2025年壓軸數(shù)學高考試卷及答案

一、填空題（每題2分，共20分）1.若函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c在x=1處取得極值，且f(1)=2，則a+b+c=______。2.設(shè)集合A={x|x^2-3x+2>0}，B={x|ax=1}，若A∩B=?，則a的取值范圍是______。3.在等差數(shù)列{a_n}中，若a_1=1，a_2+a_3=8，則該數(shù)列的前n項和S_n=______。4.已知圓C的方程為x^2+y^2-4x+6y-3=0，則圓C的圓心坐標為______。5.若復數(shù)z=1+i滿足z^2+kz+1=0，其中i為虛數(shù)單位，則實數(shù)k=______。6.函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是______。7.在△ABC中，若角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a=3，b=4，c=5，則cosA=______。8.已知向量u=(1,2)，v=(3,-1)，則向量u與v的夾角余弦值是______。9.設(shè)函數(shù)g(x)=e^x-x，則g(x)在區(qū)間(0,1)上的最大值是______。10.在直角坐標系中，點P(x,y)到直線x+y=0的距離為√2/2，則點P的軌跡方程是______。二、判斷題（每題2分，共20分）1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增，則其反函數(shù)也在區(qū)間I上單調(diào)遞增。（）2.集合A={x|x>0}與集合B={x|x<1}的并集是全體實數(shù)。（）3.等比數(shù)列{a_n}中，若a_1=1，公比q≠1，則其前n項和S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)。（）4.圓x^2+y^2=r^2的圓心到直線ax+by+c=0的距離是|c|/√(a^2+b^2)。（）5.若復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模為1，則z的平方也是模為1的復數(shù)。（）6.函數(shù)f(x)=x^3在區(qū)間(-∞,+∞)上單調(diào)遞增。（）7.在△ABC中，若a^2+b^2=c^2，則△ABC是直角三角形。（）8.向量u=(1,2)與向量v=(3,-1)共線。（）9.函數(shù)f(x)=sin(x)在區(qū)間[0,π]上是增函數(shù)。（）10.點P(x,y)到直線x+y=0的距離等于到原點的距離。（）三、選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)f(x)=x^2-4x+3的圖像是（）。A.開口向上的拋物線B.開口向下的拋物線C.直線D.拋物線與x軸相切2.集合A={x|x^2-x-6>0}與集合B={x|x<a}的交集為空集，則a的取值范圍是（）。A.(-∞,-2)B.(-2,3)C.(3,+∞)D.(-∞,-2]∪[3,+∞)3.在等差數(shù)列{a_n}中，若a_1=2，a_5=10，則該數(shù)列的公差d是（）。A.2B.3C.4D.54.圓C的方程為x^2+y^2-6x+8y-11=0，則圓C的半徑是（）。A.2B.3C.4D.55.若復數(shù)z=1+i滿足z^2+kz+1=0，其中i為虛數(shù)單位，則實數(shù)k的值是（）。A.-2B.2C.-2或2D.06.函數(shù)f(x)=|x-2|+|x+1|的最小值是（）。A.1B.2C.3D.47.在△ABC中，若角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a=3，b=4，c=5，則cosB=（）。A.3/4B.4/5C.5/4D.4/38.已知向量u=(2,1)，v=(1,-2)，則向量u與v的夾角余弦值是（）。A.-3/5B.3/5C.-4/5D.4/59.函數(shù)g(x)=x^3-3x在區(qū)間[-2,2]上的最大值是（）。A.-8B.0C.8D.1610.點P(x,y)到直線3x-4y+5=0的距離為2，則點P的軌跡方程是（）。A.3x-4y+1=0B.3x-4y+9=0C.3x-4y-1=0D.3x-4y-9=0四、簡答題（每題5分，共20分）1.已知函數(shù)f(x)=x^3-ax^2+bx，若f(x)在x=1處取得極值，且f(1)=3，求a和b的值。2.設(shè)集合A={x|x^2-3x+2>0}，B={x|ax=1}，若A∩B=?，求實數(shù)a的取值范圍。3.在等差數(shù)列{a_n}中，若a_1=1，a_2+a_3=8，求該數(shù)列的前n項和S_n。4.已知圓C的方程為x^2+y^2-4x+6y-3=0，求圓C的圓心坐標和半徑。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|的單調(diào)性。2.在△ABC中，若角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a=3，b=4，c=5，討論cosA+cosB+cosC的值。3.已知向量u=(1,2)，v=(3,-1)，討論向量u與v是否共線，并說明理由。4.討論函數(shù)g(x)=e^x-x在區(qū)間(0,1)上的單調(diào)性和極值。答案和解析一、填空題1.22.a≤0或a=1/23.n(n-1)/24.(2,-3)5.-26.37.3/58.5/139.e-110.x^2+y^2=1/2二、判斷題1.√2.×3.√4.×5.√6.√7.√8.×9.×10.√三、選擇題1.A2.D3.B4.C5.C6.C7.B8.D9.C10.A四、簡答題1.解：f'(x)=3x^2-2ax+b，由題意知f'(1)=0且f(1)=3，代入得3-2a+b=0和1-a+b=3，解得a=1，b=-1。2.解：A={x|x<1或x>2}，若A∩B=?，則B?{x|1≤x≤2}，即ax=1在[1,2]上無解，所以a=0或1/a∈[1,2]，即a≤0或a≥1/2。3.解：a_2=a_1+d=1+d，a_3=a_1+2d=1+2d，由a_2+a_3=8得3+3d=8，解得d=5/3，S_n=n/2(2a_1+(n-1)d)=n/2(2+(n-1)5/3)=n^2/6+n/2。4.解：圓心坐標為(2,-3)，半徑為√((2-0)^2+(-3-0)^2)=√13。五、討論題1.解：f(x)=|x-1|+|x+2|在(-∞,-2)上單調(diào)遞減，在(-2,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞增。2.解：cosA=3/5