乃|,|防|二|陰二手故點(diǎn)4為橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn).

2十9429a2

在^AF\B中，由余弦定理推論得cosNBAB」三封二.

在^AOF2中，設(shè)NOAP2=a

故cosZFiAB=cos2gam?吟，得sii?g,

故。二二等=sin0=^.

aX&l3

H.A解析依題意，點(diǎn)4-a,0),直線I的方程為y=k(x+a\

圓(齊4+丁二(c-a)2的圓心為(c,0),半徑為c-a,

由直線I與圓(x-c)2+)2=(c-a)2相切，得黑a=c-o,

42+1

令雙曲線離心率為伍又fw61,則3=±=與=口

3e-1c-ak7F

因此1+7T=即夜解得3<e<3+2>/2,

所以。的離心率的取值范圍是[3,3+2夜].故選A.

12.ACD解析對(duì)于A,由。的漸近線的斜率為耳,則4=：,

2a-4

所以c的離心率為故A正確；

對(duì)于B,由C的漸近線方程為尸表設(shè)C，=HQ0),

又點(diǎn)(2,1)在。上,所以;二1二4,即哈?/],

所以4=6,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由過點(diǎn)Fi的直線與C的右支相交于A,B兩點(diǎn),不妨設(shè)|AB|="7,舊乃|二〃，

若|AB|=4a,Nn八8=90。，

則|AR\=2a+m,\BF\|=2。+幾

在RtAAF\B中,由勾股定理得(2。+〃?)2+(加+〃)2=(24+〃)2,結(jié)合，〃+〃=4〃,解得m=ei,n=3a,

iSL\AFi\=3a,\AF2\=a,

在RtAAF\F2中,由勾股定理得(2C)2=(3〃)2+〃2,即4c2=]0吐

所以右￡=?，故C正確；

a2

對(duì)于D,設(shè)P(xo,yo)(xo科〃),

則ATT，即必哼除*,

又M(-a,0),M〃,0),

所以"“心砂=上?'=具=泮2=《故D正確.

x°+ax（）-aXQ-a-而一相a2

故選ACD.

13.J解析由SQF、F?=2Ss后，可得|。乃|二2伊乃|,設(shè)|戶人|二加，則

|QB|=2m,|PFi|二2〃-，〃,|QFi=2a-2m,由PQlFiQ,貝U\PF^=\PQ\2+|?！浮?即

(2a-m)2=9祥+(2〃?2M5解得"?吟所以?QFi|=2a_2x三=|Q3|今,

在RtAQF尸2中，有"2『=|幽F+I0&『，即4c2二亨十9解得捺吟所以橢圓C的離心率

cy/5

e=-=—.

a3

14.ACD解析當(dāng)j>0時(shí)有C，：iy2=],且漸近線為產(chǎn)與當(dāng)產(chǎn)0時(shí)有=],如圖].

圖1

曲線上半部分為雙曲線的一部分，下半部分為橢圓的一部分，且曲線關(guān)于），軸對(duì)稱,根據(jù)對(duì)

稱性，只需討論生0的情況.

若〃=0,

當(dāng)b<-\時(shí)，直線y=ax^-h與曲線無交點(diǎn)；

當(dāng)b=-l時(shí),直線產(chǎn)與曲線有1個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)b>-\時(shí),直線產(chǎn)與曲線有2個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)0<嗎力v-1時(shí)，如圖2.

y

由圖知，以直線產(chǎn)也+〃與橢圓部分相切為界，此時(shí)有1個(gè)交點(diǎn)；

此時(shí)a不變力T-1,直線與曲線有2個(gè)交點(diǎn)力--8,直線與曲線無交點(diǎn),

所以當(dāng)時(shí)直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有0,1,2三種可能；

當(dāng)b>-\時(shí),Va￡（O$,直線產(chǎn)依+人與曲線有2個(gè)交點(diǎn);

當(dāng)〃斗如圖3,分別以直線尸1T+/2與曲線雙曲線、橢圓部分相切為界,

直線在雙曲線部分相切線上方時(shí)，直線與曲線恒有1個(gè)交點(diǎn)；

直線與雙曲線部分相切時(shí)，直線與曲線恒有2個(gè)交點(diǎn)；

直線在橢圓相切線下方時(shí)，