1/10圓的八類綜合題型目錄TOC\o"1-2"\h\u典例詳解類型一、利用圓心角、圓周角求角類型二、利用圓的性質(zhì)求線段長(zhǎng)類型三、圓與正多邊形問題類型四、求弧長(zhǎng)、扇形的面積類型五、圓中的幾何證明問題類型六、圓中無刻度直尺作圖問題類型七、證明某線是圓中切線類型八、圓中類比探究問題壓軸專練類型一、利用圓心角、圓周角求角1.

抓定理關(guān)聯(lián)，建等量關(guān)系緊扣核心定理：同弧或等弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半，直徑所對(duì)的圓周角為直角。解題時(shí)先定位同弧/等弧，梳理圓心角與圓周角的數(shù)量關(guān)系，快速轉(zhuǎn)化角度條件。2.

構(gòu)輔助線，破解題難點(diǎn)遇無明確弧、角關(guān)聯(lián)時(shí)，可作直徑、連接半徑等輔助線，構(gòu)造同弧所對(duì)的圓心角或圓周角，將分散的角度條件集中，結(jié)合三角形內(nèi)角和、外角性質(zhì)完成計(jì)算或證明。例1．（25-26九年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，A，B，C是上的三點(diǎn)，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【變式1-1】（24-25九年級(jí)上·云南紅河·期末）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接，，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【變式1-2】（25-26九年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，是的直徑，點(diǎn)C，D，E在上，若，則的度數(shù)為．【變式1-3】（24-25九年級(jí)下·全國(guó)·期末）如圖，是的外接圓，是直徑，是的內(nèi)切圓，連接，則的度數(shù)為．類型二、利用圓的性質(zhì)求線段長(zhǎng)1.

抓核心條件，建直角三角形模型緊扣垂徑定理核心：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的兩條弧。解題時(shí)先定位直徑與弦的垂直關(guān)系，連接圓心與弦的端點(diǎn)構(gòu)造半徑，形成直角三角形，利用勾股定理建立邊長(zhǎng)等量關(guān)系。2.

補(bǔ)輔助線，轉(zhuǎn)化隱含條件遇弦長(zhǎng)、半徑、弦心距相關(guān)計(jì)算但無垂直條件時(shí)，可作圓心到弦的垂線，或過弦中點(diǎn)作直徑，補(bǔ)全垂徑定理的應(yīng)用條件，將分散的線段長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化到直角三角形中求解。例2．（25-26九年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，在中，半徑于點(diǎn)D．已知，則弦的長(zhǎng)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【變式2-1】（24-25九年級(jí)上·內(nèi)蒙古興安盟·期末）筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，彰顯了我國(guó)古代勞動(dòng)人民的智慧，圖1，點(diǎn)表示筒車的一個(gè)盛水桶，如圖2，當(dāng)筒車工作時(shí)，盛水桶的運(yùn)行路徑是以軸心為圓心，為半徑的圓，且圓心在水面上方，若圓被水面截得的弦長(zhǎng)為，則筒車工作時(shí)，盛水桶在水面以下的最大深度是（

）A． B． C． D．【變式2-2】（25-26九年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，是的割線，和它的延長(zhǎng)線分別交于和，如果，，，那么的半徑長(zhǎng)為．【變式2-3】（25-26九年級(jí)上·陜西西安·月考）如圖，是的直徑，，于點(diǎn)E，連接交于點(diǎn)F．(1)求證：．(2)若，，求弦的長(zhǎng)．類型三、圓與正多邊形問題1.

抓核心關(guān)聯(lián)，建等量模型緊扣正多邊形的外接圓、內(nèi)切圓性質(zhì)，明確圓心是正多邊形的中心，外接圓半徑為正多邊形的半徑，內(nèi)切圓半徑為邊心距，利用半徑、邊心距、邊長(zhǎng)的一半構(gòu)成直角三角形，結(jié)合勾股定理計(jì)算邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)或面積。2.

用角度關(guān)系，破計(jì)算難點(diǎn)先算出正n邊形的中心角為n/360°，再結(jié)合等腰三角形性質(zhì)求內(nèi)角或外角，遇不規(guī)則組合圖形時(shí)，可分割成多個(gè)三角形或扇形，利用面積和差思想求解。例3．（24-25八年級(jí)下·上海·期末）邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的邊心距是（

）A． B． C． D．【變式3-1】（23-24九年級(jí)上·安徽合肥·期末）如圖，正五邊形內(nèi)接于，點(diǎn)在弧上．若，則度數(shù)為（）A． B． C． D．【變式3-2】（23-24九年級(jí)上·河南平頂山·期末）如圖，正六邊形內(nèi)接于，邊長(zhǎng)，則的長(zhǎng)為．【變式3-3】（25-26九年級(jí)下·全國(guó)·期末）在圓內(nèi)接正六邊形中，分別交于點(diǎn)．(1)如圖①，求證：點(diǎn)三等分；(2)如圖②，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作圓；（保留作圖痕跡，不寫作法）(3)在（2）所作圖形中，求證：是所作圓的切線．類型四、求弧長(zhǎng)、扇形的面積1.

記準(zhǔn)公式，抓關(guān)鍵參數(shù)牢記弧長(zhǎng)公式l＝eq\f(nπR,180)、扇形面積公式S扇形＝eq\f(nπR2,360)＝eq\f(1,2)lR，解題時(shí)先鎖定圓心角度數(shù)n和半徑r兩個(gè)核心參數(shù)，通過已知條件（如弦長(zhǎng)、弦心距）求出參數(shù)后代入公式計(jì)算。2.

用轉(zhuǎn)化思想，解組合圖形遇陰影面積等綜合題時(shí)，將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為扇形、三角形、矩形等規(guī)則圖形的和或差，利用割補(bǔ)法拆分圖形，分別計(jì)算各部分面積后再整合求解。例4．（25-26九年級(jí)上·河南安陽·期末）汽修工發(fā)現(xiàn)皮帶輪上點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)隨之向上移動(dòng)．已知皮帶輪半徑為，當(dāng)點(diǎn)轉(zhuǎn)過的度數(shù)為時(shí)，點(diǎn)上升了（

）A． B． C． D．【變式4-1】（25-26九年級(jí)上·江蘇泰州·期末）在中，的長(zhǎng)與的直徑的比為，則所對(duì)的圓周角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式4-2】（24-25九年級(jí)上·江蘇鹽城·期末）學(xué)校組織開展中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化成果展示活動(dòng)，小慧同學(xué)制作了一把扇形紙扇．如圖，，，紙扇完全打開后，外側(cè)兩竹條（竹條寬度忽略不計(jì)）的夾角，現(xiàn)需在扇面一側(cè)繪制山水畫，則山水畫所在紙面的面積為．【變式4-3】（24-25九年級(jí)上·重慶·期末）如圖，已知為等腰直角三角形，厘米，以C為圓心，8厘米為半徑畫弧，以為直徑作半圓，那么陰影部分的面積是平方厘米．類型五、圓中的幾何證明問題1.

善用圓的核心性質(zhì)遇圓周角優(yōu)先聯(lián)想“同弧所對(duì)圓周角相等”“直徑所對(duì)圓周角為直角”；遇切線立刻連接圓心與切點(diǎn)，構(gòu)造垂直關(guān)系；涉及弦則用垂徑定理，結(jié)合勾股定理或三角函數(shù)建立線段關(guān)系。2.

構(gòu)造輔助線轉(zhuǎn)化圖形無現(xiàn)成全等、相似三角形時(shí)，常作直徑、半徑、弦心距，或連接弧的端點(diǎn)，將分散條件集中；證四點(diǎn)共圓可通過“對(duì)角互補(bǔ)”“外角等于內(nèi)對(duì)角”等特征轉(zhuǎn)化角度關(guān)系。例5．（23-24九年級(jí)上·河南平頂山·期末）如圖，是的半徑，過M點(diǎn)作的切線，且，，分別交于點(diǎn)C，D，求證：．【變式5-1】（24-25九年級(jí)下·全國(guó)·期末）如圖，已知在中，．(1)求證：；(2)直徑于點(diǎn)D，若，，求的半徑．【變式5-2】（24-25九年級(jí)上·安徽蚌埠·期末）如圖，與的邊相切于點(diǎn)，與邊，分別相交于點(diǎn)，，連接，．(1)求證：；(2)如圖2，若平分，連接，求證：．【變式5-3】（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，是半圓O的直徑，點(diǎn)C是半圓O上不與A，B重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)D是過點(diǎn)C的切線上的一點(diǎn)，連接交半圓O于點(diǎn)E，且，于點(diǎn)F．(1)求證：．(2)若，，求半圓O的半徑．類型六、圓中無刻度直尺作圖問題1.

依托圓的核心性質(zhì)定關(guān)鍵點(diǎn)利用圓心、直徑、切線、圓周角等性質(zhì)找定點(diǎn)，如過圓上一點(diǎn)作切線，可借助直徑所對(duì)圓周角為直角，連接該點(diǎn)與直徑端點(diǎn)構(gòu)造直角確定切線方向；遇弦中點(diǎn)可結(jié)合圓心與弦的連線垂直于弦來定位。2.

借助圖形交點(diǎn)轉(zhuǎn)化作圖目標(biāo)無刻度直尺只能作直線或射線，需通過圓與直線、直線與直線的交點(diǎn)轉(zhuǎn)化需求，如作角平分線可構(gòu)造等弧對(duì)應(yīng)的弦，利用弦的交點(diǎn)連線得到角平分線；作線段中點(diǎn)可借助圓的對(duì)稱性找交點(diǎn)確定中點(diǎn)位置。例6．（24-25九年級(jí)上·江西贛州·期末）如圖，請(qǐng)用無刻度的直尺完成下列畫圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡（用虛線表示畫圖過程，實(shí)線表示畫圖結(jié)果）．(1)如圖，內(nèi)接于，是劣弧的中點(diǎn)，畫出的中線；(2)如圖，是的直徑，是內(nèi)一點(diǎn)，畫出的高．【變式6-1】（25-26九年級(jí)上·江蘇南京·月考）如圖，是的一條弦．(1)如圖，只用無刻度的直尺作弦，使；(2)如圖，用無刻度的直尺和圓規(guī)作弦，使，且．（要求：保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）【變式6-2】（24-25九年級(jí)上·山東濱州·期末）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格紙上，以O(shè)為圓心，為半徑作圓，點(diǎn)O、A、B均在格點(diǎn)上，僅用無刻度的直尺，完成下列作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）(1)在圖1中，①作的中點(diǎn)M：②取格點(diǎn)C，使為的一條切線．（作出符合題意的一點(diǎn)即可）(2)在圖2中，作直徑，E為外任一點(diǎn)，過E作的垂線垂足為F．【變式6-3】（24-25九年級(jí)上·江西贛州·期末）在中，以為直徑作，請(qǐng)你根據(jù)下列條件僅用無刻度的直尺畫出的平分線（不寫作法，保留作圖痕跡）．(1)如圖1，，與相交于點(diǎn)D；(2)如圖2，點(diǎn)C在上，點(diǎn)D是的中點(diǎn)．類型七、證明某線是圓中切線1.

連半徑，證垂直若直線與圓有已知公共點(diǎn)，連接圓心與該點(diǎn)得半徑，證明半徑與直線垂直即可?？赏ㄟ^計(jì)算角度（如證夾角為90°）、利用全等/相似三角形、結(jié)合圓周角定理（如直徑所對(duì)圓周角為直角）等方法推導(dǎo)垂直關(guān)系。2.

作垂直，證半徑若直線與圓的公共點(diǎn)未知，過圓心作直線的垂線段，證明垂線段長(zhǎng)度等于圓的半徑。常用勾股定理計(jì)算線段長(zhǎng)度，或借助平行線、等腰三角形性質(zhì)推導(dǎo)垂線段與半徑相等。例7．（25-26九年級(jí)上·西藏拉薩·期末）如圖，是的直徑，是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，點(diǎn)在上，，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，交于點(diǎn)，且點(diǎn)是的中點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)若，求的長(zhǎng)．【變式7-1】（25-26九年級(jí)上·遼寧撫順·期末）如圖，是的外接圓，且．連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連接．使．(1)求證：與相切；(2)若，，求的半徑．【變式7-2】（25-26九年級(jí)上·四川涼山·期末）如圖，是的直徑，是的弦，延長(zhǎng)至D，，過C作交于點(diǎn)E．(1)求證：是的切線；(2)連接，若，的半徑為2時(shí)，求長(zhǎng)．【變式7-3】（24-25九年級(jí)上·河北張家口·期末）如圖，在中，以邊上一點(diǎn)O為圓心，為半徑作，與相切于點(diǎn)A．作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，且．(1)求證：是的切線；(2)若A，，則的半徑是__________．類型八、圓中類比探究問題1.

提煉基礎(chǔ)模型，明確不變關(guān)系分析第一問的圖形結(jié)構(gòu)與證明思路，提煉核心模型（如圓周角模型、切線模型、全等/相似模型），鎖定圓的性質(zhì)（如弧、弦、角的等量關(guān)系）、垂直關(guān)系等不變要素，作為后續(xù)類比的依據(jù)。2.

遷移思路方法，調(diào)整變量差異對(duì)比后續(xù)問題與基礎(chǔ)模型的圖形變化（如點(diǎn)的位置、線段的長(zhǎng)短、角的大小），遷移第一問的解題步驟，針對(duì)變化的條件調(diào)整證明方法，驗(yàn)證結(jié)論是否延續(xù)或需修正，確保邏輯一致。例8．（23-24九年級(jí)上·山東威?！て谀╅喿x下列材料，完成相應(yīng)學(xué)習(xí)任務(wù)：四點(diǎn)共圓的條件我們知道，過任意一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓，過任意一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓嗎？小明經(jīng)過實(shí)踐探究發(fā)現(xiàn)：過對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓，下面是小明運(yùn)用反證法證明上述命題的過程：已知：在四邊形中，．求證：過點(diǎn)可作一個(gè)圓．證明：假設(shè)過點(diǎn)四點(diǎn)不能作一個(gè)圓，過、三點(diǎn)作圓．如圖1，若點(diǎn)在圓外，設(shè)與圓相交于點(diǎn)，連接，則______，而已知，所以，而是的外角，，出現(xiàn)矛盾，故假設(shè)不成立，因此點(diǎn)在過三點(diǎn)的圓上．如圖2，若點(diǎn)在圓內(nèi)，（請(qǐng)同學(xué)們補(bǔ)充完成省略的部分證明過程）因此得到四點(diǎn)共圓的條件：過對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓．學(xué)習(xí)任務(wù)：(1)材料中劃線部分的結(jié)論是______，依據(jù)是______；(2)請(qǐng)將圖2的證明過程補(bǔ)全；(3)如圖3，在四邊形中，，，，則的大小為______(4)如圖4，已知正方形的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，以為邊作正方形，頂點(diǎn)在線段上，對(duì)角線相交于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到時(shí)，點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過的路徑長(zhǎng)．【變式8-1】（24-25八年級(jí)下·江蘇泰州·期末）是的直徑，，垂足為，點(diǎn)是弧上一動(dòng)點(diǎn)（不與重合），與交于點(diǎn)．(1)求的度數(shù)；(2)若點(diǎn)在弧的中點(diǎn)處，求證：；(3)設(shè)．①若，分別計(jì)算與的值，并判斷它們的大小關(guān)系；②若的值發(fā)生變化，請(qǐng)判斷與的大小關(guān)系，并說明理由．【變式8-2】（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖：已知的直徑，點(diǎn)為上一點(diǎn)，為的切線，是半徑上任一點(diǎn)，過點(diǎn)作分別交、于、兩點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)P與圓心O重合時(shí)，①求證：；②若，求圖中陰影部分的面積；(2)如圖2，連接，當(dāng)時(shí)，交于點(diǎn)，，求的長(zhǎng)度．【變式8-3】（24-25九年級(jí)上·福建福州·期末）如圖，為上兩動(dòng)點(diǎn)，線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，點(diǎn)在內(nèi)，線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)，作于．連接．(1)求證：(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，求證：三點(diǎn)共線．(3)如圖，若的半徑為，連接，求的最小值．一、單選題1．（24-25九年級(jí)上·廣東廣州·期末）如圖，在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若以點(diǎn)為圓心，5為半徑作，則下列判斷正確的是（）A．點(diǎn)在外 B．點(diǎn)在上C．點(diǎn)在內(nèi) D．無法判斷2．（25-26九年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，是的直徑，C，D是上的點(diǎn)，過點(diǎn)C作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．3．（25-26九年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖所示，與的邊相切，切點(diǎn)為B．將繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)落在上，邊交線段于點(diǎn)C．若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．4．（24-25九年級(jí)上·福建廈門·期末）如圖，內(nèi)接于圓，點(diǎn)D在弧上，連接，．下列角中，與相等的是（

）A． B． C． D．5．（22-23九年級(jí)上·山東泰安·期末）在扇形中，，正方形的頂點(diǎn)C，D分別在半徑，上，頂點(diǎn)E在上，以O(shè)為圓心，長(zhǎng)為半徑作，若，則陰影部分面積為（

）A． B． C．1 D．二、填空題6．（24-25八年級(jí)下·北京·期末）如圖，是的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)．若，，則的周長(zhǎng)為．7．（25-26九年級(jí)下·全國(guó)·期末）如圖，的內(nèi)接正六邊形為正六邊形，的半徑為6，則的長(zhǎng)為．8．（25-26九年級(jí)上·西藏拉薩·期末）如圖，已知的半徑為，弦，則圓心O到弦的距離的長(zhǎng)是．9．（23-24九年級(jí)上·安徽宿州·期末）如圖，是的直徑，垂直于弦于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)是．10．（24-25九年級(jí)上·江蘇南通·期末）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，．點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，若，則的度數(shù)為．三、解答題11．（22-23九年級(jí)上·浙江寧波·期末）如圖，是的直徑，點(diǎn)A在上且平分弧于點(diǎn)D，分別交于F，G．(1)求證：；(2)若，求陰影部分面積．12．（23-24九年級(jí)上·湖北·期末）如圖，在中，以為直徑的交于D，點(diǎn)E在上，，連接交于F，．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．13．（23-24九年級(jí)上·浙江溫州·期末）如圖，的直徑垂直弦于點(diǎn)E，F(xiàn)是圓上一點(diǎn)，D是的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)G，連結(jié)．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．14．（24-25九年級(jí)下·全國(guó)·期末）如圖，在中，，以為直徑作，交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)F，連接，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)E．(1)求證：是的切線；(2)求證：；(3)若的半徑為5，，求陰影部分的面積．(π取3)15．（24-25九年級(jí)上·廣東廣州·期末）已知正方形的四個(gè)頂點(diǎn)在上(1)如圖1，若點(diǎn)在劣弧上，連接、、，若在上取一點(diǎn)，使得，連接，求證：(2)若點(diǎn)在弧上（不與點(diǎn)、、重合），過點(diǎn)作于點(diǎn)，試探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)如圖2，若正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，將線段為邊，在右側(cè)作等邊，求出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)．圓的八類綜合題型類型一、利用圓心角、圓周角求角1.

抓定理關(guān)聯(lián)，建等量關(guān)系緊扣核心定理：同弧或等弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半，直徑所對(duì)的圓周角為直角。解題時(shí)先定位同弧/等弧，梳理圓心角與圓周角的數(shù)量關(guān)系，快速轉(zhuǎn)化角度條件。2.

構(gòu)輔助線，破解題難點(diǎn)遇無明確弧、角關(guān)聯(lián)時(shí)，可作直徑、連接半徑等輔助線，構(gòu)造同弧所對(duì)的圓心角或圓周角，將分散的角度條件集中，結(jié)合三角形內(nèi)角和、外角性質(zhì)完成計(jì)算或證明。例1．（25-26九年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，A，B，C是上的三點(diǎn)，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓周角定理得到，即可直接得出答案．【詳解】解：∵，，∴，故選：A．【變式1-1】（24-25九年級(jí)上·云南紅河·期末）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接，，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A周角定理．根據(jù)圓周角定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵與所對(duì)的弧為同一弧，∴，故選：D．【變式1-2】（25-26九年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，是的直徑，點(diǎn)C，D，E在上，若，則的度數(shù)為．【答案】【分析】本題考查了圓周角定理，熟記“直徑所對(duì)的圓周角為直角”是解題的關(guān)鍵.由為的直徑，根據(jù)圓周角定理的推論得到，再根據(jù)角的和差及圓周角定理求解即可．【詳解】解：如圖，連接，為的直徑，，，，，故答案為：．【變式1-3】（24-25九年級(jí)下·全國(guó)·期末）如圖，是的外接圓，是直徑，是的內(nèi)切圓，連接，則的度數(shù)為．【答案】【分析】本題主要考查圓的性質(zhì)與角平分線的性質(zhì)，掌握“直徑所對(duì)圓周角為直角、三角形內(nèi)角和及角平分線的定義”是解題的關(guān)鍵．由是外接圓直徑得，故；又是內(nèi)切圓，平分，則，因此．【詳解】是的直徑，，，是的內(nèi)切圓，，，在中，，．故答案為：．類型二、利用圓的性質(zhì)求線段長(zhǎng)1.

抓核心條件，建直角三角形模型緊扣垂徑定理核心：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的兩條弧。解題時(shí)先定位直徑與弦的垂直關(guān)系，連接圓心與弦的端點(diǎn)構(gòu)造半徑，形成直角三角形，利用勾股定理建立邊長(zhǎng)等量關(guān)系。2.

補(bǔ)輔助線，轉(zhuǎn)化隱含條件遇弦長(zhǎng)、半徑、弦心距相關(guān)計(jì)算但無垂直條件時(shí)，可作圓心到弦的垂線，或過弦中點(diǎn)作直徑，補(bǔ)全垂徑定理的應(yīng)用條件，將分散的線段長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化到直角三角形中求解。例2．（25-26九年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，在中，半徑于點(diǎn)D．已知，則弦的長(zhǎng)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理，掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．由，利用垂徑定理得到D為的中點(diǎn)，在直角三角形中，由與的長(zhǎng)，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，由，即可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：∵中，于點(diǎn)D，，∴，∴∴，故答案為：D．【變式2-1】（24-25九年級(jí)上·內(nèi)蒙古興安盟·期末）筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，彰顯了我國(guó)古代勞動(dòng)人民的智慧，圖1，點(diǎn)表示筒車的一個(gè)盛水桶，如圖2，當(dāng)筒車工作時(shí)，盛水桶的運(yùn)行路徑是以軸心為圓心，為半徑的圓，且圓心在水面上方，若圓被水面截得的弦長(zhǎng)為，則筒車工作時(shí)，盛水桶在水面以下的最大深度是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了垂徑定理，垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧，能熟練運(yùn)用垂徑定理是解題的關(guān)鍵；過點(diǎn)作半徑于，由垂徑定理得到，再利用勾股定理計(jì)算出，然后即可計(jì)算出的長(zhǎng)．【詳解】解：過點(diǎn)作半徑于，如圖，∴，在中，，∴，故選B．【變式2-2】（25-26九年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，是的割線，和它的延長(zhǎng)線分別交于和，如果，，，那么的半徑長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查圓的割線相關(guān)性質(zhì)與勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理計(jì)算圓的半徑．通過作，結(jié)合垂徑定理得到的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出；再利用垂徑定理先后求出（即圓的半徑）．【詳解】解：如圖，過作于點(diǎn)，連接，∵是的弦，，，，．∴的半徑長(zhǎng)為．故答案為：8．【變式2-3】（25-26九年級(jí)上·陜西西安·月考）如圖，是的直徑，，于點(diǎn)E，連接交于點(diǎn)F．(1)求證：．(2)若，，求弦的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見詳解(2)【分析】本題考查了圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理．注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．（1）要證明，可以證明；是的直徑，則，又知，則，則，，則；（2）連接，交于點(diǎn)，先求出圓的半徑，再利用勾股定理列方程求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求得的長(zhǎng)和的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：是的直徑，，．，，，．又，，，，；（2）解：連接，，交于點(diǎn)，則，，，，，，，，的半徑為，設(shè)，則，由勾股定理，得，即，解得，，．類型三、圓與正多邊形問題1.

抓核心關(guān)聯(lián)，建等量模型緊扣正多邊形的外接圓、內(nèi)切圓性質(zhì)，明確圓心是正多邊形的中心，外接圓半徑為正多邊形的半徑，內(nèi)切圓半徑為邊心距，利用半徑、邊心距、邊長(zhǎng)的一半構(gòu)成直角三角形，結(jié)合勾股定理計(jì)算邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)或面積。2.

用角度關(guān)系，破計(jì)算難點(diǎn)先算出正n邊形的中心角為n/360°，再結(jié)合等腰三角形性質(zhì)求內(nèi)角或外角，遇不規(guī)則組合圖形時(shí)，可分割成多個(gè)三角形或扇形，利用面積和差思想求解。例3．（24-25八年級(jí)下·上?！て谀┻呴L(zhǎng)為2的等邊三角形的邊心距是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，作的外接圓，圓心為點(diǎn)O，連接，作于點(diǎn)D，由，得，而，則，由，求得即可．【詳解】解：如圖，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，作的外接圓，圓心為點(diǎn)O，連接，作于點(diǎn)D，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的邊心距是．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查正多邊形和圓、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的“三線合一”、直角三角形中角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，正確地添加輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（23-24九年級(jí)上·安徽合肥·期末）如圖，正五邊形內(nèi)接于，點(diǎn)在弧上．若，則度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查正五邊形的性質(zhì)，圓周角定理，三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．連接，，由正五邊形的性質(zhì)可得的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理可得的度數(shù)，由三角形的內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，連接，，∵五邊形是正五邊形，∴，∴，∵，∴．故選：C．【變式3-2】（23-24九年級(jí)上·河南平頂山·期末）如圖，正六邊形內(nèi)接于，邊長(zhǎng)，則的長(zhǎng)為．【答案】/【分析】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，弧長(zhǎng)的計(jì)算，等邊三角形的判定和性質(zhì)，由正六邊形的性質(zhì)得到，得到為等邊三角形，進(jìn)而得到，代入弧長(zhǎng)公式即可求解，作出輔助線，判斷出為等邊三角形是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵是正六邊形，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∴的長(zhǎng)，故答案為：．【變式3-3】（25-26九年級(jí)下·全國(guó)·期末）在圓內(nèi)接正六邊形中，分別交于點(diǎn)．(1)如圖①，求證：點(diǎn)三等分；(2)如圖②，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作圓；（保留作圖痕跡，不寫作法）(3)在（2）所作圖形中，求證：是所作圓的切線．【答案】(1)證明見解析(2)作圖見解析(3)證明見解析【分析】（1）先由正六邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)得到相關(guān)角度，再由兩個(gè)三角形全等的判定定理得到，則，進(jìn)而由等邊三角形的判定定理得到是等邊三角形，由全等三角形性質(zhì)及等邊三角形性質(zhì)即可得到，從而得證；（2）由尺規(guī)作圖，過點(diǎn)作線段的垂直平分線即可得到答案；（3）過點(diǎn)作，垂足為，連接，如圖所示，由切線的判定方法求證即可得到答案．【詳解】（1）證明：在圓內(nèi)接正六邊形中，，，，，，在和中，，，，，是等邊三角形，，∴點(diǎn)三等分；（2）解：如圖所示：、即為所求；（3）證明：過點(diǎn)作，垂足為，連接，如圖所示：則，由（1）知，，，，為所作圓的半徑，是所作圓的切線．【點(diǎn)睛】本題考查圓與多邊形綜合，涉及圓的基本性質(zhì)、圓內(nèi)接正六邊形性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、尺規(guī)作圖-作垂直平分線、圓的切線的判定等知識(shí)，熟記圓與多邊形相關(guān)性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．類型四、求弧長(zhǎng)、扇形的面積1.

記準(zhǔn)公式，抓關(guān)鍵參數(shù)牢記弧長(zhǎng)公式l＝eq\f(nπR,180)、扇形面積公式S扇形＝eq\f(nπR2,360)＝eq\f(1,2)lR，解題時(shí)先鎖定圓心角度數(shù)n和半徑r兩個(gè)核心參數(shù)，通過已知條件（如弦長(zhǎng)、弦心距）求出參數(shù)后代入公式計(jì)算。2.

用轉(zhuǎn)化思想，解組合圖形遇陰影面積等綜合題時(shí)，將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為扇形、三角形、矩形等規(guī)則圖形的和或差，利用割補(bǔ)法拆分圖形，分別計(jì)算各部分面積后再整合求解。例4．（25-26九年級(jí)上·河南安陽·期末）汽修工發(fā)現(xiàn)皮帶輪上點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)隨之向上移動(dòng)．已知皮帶輪半徑為，當(dāng)點(diǎn)轉(zhuǎn)過的度數(shù)為時(shí)，點(diǎn)上升了（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查求弧長(zhǎng)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意，點(diǎn)上升了；故選A．【變式4-1】（25-26九年級(jí)上·江蘇泰州·期末）在中，的長(zhǎng)與的直徑的比為，則所對(duì)的圓周角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題的關(guān)鍵是根據(jù)弧長(zhǎng)公式求圓心角，但要注意的是圓心角與圓周角的轉(zhuǎn)化．根據(jù)弧長(zhǎng)與直徑的比求出圓心角，再根據(jù)圓周角與圓心角的關(guān)系求解．【詳解】解：設(shè)的半徑為，則直徑，∵的長(zhǎng)與直徑的比為，即，解得．∴所對(duì)圓周角為．故選：A．【變式4-2】（24-25九年級(jí)上·江蘇鹽城·期末）學(xué)校組織開展中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化成果展示活動(dòng)，小慧同學(xué)制作了一把扇形紙扇．如圖，，，紙扇完全打開后，外側(cè)兩竹條（竹條寬度忽略不計(jì)）的夾角，現(xiàn)需在扇面一側(cè)繪制山水畫，則山水畫所在紙面的面積為．【答案】【分析】本題主要考查了扇形面積的計(jì)算，熟練掌握扇形面積的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．將山水畫所在紙面的面積轉(zhuǎn)化為大小兩個(gè)扇形的面積之差即可求解．【詳解】解：，，山水畫所在紙面的面積：．故答案為：．【變式4-3】（24-25九年級(jí)上·重慶·期末）如圖，已知為等腰直角三角形，厘米，以C為圓心，8厘米為半徑畫弧，以為直徑作半圓，那么陰影部分的面積是平方厘米．【答案】【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．記直徑的中點(diǎn)為O，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，得出厘米，，再根據(jù)扇形面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，記直徑的中點(diǎn)為O，∵為等腰直角三角形，厘米，∴厘米，，∴（平方厘米）．故答案為：類型五、圓中的幾何證明問題1.

善用圓的核心性質(zhì)遇圓周角優(yōu)先聯(lián)想“同弧所對(duì)圓周角相等”“直徑所對(duì)圓周角為直角”；遇切線立刻連接圓心與切點(diǎn)，構(gòu)造垂直關(guān)系；涉及弦則用垂徑定理，結(jié)合勾股定理或三角函數(shù)建立線段關(guān)系。2.

構(gòu)造輔助線轉(zhuǎn)化圖形無現(xiàn)成全等、相似三角形時(shí)，常作直徑、半徑、弦心距，或連接弧的端點(diǎn)，將分散條件集中；證四點(diǎn)共圓可通過“對(duì)角互補(bǔ)”“外角等于內(nèi)對(duì)角”等特征轉(zhuǎn)化角度關(guān)系。例5．（23-24九年級(jí)上·河南平頂山·期末）如圖，是的半徑，過M點(diǎn)作的切線，且，，分別交于點(diǎn)C，D，求證：．【答案】見解析【分析】本題考查圓的切線性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A的切線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)切線的性質(zhì)得到，進(jìn)而證得，結(jié)合證得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，從而得出結(jié)論．【詳解】證明：是的半徑，過M點(diǎn)作的切線，，，在和中，，，，，．【變式5-1】（24-25九年級(jí)下·全國(guó)·期末）如圖，已知在中，．(1)求證：；(2)直徑于點(diǎn)D，若，，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查的是垂徑定理、全等三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，證明，，即可求解；（2）由垂徑定理可知，根據(jù)全等三角形的判定定理得出，故可得出的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理即可求出的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，∵，∴，且，∴，∴，，在和中，，∴，∴，又，∴；（2）解：設(shè)的半徑為r，∵，過圓心，，∴，∵，，∴，又∵，，∴，∴，∵在中，，∴，解得，∴的半徑為．【變式5-2】（24-25九年級(jí)上·安徽蚌埠·期末）如圖，與的邊相切于點(diǎn)，與邊，分別相交于點(diǎn)，，連接，．(1)求證：；(2)如圖2，若平分，連接，求證：．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【分析】本題主要考查切線的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、垂徑定理及圓周角的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、垂徑定理及圓周角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；（1）連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)E，連接，由題意易得，，則有，然后可得，進(jìn)而問題可求解；（2）連接交于點(diǎn)F，由題意易得，則有，然后可得，進(jìn)而問題可求證．【詳解】（1）證明：連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)E，連接，如圖所示：∴，∴，∵與的邊相切于點(diǎn)，∴，∴，∴，∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴；（2）證明：連接交于點(diǎn)F，如圖所示：由（1）可知：，∵平分，∴，∴，∴，即，∴，∴．【變式5-3】（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，是半圓O的直徑，點(diǎn)C是半圓O上不與A，B重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)D是過點(diǎn)C的切線上的一點(diǎn)，連接交半圓O于點(diǎn)E，且，于點(diǎn)F．(1)求證：．(2)若，，求半圓O的半徑．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由切線的性質(zhì)可得，可證，可證，由角平分線的性質(zhì)可得，由“”可證，可得；（2）的半徑為r，通過證明，可得，，利用勾股定理可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接，，∵是切線，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，∵，，∴，∴；（2）解：設(shè)的半徑為r，∵，，∴，∴，，∴，在中，，∴，∴，∴半圓O的半徑為．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓的有關(guān)知識(shí)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，證明是本題的關(guān)鍵．類型六、圓中無刻度直尺作圖問題1.

依托圓的核心性質(zhì)定關(guān)鍵點(diǎn)利用圓心、直徑、切線、圓周角等性質(zhì)找定點(diǎn)，如過圓上一點(diǎn)作切線，可借助直徑所對(duì)圓周角為直角，連接該點(diǎn)與直徑端點(diǎn)構(gòu)造直角確定切線方向；遇弦中點(diǎn)可結(jié)合圓心與弦的連線垂直于弦來定位。2.

借助圖形交點(diǎn)轉(zhuǎn)化作圖目標(biāo)無刻度直尺只能作直線或射線，需通過圓與直線、直線與直線的交點(diǎn)轉(zhuǎn)化需求，如作角平分線可構(gòu)造等弧對(duì)應(yīng)的弦，利用弦的交點(diǎn)連線得到角平分線；作線段中點(diǎn)可借助圓的對(duì)稱性找交點(diǎn)確定中點(diǎn)位置。例6．（24-25九年級(jí)上·江西贛州·期末）如圖，請(qǐng)用無刻度的直尺完成下列畫圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡（用虛線表示畫圖過程，實(shí)線表示畫圖結(jié)果）．(1)如圖，內(nèi)接于，是劣弧的中點(diǎn)，畫出的中線；(2)如圖，是的直徑，是內(nèi)一點(diǎn)，畫出的高．【答案】(1)見解析；(2)見解析．【分析】本題考查了無刻度的直尺畫圖，垂徑定理推論，圓周角定理，三角形中線、高的性質(zhì)，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（）如圖，連接交于點(diǎn)，連接，線段即為所求；（）如圖，延長(zhǎng)交于，延長(zhǎng)交于，連接，，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，作直線交于點(diǎn)，線段即為所求．【詳解】（1）解：如圖中，是劣弧的中點(diǎn)，則線段即為所求；理由：∵是劣弧的中點(diǎn)，∴垂直平分，∴線段即為所求；（2）解：如圖中，延長(zhǎng)交于，延長(zhǎng)交于，連接，，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，作直線交于點(diǎn)，理由：∵是的直徑，∴，∴，，∴線段即為所求；【變式6-1】（25-26九年級(jí)上·江蘇南京·月考）如圖，是的一條弦．(1)如圖，只用無刻度的直尺作弦，使；(2)如圖，用無刻度的直尺和圓規(guī)作弦，使，且．（要求：保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查圓周角定理、矩形的性質(zhì)與判定、垂徑定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理、矩形的性質(zhì)與判定、垂徑定理是解題的關(guān)鍵．連接、并延長(zhǎng)，分別交于點(diǎn)、，連接，弦即為所求；方法1、連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，，作弦，連接，弦即為所求；方法2、過點(diǎn)作于點(diǎn)，作正方形，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，弦即為所求．【詳解】（1）解：如下圖所示，連接、并延長(zhǎng)，分別交于點(diǎn)、，連接，，且、互相平分，四邊形是矩形，，弦即為所求；（2）解：方法1：如下圖所示，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，，，作弦，連接，、為的直徑，，在和中，，，，，，又，，，弦即為所求；方法2：如下圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，作正方形，則，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，，弦即為所求．【變式6-2】（24-25九年級(jí)上·山東濱州·期末）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格紙上，以O(shè)為圓心，為半徑作圓，點(diǎn)O、A、B均在格點(diǎn)上，僅用無刻度的直尺，完成下列作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）(1)在圖1中，①作的中點(diǎn)M：②取格點(diǎn)C，使為的一條切線．（作出符合題意的一點(diǎn)即可）(2)在圖2中，作直徑，E為外任一點(diǎn)，過E作的垂線垂足為F．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)見解析【分析】1）①在正方形網(wǎng)格中，利用圓的對(duì)稱性和網(wǎng)格線的特點(diǎn)來確定弧的中點(diǎn)；②依據(jù)切線的判定定理，找到與圓半徑垂直且經(jīng)過半徑外端的直線，從而確定切點(diǎn)．（2）通過構(gòu)造合適的線段，利用網(wǎng)格的特性找到與已知線段垂直的直線，確定垂足．【詳解】（1）解：①如圖，點(diǎn)即為所求點(diǎn)；②如圖所示，點(diǎn)C即為所求；由網(wǎng)格的特點(diǎn)可得，又∵是的半徑∴為的一條切線；（2）解：如圖所示，連接交于點(diǎn)F即為所求；由網(wǎng)格的特點(diǎn)可得，【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的相關(guān)性質(zhì)、切線的判定以及垂直的作圖，熟練掌握?qǐng)A的對(duì)稱性、切線的判定定理和網(wǎng)格的特性是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（24-25九年級(jí)上·江西贛州·期末）在中，以為直徑作，請(qǐng)你根據(jù)下列條件僅用無刻度的直尺畫出的平分線（不寫作法，保留作圖痕跡）．(1)如圖1，，與相交于點(diǎn)D；(2)如圖2，點(diǎn)C在上，點(diǎn)D是的中點(diǎn)．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查直徑所對(duì)的圓周角是直角，同圓中等弧所對(duì)的圓周角相等，等腰三角形三線合一，根據(jù)相關(guān)定理尋求角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）如圖，連接，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，得，根據(jù)等腰三角形三線合一，得，所以即為所求；（2）作射線交于點(diǎn)P，連接，利用垂徑定理得到，即可得到，進(jìn)而得到為的平分線．【詳解】（1）解：如圖，連接，則平分，理由如下：∵是直徑，∴，又，∴是等腰三角形，∴（三線合一），∴即為所求；（2）解：作射線交于點(diǎn)P，連接即可，理由如下：∵是直徑，∴，又∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴為的平分線．類型七、證明某線是圓中切線1.

連半徑，證垂直若直線與圓有已知公共點(diǎn)，連接圓心與該點(diǎn)得半徑，證明半徑與直線垂直即可?？赏ㄟ^計(jì)算角度（如證夾角為90°）、利用全等/相似三角形、結(jié)合圓周角定理（如直徑所對(duì)圓周角為直角）等方法推導(dǎo)垂直關(guān)系。2.

作垂直，證半徑若直線與圓的公共點(diǎn)未知，過圓心作直線的垂線段，證明垂線段長(zhǎng)度等于圓的半徑。常用勾股定理計(jì)算線段長(zhǎng)度，或借助平行線、等腰三角形性質(zhì)推導(dǎo)垂線段與半徑相等。例7．（25-26九年級(jí)上·西藏拉薩·期末）如圖，是的直徑，是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，點(diǎn)在上，，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，交于點(diǎn)，且點(diǎn)是的中點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，則得，由弧相等得，得，得，即可證明；（2）由（1）得，從而求得，由勾股定理即可求得的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：連接，如圖，∵，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵是圓的半徑，∴是的切線；（2）解：由（1）知，，∴，∴，∵，∴，由勾股定理得：．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，相等的弧對(duì)的圓周角相等，含30度角直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．【變式7-1】（25-26九年級(jí)上·遼寧撫順·期末）如圖，是的外接圓，且．連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連接．使．(1)求證：與相切；(2)若，，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)的半徑為5【分析】本題考查切線的判定，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）連接，由圓周角定理得，進(jìn)而可得，結(jié)合，證明即可；（2）連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由等腰三角形三線合一，可得，，再證，推出，再用勾股定理解即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接，，，，，，，，，即，，是的半徑，∴直線是的切線；（2）解：如圖，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，，，，，，，，又，，，，，，在中，，，，解得．即的半徑為5．【變式7-2】（25-26九年級(jí)上·四川涼山·期末）如圖，是的直徑，是的弦，延長(zhǎng)至D，，過C作交于點(diǎn)E．(1)求證：是的切線；(2)連接，若，的半徑為2時(shí)，求長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題考查等邊三角形的證明及性質(zhì)，切線的證明及性質(zhì)，勾股定理以及含30度的直角三角形，能夠正確作出輔助線是解題關(guān)鍵；（1）連接，根據(jù)三角形中位線定理得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）設(shè)交于，連接，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到，推出是等邊三角形，得到，，得到，進(jìn)而求出，再根據(jù)勾股定理得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接，∵是的直徑，∴，∵，∴，，，是的中位線，，，是的半徑，是的切線；（2）解：設(shè)交于，連接，∵的半徑為2，∴，，，，，是等邊三角形，，，∴，，，，，，，，，．【變式7-3】（24-25九年級(jí)上·河北張家口·期末）如圖，在中，以邊上一點(diǎn)O為圓心，為半徑作，與相切于點(diǎn)A．作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，且．(1)求證：是的切線；(2)若A，，則的半徑是__________．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查切線的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握切線的判定和性質(zhì)．（1）過O點(diǎn)作于點(diǎn)E，推導(dǎo)出，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到，證明結(jié)論；（2）先利用勾股定理求出長(zhǎng)，然后利用全等三角形得到，然后再在中利用勾股定理解題即可．【詳解】（1）證明：過O點(diǎn)作于點(diǎn)E，∵與相切于點(diǎn)A，∴又∵，∴，∵，∴，又∵，，∴，∴是的切線；（2）解：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，在中，，即，解得：．故答案為：。類型八、圓中類比探究問題1.

提煉基礎(chǔ)模型，明確不變關(guān)系分析第一問的圖形結(jié)構(gòu)與證明思路，提煉核心模型（如圓周角模型、切線模型、全等/相似模型），鎖定圓的性質(zhì)（如弧、弦、角的等量關(guān)系）、垂直關(guān)系等不變要素，作為后續(xù)類比的依據(jù)。2.

遷移思路方法，調(diào)整變量差異對(duì)比后續(xù)問題與基礎(chǔ)模型的圖形變化（如點(diǎn)的位置、線段的長(zhǎng)短、角的大小），遷移第一問的解題步驟，針對(duì)變化的條件調(diào)整證明方法，驗(yàn)證結(jié)論是否延續(xù)或需修正，確保邏輯一致。例8．（23-24九年級(jí)上·山東威海·期末）閱讀下列材料，完成相應(yīng)學(xué)習(xí)任務(wù)：四點(diǎn)共圓的條件我們知道，過任意一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓，過任意一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓嗎？小明經(jīng)過實(shí)踐探究發(fā)現(xiàn)：過對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓，下面是小明運(yùn)用反證法證明上述命題的過程：已知：在四邊形中，．求證：過點(diǎn)可作一個(gè)圓．證明：假設(shè)過點(diǎn)四點(diǎn)不能作一個(gè)圓，過、三點(diǎn)作圓．如圖1，若點(diǎn)在圓外，設(shè)與圓相交于點(diǎn)，連接，則______，而已知，所以，而是的外角，，出現(xiàn)矛盾，故假設(shè)不成立，因此點(diǎn)在過三點(diǎn)的圓上．如圖2，若點(diǎn)在圓內(nèi)，（請(qǐng)同學(xué)們補(bǔ)充完成省略的部分證明過程）因此得到四點(diǎn)共圓的條件：過對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓．學(xué)習(xí)任務(wù)：(1)材料中劃線部分的結(jié)論是______，依據(jù)是______；(2)請(qǐng)將圖2的證明過程補(bǔ)全；(3)如圖3，在四邊形中，，，，則的大小為______(4)如圖4，已知正方形的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，以為邊作正方形，頂點(diǎn)在線段上，對(duì)角線相交于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到時(shí)，點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過的路徑長(zhǎng)．【答案】(1)，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)(2)見解析；(3)32(4)點(diǎn)經(jīng)過的路徑為．【分析】本題考查了對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓，反證法，圓內(nèi)接四邊形，圓周角定理，勾股定理．（1）根據(jù)材料得出結(jié)論，依據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；（2）同（1）利用反證法結(jié)合圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)證明即可；（3）利用題中結(jié)論，結(jié)合直徑的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)即可求解；（4）連接連接，由勾股定理求出，由圓周角定理得出，點(diǎn)在上，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，為的中點(diǎn)，即可求解．【詳解】（1）解：材料中劃線部分的結(jié)論是：，依據(jù)：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，故答案為：，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；（2）證明：假設(shè)過點(diǎn)四點(diǎn)不能作一個(gè)圓，過、三點(diǎn)作圓，如圖2，若點(diǎn)在圓內(nèi)，設(shè)延長(zhǎng)與圓相交于點(diǎn)，連接，則，∵，∴，∴是的外角，∴，出現(xiàn)矛盾，故假設(shè)不成立，∴點(diǎn)在過三點(diǎn)的圓上；（3）解：∵，∴過四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓，如圖：∴，∴，又∵，∴，∴，故答案為：32；（4）解：連接如圖：∵四邊形是正方形，∴，∴，∵四點(diǎn)共圓，∴，∴點(diǎn)在上，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，為的中點(diǎn)，∴，∴點(diǎn)經(jīng)過的路徑為．【變式8-1】（24-25八年級(jí)下·江蘇泰州·期末）是的直徑，，垂足為，點(diǎn)是弧上一動(dòng)點(diǎn)（不與重合），與交于點(diǎn)．(1)求的度數(shù)；(2)若點(diǎn)在弧的中點(diǎn)處，求證：；(3)設(shè)．①若，分別計(jì)算與的值，并判斷它們的大小關(guān)系；②若的值發(fā)生變化，請(qǐng)判斷與的大小關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)135°(2)證明見解析(3)①；②，理由見解析【分析】（1）連接，如圖所示，由是的直徑，，得到，利用等腰直角三角形性質(zhì)得到，再由圓周角定理求解即可得到答案；（2）連接，如圖所示，由點(diǎn)在弧的中點(diǎn)，則，由圓周角定理得到，結(jié)合等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，得到，即可由等腰三角形判定與性質(zhì)得證；（3）①在中，由勾股定理得到相關(guān)線段及角度，即可得到，再由含直角三角形性質(zhì)、勾股定理求出，即可得到答案；②連接，連接，過點(diǎn)作，如圖所示，由，判定是等腰直角三角形，進(jìn)而由等腰直角三角形性質(zhì)得到，再結(jié)合圓周角定理確定，從而由兩個(gè)三角形全等的判定與性質(zhì)得到，數(shù)形結(jié)合代入，即可得證．本題考查圓綜合，涉及直徑所對(duì)的圓周角是直角、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、外角性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、含直角三角形性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)．熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)、掌握解題所需的幾何性質(zhì)與判定，并靈活運(yùn)用是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】（1）如圖，連接，∵是的直徑，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）如圖，連接，∵點(diǎn)在弧的中點(diǎn)處，∴，∴，由（1）可知：，∴，∵，∴，∵是的一個(gè)外角，∴，∴，∴；（3）①∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，解得：，∴，∴，如圖，過點(diǎn)作，∵中，，∴，∴，∴，∴，∵，則，∴；②，理由如下：如圖，連接，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，在和中，，【變式8-2】（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖：已知的直徑，點(diǎn)為上一點(diǎn)，為的切線，是半徑上任一點(diǎn)，過點(diǎn)作分別交、于、兩點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)P與圓心O重合時(shí)，①求證：；②若，求圖中陰影部分的面積；(2)如圖2，連接，當(dāng)時(shí)，交于點(diǎn)，，求的長(zhǎng)度．【答案】(1)①見解析；②(2)2【分析】（1）①根據(jù)直角和圓的切線的性質(zhì)，得出，進(jìn)而得到，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余和對(duì)頂角相等，得出，由等角對(duì)等邊，即可證明結(jié)論；②由圓周角定理，得出，進(jìn)而得出，再由直角三角形的特征，得到，求得，再利用，即可得出答案；（2）連接與交于點(diǎn)，證明四邊形為矩形，得到，由勾股定理，得出，利用平行線分線段成比例定理，得到，再由勾股定理，得出，進(jìn)而即可求出的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：①為直徑，，，為的切線，為半徑，，，，，，，，，，，，，；②，，，，直徑，半徑，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：，；（2）解：如圖，連接與交于點(diǎn)，為直徑，，，，，，，四邊形為矩形，，，，，，，，設(shè)，則根據(jù)勾股定理得：，．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，直角三角形的特征，等腰三角形的判定和性質(zhì)，扇形面積公式，矩形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)解決問題是解題關(guān)鍵．【變式8-3】（24-25九年級(jí)上·福建福州·期末）如圖，為上兩動(dòng)點(diǎn)，線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，點(diǎn)在內(nèi)，線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)，作于．連接．(1)求證：(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，求證：三點(diǎn)共線．(3)如圖，若的半徑為，連接，求的最小值．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（）連接，由題意可得，進(jìn)而可得為等腰直角三角形，即得，再根據(jù)即可求證；（）連接、，由垂徑定理的推論可得，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而根據(jù)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂線即可求證；（）連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段，連接，可證，得到，利用勾股定理得，進(jìn)而根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到即可求解．【詳解】（1）證明：連接，由旋轉(zhuǎn)得，，∵平分，

∴，∵，∴，∴為等腰直角三角形，∴，

∴，∴，∵，

∴，

又∵，∴，

∴，即；（2）證明：連接、，∵是中點(diǎn)，∴，由（）知為等腰直角三角形，∵點(diǎn)為底邊中點(diǎn)，∴，∵過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，∴點(diǎn)三點(diǎn)共線；（3）解：連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段，連接，如圖：∴，

∴，∵，，

∴，∴，∵，，∴，∴在中，，即當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理的推論，勾股定理，三角形的三邊關(guān)系，垂直公理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．（24-25九年級(jí)上·廣東廣州·期末）如圖，在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若以點(diǎn)為圓心，5為半徑作，則下列判斷正確的是（）A．點(diǎn)在外 B．點(diǎn)在上C．點(diǎn)在內(nèi) D．無法判斷【答案】B【分析】此題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，理解點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解題關(guān)鍵．連接，根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可得，與圓的半徑相等，即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接，，，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，，的半徑為5，點(diǎn)在上．故選：B．2．（25-26九年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，是的直徑，C，D是上的點(diǎn)，過點(diǎn)C作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查的是切線的性質(zhì)，圓周角定理，熟知圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解答此題的關(guān)鍵．連接，根據(jù)切線的性質(zhì)可知，再由直角三角形的性質(zhì)得出的度數(shù)，由圓周角定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接，∵是的切線，∴，∵，∴，∴．故選：A．3．（25-26九年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖所示，與的邊相切，切點(diǎn)為B．將繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)落在上，邊交線段于點(diǎn)C．若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等邊三角形的判定和性質(zhì).通過旋轉(zhuǎn)得到對(duì)應(yīng)角和邊的關(guān)系，再利用圓的半徑相等推出等邊三角形，進(jìn)而求出相關(guān)角度，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和求出．【詳解】解：∵繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，∴，∵和都是的半徑，∴，又∵旋轉(zhuǎn)后，∴，可得為等邊三角形，∴，∴，∵與的邊相切于點(diǎn)B，∴，即，∴，在中，，在中，.故選：D．4．（24-25九年級(jí)上·福建廈門·期末）如圖，內(nèi)接于圓，點(diǎn)D在弧上，連接，．下列角中，與相等的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)角度的關(guān)系是解題關(guān)鍵．同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，從同弧或等弧的角度去尋找相等的角即可．【詳解】解：∵，∴．故選：C．5．（22-23九年級(jí)上·山東泰安·期末）在扇形中，，正方形的頂點(diǎn)C，D分別在半徑，上，頂點(diǎn)E在上，以O(shè)為圓心，長(zhǎng)為半徑作，若，則陰影部分面積為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】本題考查的是扇形面積的計(jì)算，正方形的性質(zhì)，熟記扇形的面積公式是解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，，，求出正方形的邊長(zhǎng)，得出陰影部分的面積，分別求出即可．【詳解】解：連接，交于，則，四邊形是正方形，，，，在等腰三角形中，，，陰影部分的面積，故選：C．二、填空題6．（24-25八年級(jí)下·北京·期末）如圖，是的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)．若，，則的周長(zhǎng)為．【答案】32【分析】本題考查了切線長(zhǎng)定理，掌握切線長(zhǎng)定理是解題的關(guān)鍵．由切線長(zhǎng)定理得，，，即可求解．【詳解】解：是的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為，，，∴，，，∴．故答案為：32．7．（25-26九年級(jí)下·全國(guó)·期末）如圖，的內(nèi)接正六邊形為正六邊形，的半徑為6，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查的是正六邊形和圓，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)；連接，，證出是等邊三角形，進(jìn)而即可求得答案．【詳解】解：如圖，連接，，，交于，∵的內(nèi)接正六邊形為正六邊形，∴，，∵，∴是等邊三角形，∴，，∴，在中；同理證得是等邊三角形，，，，在中；；故答案為．8．（25-26九年級(jí)上·西藏拉薩·期末）如圖，已知的半徑為，弦，則圓心O到弦的距離的長(zhǎng)是．【答案】/6厘米【分析】本題考查垂徑定理及勾股定理；由垂徑定理得，再由勾股定理即可求解．【詳解】解：∵圓心O到弦的距離為，∴，∴，由勾股定理得：；故答案為：．9．（23-24九年級(jí)上·安徽宿州·期末）如圖，是的直徑，垂直于弦于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)是．【答案】【分析】本題考查了垂徑定理，中位線定理，勾股定理，由，得，，然后通過中位線定理可得，設(shè)的半徑為，則，由勾股定理得，解得，然后代入即可求解，