L2一定是直角三角形嗎

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知VA3C,A8=5,8c=5&，AC=5,則這個三角形是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

2.由下列各組線段組成的三角形是直角三角形的是（）

A.3,4,4B.3,4,5C.3,4,6D.2,3,5

3.如圖，NABC是放置在正方形網(wǎng)格中的一個角，4、B、。都是格點(diǎn)，貝hosN48c的

值為（）

B

C

A.yB.正C.—D.75

255

4.三角形的三邊長為。、b、J且滿足等式（〃+。）2一廿=2",則此三角形是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形

5.五根小木棒的長度分別為7,15,20,24,25,現(xiàn)將它們擺成兩個直角三角形，下列圖

形正確的是（）

6.下列各組數(shù)中不能作為直角三角形的三邊長的是（）

A.2,3,4B.5,12,13C.6,8,10D.9,12,15

7.若VA3c的三邊mb,c滿足〃br=23瓜，則VA3c是（）

A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.等邊三角形

8.依據(jù)所標(biāo)數(shù)據(jù)，下列三角形中，是直角三角形的是（）

9.勾股數(shù)，又名畢達(dá)哥拉斯三元數(shù),是指能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù).下

列各組數(shù)中是勾股數(shù)的是（）

A.0.3,0.4,0.5B.2,3,5c.32,42,52D.5,12,13

10.已知mb,c為VA4C的三邊長，在下列條件中，不能判定VA4c是直角三角形的是（）

A.ci=6,Z>=8,<?=10B.a—2^b—2ayc—a

C.a:b:c=3:4:5D.b2=a2-c2

II.下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）

A.0.3,0.4,（）.5B.I，I，C.10,15,18D,7,24,25

12.下列各組數(shù)中能作為直角三角形的三邊長的是（）

A.7,12,13B.3,4,5C.1,2,3D.5,12,14

二、填空題

13.勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c滿足,那么這個三角形

是直角三角形.（直角三角形的判定）

14.如圖，以VABC的兩邊8C、AC分別向外作正方形，它們的面積分別是S，邑，若$=2,

52-3,A）_5，則V/\8C的形狀是三角形.

A

15.在如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1,A,〃，C三點(diǎn)均在正方形格點(diǎn)上.

(1)-84C的大小為；

(2)若AO/8C,則A。的長為.

16.如圖是某超市購物車的側(cè)面簡化示意圖.測得支架AC=80cm,C3=60cm,兩輪中心的

距離A8=100cm,則點(diǎn)。到A8的距離是cm.

17.若是VABC的三邊長，且滿足|"5|+|8-12|+?、-13)2=0,則丫48。是三

角形.

三、解答題

18.如圖，四邊形ABCD中，DCA.BC,BD平分/ABC,AD=?E為AB上一點(diǎn),

AE=2,ED=>/i.

⑴判斷AAED的形狀，并說明理由;

⑵求CD的長.

19.如圖，在7ABC中，8c的垂直平分線OE分別交AB,BC于點(diǎn)、D,E,且BD2-DA2=AC2.

(1)求證：VA4C是直角三角形；

(2)若8c=2皿，4。:9。=3:4,求AC的長.

20.如圖，哪些三角形是直角三角形，哪些不是？說說你的理由.

21.如圖，在四邊形ABC。中，?B90?,AB=2,BC=CD=4,AO=6,連接4c.求

四邊形A8CD的面積.

22.如圖四邊形ACDE是證明勾股定理時用到的一個圖形，a、I”c是心△相€?和Rt△麻1。邊

長，易知4E=&c，這時我們把關(guān)于“的形如a?+0cx+力=0的一元二次方程稱為“勾系

一元二次方程”.請解決下列問題：

（1）寫出一個“勾系一元二次方程”；

（2）求證：關(guān)于x的“勾系一元二次方程“ar?+拒5+/,=0必有實數(shù)根；

（3）若x=-l是“勾系一元二次方程“加+&◎?+〃=（）的一個根，且四邊形ACDE的周長是

\2近,求V48C面枳.

23.如圖，在VA8C中,AB的垂直平分線分別交人民AC于點(diǎn)。，E,CB2=AE2-CE2.

(2)若4c=12,C8=9,求CE的長.

24.將一些“勾股數(shù)”整理并填入下表，觀察表格并I可答問題:

a3815243548?..

b468101214???

c51017263750???

⑴當(dāng)〃-90時，直接寫出”的值;

⑵是否存在一組數(shù)，既符合上述規(guī)律，且其中一個數(shù)為71?若存在，請寫出這組數(shù)；若不

存在，請說明理由；

(3)以任意一個大于2的偶數(shù)為一條直角邊的長，是否一定可以畫出一個直角三角形，使得

該直角三角形的另兩條邊的長都是正整數(shù)？若可以，請說明理由；若不可以，請舉出反例.

《1.2一定是直角三角形嗎》參考答案

題號12345678910

答案CBCBBABADB

題號1112

答案1)B

1.C

【分析】本題考查了等腰三角形的定義、勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是

222

解題關(guān)鍵.求出=AB+AC=BC,再根據(jù)等腰三角形的定義、勾股定理的逆定

理即可得.

【詳解】解：???在V4BC中，48=5,BC=5叵,AC=5,

/.AB=AC,AB2+AC2=52+52=50=BC2,

:.VA〃C是等腰直角三角形，

故選：C.

2.B

【分析】本題主要考查了勾股定理逆定理，關(guān)鍵是掌握如果三角形的三邊長〃，〃，c滿足

a2+b2=c\那么這個三角形就是直角三角形，據(jù)此先求出兩小邊的平方和，再求出最長邊

的平方，最后看看是否相等即可.

【詳解】解：A、???32+4,工4"

，長為3,4,4的三條線段不可以組成直角三角形，故此選項不符合題意；

B.V32+42=52,

，長為3,4,5的三條線段可以組成直角三角形，故此選項符合題意；

CsV32+42^62，

???長為3,4,6的三條線段不可以組成直角三角形，故此選項不符合題意：

D、V2+3=5,

，長為2,3,5的三條線段不可以組成三角形，故此選項不符合題意；

故選：B.

3.C

【分析】本題考查勾股定理，銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)網(wǎng)格的性質(zhì)，求出A4,

AC,的長，根據(jù)勾股定理的逆定理，可得“IBC是直角三角形，且NC48=90。，根據(jù)

余弦定義進(jìn)行解答，即可.

【詳解】解：連接AC,

由網(wǎng)格可得，AC=J『+22=548=@+42=而=26，灰7=疹不=5,

，AB1+AC2=BC2，

???△ABC是直角三角形，=LZC4B=90°,

?//同〃2忌

??cosZ.ABC-----=------.

BC5

故選：C.

B

C

4.B

【分析】此題主要考查了勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是掌握如果三角形的三邊長滿足

a2+h2=c2,那么這個三用形就是直角三角形.

先由完全平方公式展開，再由勾股定理的逆定理求解.

【詳解】解：,.,(?+/?)2-c2=2ab,

a2+b2+2ab-c2=2ab，

a2+b2=c2?

此三角形為直角三角形.

故選：B.

5.B

【分析】本題考杳勾股定理的逆定理的應(yīng)用.欲求證是否為直角三角形，這里給出三邊的長,

只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可.

【詳解】解：A、72+242=252?152+202^242,故A不正確；

B、72+242=252,152+2()2=252,故B正確;

C、72+152*202,202+242#252,故C不正確；

D、72+202^25S24?+3工25、，故D不正確.

故選：B.

6.A

【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握若一個三角形的兩條邊的平方和等于

第三邊的平方，則這個三角形是直角三角形是解題的關(guān)健.

根據(jù)勾股定理的逆定理，逐項判斷即可求解.

【詳解】解：A、因為22+3?工4?,所以不能作為直角三角形的三邊長，故本選項符合題

意；

B、因為于+122=132，所以能夠作為直角三角形的三邊長，故木選項不符合題意；

C、因為6?+G=IO?,所以能夠作為直角三角形的三邊長，故本選項不符合題意；

D、因為92+122=15?,所以能夠作為直角三角形的三邊長，故本選項不符合題意；

故選：A

7.B

【分析】本題主要考查了連比，勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理判

定直角三角形.

假設(shè)a=2k,b=3k,c=限,再根據(jù)勾股定理的逆定理判定直角三角形即可.

【詳解】解：根據(jù)a力z-=23:JF5,假設(shè)4=2kZ?=3A,c=Ji3A,

22222

???a=4k\b=9k,c=\3kf

???cr2+〃1>>.二廠2，

???VA8C是直角三角形，

故選：B.

8.A

【分析】此題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵；

根據(jù)勾股定理的逆定理對所給的數(shù)據(jù)看是否符合兩個較小數(shù)的平方和等丁最大數(shù)的平方即

可.

【詳解】解：A.：52+122=132,???是直角三角形,故本選項符合題意；

2??,42+52/82,???不是直角三角形，故本選項不符合題意；

C.???22+22工3?,???不是直角三角形，故本選項不符合題意；

D「??（指『+（而丫/（?了，???不是直角三角形，故本選項不符合題意；

故選：A.

9.D

【分析】本題考查了勾股數(shù)，掌握勾股數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.根據(jù)勾股數(shù)的定義：能夠成為

直角三角形三條邊長的三個正整數(shù).再逐項判斷即可.

【詳解】解：A.0.3,0.4,0.5,三個數(shù)均為小數(shù)，不是正整數(shù)，不符合勾股數(shù)定義.

B.22+32=4+9=13*52,不滿足勾股定理.

C.（32）2+（42）2=81+256=337#（52）2,不滿足勾股定理.

D.52+122=25+144=169=132,滿足勾股定理且均為上整數(shù).

故選：D.

10.B

【分析】本題考查了勾股定理的逆定理的知識點(diǎn)，掌握勾股定理的逆定理最關(guān)鍵.

通過計算三角形三邊的平方關(guān)系，即可逐項判斷三角形是否為直角三角形的問題.

【詳解】解：A、由/+加=62+82=100=/可得△A8C是直角三角形，不符合題意；

B、由a=2,b=2a,。=&可得〃=4,c=2,此時。+c=/?,無法構(gòu)成三角形，符合題意；

C、假設(shè)。=3"Z?=4x,c=5x,由/=（3x1+（4xf=25/=。2可得是直角三角

形，不符合題意；

D、由〃2=片一/可得〃+/=/,△A8C是直角三角形，不符合題意.

故選：B.

II.D

【分析】本題考查了勾股教的定義，勾股數(shù)就是可以構(gòu)成一個直角三角形三邊的一組正整數(shù)，

據(jù)此即可求解.

【詳解】解：根據(jù)勾股數(shù)的定義，首先排除A、B選項；

V102+152*182,72+242=25\

???C不符合題意；D符合題意；

故選：D

12.B

【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，能熟記勾股定理的逆定理的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵.

根據(jù)勾股定理逆定理，先求出兩小邊的平方和，再求出最長邊的平方，最后看看是否相等即

可.

【詳解】解:A.最長邊為13,72+122=49+144=193.132=I69,193Hl69,故不能構(gòu)

成直角三角形，不符合題意；

B.最長邊為5,32+42=9+16=25,5?=25,25=25,故能構(gòu)成直角三角形，符合題意：

C.最長邊為3,『+22=1+4=5,32=9,5H9,故不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意：

D.最長邊為14,52+122=25+144=169,142=196,169Hl96,故不能構(gòu)成直角三角形，

不符合題意；

故選:B.

13.屋+〃=/

【解析】略

14.直角

【分析】根據(jù)正方形的面積公式結(jié)合勾股定理的逆定理即可得出答案.

【詳解】解：VS,=2,邑=3,

ABC'=2,AC?=3，

VAB2=5，

AC2+13C2=AH2,

???VA5c是直角三角形，

故答案為：直角.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理和正方形面積的應(yīng)用，理解勾股定理的逆定理的內(nèi)容

是解題的關(guān)鍵.

15.90。/90度2

【分析】本題主要考查了利用網(wǎng)格求三角形面積，勾股定理與勾股定理逆定理的應(yīng)用.

（1）先利用勾股定理求出AB,AC,4C,再利用勾股定理的逆定理即可得出答案.

（2）利用等面積法求解即可.

【詳解】解：（1）由勾股定理可得：

AB=y）22+42=2>/5?AC=>/l2+22=75?BC=V32+42=>/25=5?

山石『+（石）2=夕

???AB2+AC2=BC2,

??.曠人6。是直角三角形，且/朋。=90。，

故答案為：9。。

(2)?:ADJ.BC,

.-.S△A八H次C=2-ABAC2=-ADBC,

AD1"275x752

“5

2

故答案為：2

16.48

【分析】本題考查了點(diǎn)到直線的距離和勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是連接A/3,過C作

CO_LA8于。，求出4。:+8。2=4夕，根據(jù)勾股定理的逆定理求出V4BC是直角三角形,

根據(jù)三角形的面積公式得出S,八改二gxACxACngxAAxC。，再求出。。即可.

【詳解】解：連接AB,過。作CDJLA8于。，

AC=80cm,CB=60cm，AB=\00cm，

：.AC2+BC2=AB\

「.△ABC是直角三角形心CB=90°),

???△ABC的面積=；xACx6c=gx八BxCO,

.-.80x6()=l(X)xCD,

解得：CO=48,

即點(diǎn)。到A8的距離為48cm,

故答案為：48.

17.直角

【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理的逆定理及非負(fù)

數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得。=5,b=l2,c=13,所以/+從=02,

根據(jù)勾股定理的逆定理即可得到答案.

【詳解】解；5|?12|13尸=0,

...。=5,8=12,c、=13,

.-.a2+/r=52+122=169=C2,

??.△ABC是直角三角形.

故答案為：直角.

18.(1)直角三角形，理由見解析

⑵75

【分析】本題主要應(yīng)用勾段定理的逆定理判斷三角形形狀，以及利用角平分線的性質(zhì)求解線

段長度.

(1)根據(jù)勾股定理的逆定理：如果一個三角形的三邊長。、b、c滿足/+〃=c2(c為最長邊),

那么這個三角形是直角三角形，且最長邊c所對的角是直角；得出△AEO是直角三角形即

可；

(2)根據(jù)角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；得出C0=A。即叫.

【詳解】(1)解：△AEQ是直角三角形，理由如下：

,:AD=6AE=2,ED=出,

A(X/7)2=(X/3)2+22

即：ED2=AD2+AE2^

:.△4。是直角三角形；

(2)???△■￡>￡)是直角三角形，

，DAYBA,

VDC1BC,8。平分/ABC,AD=g,

：-CD=AD=6

19.(1)見解析

(2)AC=y/l

【分析】本題主要考查勾股定理及其逆定理、線段垂直平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握勾股定

理及其逆定理、線段垂直平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)犍.

(1)利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得CO="。，然后利用勾股定理逆定理可得結(jié)論；

(2)設(shè)AO=3x,BD=4x,則C/)=AD=4x,AB=AD+DB=7x,首先確定AC的長，

在RtZXA8c中，AC^AB^BC2,根據(jù)勾股定埋建立方程，解方程，即可求解.

【詳解】（I）證明：連接C。,

A

/:BC的垂直平分線OE分別交A3、BC于點(diǎn)D、E,

&-1、8

.'.CD=DB,

?,BD2-DA2=AC2^

???CD2-DA2=AC2，

CD2=AD2+AC2，

.?△AC。是直角三角形，且NA=90。；

「?VABC是直角三角形；

（2）解：???AD:BD=3:4,

設(shè)AO=3x,BD=4x,WlCD=BD=4x,AB=AD+DB=7x,

在Rt/sAC。中，AC=y]CD2-AD2=V16x2-9x2=yflx>

在RtZ\A6C中，AC2+AB2=BC2,

A（V7x）2+（7x）2=（2>/i4）\

解得：x=±l（負(fù)值舍去），

/-x=1,

:.AC=gi=#.

20.④⑤是直角三角形，①@③⑥不是直角三角形.理由見解析

【分析】先根據(jù)勾股定理求出各三角形的三邊長的平方，再由勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷即

可.

【詳解】解：①由勾股定理可知，三角形的三邊長的平方分別為22+22=8,卜+22=5,9,

???8+5,9,故不是直角三角形；

②由勾股定理可知，三角形的三邊長的平方分別為12+3?10,32+42=25,9,

V10+9#25,故不是直角三角形;

③由勾股定理可知，三角形的三邊長的平方分別為12+2?5,12+32=10,F+42=]7,

???5+10,17,故不是直角三角形;

④由勾股定理可知，三角形的三邊長的平方分別為12+32=10,12+32=10,22+42=20,

V10+10=20,故是直角三角形;

⑤由勾股定理可知，三角形的三邊長的平方分別為32+223,卜+52=26,22+32=13,

713+13=26,故是直角三角形;

⑥由勾股定理可知，三角形的三邊長的平方分別為32+22=13,12+32=10,12+42=17,

713+10^17,故不是直角三角形.

故④?是直角三角形，①@③⑥不是直角三角形.

【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三邊長。，〃，c滿足展+爐:

那么這個三角形就是直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.

21.4+4逐

【分析】本題考查的是勾股定理，四邊形的面積以及勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊

長〃，。滿足/+〃=，，那么這個三角形就是直角三角形.直接根據(jù)勾股定理求出AC

的長，在△AC。中，由勾股定理的逆定理即可判斷三角形的形狀，再根據(jù)三角形面枳公式計

算即可求解.

【詳解】解：???/8=90。，48=2,8c=4,

???AC2=AB2+5C2=4+16=20,

;.AC=2下（負(fù)值已舍）；

在△AC。中，AC=2后,CD=4,AD=6,

??人。2+。。2=20+16=36,AD2=36,

「?AC2+CD2=AD2,

.NACD是直角三角形，且乙4CD=90°,

四邊形ABC。的面積=Sy8c+SsAm=gx4x2+gx4x26=4+4逐.

22.（1）3x2+5V2.r+4=0;（2）見解析；（3）4

【分析】（1）直接找一組勾股數(shù)代入方程即可；

（2）通過判斷根的判別式△的正負(fù)來證明結(jié)論；

（3）利用根的意義和勾股定理作為相等關(guān)系先求得。的值，根據(jù)完全平方公式求得岫的值,

從而可求得面積.

【詳解】解：（1）當(dāng)a=3,b=4,c=5時

勾系一元二次方程為3f+5&x+4=0;

(2)證明：根據(jù)題意，得

△=(&c)2-4ab=2c2-4ab

a2+b2=c2

2c2-4ab=2(a2+b2)-4ab=2(a-b)2>0

即4>0,

勾系一元二次方程蘇+&s+8=0必有實數(shù)根；

(3)當(dāng)x=—1時，有a-6c+b=0,BP<7+Z?=>/2c?

，/2a+2〃+=12A/2，即2(a+b)+y[lc=12點(diǎn)>

.?.3岳=12近，

..c=4,

n2A-b"=c2=16?a+h=45/2，

,/(a+b)2=a2+b2+lab,

ab=8,

二?SM…飆=4?

【點(diǎn)睛】此類題目要讀懂題意，根據(jù)題目中所給的材料結(jié)合勾股定理和根的判別式解題.

23.⑴見解析

(2)CF=—

8

【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理(及逆定理)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是

利川垂直平分線的性質(zhì)得到￡4=￡B，進(jìn)而通過邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化證明直角或列方程求解.

(1)連接BE,由垂直平分線性質(zhì)得E4=E8,結(jié)合已知等式轉(zhuǎn)化為砥2=。4+?！辏?,利

用勾股定理逆定理證NAC8=90。；

(2)設(shè)CE=x,用E4=E8表示E8的長度，在RS8CE中通過勾股定理列方程求解，

【詳解】(1)證明：連接戰(zhàn)

A

CB

,/DE是A/3的垂直平分線

???EA=EB(線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等)

'：CB2=AE2-CE2,且E4=￡B

-'-CB2=EB2-CE2

BPEB2=CB2+C￡2

???△3CE是直角三角形，且NEC6=90。(勾股定理的逆定理)

即ZACB=90°

(2)解：設(shè)C石的長為x

V42=12

，AE=AC-CE=12-x

?:EA=EB

，EB=\2-x

在RU