模塊01集合與常用邏輯用語與、等式（測試卷）考試時間：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上。1．已知全集，集合，，則（

）A．或 B．或C． D．【答案】A【知識點】交并補混合運算【分析】先求出集合的補集，再利用并集運算求解即可.【詳解】由題可得或，則或．故選：A.2．（2025·北京·模擬預測）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】交集的概念及運算、解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】根據(jù)一元二次不等式化簡集合，再根據(jù)交集的運算求解即可.【詳解】因為或，又，所以.故選：A.3．已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】交并補混合運算、利用Venn圖求集合【分析】由陰影部分可知對應的集合為，即可得到結(jié)論.【詳解】陰影部分對應的集合為，∵全集，集合，∴.故選：D.4．（2025·江蘇蘇州·模擬預測）已知為全集的兩個不相等的非空子集，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】判斷兩個集合的包含關(guān)系、補集的概念及運算、判斷全稱命題的真假、判斷特稱（存在性）命題的真假【分析】由得到，再逐項判斷即可.【詳解】由，可得，所以錯誤，錯誤，錯誤，，即，正確.故選：D.5．（2025·廣東·模擬預測）已知集合，則（

）A． B． C． D．R【答案】C【知識點】交集的概念及運算、解不含參數(shù)的一元二次不等式、公式法解絕對值不等式【分析】化簡集合，根據(jù)交集運算求解.【詳解】由，或，所以.故選：C.6．（2025·陜西西安·模擬預測）若，則（

）A．是真命題，且B．是真命題，且C．是假命題，且D．是假命題，且【答案】C【知識點】全稱命題的否定及其真假判斷、對數(shù)的運算【分析】先利用特殊值判斷命題的真假，再結(jié)合全稱量詞命題的否定是存在量詞命題可得答案.【詳解】因為當時，，所以是假命題，因為全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，所以.故選：C.7．（2025·江西景德鎮(zhèn)·模擬預測）已知向量，若在上的投影向量相等，則的最小值為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】A【知識點】數(shù)量積的坐標表示、條件等式求最值、求投影向量【分析】由投影向量的定義及向量相等得，再應用向量數(shù)量積的坐標表示得，最后應用基本不等式求目標式的最小值.【詳解】由題意，可得，故，即，所以，當且僅當時取等號，所以的最小值為2.故選：A8．（2025·浙江寧波·模擬預測）記數(shù)列的前項和為，若存在實數(shù)，使得對任意的，都有，則稱數(shù)列為“和有界數(shù)列”．已知是等比數(shù)列且公比為，則“”是“是和有界數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【知識點】判斷命題的充分不必要條件、充分條件的判定及性質(zhì)、求等比數(shù)列前n項和【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合等比數(shù)列的前項和公式推理判斷即得..【詳解】因為是等比數(shù)列，由可得:，故“公比”是“是和有界數(shù)列”的充分條件；反之，若取，則，即此時是和有界數(shù)列，故“公比”不是“是和有界數(shù)列”的必要條件.故選：A.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共計18分。每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，選對但不全得部分分，有選錯的得0分。9．（2025·甘肅慶陽·模擬預測）已知非零實數(shù)滿足，則下列不等式一定成立的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【知識點】比較指數(shù)冪的大小、用導數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、作差法比較代數(shù)式的大小、比較對數(shù)式的大小【分析】由題意結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可得.對于A，由作差法可判斷選項正誤；對于B，由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可判斷選項正誤；對于C，通過舉特例可判斷選項正誤；對于D，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可判斷選項正誤.【詳解】由題意可得，對于函數(shù)，則在R上單調(diào)遞增，結(jié)合，可得.對于A，，故A正確；對于B，由不能判斷與1的大小，故B錯誤；對于C，取，此時C不成立，故C錯誤；對于D，因為，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性易得，故D正確.故選：AD.10．（2025·福建三明·三模）以下結(jié)論正確的是（

）A．若，則的最大值為B．若，則C．若，，則的最小值為D．若，則【答案】ACD【知識點】三角函數(shù)的化簡、求值——同角三角函數(shù)基本關(guān)系、基本不等式求和的最小值、條件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】利用重要不等式可得到，進而可判斷A；將原式展開結(jié)合基本不等式可判斷B；利用基本不等式可判斷C，注意等號成立的條件；利用常值代換結(jié)合基本不等式可判斷D.【詳解】對于A，，當且僅當時等號成立，所以，故A正確；對于B，，所以，即，解得（當且僅當時等號成立）或（當且僅當時等號成立），故B錯誤；對于C，因為，，所以，當且僅當，即時等號成立，故C正確；對于D，，當且僅當，即，，即時等號成立，故D正確.故選：ACD11．（2025·安徽合肥·模擬預測）定義集合且，集合中元素的個數(shù)為.下列說法正確的是（

）A．B．C．存在，使得成立D．記表示不超過的最大整數(shù)，且，則.【答案】ABD【知識點】求等比數(shù)列前n項和、裂項相消法求和、集合新定義【分析】直接利用給定定義，進而求出符合條件的數(shù)字為判斷A，找到被3整除，被2整除，被6整除的數(shù)字個數(shù)，進而得到判斷B，先假設(shè)等式成立，再找出左右兩側(cè)的矛盾判斷C，對的情況進行討論，結(jié)合放縮法判斷D即可.【詳解】對于，在不大于16的所有正整數(shù)中，即不能被3整除又不能被4整除的數(shù)有，，故A正確；因為在不大于的所有正整數(shù)中，能被3整除的有個，被2整除的有個，被6整除的有個，所以，故B正確若，則，即，，，等式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，矛盾，故不存在，使得成立；故C錯誤；當時，當時，，所以當時，，所以當時，，則，故D正確.故選：ABD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分。12．（2025·遼寧·二模）命題p:“，”是假命題，則m的取值范圍是．【答案】【知識點】根據(jù)特稱（存在性）命題的真假求參數(shù)、一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題【分析】根據(jù)題意，為真命題，恒成立問題分離參數(shù)求解.【詳解】由題，為真命題，所以，對，又在上的最小值為，，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.13．（2025·河南·模擬預測）已知，若是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【知識點】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、根據(jù)充分不必要條件求參數(shù)、解含有參數(shù)的一元二次不等式【分析】先解絕對值不等式和含參的一元二次不等式得出p和q對應的等價條件，再結(jié)合是的充分不必要條件得到集合間的包含關(guān)系，則參數(shù)m的范圍可求.【詳解】由可得，即，由可得，即，又因為是的充分不必要條件，所以，所以(等號不同時成立)，解得，故答案為：.14．（2025·廣東珠?！つM預測）已知是公差不為0的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列，若是數(shù)列的前項和，則的最小值為．【答案】【知識點】利用定義求等差數(shù)列通項公式、求等差數(shù)列前n項和、基本不等式求和的最小值【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)，，成等比數(shù)列，可得，利用等差數(shù)列的前n項和公式化簡，然后利用基本不等式求出最值即可.【詳解】令的公差為，成等比數(shù)列，，，，．，當且僅當，即時取等號．故答案為：四、解答題：本題共5小題（13+15+15+17+17）滿分77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（2025·遼寧沈陽·模擬預測）已知內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，點G是的重心，且．(1)若，求的值；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【知識點】用和、差角的正弦公式化簡、求值、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值【分析】（1）延長CG交AB于點D，利用三角形重心性質(zhì)，結(jié)合正弦定理及差角的正弦公式化簡即得.（2）利用余弦定理可得，再利用余弦定理及基本不等式求出范圍.【詳解】（1）延長CG交AB于點D，由G是的重心，得D為線段AB的中點，且，由，得，則，，又，則是正三角形，，在中，記，由正弦定理，即，則，即，所以，即.（2）由（1）知，在中，，在中，，于是，整理得，在中，，當且僅當時取等號，又，所以的取值范圍為.16．（2025·湖北·三模）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足．(1)求C；(2)若邊上的高為，求的最小值．【答案】(1)(2)2【知識點】正弦定理邊角互化的應用、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值【分析】（1）由正弦定理，化簡得，由此即可得解；（2）方法一：設(shè)，則，將表示為的三角函數(shù)，令，可得，結(jié)合基本不等式即可求解；方法二：由余弦定理結(jié)合基本不等式可得，然后根據(jù)三角形面積公式得，由此即可得解.【詳解】（1）在中，由正弦定理，可得，又因為，所以，所以，即，因為，，所以，故，于是；（2）方法一：由（1）得，設(shè)，則，在中，，在中，，于是，令，則，因為，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為2.方法二：由（1）得，根據(jù)余弦定理以及基本不等式，得，當且僅當時等號成立，又因為，且，所以，所以，即，故的最小值為2.17．（2025·湖北·三模）已知.(1)解關(guān)于的不等式(2)若不等式的解集為，求實數(shù)的值.【答案】(1)(2)【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式、由一元二次不等式的解確定參數(shù)【分析】（1）求出，結(jié)合二次不等式的求解方法可得答案；（2）利用不等式的解與方程的根的關(guān)系，結(jié)合韋達定理可求答案.【詳解】（1）由題意知，即，解得.所以所求不等式的解集為.（2）不等式的解集為，所以方程的兩根為，所以，解得，故的值為，的值為.18．（2025·山東臨沂·二模）對集合，定義集合，記為有限集合的元素個數(shù)．(1)若，求；(2)給定集合的子集，求集合的元素個數(shù)；(3)設(shè)為有限集合，證明：．【答案】(1)(2)4(3)證明過程見解析【知識點】交并補混合運算、集合新定義【分析】（1）根據(jù)定義直接寫出結(jié)果即可；（2）利用組合計數(shù)的方法可求集合中元素的個數(shù)；（3）對任意元素，可證或，故可證題設(shè)中的不等式.【詳解】（1）因為中的元素是要么只屬于，要么只屬于，所以；（2）設(shè)，則，因為，故符合條件的的個數(shù)為.（3）對任意元素，因為恰屬于集合之一，不妨設(shè)且．若，則；若，則．故，從而．因此，結(jié)論成立．19．（2025·四川·一模）已知定義在上的函數(shù)滿足，且，有．若存在，使得函數(shù)是常函數(shù)，則稱是“階梯函數(shù)”．(1)若是“階梯函數(shù)”，且當時，，寫出的取值范圍；(2)已知滿足：①；②，有．（i）證明：是“階梯函數(shù)”的必要條件是“”；（ii）若所有滿足條件①②的函數(shù)均為“階梯函數(shù)”，猜想的取值范圍并證明．【答案】(1)，(2)（i）證明見解析；（ii），證明見解析【知識點】必要條件的判定及性質(zhì)、數(shù)學歸納法、函數(shù)新定義【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的新定義計算求參數(shù)范圍；（2）（i）應用函數(shù)的新定義結(jié)合必要條件的定義證明即可；（ii）構(gòu)造函數(shù)分別結(jié)合新定義計算判斷，最后再應用數(shù)學歸納法證明即可.【詳解】（1）∵當時，，∴．∵是階梯函數(shù)，∴是常數(shù)．由于，所以這個常數(shù)為，∴．當時，當時，∵，都有，∴．∴的取值范圍是．∴的取值范圍是．（2）（i）證明：由題意得，或．當即時，∵，∴．根據(jù)條件有，∴．由于，∴．當，同理可