第7章多元微積分CONTENTS多元函數(shù)的基本概念7.1偏導(dǎo)數(shù)7.2全微分及其應(yīng)用7.3多元復(fù)合函數(shù)的微分法7.4應(yīng)用示例7.6數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)7.7二重積分7.517世紀(jì)下半葉，歐洲科學(xué)技術(shù)迅猛發(fā)展，由于生產(chǎn)力的提高和社會(huì)各方面的迫切需要，經(jīng)各國科學(xué)家的努力與歷史的積累，建立在函數(shù)與極限概念基礎(chǔ)上的微積分理論應(yīng)運(yùn)而生.微積分思想，最早可以追溯到希臘由阿基米德等人提出的計(jì)算面積和體積的方法.1665年牛頓創(chuàng)始了微積分，萊布尼茨在1673—1676年間也發(fā)表了微積分思想的論著.以前，微分和積分作為兩種數(shù)學(xué)運(yùn)算、兩類數(shù)學(xué)問題，是被分別研究的.卡瓦列里、巴羅、沃利斯等人得到了一系列求面積（積分）、求切線斜率（導(dǎo)數(shù)）的重要結(jié)果，但這些結(jié)果都是孤立的，不連貫的.只有萊布尼茨和牛頓將積分和微分真正地溝通起來，明確地找到了兩者內(nèi)在的直接聯(lián)系：微分和積分是互逆的兩種運(yùn)算.而這是微積分建立的關(guān)鍵所在.只有確立了這一基本關(guān)系，才能在此基礎(chǔ)上構(gòu)建系統(tǒng)的微積分學(xué)，并從對各種函數(shù)的微分和求積公式中，總結(jié)出共同的算法程序，使微積分方法普遍化，發(fā)展成用符號表示的微積分運(yùn)算法則.因此，微積分“是牛頓和萊布尼茨大體上完成的，但不是由他們發(fā)明的”（恩格斯：《自然辯證法》）.萊布尼茨與微積分閱讀與欣賞然而關(guān)于微積分創(chuàng)立的優(yōu)先權(quán)，數(shù)學(xué)上曾掀起了一場激烈的爭論.實(shí)際上，牛頓在微積分方面的研究雖早于萊布尼茨，但萊布尼茨成果的發(fā)表則早于牛頓.萊布尼茨在1684年10月發(fā)表的《教師學(xué)報(bào)》上的論文，“一種求極大極小的奇妙類型的計(jì)算”，在數(shù)學(xué)史上被認(rèn)為是最早發(fā)表的微積分文獻(xiàn).牛頓在1687年出版的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》的第一版和第二版也寫道：“十年前在我和最杰出的幾何學(xué)家G.W.萊布尼茨的通信中，我表明我已經(jīng)知道確定極大值和極小值的方法、作切線的方法以及類似的方法，但我在交換的信件中隱瞞了這方法，……這位最卓越的科學(xué)家在回信中寫道，他也發(fā)現(xiàn)了一種同樣的方法.他訴述了他的方法，它與我的方法幾乎沒有什么不同，除了他的措辭和符號而外.”（但在第三版及以后再版時(shí)，這段話被刪掉了.）萊布尼茨與微積分閱讀與欣賞因此，后來人們公認(rèn)牛頓和萊布尼茨是各自獨(dú)立地創(chuàng)建微積分的.牛頓從物理學(xué)出發(fā)，運(yùn)用集合方法研究微積分，其應(yīng)用上更多地結(jié)合了運(yùn)動(dòng)學(xué)，造詣高于萊布尼茨.萊布尼茨則從幾何問題出發(fā)，運(yùn)用分析學(xué)方法引進(jìn)微積分概念、得出運(yùn)算法則，其數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性與系統(tǒng)性是牛頓所不及的.萊布尼茨認(rèn)識到好的數(shù)學(xué)符號能節(jié)省思維勞動(dòng)，運(yùn)用符號的技巧是數(shù)學(xué)成功的關(guān)鍵之一.因此，他發(fā)明了一套適用的符號系統(tǒng)，如，引入dx表示x的微分，∫表示積分，等等.這些符號進(jìn)一步促進(jìn)了微積分學(xué)的發(fā)展.1713年，萊布尼茨發(fā)表了《微積分的歷史和起源》一文，總結(jié)了自己創(chuàng)立微積分學(xué)的思路，說明了自己成就的獨(dú)立性.萊布尼茨與微積分閱讀與欣賞7.1多元函數(shù)的

基本概念7.1.1多元函數(shù)的概念

7.1.1多元函數(shù)的概念

7.1.1多元函數(shù)的概念

7.1.1多元函數(shù)的概念

7.1.1多元函數(shù)的概念

7.1.1多元函數(shù)的概念

7.1.1多元函數(shù)的概念

7.1.1多元函數(shù)的概念二元函數(shù)的定義域一定是有界區(qū)域嗎？思考

7.1.1多元函數(shù)的概念

7.1.1多元函數(shù)的概念7.1.2二元函數(shù)的極限

注意

7.1.2二元函數(shù)的極限

7.1.2二元函數(shù)的極限

7.1.2二元函數(shù)的極限

7.1.3二元函數(shù)的連續(xù)性與一元函數(shù)類似，二元函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算得到的函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)，一切初等二元函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的.注意

7.1.3二元函數(shù)的連續(xù)性【例7-8】求解

7.1.3二元函數(shù)的連續(xù)性

7.1.3二元函數(shù)的連續(xù)性7.2偏導(dǎo)數(shù)

7.2.1偏導(dǎo)數(shù)的概念及計(jì)算

7.2.1偏導(dǎo)數(shù)的概念及計(jì)算

7.2.1偏導(dǎo)數(shù)的概念及計(jì)算視頻講解——偏導(dǎo)數(shù)

7.2.1偏導(dǎo)數(shù)的概念及計(jì)算

注意

7.2.1偏導(dǎo)數(shù)的概念及計(jì)算

7.2.1偏導(dǎo)數(shù)的概念及計(jì)算

7.2.2高階偏導(dǎo)數(shù)

7.2.2高階偏導(dǎo)數(shù)

7.2.2高階偏導(dǎo)數(shù)7.3全微分及其應(yīng)用7.3.1全微分的概念

7.3.1全微分的概念

7.3.1全微分的概念

思考

7.3.1全微分的概念

注意

7.3.1全微分的概念

7.3.1全微分的概念

7.3.1全微分的概念

7.3.2全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用

7.3.2全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用7.4多元復(fù)合函數(shù)

的微分法7.4.1多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

7.4.1多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

7.4.1多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

7.4.1多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

7.4.1多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

7.4.1多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

7.4.1多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

7.4.1多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

7.4.1多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

注意

7.4.1多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

7.4.2隱函數(shù)的求導(dǎo)法則

7.4.2隱函數(shù)的求導(dǎo)法則

注意

7.4.2隱函數(shù)的求導(dǎo)法則

7.4.2隱函數(shù)的求導(dǎo)法則

7.4.2隱函數(shù)的求導(dǎo)法則7.5二重積分

7.5.1二重積分的概念

7.5.1二重積分的概念

7.5.1二重積分的概念

7.5.1二重積分的概念

7.5.1二重積分的概念

7.5.1二重積分的概念

7.5.1二重積分的概念

7.5.1二重積分的概念

7.5.2直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算圖7-15

7.5.2直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算圖7-16

7.5.2直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算

7.5.2直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算

7.5.2直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算

7.5.2直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算

7.5.2直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算

7.5.2直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算

7.5.2直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算

7.5.2直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算

7.5.3極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算

7.5.3極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算

7.5.3極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算

7.5.3極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算

7.5.3極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算

7.5.3極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算

7.5.3極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算7.6應(yīng)用示例——

質(zhì)量與質(zhì)心問題一個(gè)圓環(huán)薄片由半徑為4和8的兩個(gè)同心圓圍成，其上任一點(diǎn)處的面密度與該點(diǎn)到圓心的距離成反比，已知在內(nèi)圓周上各點(diǎn)處的面密度為1，求圓環(huán)薄片的質(zhì)量.7.6.1問題提出

7.6.2解答過程7.7數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)七使用MATLAB求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和二重積分7.7.1實(shí)驗(yàn)任務(wù)（1）學(xué)習(xí)利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB求偏導(dǎo)數(shù).（2）學(xué)習(xí)利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB求二重積分.7.7.2實(shí)驗(yàn)過程1.相關(guān)命令用MATLAB多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和求二重積分的命令說明如下表所示.7.7數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)七命令說明diff（f,x,n）int（int（f,y,c,d）,x,a,b）7.7數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)七

7.7數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)七按Enter鍵，得到如下計(jì)算結(jié)果：I1=（y^3*exp（-y^2））/3得到了第一重積分的結(jié)果，繼續(xù)輸入：>>I=int（I1,y,0,1）按Enter鍵，得到如下計(jì)算結(jié)果：I=1/6-exp（-1）/3即（2）如果采用第二種形式，使用手工方法無法計(jì)算，而用MATLAB卻可以計(jì)算出結(jié)果，在命令行窗口中輸入：7.7數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)七>>symsxy>>I1=int（x^2*exp（-y^2）,y,x,1）.按Enter鍵，得到如下計(jì)算結(jié)果：I1=（x^2*pi^（1/2）*（erf（1）-erf（x）））/2得到第一重積分的結(jié)果，繼續(xù)輸入：>>I=int（I1,x,0,1）按Enter鍵，得到如下計(jì)算結(jié)果：I=1/6-exp（-1）/3由此可以發(fā)現(xiàn)，兩次計(jì)算結(jié)果一致.7.7數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)七操作實(shí)例3