專題01指數(shù)嘉的拓展，指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)

收學(xué)目標(biāo)、教學(xué)里難點(diǎn)

整數(shù)指數(shù)寡的概念及兵運(yùn)算性質(zhì)

根式的概念和運(yùn)算法則

一一一-分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的概念和運(yùn)算法則

知識港單

有理數(shù)指數(shù)哥的運(yùn)算

無理數(shù)指數(shù)寡

實(shí)數(shù)指數(shù)嘉的運(yùn)算性質(zhì)

由根式的意義求范圍

利用根式的性質(zhì)化簡或求值

指數(shù)鬲的拓展及運(yùn)算性質(zhì)

有限制條件的根式的化簡

根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化

題型精講指數(shù)幕的化簡與求值

整體代換法解決條件求值問題

解指教方程

指數(shù)幕的等式證明問題

幕的綜合應(yīng)用問題

「練基礎(chǔ)

T強(qiáng)化訓(xùn)練卜-練提升

-練創(chuàng)新

1.理解根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)暴的含義，并且能進(jìn)行兩者之間的互化。

教學(xué)目標(biāo)2.掌握根式的性質(zhì)，并能運(yùn)用根式的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行根式的運(yùn)算。

3.掌握實(shí)數(shù)指數(shù)制的運(yùn)算性質(zhì)，學(xué)會化簡較復(fù)雜的運(yùn)算式子。

I.重點(diǎn)：掌握無理數(shù)、實(shí)數(shù)指數(shù)哥的計(jì)算。

教學(xué)重難點(diǎn)

2.難點(diǎn)：掌握根式的性質(zhì)，并能運(yùn)用根式的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行根式的運(yùn)算.

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知識清單

知識點(diǎn)01整數(shù)指數(shù)累的概念及運(yùn)算性質(zhì)(重點(diǎn))

1、整數(shù)指數(shù)幕的概念

(l)a"=a-a...a(n€Z*);

n個(gè)a

(2)an=-0),

51

(3)a=—(a0,n6Z*).

2、運(yùn)算法則

⑴產(chǎn)■an=呼切；

(2)(am)n=amn；

(3營=am~n(m>n,a$0)；

(4)(ab)m=a%：

【即學(xué)即練】

1.(2025高二上?黑龍江?學(xué)業(yè)考試)已知a>0,則總港=()

A.加B.diC.Q?D.a

【答案】D

【解析】alal=a3+l=a-

故選：D

2.(24-25高一上?江西贛州?開學(xué)考試)下列運(yùn)算正確的是()

A.a2-a3=a6B.(-2a2)3=-6a6

C.(3a+l)(3a-1)=9a2-1D.(2a3-a2)+2a=2a-1

【答案】C

【解析】對于A,Q2.Q3=Q5,故A錯(cuò)誤；

對于B,(-2。2)3=一806,故B錯(cuò)誤;

對于C,(3a+l)(3a-l)=9a2-l,故C正確；

對于D,(2。3一。2)+2。=心歲=02一手故D錯(cuò)誤；

故選：C

知識點(diǎn)()2根式的概念和運(yùn)算法則(重點(diǎn))

1.幾次方根的定義

若01三eN\n>ltyER),則》稱為y的幾次方根.

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n為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)y的奇次方根有二±,是止數(shù)，記為啦；負(fù)數(shù)y的奇次方*艮有_±,是魚教，記為加Z：

零的奇次方根為空，記為V3三9.

n為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)y的偶次方根有兩仝，記為土集；負(fù)數(shù)沒有偶次方根；零的偶次方根為雯，記為V5三Q.

2.兩個(gè)等式

府=1a,(n為奇勘

(1)當(dāng)九>1且九￡N*時(shí),('網(wǎng)”=。：(2)二腦|("為四數(shù))

【即學(xué)即練】

1.(24-25高一上?全國?課前預(yù)習(xí))下列各式正確的是()

A.〃。=1B.1(—2)=—2C.J(-2)2=—2D.\[a^=a

【答案】B

【解析】對于A,?°=1，當(dāng)a=0時(shí)，a°無意義，故A錯(cuò)誤；

對于B,由[(-2)3=_2,故B正確：

對于C,由J(—2)2=2,故C錯(cuò)誤：

對于D,由y亞=|Q|,故D錯(cuò)誤.

故選：B.

2.(24-25高一上?全國?課前預(yù)習(xí)〕求下列根式的值.

⑴

(2),2_研:

(3)V(x+l)4;

【答案】(1)2

(2)2-7T

[X+l,x>-1

⑴tr-1.〈-1

【解析】(1)原式=行=2.

(2)原式=2—7T

⑶原式=|%+1|=匕二1二]

知識點(diǎn)03分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的概念和運(yùn)算法則(重難)

為避免討論，我們約定Q>o,n,mWN*,且互質(zhì)，分?jǐn)?shù)指數(shù)累可如下定義:

⑴加=瓶

(2)an=(強(qiáng))=府；

3/24

m1

（3）a-=4

an

【即學(xué)即練】

1.（24-25高一上?全國?課前預(yù)習(xí)）的二區(qū)（G>0）的分?jǐn)?shù)指數(shù)塞表示為（）

[33_

A.Q2B.Q2C.Q4D.都不對

【答案】A

33

【解析】原式.O-/j-aM_1

一aa，—yia4—a，J—a，

_____2i/3

2.（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）若m=&，則卜百.J菽）=<）

A.6472B.326C.64D.128a

【答案】D

-r2>/3/2x/3

【解析】（2遮=（2回收）=26m3=128V2-

知識點(diǎn)04有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算（重難）

1.有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)

設(shè)a>0,b>0,a,0EQ,則有:

a+

(1)Q0?Q.=a^;

(2)=QW；

（3）（ab）a=aaba;

當(dāng)a>0,p為無理數(shù)時(shí)，aP是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，上述有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)仍適用.

2.指數(shù)幕的一般運(yùn)算步驟

有括號先算括號里的；無括號先進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算.負(fù)指數(shù)顯化為正指數(shù)’屐的倒數(shù).底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定母

SL，底數(shù)是小數(shù)，先要化成分?jǐn)?shù)，底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先要化成假分?jǐn)?shù)，然后要盡可能用一的形式表示,便于

用指數(shù)運(yùn)算性質(zhì).

在化簡運(yùn)算中，也要注意公式：a2-b2=(a-b)(a+b),(a±b)2=a2±2ab4-b2,(a±b)3=a3±

2233322

3ab+3ab±b,a-b=(a-b)(a+ab+b),涼+〃=(a+6)(Q2-ab+房)的運(yùn)用，能夠簡化運(yùn)

算.

【即學(xué)即練】

1.（24-25高一上?全國?課前預(yù)習(xí)）（1）化簡：（硒6（Q>O匕>0）.

（2）已知xr"=2后卜>0）,求三三

【解析】（1）

后同溫aO

4/24

(2)vx—X-1=2V3(X>0)?.'.(x-.r-1V=12,即/+%-2-2=12,

,?x:+x-2=14??,?(%+x-1)2=x2+x~2+2=16,故%+%T=4,

.x2-x-2_(x+*T)GrT)_4x28_W3

"x2+x-2-x2+x-2-14一

1

-

e2

2.(24-25高一上?全國?周測)⑴求值：高+(逐一2)一，0.75-1

Oy—

(2)設(shè)m2x=2,且m>0,求加十血的值.

【解析1(1)16T+(V3-2尸+ok】x(yYx僅)

=(4+上+G)1x(T)2x(T)4

=2-(g+2)+卜3x(4

=-V3+^x(^)4=-V3+lx|=2-V3-

(2)因?yàn)門n?"=2,且?n>0,

所以m3x+nf3x_(環(huán))3+的-*)3

mx+m-xmx+m-x

_(mx+m-x)(m2x-m-x-mx+Tn-2x)

mx+m~x

=n2x—1+m~2x=mZx—l+^=2-l+|=1.

知識點(diǎn)05無理數(shù)指數(shù)暴(重難)

一般地，無理數(shù)指數(shù)基心(。>o,。為無理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)同樣適

用于無理數(shù)指數(shù)哥.

定義了無理數(shù)指數(shù)顯之后，’息的指數(shù)就由原來的有理數(shù)范圍擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)范圍.

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【注意事項(xiàng)】

無理數(shù)指數(shù)耨的兩注意

(1)它是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)：(2)它是有理數(shù)指數(shù)幕無限逼近的結(jié)果.

?****-******■****■■■■■■■????■■■■■■■—■--****■■?***■■-■?■■-―****■■■?■■■■■■■?■■■■■■■■■■■—――*****■****??■■■■■■■■■■■■■?■■■■<

【即學(xué)即練】

1.計(jì)算：

(1)(2》0,5_(3.14)0_(3Q-

(2)]//^-3+7Va^i

(a>0)

【答案】(叫;

(2)1.

55

【解析】(1)(2》°-(3.14)°-(3-)+1.5-2=(1)2x05_1_(三產(chǎn)(~|)+(1)-2

5/24

_3(3「2./3X__1

一111一(5)+q)2

(2)原式=(或QI)'+(cF3al■]=(Q3A+(/”=a4-a=1,

2.(24-25高一上?全國?周測)已知函數(shù)/(x)=總(X>0)

⑴若f(x)+f(%T)=3,求％+%T的值；

(2)若g(%)=/(X)4-去，求函數(shù)y=g(%2)-3g(x)的最小值.

八X，

11

--

【解析】(1)因?yàn)閒(x)+/(X-1)=3,所以+X2-3對其兩邊平方得（裝+=32,即X+%T+2=

9,x+X-1=7

-1

⑵g（x）=/-（%）+去=￡+%*'y=g（%2）_3g（x）=（x2）1+（X2）4-3（葭+%4）=X4-X-3（藍(lán)+

/句，

設(shè)f=1+xT（x>0），則02區(qū)彳=2,當(dāng)且僅當(dāng)％=1時(shí)取等號；所以第+廠1=￡2-2,所以'=[2一

3（-2=因?yàn)楹瘮?shù)在tN：時(shí)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)t=2即％=1時(shí),取最小值為％nin

知識點(diǎn)06實(shí)數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)（難點(diǎn)）

將指數(shù)累從整數(shù)指數(shù)幕拓展到實(shí)數(shù)指數(shù)哥后，有以下運(yùn)算性質(zhì)成立：

設(shè)Q>0,r,s￡R,則

（1）aras=」山；

⑵（優(yōu)）=金；

（3）（ah）r=Ct'b''

【即學(xué)即練】

3

1.（2024秋?廣西柳州?高一柳州高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）（1）化簡：也匚（其中a>0）；

2n

dT

⑵化簡：（—4a.L）+12（妙回爐（其中a,b>0）.

【解析】（1）原式=注二號號.

aT

（2）原式=Ta[b：-1==4-3-1.

IZa-g^b近3

題型精講

題型01由根式的意義求范圍

6/24

【典例1】求使等式J(a-3)(a2-9)=(3-a)V7不百成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍為

【答案】[-3,3]

[解?析】yl(a-3)(a2-9)=J(a-31(a+3)=\a-3|Ja+3,

要使|a-3|Va+3=(3—d)\!a+3成上,

需仁；薨;解得ae[-3,3],

即實(shí)數(shù)。的取值范圍是[一3,3],

方法技巧

由根式的意義求范圍

對于奇次方根而言，其被開方數(shù)為全體實(shí)數(shù)，對于偶次方根而言，其被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，若根式位于

分母位置，此時(shí)其被開方數(shù)不能為0,根據(jù)各限制條件列不等式組即可求得參數(shù)的取值范圍.

彳復(fù)盤工狂君北7二公；；二折與「而羹藪疝該毓甬息7-，

A.aeRB.a=0C.a>D.

【答案】D

【解析】解：由解樸-4〃+I=V(2a-1尸=也2。-1|=U1-2a,

可得2。一140,即.,?實(shí)數(shù)Q的取值范圍是

故選:D.

【變式1?2】求使等式J(a_3)(a2-9)=(3-。)7^1彳1成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】[-3,3]

[解?析】yl(a-3)(a2-9)=-31(a+3)=\a-3|Ja+3,

要使一3|而石=(3-4)疝與成立，

需｛a+3NO,解得峭33].

【變式1-3】滿足方程Jx+5-4Vm+Jx+10_6Vm=1的實(shí)數(shù)解%的個(gè)數(shù)為.

【答案】無數(shù)個(gè)

【解析】設(shè)基+1=t>0.則％=t2-1

方程+5—4百不1+Jx+10-6VFTT=1化為V/7+4-4J+介+9-6/=1

即2)2+J(-3):1,即|/-2|+|一3|=1

當(dāng)tZ3時(shí)，則/-2+1—3=1,解得t=3

當(dāng)2VtV3時(shí)，則，-2+3-，=1恒成立，即2VCV3滿足方程.

當(dāng)0WCW2時(shí)，則2—Z+3—Z=l,解得t=2

7/24

所以23滿足方程，即24，rZT43，解得34xW8

故滿足方程J2+5—4VFTT+VX+10-6A/7+T=1的實(shí)數(shù)解無的個(gè)數(shù)為無數(shù)個(gè)

題型02根式的化簡與求值

【典例2】（2024秋?江蘇南通?高一統(tǒng)考階段練習(xí)）化簡：?”4）2+收-3）3=（）

A.1B.-1C.7-2TTD.2n-7

【答案】A

【分析】利用指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)即可得出.

【解析】J（7T—4）2+7（TC—3）3=|兀一4|十九一3=4—TT+TT-3=1-

故選：A.

方法技巧

相丁嬌滴后隸筋鋪麗-

1.此類問題應(yīng)熟練應(yīng)用需='厘(。>0,zn,ntN-且n>1).

2.當(dāng)所求根式含有多重根號時(shí)，要搞清被開方數(shù)，由里向外或由外向里，用分?jǐn)?shù)指數(shù)累寫出，然后再用

性質(zhì)進(jìn)行化簡.

*****************■??一■■■??■****?■■■■■■■-****■■?***■■■■?■■****■■■■■■■■■■■■--*****■-********?*****■■?■-****■■■■■■■*

【變式2?1］若y=m+V=+16：則d+y的立方根為.

x-2

【答案】2

(X2-4>0

【解析】由4一/工0,得工二一2,

x-20

所以y=m+產(chǎn)+1690+匝=4,

x-2

所以％2+y=4+4=8,所以/+y的立方根為2.

故答案為：2.

【變式2-2］使得等式+萬吃=游成立的實(shí)數(shù)a的值為.

【答案】8

【解析】解：由題意可得，VTT7>0,所以J1+之1，故孤之1.

設(shè)北=t,則a=t3(t>1).

V1+VV+a=遮=J］+\jl+t3=t

=1+yjl+t3=t2<=>V1+t3=t2—1

01+t3=(/-1)2=1+/=/-2戶+1

=d一F-2飪=o

0t2(t2—t-2)=0<=>t2(t—2)(t4-1)=0

8/24

解得￡=2,或E=0(舍)，或￡二一1(舍)

所以需=t=2

所以Q=8

故答案為：8

【變式2?3】計(jì)算下列各式的值：

(1)(-31)4+(0.002)4-10x(V5-2)T+(V2-V3)0;

(2)的3芋+025+國4+7M.

【解析】(1)解：原式=(一1)-1乂(32)一+(-^)4一4-+1

'7'8/'500'病一2

27_21「

=(―)3+(500)2-10x(75+2)+1

O

=-+10V5-10V5-20+l

9

_167

一

⑵解：原式二Zog33-；+匈100+1=-3+2+2=早

題型03有限制條件的根式的化簡

【典例3]a=J10-4&,b=《10+4“，求Q+b=---------?

【答案】2V6

【解析】法一：因?yàn)镴10—4-二)(6-2)2=瓜-2,J10+41=J(6+2)2=#+2,所以a+b=2歷.

法二：〃+:=J(++b)2=J10-4#+10+4碗+2,1()2一(4向2=舊=26.

故答案為：2旄

方法技巧

多重根式的化簡策略

1對于多重根式的化簡，一般是設(shè)法將被開方數(shù)化成完全n次方，再解答，或者用整體思想來解題.化簡

:分母含有根式的式子時(shí)，將分子、分母同乘以分母的自理化因式即可.

■?■■?*******?*****■?一一■■■??-****?W■■■■-?********■■-■?■■-0****■■■■?■■■■■?■--*****■■■■?■W****?*****■■■-―****■■■,■■■■<

【變式3-1］已知Q>匕>。，/+=&ah,則^——"的值為__________.

ab

【答案】

【解析】由Q>b>0,a^b2=4ah,可得邛=4,二？+2=4，

設(shè)t=E則t>l,貝北+工=4,二5-4亡+1=0,

bt

解得￡=2+6，*=2-K舍去）,

9/24

故=7--=t--=2+V3---=2+百—2+百=2x/3?

gab"bat2+v3

【變式3-2］若xyH0,則等式JY2y3=—工八方成立的條件是

A.x>0,y>0B.x>0,y<0

C.x<0,y>0D.%<0,y<0

【答案】C

”>0(x<0

【解析】Yyw0,YH0，y*0.由—xy>0?得IQ.

、y>0U

故選C.

1=

［變式3-3］設(shè)4eR,且《_a~\=2?求Q-a~.

【答案】4&

【解析】對點(diǎn)一°一5=2左右同時(shí)平方得(成—a~2^=a+a-1-2=4=>a4-a-1=6

同時(shí)由￡-=2可判斷a>1，則Q-a-1>0,(a-a-1)2=(Q+a-1)2-4=32=>a-a-1=4y/2

題型04根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)募的互化

【典例4】已知函數(shù)/(幻=廣；6：：°,則/(/(/))=______.

kI—x,X<U

【答案】后

【解析】因?yàn)榫W(wǎng)>0，所以將x=源代入/(x)=/-6中，可得/(源)=(海)3-6=-2

因?yàn)橐?V0,所以將x=-2代入/'(>)」中，可得八―2)=二=-：.

入—22

故答案為:，

方法技巧

根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化策略

根式是分?jǐn)?shù)指數(shù)第的另一種形式，因此兩者之間可以相互轉(zhuǎn)化.

⑴根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕時(shí)，根指數(shù)為分母，被開方數(shù)的指數(shù)為分子，即

4"=。"（a>0,〃?,〃為正整數(shù)?>1)；

⑵分?jǐn)?shù)指數(shù)基化根式時(shí)，分母為根指數(shù).分子為被開方數(shù)的指數(shù)即

=行（。>0,〃7,〃為正整數(shù)，〃>1）,負(fù)指數(shù)取倒數(shù)后再轉(zhuǎn)化.

【變式4?1］（多選）a>Q,b>0yx>0,y>0,下列運(yùn)算（化簡）中正確的有（）

A.(成)?(a-2)-j=fl2

10/24

B.（犬-。）°?（4y-a）=4x

1

C［（1一仞2『一（1+可,（1+夜）。=3一2或

D.2a3歷.（一5蘇楊）子（4遍4廬）=-|。動(dòng)一］

【答案】ABD

【解析】對于A,（Q,?.（。-2戶=QT+母=/，故A正確；

對于B,（產(chǎn)-、）。.（4y-a）=一。=40°=4%，故B正確；

-12

對于C,［（1-V2）Y-（1+^）+（1+V2）°=（V2-1）^-T^4-1=V2-1-（V2-1）+1=V故

C錯(cuò)誤：

對于D,2Q3區(qū).（一5萬抗）+（4%4b5）=-10a~b+（4蘇所）=一|。訪-5,故D正確.

故選:ABD.

【變式4?2】化簡:

⑴（③2-嫉+J（-2）2+g

（2）^^（a>0）

【解析】（1）原式=,-4+2+；=0

OO

（2）原式=母=理=金=。

aya?a?

【變式4-3】計(jì)算下列各式（式中字母都是正數(shù)）：

1

^O--

2f+2-222

rX(O.Ol)05-

s/

⑵局”+0.L+(2紙［3.。+張

(3)(a-2d-3)(-4a-1/j)+(12a-4b-2c)；

(4)2+43a.b.3

【解析】⑴原式…打吼(擊)W+r吟

⑵原式=管)，仁廠+得戶-3+K

=|+100+±-3+g=100:

(3)原式二一4。-2-16-3+1+(12a_4b-2c)

3

11/24

（4）原式=2加+4（加阮）（3成）

=?b7?（3后）=|Q而.

題型05指數(shù)幕的化簡與求值

17則a：+3a輔+(3妮J

【典例5】已知。二一《,匕=

71W-27感%-3孤

【答案附

品感以3河2G(43族+⑼J,3

【解析】a127感.%-3%-斗步㈣[*J

因?yàn)閍=_/所以原式（一盤產(chǎn)=（_§3x（~|）=q

故答案為：*

方法技巧

指數(shù)塞的化簡與求值策略

指數(shù)帚的四則運(yùn)算是一類常見題型，其運(yùn)算順序是：有括號的先算括號里面的，無括號的先作指數(shù)運(yùn)

算，再作加減乘除這四則運(yùn)算（先乘除，后加減）.

進(jìn)行指數(shù)塞的綜合運(yùn)算的具體方法有:塞的運(yùn)算性質(zhì)法、轉(zhuǎn)叱法、湊公式法.

1.塞的運(yùn)算性質(zhì)法

即利用書本上所講述的三條幕的運(yùn)算性質(zhì)達(dá)到簡化運(yùn)算的巨的

2.轉(zhuǎn)化法

在指數(shù)塞的綜合運(yùn)算中，往往需要用到轉(zhuǎn)化的思想，常見的轉(zhuǎn)化技巧有：

①小數(shù)化為分?jǐn)?shù),根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)暴；

②如果指數(shù)是負(fù)數(shù),底數(shù)是分?jǐn)?shù),那么對調(diào)底數(shù)的分子和分母并將負(fù)指數(shù)變?yōu)檎笖?shù)；

③把分?jǐn)?shù)指數(shù)吊、負(fù)指數(shù)哥看成一個(gè)整體，借助有理式中的乘法公式及因式分解進(jìn)行變形根式的化簡結(jié)

果.

【變式5?1】下列各式中成立的是（）

7

A.0=m7n7B.-4)4=V-3

C.\jx3+y3=(x+y)*D.求/^=%

【答案】D

【解析】對于A選項(xiàng)，O'=(3.九-1)7=/廠7,A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

12/24

對于B選項(xiàng)，%(_3)4=?浮=31=3：=%WB選項(xiàng)錯(cuò)誤;

對干C選項(xiàng)，(%+y1=\j(x+丫戶工.爐+y3,C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對于D選項(xiàng)，順=］春=(3y=3匕%，D選項(xiàng)正確.

故選：D.

【變式5-2］若/?(%)=5-x4?則滿足/(%)<0的x的取值范圍.

【答案】(0,1)

【解析】由題意/_一<0,則再〈表且xwO,而&>0，

所以白>0,即％>0,故爐<1,可得0VXV1.

Vx

故答案為：(0,1)

【變式5-3】下列根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)制的互化中，正確的是()

A.一五=(-x)T(x。0)x§=Vx

D.=(y<0)

【答案】C

【解析】A中，_?=_/(工/)，故A錯(cuò)誤;

D中，護(hù)=(一毋(y<0),故D錯(cuò)誤.

故選：C.

題型06整體代換法解決條件求值問題

【典例6］若2+a4=3?貝I/+a-?=

【答案】47

【解析】由于9=32=G+Q-，2=a+Q_i+2，故a+a-i=7.

2-12222

這就意味著49=7=(a4-a)=a+a~+2,從而/+a~=47.

故答案為：47

方法技巧

13/24

整體代換法解決條件求值問題

I

對于“條件求值''問題一定要弄清已知與未知的聯(lián)系，然后采用“整體代換”或“化簡后代換”方法求值.對:

I

制值的計(jì)算，一般應(yīng)盡可能把幕億為底數(shù)是質(zhì)數(shù)的指數(shù)事，再考慮同底累的運(yùn)算法則以及乘法公式.

?****-*****―■****??■■■■■■*****―■■■***?-■****■■■■■■■****■■■■■■■■■■■?■■■■■■■■■■■■■*****■****■■??■****■■■■?――■II

【變式6?1】已知%>0,/一:H=百，則也受竺2的值為__________.

x-x一1

【答案】法

3

【解析】因?yàn)閮蛇吰椒降?-2+%T=3,所以％+%T=5,

因?yàn)椋?gt;0,所以￡>0，》4>0，所以裝+%T>0，

所以/+%4=JG+一)2=Vx+X-1+2=夕，

又x-x-1=(X2+x~2^(芨-%-2)=V7xV3=V21,

所以也少竺T)

)77x556.

x-x-l一二H=F-

故答案為：苧

【變式6?2】已知正數(shù)m、ri滿足3m?9"=9,則白+之的最小值為（)

mn

A.2V6B.4+2百C.8+4bD.8+2>/3

【答案】B

【解析】因?yàn)檎龜?shù)m、n滿足3m?9"=9,即3m?32n=3w+2n=9=32,可得m+2n=2,

所以，聲；出+2r<+*；（8+乎引出（8+2仔”）=4+2后

/3m4n

■7=N（m=V3-1

當(dāng)且僅當(dāng)《根；2TI22時(shí)，即當(dāng)_3-代時(shí)，等號成立，

In-"

km>0,n>0i2

因此，2+之的最小值為4+2其

mn

故選：B.

【變式6?3］若實(shí)數(shù)或從c滿足￡+白=1,高+.+崇=1,則c的最小值是.

【答案】7176

【解析】好+?1可得：/+?11層，

即2。+匕16,當(dāng)且僅當(dāng)看二提，即Q=3,b=l時(shí)取等號，

由肅+/+￡=1,

可得：產(chǎn)=1，又由摟+/=1得：2a+4x2b=2a+b,

所以。=崇=1一冊，因?yàn)?"+"之16,

14/24

所以C=M=1-備之去當(dāng)且僅當(dāng)Q=3/=1取等號，

題型07解指數(shù)方程

【典例7】解下列方程.

(1)2八,=；

(2)4x+2x+,-3=0.

【分析】(1)觀察方程的特點(diǎn)，兩邊化成同底數(shù)的指數(shù)式，利用指數(shù)相等解方程；(2)利用換元法將2、換

成/,解關(guān)于，的方程，再求x的值.

【解析】⑴原方程可化為2'"=2-2；-2+1=_2%，

??.(工+1)2=0,解得了二-1.

(2)原方程可化為(2*)2+2乂2'-3=0,

設(shè)/=2"">0),則產(chǎn)+21-3=0,

解得f=l或1=-3(舍去)，

即2、=l,，x=0.

方法技巧

一若荻后襤而莢到芨菜而爰降一

求解指數(shù)式方程的關(guān)鍵是通過擊數(shù)運(yùn)算進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，指數(shù)式方程常見的類型有；

(1)af(x)=ax(x)<=>f(x)=g(x);

(2)F(ax)=0.

類型(1)通過同底法可解，類型⑵常利用換無法求解.

-f委無百萬王褥布妾:三揄法的7二流于二元二萬褫亮二

【答案】x=3

【分析】由方程看成關(guān)于2,的二次方程，解得21t=-2(舍)或2、=8,從而得到方程的解.

［詳解】4"-6?2、-16=(2、)2-6?216=0,

.\2v=-2(舍)或2、=8,解得x=3.

【變式7-2］解下列指數(shù)方程：

(l)32T=(3、y；

⑵9*+3*+|-4=0;

(3)62jf+4=33x-2x+8.

【解析】(1)32T=(3，y=32r=32*n2—x=2x.解方程.得不=:.

15/24

(2)9X+3v+,-4=0=>(3T)2+3x3X-4=0.

設(shè)3、=E，，＞0,貝ij原方程為J+3/—4=0.

解方程，得4=-4（舍），/2=1.

/.3v=1.解x=0.

2V+42X42X+42X+4

(3)6=(3.2)*=3-2,故32Z.22X+4=33X.218,

?*>2x+4-3x_2*+8-(2X+4)

/.4-x=0,解得x=4.

題型08指數(shù)塞的等式證明問題

【典例8-1】證明下列恒等式.

x1y1z?

(1)(axy)荔(ayz)x-y(a書yz=i(a>0);

⑵Jc'Vmb+c-aVbVmc+a-JcVma+b=l(m>0).

【分析】本題主要考查分?jǐn)?shù)指數(shù)靠與根式的化簡,同一道題中幕的底數(shù)均相同，這樣就為應(yīng)用運(yùn)算性質(zhì)提供了

,m

必備的條件，可用到的性質(zhì)有(Xm)n=xmn,xm.xn=xm-n及V^=%7(x>0,m,nWR).

xyz

【證明】(1)左邊=2兩百?a西西?a(z")(ym

_1乂…-…z…

=3(>-yXz-x)(y-zXx-y)(z-xKy-z)

xiy?z)+y(z-x)+z(x?y>

=a<x-yMy-zXz-x)-=2。=]=右邊，

???等式成立.

b+cc+aa+b

(2)左邊=01信心)(c?a>,n]iab)(bY).n^(b<Xc-a)

b+cc+aa+b

=ma上*c?a)(a-b)(b-c)(b<Xc-a)

：b+cKb?c)+(〉+a)(c?a>4Q+b)Q，b)

=m(a-bxb-cxc-a)=m°=1=右邊，

二等式成立.

【典例8-2】已知ax3=by3=cz3,及1+1+1=1,求證(ax?+by2+cz2)3=a3+b3+c3.

xyz

【分析】本題考查分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的內(nèi)容和證明的有關(guān)知識，以及利用“參數(shù)法”解決問題的能刀，根據(jù)已知

條件ax3=by3=cz3,設(shè)一個(gè)參數(shù)1,用含有t的式子表示ax?+by2+cz2與a3+b3+c3,從而找到(ax?+by2+

cz2)；與a；+b；+c；的關(guān)系，這也是解決本題的關(guān)鍵.

【解析】令ax3=by3=cz3=t,

tt??ii

貝I]ax2=,by2=,cz2=t,a3x=b3y=c3z=t3,

xyz

i「+，++/+1++

(ax2+by2+cz2)3=lxyzj3=t?lxyzj?.

iiiii

又++=1,/.(ax2+by2-|-cz-)3=t3.(5

xyz

16/24

III1zIt3It3It3

由a3x=b3y=C3z=t3,得a3=,b?=,C3=

xyz

■+b；+c以+.；=￡+；+；)=』

xyz

1111

(ax2+by2+CZ2)3=a?+b3+C3.

方法技巧

指數(shù)幕等式的證明策略

1.證明等式A=B的常用思路：

思路一：A=C,B=CA=B.

思路二：A-B=OA=B.

思路三：aA=aBA=B.

思路四：A=1A=B.

B

2.有關(guān)條件等式的證明方法：

對條件等式的證明問題，首先對?條件進(jìn)行化簡或變形，對連等式有時(shí)要引進(jìn)字母參數(shù)，設(shè)而不求，通

過轉(zhuǎn)化證明等式的左右兩端相等，要注意引用分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì).

[變良8]三知2J3〃=27-3J6,耒晶伍一])(d—1)=S—D(c-1)........一

【證明】v2a-3/,=2x3,.\2fl-,-3,,-,=l.(1)

...R小.「=1,即23叱D.產(chǎn)電|)=1.(2)

又2c'凸〃=2x3,「.2c-,-3</-,=l.

...Qi.3二)"=1.即2(川“).產(chǎn)叱D=i.

由(1)(2)知

/.(a-1)(J-1)-(Z>-l)(c-1).

題型09募的綜合應(yīng)用問題

【典例9】已知f(x)=W3g(x)=W2

(1)求證:f(x)在(0,+oo)上是增函數(shù);(己知y=x5在R上是增函數(shù))

(2)分別計(jì)算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函數(shù)f(x)和g(x)對所有不等于零的實(shí)數(shù)x都成

立的一個(gè)等式，并加以證明.

【分析】利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明;(2)由特殊到一般，得到猜想,再利用累的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行證明.

111

【解析】⑴證明:任取xi>X2>0,：y=H在R上是增函數(shù)，.區(qū)>埠

]￡J￡J

又《"2戶>0,二曲1)-耿2)=燈2；_用+式23)

111

=|(4-4)[i+(xix2p]>o,

??.f(x)在(0,+oo)上是增函數(shù).

(2)經(jīng)計(jì)算知f(4)-5f(2)g(2)=0,f(9)-5f(3)g(3)=0,

17/24

由此猜想:f（x2）?5f（x）g（x）=0.-

12211111.22.22

證明：f（x2）-5Rx）g（x）3（娟-交）孝心+%耳）（蜻-道戶去拜聲）招行-x'）=0.

【點(diǎn)撥】本題第（2）問所用方法為歸納法，歸納法解題的一般步驟為：（1）對特殊現(xiàn)象進(jìn)行觀察、分析、歸納、

整理；（2）提出帶有規(guī)律性的?般結(jié)論，即猜想；（3）檢驗(yàn)或證明猜想.

方法技巧

■■■■■■■■■■■—?****■■■■■■■■■■■-?****■■■■—■■-****■■****■■■■■■■-■****■■■■■■■■■■■■--*****―?■■■———■■-?****?——■■■―****■■■■■■■■■■■?

幕的綜合問題破解策略

I

解決有關(guān)轅的綜合問題時(shí)，首先要善于觀察、分析?，并對它進(jìn)行適當(dāng)?shù)募庸?、處理、變形，以?chuàng)設(shè)運(yùn)1

I

用公式和累的有關(guān)性質(zhì)的條件、然后進(jìn)行化簡、求值即可；其次，要