2.5.1直線與圓的位置關(guān)系（第2課時）教學(xué)設(shè)計

教學(xué)分析

教學(xué)內(nèi)容與解析

1.教學(xué)內(nèi)容

本課時圍繞直線與圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用展開，先回顧第1課時的幾何法（圓心到直線距離d與半徑

r的大小關(guān)系）和代數(shù)法（聯(lián)立方程判別式A）判定位置關(guān)系，再重點講解直線與圓相交時的弦長計算，推

導(dǎo)并應(yīng)用弦長公式2后二不，分析直線與圓相切時過圓上、圓外一點的切線方程求法.通過實例引導(dǎo)學(xué)生

優(yōu)先用幾何法簡化弦長、切線等問題的計算，滲透數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合典型例題鞏固兩種判定方法的綜合運

用，提升學(xué)生解決直線與圓位置關(guān)系相關(guān)計算、證明及簡單實際問題的能力，強化對二者位置關(guān)系本質(zhì)的理

解.

2.內(nèi)容解析

本課時是人教A版（2019）選擇性必修第一冊第二章“直線與圓的方程”中2.5.1的深化課時，承接

第1課時直線與圓位置關(guān)系的判定基礎(chǔ)，聚焦“綜合應(yīng)用”展開教學(xué).首先通過回顧幾何法（圓心到直線距

離d與半徑r的大小關(guān)系）和代數(shù)法（聯(lián)立方程判別式△）的判定邏輯，建立新舊知識銜接，為后續(xù)應(yīng)用

鋪墊；接著重點突破兩大核心內(nèi)容：一是直線與圓相交時的弦長計算，推導(dǎo)弦長公式2后二不，對比代

數(shù)法（求交點再算距離）的繁瑣，凸顯幾何法簡化計算的優(yōu)勢；二是直線與圓相切時的切線方程求法，分過

圓上一點（利用切線垂直半徑的幾何性質(zhì)）和圓外一點（結(jié)合幾何性質(zhì)與代數(shù)求解）兩種情況分析，避免代

數(shù)法漏解問題.教學(xué)中貫穿數(shù)形結(jié)合思想，通過典型例題引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問題特征選擇最優(yōu)方法，最終實現(xiàn)學(xué)

生對判定方法的綜合運用，提升解決直線與圓相關(guān)計算、證明及簡單實際問題的能力，深化對二者位置關(guān)系

本質(zhì)（幾何特征與代數(shù)表示關(guān)聯(lián)）的理解.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點為：直線與圓相交的弦長計算、相切的切線方程求法及判定方

法綜合運用.

教學(xué)目標與解析

1.教學(xué)目標

（1）能正確理解直線與圓的方程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；

（2）能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實際問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算、邏輯推理的核心素養(yǎng)；

（3）體會坐標法解決平面幾何問題的“四步曲”，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算、邏輯推理的核心素養(yǎng).

2.目標解析

（I）本節(jié)課需引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系（如相交、相切），理解方程的幾何意義——從具

體的直線、圓方程抽象出其代表的圖形特征，將代數(shù)友達式與幾何形象關(guān)聯(lián)，通過提煉共性規(guī)律

培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，為后續(xù)應(yīng)用奠定認知基礎(chǔ).

（2）該目標聚焦應(yīng)用能力，學(xué)生需運用直線與圓的方程解決弦長計算、切線方程求解等數(shù)學(xué)問題，及

簡單實際情境問題；運算中需解方程、算距離，推理中需判斷位置關(guān)系找思路，同步落實數(shù)學(xué)運

算與邏輯推理素養(yǎng).

（3）該目標側(cè)重“應(yīng)用”，要求學(xué)生掌握用待定系數(shù)法（據(jù)三個獨立條件列方程組求D、E、F）求一般

方程，同時能將其用于解決直線與圓位置關(guān)系等簡單問題，實現(xiàn)理論到實踐的轉(zhuǎn)化.

（4）“四步曲”（建系、設(shè)點、列方程、求解）是坐標法核心，學(xué)生通過例題實踐體會該流程：建系與

設(shè)點需推理，列方程與求解需運算，在步驟銜接中深化對方法的理解，進而培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算與邏輯

推理素養(yǎng).

學(xué)情分析

學(xué)生己掌握直線與圓的標準方程、一般方程，及第I課時用兒何法（d與r關(guān)系）、代數(shù)法（判別

式△）判定直線與圓位置關(guān)系的基礎(chǔ)，但對幾何法簡化計算的優(yōu)勢理解不深，代數(shù)法運算易出錯，對知識

的綜合應(yīng)用能力較弱.

教學(xué)中可能遇到的困難：

?是弦長公式推導(dǎo)時，難將弦長與圓心到直線的距離、半徑通過勾股定理關(guān)聯(lián)，缺乏幾何直觀；

二是過圓外一點求切線方程時，易忽略斜率不存在的情況導(dǎo)致漏解，或用代數(shù)法時判別式應(yīng)用不當；

三是坐標法“四步曲”在實際問題中靈活應(yīng)用難，建系、列方程環(huán)節(jié)易卡殼.

解決方法：

用幾何畫板動態(tài)演示弦長、距離、半徑的關(guān)系，引導(dǎo)推導(dǎo)弦長公式；通過分類討論（斜率存在/不存

在）結(jié)合例題對比，強調(diào)漏解情況，用代數(shù)法驗證；拆分坐標法步驟，結(jié)合簡單實際問題分步練習(xí).

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點為：弦長公式推導(dǎo)的幾何關(guān)聯(lián)建立、過圓外點切線方程漏解規(guī)

避及坐標法靈活應(yīng)用.

教學(xué)過程設(shè)計

新課導(dǎo)入

臺風(fēng)“樺加沙中心從A地以2()km/h的速度向西北方向移動，離臺風(fēng)中心30km內(nèi)的地區(qū)為危險區(qū),

廣州市在A地正西40km處，則廣州市是否會遭遇到臺風(fēng)的危害嗎？

這是生活中一個關(guān)于直線與圓位置關(guān)系的具體場景，像這種類似的場景生活中還有很多，那么我們是

可以應(yīng)用所學(xué)知識，解決?；钪幸恍┚唧w的問撅的.

設(shè)計意圖：以臺風(fēng)避險的生活情境引入，激發(fā)學(xué)生興趣，引導(dǎo)用直線與圓位置關(guān)系舊知思考，為新課應(yīng)用鋪

墊，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.

教學(xué)建議：引導(dǎo)學(xué)生提取情境中A地、廣州位置及臺風(fēng)危險區(qū)等已知量，逐步轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(建系、定

圓與直線)，通過提問或小組討論落實建模，自然銜接新課.

新知探究

回顧：在學(xué)習(xí)《兩點間的距離公式》時，我們學(xué)會了會運用坐標法解決簡單的平面幾何問題，請回顧：用坐

標法解決簡單的平面幾何問題的四個基本步驟：

學(xué)生：思考并回顧之前所學(xué)知識，馬上得出答案

一建：建M適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担?/p>

二表：用坐標或方程表示點、距離、直線、圓等有關(guān)兒何要素

三算：進行有關(guān)代數(shù)運算

四翻譯：把代數(shù)運算的結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論

教師：今天我們將再一次應(yīng)用坐標法，解決生活中的一些簡單實際問題

應(yīng)用新知

例3如圖是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖.圓拱跨度A8=20m,拱高。2=4m,建造時每間隔4m

需要一根支柱支撐，求支柱A26的高度(精確到0.01m).

回顧：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼档娜笤瓌t是什么？

學(xué)生：思考并回顧之前所學(xué)知識，馬上得出答案

原則一：讓盡可能多的點落在坐標軸上

原則二：條件中有兩條線垂直，一般的這兩條線作為坐標軸

原則三：軸對稱圖形，對稱軸一般作為坐標軸

思考：如何在該圖形中建立直角坐標系？

學(xué)生：借助建立平面直角坐標系的原則，嘗試著建立.適合的坐標系：

以。為原點，線段力6所在直線為x軸，建立平面直角坐標系

追問：原點。是圓心嗎？

學(xué)生：根據(jù)題意思考得出答案：不是，圓心在y軸上，可令圓心坐標(0,b)

轉(zhuǎn)化：建立平面直角坐標系，將實際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為怎樣的數(shù)學(xué)問題？

原題：圓拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,建造時每間隔4m需要一根支柱支撐，求支柱

4鳥的高度.

B(10,0)、P(0,4)、點4的橫坐標為-2軸

轉(zhuǎn)化后：已知,圓心在二_______上，求點P2的通_____坐

標.

學(xué)生：嘗試著將生活中的問題，轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號和語言表示出已知條件和所求的量，從而結(jié)

合題意得出結(jié)論：

由點P2在圓上，可以先求圓的方程,然后代入點P2的橫坐標，求得P2縱坐標.

學(xué)生：結(jié)合以上思考并與同桌交流，共同得出答案，做好分享準備.

預(yù)設(shè)：建立如圖所示的直角坐標系，使線段AB所在直線為XX.

軸，0為坐標原點，圓心在y軸上.由題意，點尸，PiP

8的坐標分別為(。,4),(1(),0).設(shè)圓心坐標是

A4'。A3A4Bx

((),?,圓的半徑是，

那么圓的方程是

x2+(y-b)2=r

下面確定〃和，?的值.

因為尸，8兩點都在圓上，所以它們的坐標(0,4),(10,0)都滿足方程X2+()，-加2=’.

于是，得到方程組

f02+(4-/?)2=r2

[l()2+(()-/?)2=r2°

解得

ft=-10.5,產(chǎn)=14.52.

所以，圓的方程是

—+—+10.5)2=14.52.

把點鳥的橫坐標工=-2代入圓的方程，得

(一2產(chǎn)+(y+10.5)2=14.52.

即》+10.5=』4.52—(一2)2(鳥的縱坐標,，〉0,平方根取正值).所以

)，=J14.52-(-2)2-10.5?14.36-10.5=3.86m.

答：支柱4鳥的高度約為3.86m.

思考：如果不用坐標法，用綜合法，借助輔助線和直角三角形解該題，如何解答

如圖，過點鳥作6〃_LOP,垂足為H.

由已知,|。"=4,|。川=10.點(：為圓拱所在圓的圓心

在用”O(jiān)C中，有|CA『=|CO:+|OA「.

設(shè)圓拱所在圓C的半徑是r,

則有產(chǎn)=(?4『+10)解得r=14.5

在％△CgH中，有|。巴『=|CH『+區(qū)

因為出”|二|O“J=2

于是有|CH『=產(chǎn)_|O4『=14.52-4=206.25.

又|OC|=14.5—4=10.5,

于是有|。川=|C川一|CO|=記一10.5之14.36-10.5=3.86

所以，支柱4巴的高度約為3.86米

追問：根據(jù)以上兩種方法的解題過程，比較綜合法和坐標法的特點

學(xué)生：體會以上兩種解法，并分析比較綜合法和坐標法的特點，比得出答案:

綜合法中添加了輔助線，有一定的技巧，而且求解過程中利用了垂徑定理，并多次使用勾股定理進

行計算，過程較復(fù)雜.

坐標法更具普適性，思維難度也低，對學(xué)生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的提升意義深刻.

牛刀小試:

練1：2023年第19屆亞運會在中國浙江杭州舉行，杭州有很多圓拱的懸

索拱橋，經(jīng)測得某圓拱索橋(如圖)的跨度|A8|=1OO米，拱高

|。日=10米，在建造圓拱橋時每隔5米需用?根支柱支撐，則與OP

相距30米的支柱MN的高度是米.(注意：Vi0?3.l62)

師生：學(xué)生自主完成練習(xí)，教師巡視學(xué)生做題情況，并選擇典型解答，分享答案;

預(yù)設(shè)：以點P為坐標原點，OP所在直線為)，軸，過點P且平行于A/3的直線為

工軸，建立平面直角坐標系，

由題意可知，點A的坐標為(-50,-10),設(shè)圓拱橋弧所在圓的半徑為，

由勾股定理可得(-8)氣。A?=戶,又|04=10,即(IO/+502=解得r=130,

所以圓心的坐標為(0,-130),則圓的方程為V+(y+13O)2=130:

將x=-30代入圓的方程得(y+\3O)2=1302-(-30)2=16000,

乂，＞-10,解得)，=40屈-130,

所以用N=(40面-130)-1-10)=40廂-120?6.48(米).

故答案為：6.48.

例4：一個小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為20km的圓形區(qū)域內(nèi).已知小

島中心位于輪船正西40km處，港口位于小島中心正北30km處.如果輪船沿直線返港，那么它是

否會有觸礁危險？

師生：共同分析，先畫出示意圖，了解小島中心、輪斗船、港口的方位

|港口

和距離.如右圖，根據(jù)題意，建立適當?shù)钠矫嬷宾孔鴺讼?，?/p>

出暗礁所在區(qū)域的邊緣圓的方程，以及輪船返/\、港直線的方程，

利用方程判斷自線與圓的忖置關(guān)系,進而確定I°\~J1船」輪船是否有觸礁

危險.

學(xué)生：思考并與同桌交流，共同得出答案，做好分享準備.

預(yù)設(shè)：以小島的中心為原點。，東西方向為x軸，建立如圖所示的直角坐標系.為了運算的簡便，我們

取10km為單位長度，則港口所在位置的坐標為(0,3),輪船所在位置的坐標為(4,0).

這樣，受暗礁影響的圓形區(qū)域的邊緣所對應(yīng)的圓的方程為

x2+y2=4.

輪船航線所在直線/的方程為

x

—+1=1,即3x+4y-12=0.

4

聯(lián)立直線/與圓。的方程，得

3x+4y-12=0

廠+y-=4

消去y,得

25x2-72^+80=0.

由△二(一72u—4x25x80<0,可知方程組無解.

所以直線/與圓。相離，輪船沿直線返港不會有觸礁危險.

思考：你還能用其他方法解決I:述問題嗎？

教師：提示借助向量工具求一些距離問題

師生：共同分析，前面我們學(xué)過向量，利用向量工具解決平面幾何問題也很方便，我們考慮如何利用向量

來解決這個問題，可以利用向量求出點。到直線力〃的距離，然后與暗礁分布范圍的半徑比較大小

即可判斷，是否會觸礁.

學(xué)生：結(jié)合以上分析與同桌交流，共同得出答案，做好分享準備.

預(yù)設(shè)：以小島的中心為原點O,東西力向為x軸，建立如圖所示的直角

坐標系，則港口所在位置的坐標為8(0,30),輪船所在位置的坐標

為4(40,0).(八_)\>

所以，點0到直線AB的距離為：一下廣1,32.42寸24〉”)

所以輪船沿直線返港不會有觸礁危險.

思考：比較坐標法與向量法，它們在解決幾何問題時，有什么異同點？

學(xué)生：體會向量法和坐標法的解題過程，并得出其中的異同點：

向量法解決幾何問題的步驟，和坐標法很類似：

首先將點、線、面等幾何要素用向量表示，其次對這些向量進行運算，最后后把向量運算的結(jié)果

“翻譯”成關(guān)于點、線、面的相應(yīng)結(jié)果.

由于向量線性運算給向量表示幾何要素帶來的便利性，以及向量數(shù)量積運算在刻畫長度與角度方面

的強大功能，使得向量法在解決幾何問題中發(fā)揮了巨大的作用，使許多問題的解決變得方便且簡

捷.

重點題型

題型一：圓的中點弦問題

例題若點M(1,1)為圓C:/+)3-4x=0的弦AB的中點，求直線AB的方程.

預(yù)設(shè)：將C:/+V—4x=0的圓心。(2,0),則直線CW的斜率％=

由垂徑定理可得：直線人8與CM垂直，

故直線47的斜率心,=1,

則直線A8的方程為yT=%_1,即X_y=0.

方法總結(jié)：已知弦的中點坐標，求弦所在直線的方程

第一步：先求圓的圓心坐標，和半徑；

第二步：利用圓心坐標和弦的中點坐標求所在直線/的斜率

第三步：根據(jù)垂徑定理，利用直線/與弦垂直，求得弦所在直線斜率

第四步：利用斜率和中點坐標，即可用點斜式寫出直線方程

題型二：圓的切線長問題

例題：過圓。:/+丫2=1外的點：戶(3,3)作。的一條切線，切點為A,則|4P|=()

A.2V2B.V17C.3V2D.5

預(yù)設(shè)：由題意可知：圓。的圓心為0(0,0),半徑廠=1,

所以|4P|2=\OP\2-r2=18-l=17,即|AP|=V17.

故選：B.

題型三：圓的切點弦的方程問題

例題:過點P(4,-l)作圓。+、2+2%一4y-4=0的切線P4PB,過切點八,8的直線方程為

預(yù)設(shè)：以PC為直徑的圓的方程，即以G，)為圓心，

以苧=亨為半徑的圓的方程為：(工-1)2+(y-1)2=

乂圓C:/+y2+2x-4y-4=0?兩圓方程相減可得48:5x-3y+2=0.

故答案為：5x-3y+2=0

題型四：直線與圓的位置關(guān)系實際應(yīng)用問題

如圖，某海面上有。、4、8三個小島(面積大小忽略不計)，八島在。島

的北偏東45。方向距O島40四千米處，B島在。島的正東方向距O島20千

米處以O(shè)為坐標原點，O的正東方向為x軸的正方向，1千米為單位長度，

建立平面直角坐標系圓C經(jīng)過0、4、B三點、.

(1)求圓C的標準方程；

(2)若圓。區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有?船。在。島的南偏西30。方向距。島

40千米處，正沿著北偏東60。行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險？

預(yù)設(shè)：(I)如圖所示，4(40,40)、/?(20,0),設(shè)圓C的方程為/+y2+。丫+外,+*=0,

F=0

得：402+402+400+40E+F=0,解得。=-20,E=-60,F=0,

202+20。+r=0

故所以圓。的方程為％2+y2-2Qx-60y=0,圓心為C(10,30),半徑r=10，歷

(2)該船初始位置為點Z),則。(-20,-20/)，且該船航線所在直線/的斜率為日，

故該船航行方向為直線上V3x-3v-40V3=0,

由千圓心C到直線I的距離d=15(73+1)>10/10,故該船沒有觸礁的危險.

題型五：圓上的點到直線距離為定值的個數(shù)問題

例題已知圓/+/=4,直線，：>=x+〃，設(shè)圓上恰有〃個點到直線的距離等于1.

(1)當〃=1時，求。的取值范圍？(2)當〃=2時，求。的取值范圍？

(3)當〃=3時，求〃的取值范圍？(4)當〃=4時，求〃的取值范圍？

預(yù)設(shè)：(I)由題知圓的方程為一+),2=4所以圓心為(go)泮徑為2,

若圓上恰有1個點到直線的距離等于1,

則圓心到直線/的距離d滿足d=3,

貝裳解得忖=36.解得43&或3a.

(2)若圓上恰有2個點到直線的距離等于1,

則圓心到直線/的距離d滿足1<d<3,

則1<4=裳

<3,解得0<例<3及.

解得&<人<3&或-3&S<-VL

（3）因為圓/+）,2=4上恰有3個點到直線/：），=<+方的距離都等于1,

所以只需要圓心到直線/：），=、+〃的距離為1即可，

所以圓心到直線的距離為:曷=1,解得力=±&

（4）因為圓/+）尸=4上恰有4個點到直線/的距高都等于1,

所以圓心到直線l.y=x+b的距離小于1,

因此有%\,\b\<42:.->/2<b<>/2.

方法總結(jié)：已知圓。：（X-%）2+（k治>=’與直線/8+勿+。=0,圓C到直線/的距離為d

圓C上動點尸到直線的距離為貝IJ：

直線與圓有公共點（此時dWr）

①當d'>d+曲，點P個數(shù)為0

②當d'=d+/時，點尸個數(shù)為1

③當—d<d，<r+d時，點P個數(shù)為2

④當4'=/?一”時，點P個數(shù)為3

⑤當0<d'<r—d時，點P個數(shù)為4

直線與圓無公共點（此時d>r）

①當d'<d-曲，點P個數(shù)為0

②當d'=d—曲，點P個數(shù)為1

@當d—/?<#<]+附，點P個數(shù)為2

直題感知

1.（2014.安徽.一模）若點P（l,l）是圓1+。-3）2=9的弦人區(qū)的中點，則直線八區(qū)的方程為（）

A.x-2y+l=0B.x+2>-3=0

C.2r+y—3=0D.2x~y—1=0

預(yù)設(shè)：據(jù)題意可知直線A8與點尸和圓心C（0,3）連線垂直，故%B=一白=:，從而得直線A8方程為），一1

Kep2

=5—1）,整理得直線"的方程為工一2），+1=0.

2.（2025?江西萍鄉(xiāng)?二模）過點尸（3,1）作圓。/+3/2+2%+47-4=0的切線，記其中一個切點為4則

\PA\=()

A.16B.4C.21D.\/2i

預(yù)設(shè)：圓C:(x+I)?+(y+2產(chǎn)=9的圓心C(—l,一2),半徑r=3,

則|PC|=7(-1-3)24-(-2-I)2=5,

所以|P*=V|PC|2-r2=4.

故選：B

3.(高二?全國?課后作業(yè))過點(-2,2)作圓/+y2=4的切線，若切點為小B,則直線48的方程是

()

A.x4-y+2=0B.x-y+2=0C.x+y-2=0D.x-y-2=0

預(yù)設(shè)：根據(jù)題意，設(shè)「(一2,2),圓M+y2=4的圓心為。(0,0),半徑r=2,

W|9P|=V4T4=2V2,

則|P川2