第07講函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題【典型例題】例1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．例2．（2024·廣東佛山·二模）若函數(shù)（）有2個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．例3．（2024·高三·天津南開(kāi)·階段練習(xí)），若有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．例4．（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）已知函數(shù)，若存在唯一的零點(diǎn)，則k的取值范圍是.例5．（2024·四川成都·三模）已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，其中，則的取值范圍是（）A． B． C． D．例6．（2024·高三·陜西安康·階段練習(xí)）若函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．例7．（2024·四川成都·二模）函數(shù)，下列說(shuō)法不正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，恒成立B．當(dāng)時(shí)，存在唯一極小值點(diǎn)C．對(duì)任意在上均存在零點(diǎn)D．存在在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)例8．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小值；(2)若，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．例9．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù).(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）例10．（2024·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求證：；(2)若函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．例11．（2024·高三·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)判斷的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).例12．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知．(1)討論的單調(diào)性；(2)若存在兩個(gè)零點(diǎn)，證明：存在三個(gè)零點(diǎn)，且(3)在（2）的條件下，證明：．【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2024·高三·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·開(kāi)學(xué)考試）若函數(shù)存在零點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2024·高三·河北張家口·開(kāi)學(xué)考試）若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則（

）A．4 B．3 C．2 D．13．（2024·高三·湖南·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若是單調(diào)函數(shù)，且有零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2024·高三·河南·期末）若函數(shù)恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2024·高三·山東青島·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，符號(hào)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的取值范圍為B．C．D．若，則的取值范圍為6．（2024·高三·河南·專題練習(xí)）已知，若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．37．（2024·高三·云南昆明·階段練習(xí)）已知函數(shù)，函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題8．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）定義：設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖象的對(duì)稱中心.已知函數(shù)的對(duì)稱中心為，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A．，B．函數(shù)既有極大值又有極小值C．函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)D．過(guò)可以作三條直線與圖象相切9．（2024·高三·重慶·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，下面四個(gè)結(jié)論中正確的是（

）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增B．函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)C．函數(shù)的值域?yàn)镈．對(duì)任意兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，若，則10．通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；11．利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，從而判定不等關(guān)系；12．適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見(jiàn)放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；13．構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).14．（2024·高三·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知三次函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，函數(shù).則（

）A．B．若成等差數(shù)列，則C．若恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則D．若有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則15．（2024·甘肅隴南·一模）已知函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn),且，則（

）A． B．的解集為C．是曲線的切線 D．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心16．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，有極小值 B．當(dāng)時(shí)，有極大值C．若，則 D．函數(shù)的零點(diǎn)最多有1個(gè)三、填空題17．（2024·天津·一模）已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，.若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.四、解答題18．（2024·河南·一模）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.19．（2024·高三·江西·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，且的極值點(diǎn)為.(1)求；(2)證明：；(3)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明：.20．（2024·陜西寶雞·二模）已知函數(shù)(1)若和的圖象有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處有相同的切線，求值；(2)求證：當(dāng)時(shí)，的圖象恒在的圖象的上方；(3)令，若有2個(gè)零點(diǎn)，試證明21．（2024·北京豐臺(tái)·一模）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線為，記．(1)當(dāng)時(shí)，求切線的方程；(2)在（1）的條件下，求函數(shù)的零點(diǎn)并證明；(3)當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．（結(jié)論不要求證明）22．（2024·江西贛州·一模）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間，(2)已如.若函數(shù)有唯一的零點(diǎn).證明，.23．（2024·山東聊城·一模）已知函數(shù)，，.(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求的最小值；(3)設(shè)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).24．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（），．(1)若，的導(dǎo)數(shù)分別為，，且，求a的取值范圍；(2)用表示a，b中的最小值，設(shè)，若，判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．25．（2024·高三·浙江紹興·期末）已知函數(shù)，．(1)求函數(shù)圖象上一點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)（），求的取值范圍．26．（2024·高三·廣東廣州·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．（參考數(shù)據(jù)：，）27．（2024·高三·天津南開(kāi)·階段練習(xí)）已知函數(shù)．（注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一的極值點(diǎn)．①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②求證：