奉化中學(xué)2024分班考數(shù)學(xué)

一、單選題

-x',-2ax-a,x<0

=

e'+ln(x+ax>0在R上單調(diào)遞增，則。的取值范圍是()

1.已知函數(shù)

A.(-oo,0]B.[-1,0]C.[-UJD.I0,+oo)

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和分界點(diǎn)的大小關(guān)系即可得到不筆式組，解出即可.

【詳解】因?yàn)?(“在R上單調(diào)遞增，且xNO時(shí),/(x)=e'+ln(x+l)單調(diào)遞增,

-一>0

則需滿足〈2x(—1),解得-IVaKO,

-a<e°+In1

即“的范圍是

故選：B.

2.“四邊形是平行四邊形”是“四邊形是菱形”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C,充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)必要不充分條件的定義即可求解.

【詳解】四邊形是平行四邊形不能推出四邊形是菱形，但是四邊形是菱形能推出四邊形是平行四邊形，所以

“四邊形是平行四邊形''是"四邊形是菱形”的必要不充分條件.

故選:B.

3.己知函數(shù)/(人)二人2+以+〃，若不等式在4目1,5］上恒成立，則滿足要求的有序數(shù)對(duì)

(a,Z?)有()

A0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.無數(shù)個(gè)

【答案】B

【解析】

-2<l+t/+Z?<2,（l）

【分析】由題意有<-2W9+3a+〃W2,（2）,通過分析得到。=-6,〃=7是滿足題意的唯一解，注意

-2425+5a+b42,（3）

檢驗(yàn).

【詳解】由題意若不等式|〃切卜2在x?l,5］上恒成立,

-2</(l)<2f-2<l+f/+Z;<2,(l)

則必須滿足,-2</(3)<2,即卜2?9+3〃+b?2,⑵,

-2</(5)<2[-2<25+567+/?<2,(3)

由[-2?9+3a+Z?W2,(2)’兩式相加得-448+2^44=>-6?。0-2,（4）,

-2<-9-36Z-/?<2,(2)

再由，-2?25+5。+〃<2,囪'兩式相加得-4<16+2〃<4=-1。<。4-6,（5）,

-2<-5+f?<2,（l）

結(jié)合（4）,（5）兩式可知。=-6,代入不等式組得<—2W—9+bW2,，2）,

-2<-5+f?<2,（3）

解得方=7,

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a=-6,8=7時(shí)，/(X)=X2-6X+7=(X-3)2-2,

有［〃初皿=〃1）=/（5）=2,［/WLn=/（3）=-2,滿足|/。）歸2在x」［l,5］上恒成立,

綜上所述；滿足要求的有序數(shù)對(duì)3,與為：（-6,7）,共一個(gè).

故選：B.

-2</（1）<2

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵是首先得到?-2?/。）42,進(jìn)一步由不等式的性質(zhì)通過分析即可求

-2</（5）<2

解.

4.己知]>()/>(),且。十。二1,則下列不等式中恒成立是()

A./+〃〈_!_B,T-h>-

22

Clog,a+log,b>-2D.4ci+4b>\[l

【答案】B

【解析】

【分^5】

直接利用不等式的性質(zhì)的應(yīng)用和基本不等式的應(yīng)用求出結(jié)果.

【詳解】解：①已知。>0，b>0,且〃+。=1,所以3+與2,2〃2+乃2,則/+尻g,故A錯(cuò)誤.

②利用分析法：要證2f>[,只需證明即可，即由于。>0,b>0,且

。+〃=1,所以：。>0,Z?-l<0,故3正確.

③bg2。+l。g2〃=l。g2a〃，，】。g2（J^）2=-2,故C錯(cuò)誤.

④由于。>0,〃>0,且。+〃=1,

利用分析法：要證G+成立，只需對(duì)關(guān)系式進(jìn)行平方，整理得a+b+2血2,即2碗,,1，故

痛，!=冬，當(dāng)且僅當(dāng)〃時(shí)，等號(hào)成立,故。錯(cuò)誤?

222

故選：B.

【點(diǎn)睛】利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：

（1）“一正二定三相等““一正''就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成

積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

（3）“三相等''是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所

求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方

5.已知集合4=｛（羽?。﹟第2+）,2?],乂昨2｝,B=｛（x,y）||x|<2,|y|<2,x,yeZ｝,定義集合

A十8=｛（須+知y+%）I（為，）'1）cA（42,%）?研，則八33中元素的個(gè)數(shù)為

A.77B.49C.45D.30

【答案】C

【解析】

【詳解】因?yàn)榧?二｛?.川./+』41..3?￡/｝,所以集合M中有5個(gè)元素（即5個(gè)點(diǎn)），即圖中圓中

的整點(diǎn)，集合8一』42.NZ；中有25個(gè)元素（即25個(gè)點(diǎn)）：即圖中正方形."CD中

的整點(diǎn)，集合/附8=["+與/+外）|（\.3）￡41「.力）€3｝的元素可看作正方形4耳。：。1中的整

點(diǎn)（除去四個(gè)頂點(diǎn)），即??-4=45個(gè).

二、多選題

6.德國(guó)著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，以其名命名的函數(shù)

1X為有理數(shù)

〃匯)=,；二上田崢成為狄利克雷函數(shù)，則關(guān)于/(力，下列說法正確的是()

0,x為無理數(shù)7

A.VXG/?,/(/(A))=1

B.函數(shù)/(可是偶函數(shù)

C.任意一個(gè)非零有理數(shù)7，/(X+7)=/(工)對(duì)任意不￡農(nóng)恒成立

D,存在三個(gè)點(diǎn)4%,/區(qū))),8(0/(/))，。(七，/但))，使得A48c為等邊三角形

【答案】ABCD

【解析】

【分析】依次判斷每個(gè)選項(xiàng)：/(x)e{0,l},故=判斷〃T)=/(X),為偶函數(shù)；判斷

/(x+T)=/(x)；取4傳,0卜(0,1),0一冬0為等邊三角形，得到答案.

【詳解】VAe/?,/(A)e{0,1}/./(/(%))=1,A正確;

，/、fl,-x為有理數(shù)為有理數(shù)“、皿口,

小力九一為無理數(shù)=|。,訪無理數(shù)=偶函數(shù)'8正確

i,x+r為有理數(shù)1/為有理數(shù)

=/(x),。正確;

0,X+7為無理數(shù)0,X為無理數(shù)

易知人(-楙■,(),^(O,l),cf-y-,O二點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，。正確；

故選：ABCD

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的新定義問題，意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用能力.

(1\

7.已知函數(shù)/(力的定義域?yàn)镽,且/-工0,若〃x+y)+/(x)/(y)=4個(gè)，則()

I2,

A./信卜。B./出=-2

C.函數(shù)/(x-g)是偶函數(shù)D.函數(shù)/(x+g)是減函數(shù)

【答案】ABD

【解析】

【分析】對(duì)抽象函數(shù)采用賦值法，令x=g、y=。，結(jié)合題意可得/(0)二-L對(duì)A：令x=g、y=o.

代人計(jì)算即可得；對(duì)B、C、D：令y=-g,可得/(x-g)=-2］，即可得函數(shù)—g)及函數(shù)

(1、

函數(shù)性質(zhì)，代入x=l,即可得/-.

【詳解】令x=g、y=o,則有/(g)+/(g)x/(o)=/(g)[i+/(o)]=o,

又出卜

0,故1+/(0)=0,BP/(O)=-1,

人1

令工=_、y=

2

即

又也卜°，故《撲仇

故A正確;

令y=一＜，則有fU

2I，//⑴《｛HO

即=-2x,故函數(shù)/（x—g是奇函數(shù)，

有/*（x+1-/）=-2（工+1）=-21-2,即fx+—j=-2x—2,

即函數(shù)/（x+J）是減函數(shù),

\乙）

令M=l,有/：）=-2乂1=-2,

故B正確、C錯(cuò)誤、D正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用賦值法解決抽象函數(shù)問題，借助賦值法，得到/（0）=-1，再重新

賦值，得到=再得到/（戈-；）=-2x.

三、填空題

22

8.2x+xy+y=\t則/+x）、+2），的最小值為.

［答案］-4二+9

7

【解析】

【分析】

2cos6.門cos。

根據(jù)條件等式可設(shè)工=F，y=smf代入所求式子，利用二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，根

據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可求出最值.

【詳解】2/+孫+/=1,則于+?+封+9=1,即?率）+（f+']=1，

.Fixx2cos0.八cos。

設(shè)三=cosa/+y=sin。，則x=^^,y=sin<9--石,

2-，（2cos6?V2cos〃（.八cos.（.八cos。'

x~+xy+2y~=—產(chǎn)一+――-?sm。----=+2sin。-----

Iy/i）aIV7J[不）

4cos）。2sin0cos0

+2sin20

4（l+cos2。、sin26

=---------1-cos26

7■\247

=——7=sin20——cos26+—

V777

=ifsin（20+o）+］，其中。是輔助角，且tan0=，

-4忘+9

當(dāng)sin（2￡+戶）=一1時(shí)，原式取得最小值

~1~

-4也+9

故答案為:

~1~

2cos。._cos。

【點(diǎn)睛】本題考查條件等式求最值，解題的關(guān)鍵是設(shè)工二利用三角恒等變換化

簡(jiǎn)可求出.

9.李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/

盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷：一次購買水果的總價(jià)達(dá)到

120元，顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付款的80%.

①當(dāng).『1（）時(shí)，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

②在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為

【答案】?.130.②.15.

【解析】

【分析】由題意可得顧客需要支付的費(fèi)用，然后分類討論，將原問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問題可得x的最

大值.

【詳解】（l）x=10,顧客一次購買草莓和西瓜各一盒，需要支付（60+80）-10=130元.

⑵設(shè)顧客一次購買水果的促銷前總價(jià)為元，

>'<120元時(shí),李明得到的金額為yx80%,符合要求.

”120元時(shí)，有（y—x）x80%?70%恒成立，即8（y-x）N7），,x（￡,即x<停］=15元.

8I*7min

所以X的最大值為15.

【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的概念與性質(zhì)、數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)、數(shù)學(xué)式子變形與運(yùn)算求解能力，以實(shí)際生活

為背景，創(chuàng)設(shè)問題情境，考查學(xué)生身邊的數(shù)學(xué)，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

四、解答題

10.已知集合人={工|8->0）,集合8=-2WxW2a+l}.

x+3

（1）當(dāng)4=3時(shí),求A和他4”5；

（2）若A是不￡8的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)4={x|大<-3或x>4},(aA)D/?={x|-34x47}；(2)av-2或々>6.

【解析】

【分析】

（1）當(dāng)。=3時(shí)，得出集合8,解分式不等式即可得集合A