專題02圓（8知識&12題型&4易錯清單）

1.圓的定義：圓是由曲線圍成的一種平面圖形，也可以描述為平面內(nèi)到定點的距離等于定長的所有點組成的

圖形。

2.圓心：圓中心的一點，用字母0表示，它到圓上任意一點的距離都相等。

3.半徑：連接圓心到圓上任意一點的線段，用字母r表示。

4.直徑：通過圓心并且兩端部在阿上的線段，用字母d表示，直徑是圓中最長的線段。

5.圓心與半徑的關(guān)系：圓心確定慢的位置，半徑確定圓的大小。

6.圓的性質(zhì)：在同圓或等圓內(nèi)，有無數(shù)條半徑和直徑，所有的半徑都相等，所有的直徑都相等，直徑的長度

是半徑的2倍，即d=2r。

【清單02】點與圓的位置關(guān)系

三種位置關(guān)系：

1.點在圓內(nèi)：點到圓心的距離小于半徑，即dvr。

2.點在圓上：點到圓心的距離等于半徑，即d=r.

3.點在圓外：點到圓心的距離大于半徑，即d>r。

4.判斷方法：根據(jù)點到圓心的距點與半徑的大小關(guān)系來判斷點與圓的位置關(guān)系。

【清單03］圓的對稱性

1.粕對稱性：圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線，因此圓有無數(shù)條對稱軸。

2.中心對稱性：圓也是中心對稱性形，其對稱中心是圓心。

3.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。

4.壁徑定理的逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。

【清單04］圓的確定條件

1.不在同一直線上的三點確定一個圓。

2.三角形的外接圓：通過三角形各頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心為三角形的外心，這個三角

形叫圓的內(nèi)接三角形。

【清單05】圓周角與圓心角的關(guān)系

I.圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角都等于這條弧所對的圓心角的?半。

2.圓周角定理的推論：

（1）同弧或等弧所對的圓周角相等。

（2）直徑所對的圓周角是直角。

（3）90度的圓周角所對的弦是直徑。

【清單06】直線與圓的位置關(guān)系

1.相離：直線和圓無公共點，此時圓心到直線的距離大于半徑，BPd>r<,

2.相切：直線和圓有且只有一個公共點，此時圓心到直線的距離等于半徑，即（1=%

3.相交：直線和圓有兩個公共點，此時圓心到直線的距離小于半徑，即dvr。

4.切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

5.切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。

【清單07］圓的相關(guān)公式

1.圓的周長公式:C=27n=7tdo

2.圓的面積公式：SFF2。

3.扇形弧長公式：l=mn7180（n為圓心角度數(shù)）。

2

4.扇形面積公式：S=n7tr/360=rl/2e

5.圓錐側(cè)面積公式：S=7crl（I?為圓錐底面半徑，1為圓錐母線長）。

【清單08】正多邊形與圓的關(guān)系

1.圓的內(nèi)接正多邊形：把?個圓的圓周分成n等份，順次連接各分點所得圖形，即為圓的內(nèi)接正n邊形，這

個圓叫做這個正n邊形的外接圓。

2.正多邊形的相關(guān)概念：

（1）正多邊形的中心：正多邊外接圓的圓心。

（2）正多邊形的半徑：正多邊形內(nèi)切圓半徑。

（3）正多邊形的中心角：正多邊形的邊所對的外接圓的圓心角。

期中常考題型清單

【題型一】圓中最值

AB

C.3D.3及

【題型二】垂徑定理

A.1B.2C.3D.4

P

A'B

【題型三】直線與圓的位置關(guān)系

A.相離B.相切C.相交D.相交或相切

【題型四】圓心角、弧、弦關(guān)系

A.20°B.40°C.50°D.60°

【變式42］如圖，A8是的弦，C是弧A8的中點.

(1)連接。。，求證：OC垂直平分A3；

【題型五】圓周角定理

【題型六】正多邊形與圓

一

【變式61】已知正六邊形的邊長為9,那么它的外接圓的半徑為_____

【變式62】請用無刻度直尺完成下列作圖,不寫畫法，保留畫圖痕跡（用虛線表示畫圖過程，實線表示畫

圖結(jié)果）

B

D

圖1圖2

【題型七】內(nèi)切圓

A

A.125°B.140°C.130°D.150°

B

AA

圖1備用圖

【題型八】弧長與圓錐側(cè)面積

【變式81］已知圓錐的側(cè)面積為15兀，母線長為5,則圓錐的底面半徑是

(1)求證：直線力。是。的切線;

【題型九】圓內(nèi)接四邊形

E

DPE

圖①圖②

(1)如圖①，若3D是。的直行，求/石的度數(shù)；

【題型十】圓中的無刻度尺作圖

【例10］如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格紙上，以。為圓心，04為半徑作圓，點0、A、8均在格點上,

①②

⑴在圖1中，①作人8的中點M：

②取格點C，使8為S0的一條叨線.(作出符合題意的一點即可)

(2)在圖2中，作直徑AD,E為。外任一點，過七作八。的垂線垂足為F.

【變式101］如圖，在8x8的網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點，僅用無刻度的直尺在所給網(wǎng)格中完成

下列畫圖，保留畫圖痕跡.

：：：D

;D::

c/rnsjlr.rrrrrrr

'Y\\：-：\

m二1芥群二

：4----

…"………-虱~...........…畫2……………

⑴如圖1,點0、4、B均是格點.

(2)如圖2,點A,B是格點，圓心在線段A8上,圓與網(wǎng)格線相交于點C,過點C作圓的切線與網(wǎng)格線交于

P.

①作圓心0；②過點P作圓的另一條切線，切點為M（點M不與點C重合）.

圖①圖②

（3）在圖②中以點B為切點畫。的切線8尸，且點尸在格點上.

【題型十一】圓的新定義

【例11】在平面直角坐標系X”中，（0的半徑為1,點。是。。外一點，給出如下定義：若在0。上存在

點T，使得點尸大于某條過點7的直線對稱后的點。在。上，則稱點。為點尸關(guān)于。的“美聯(lián)對稱點”.

【變式111】定義：對于凸四邊形，對角線相等的四邊形稱為“等對“四邊形，對角線垂直的四邊形稱為“垂

對”四邊形.

（1）請你判斷下列說法是否正確（在題后相應(yīng)的括號中，正確的打7〕錯誤的打“X，、）

①平行四邊形一定不是“等對"四邊形；（）

②“垂對”四邊形的面積等于其對角線長的乘積的一半；（）

③順次連接"等對''四邊形四邊中點而成的四邊形是“垂對”四邊形：（）

【題型十二】動圓相切求i

（2）當/為何值時，PQ與O相切？

圖2

（2）在點P從點A向點8運動過程中，

①圓心A/的運動路徑長是_cm；

⑵如圖②，若以點。為圓心，尸。為半徑作。戶.在運動過程中，是否存在/值，使得P經(jīng)過點C?若存

在，求出/的值；若不存在，請說明理由；

⑶如圖③，若以。為圓心，。。為半徑作0Q，當。。與AC相切時.

①求/的值.

②如圖④，若點E是此時。上一動點，尸是CE的中點，連接則線段環(huán)的最大值為一.

R高頻易錯歸因清單

【題型一】等弧與長度相等弧混淆

【例I】下列說法正確的是（）

A.直徑是經(jīng)過圓心的直線B.半圓是弧

C.大于劣弧的弧叫作優(yōu)弧D.長度相等的弧是等孤

【變式11】說法：①直徑是圓中最長的弦，弦是直徑；②半徑相等的兩個半圓是等弧：③半圓是弧，但弧

不一定是半圓；④長度相等的兩條弧是等?。虎萁?jīng)過圓內(nèi)一定點可以作無數(shù)條百徑.其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式12】以下說法中：①直徑是圓中最長的弦：②半圓是圓中最長的??；③面積相等的圓是等圓.其中

正確的是（填序號）.

【題型二】垂徑定理平行弦漏解

【變式21】弦AB,CD是。。的兩條平行弦，。。的半徑為5,AB=8,CD=6,貝ljAB,CD之間的距離為

()

A.7B.IC.4或3D.7或I

【題型三】動點軌跡的誤判