第頁第03講空間直線、平面的平行第一部分：知識點(diǎn)必背知識點(diǎn)一：直線與平面平行1、直線與平面平行的定義直線與平面沒有公共點(diǎn)，則稱直線與平面平行.2、直線與平面平行的判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行符號表述：3、直線與平面平行的性質(zhì)定理如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行符號表述：，，知識點(diǎn)二：平面與平面平行1、平面與平面平行的定義兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)2、平面與平面平行的判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)的有兩條相交直線平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行.符號表述：3、平面與平面平行的性質(zhì)定理3.1性質(zhì)定理兩個(gè)平行平面，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行.符號語言3.2性質(zhì)兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行與另一平面符號語言：高頻考點(diǎn)一：線面平行的判定角度1：判斷證明線面平行例題1．若為平面，有下列命題，其中真命題的是（

）A．若直線平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則B．若直線在平面外，則平面C．若直線，直線平面，則平面D．若直線平面，則平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線【答案】D【詳解】A項(xiàng)還可能，故A錯(cuò)誤；B項(xiàng)還可能與平面相交，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)還可能，故C錯(cuò)誤；由直線與平面平行的性質(zhì)以及平行的傳遞性可知D正確.故選：D.例題2．如圖所示，已知是平行四邊形，點(diǎn)是平面外一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，過和作平面交平面于，則與的位置關(guān)系是_________．

【答案】平行【詳解】連接交于，連結(jié)，因?yàn)槭瞧叫兴倪呅?，所以為中點(diǎn).因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；因?yàn)槠矫?，又過和作平面交平面于，即平面平面，且平面，所以.故答案為：平行.

例題3．如圖，已知四棱錐中，，、分別是、的中點(diǎn)，底面ABCD，且

(1)證明：平面；(2)若，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析；(2)【詳解】（1）證法一：連接AC交BO于點(diǎn)，連接．，∴四邊形為平行四邊形,∴是的中點(diǎn)；∵中，是的中點(diǎn),；∵平面，平面，∴平面.

證法二：中，分別是的中點(diǎn)，，又平面，平面,平面，且，∴四邊形是平行四邊形，，又平面，平面,平面;，平面,∴平面平面，∵平面，平面.（2）連結(jié)，，

由中，，得，,∴的面積;又平面，,∴三棱錐的體積為;∵是的中點(diǎn)，,∴.角度2：補(bǔ)全線面平行的條件例題1．如圖1，菱形中，，，于，將沿翻折到，使，如圖2．(1)求三棱錐的體積；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使∥平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)；(2)存在，.【詳解】（1）解：由題可知在菱形中，，，，故，所以在四棱錐中，，又，所以平面，且，連接，因?yàn)閯t,所以.故棱錐的體積為.（2）解：設(shè)線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，又由（1）得，，所以，所以四邊形為平行四邊形，故,又平面，平面，所以平面，此時(shí)點(diǎn)為的中點(diǎn)，故.例題2．如圖，在四棱錐中，四邊形是平行四邊形，點(diǎn)，，分別為線段，，的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)在線段上找一點(diǎn)H，使得平面，并說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)H為BD的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)B），理由見解析.【詳解】（1）E、F分別是BC，BP中點(diǎn)，則，而PC平面PGC，EF平面PGC，所以EF//平面PGC.（2）連接AE，與BD相交于H，則H為BD的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)B），即為所求.平行四邊形ABCD中，因E、G分別是BC、AD中點(diǎn)，則，即四邊形是平行四邊形，于是得，令，則，而AE平面PCG，CG平面PCG，因此，AE//平面PCG，由（1）知EF//平面PCG，又，AE，EF平面AEF，于是得平面AEF//平面PCG，又FH平面AEF，所以FH//平面PCG，且H為BD的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)B）.考點(diǎn)一練透核心考點(diǎn)1．如圖，中，，是正方形，平面平面，若、分別是、的中點(diǎn)．求證：平面；

【詳解】證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接．

，F(xiàn)分別是和BD的中點(diǎn)，BC，HFDE．又四邊形為正方形，，從而．平面ABC，平面ABC，平面ABC.同理平面ABC，又.平面平面.∵平面，則平面ABC；

2．如圖，在多面體中，四邊形是正方形，平面，，.

(1)若為的中點(diǎn)，求證：平面；(2)若多面體的體積為32，求的值.【答案】(1)證明見解析；(2)2【詳解】（1）證明：連接.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以.因?yàn)槠矫妫矫妫云矫?

（2）解：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，AE⊥平面ABCD，所以AB，AD，AE兩兩垂直，

連接AC，多面體ABCDEF的體積等于.因?yàn)锳B=AE=2CF=2m，所以四棱錐B-ACFE和四棱錐D-ACFE的高都為，四邊形（直角梯形）ACFE的面積為，所以多面體ABCDEF的體積等于，因?yàn)槎嗝骟wABCDEF的體積為32，所以4m3=32，解得m=2.高頻考點(diǎn)二：面面平行的判斷角度1：判斷證明面面平行例題1．已知三條不同的直線和兩個(gè)不同的平面，下列四個(gè)命題中正確的為（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】D【詳解】選項(xiàng)A：若，則或異面或相交.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：若，則或.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：若，則或相交.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：若，則必有，又，則，則.判斷正確.故選：D例題2．如圖，在直三棱柱中，，，，分別是棱，的中點(diǎn)．(1)判斷多面體是否為棱柱并說明理由；(2)求多面體的體積；(3)求證：平面平面．【答案】(1)多面體不是棱柱，理由見解析(2)(3)證明見解析【詳解】（1）多面體不是棱柱．理由如下：因?yàn)槔庵膫?cè)面必為平行四邊形，故棱柱的面至少有3個(gè)平行四邊形，而多面體只有1個(gè)面是平行四邊形，故不是棱柱.（2）易知三棱柱的體積，三棱錐的體積，易知三棱錐的體積等于三棱錐的體積，故多面體的體積．（3）因?yàn)镈，E分別是，AC的中點(diǎn)，所以，所以四邊形為平行四邊形所以．又平面，平面，所以平面．易知，得四邊形為平行四邊形．所以，又平面，平面，所以平面．而，BE，平面，所以平面平面．角度2：補(bǔ)全面面平行的條件例題1．如圖平面，是矩形，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的任意一點(diǎn)．當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，線段上是否存在點(diǎn)，使得平面平面，若存在指出點(diǎn)位置并證明，若不存在說明理由．【答案】存在為中點(diǎn)使面面，理由見解析【詳解】存在為中點(diǎn)，使得平面平面，理由如下：當(dāng)為中點(diǎn)，連接，又是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，，而平面，平面，所以平面，同理可證面，又，即平面平面，綜上，為中點(diǎn)時(shí)平面平面．例題2．如圖，在直三棱柱中，，分別是線段，的中點(diǎn).(1)求證：；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)使得平面平面，若存在，指出點(diǎn)的具體位置；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)存在，P為的中點(diǎn)【詳解】（1）連接，因?yàn)樵谥比庵校瑸槠叫兴倪呅?，故和相交，交點(diǎn)為它們的中點(diǎn)，由于N是線段的中點(diǎn)，故N也為的中點(diǎn)，因?yàn)镸為的中點(diǎn)，所以為的中位線，所以.∵平面平面ABC，∴，∴，即.（2）存在，P為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面，證明：連結(jié)，，因?yàn)镹為的中點(diǎn)，P為的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，又由（1）知,平面,平面，故平面，又平面，所以平面平面.考點(diǎn)二練透核心考點(diǎn)1．在四棱錐中，底面，四邊形為邊長為的菱形，，，為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．(1)求證：直線平面；(2)求直線與所成角大小．【答案】(1)證明見解析；(2)【詳解】（1）取AD的中點(diǎn)E，連接NE，ME，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)槠矫鍼CD，平面PCD，所以平面PCD，同理可得平面PCD，因?yàn)?，平面，所以平面平面PCD，因?yàn)槠矫鍹NE，所以直線平面；（2）連接AC，四邊形為邊長為的菱形，，所以，由余弦定理得：，因?yàn)椋瑸橹悬c(diǎn)，所以,因?yàn)榈酌?，平面ABCD，所以PA⊥AC，PA⊥AD，所以，，因?yàn)?，所以直線與所成的角或其補(bǔ)角為直線與所成的角，由余弦定理得：，故直線與所成角的大小為.2．如圖所示,在四棱錐中,四邊形是正方形,點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn).（1）求證：;（2）線段上是否存在一點(diǎn),使得面面,若存在，請找出點(diǎn)并證明;若不存在,請說明理由.【答案】（1）見證明；(2)見解析【詳解】（1）證明：由四邊形為正方形可知，連接必與相交于中點(diǎn)故∵面∴面（2）線段上存在一點(diǎn)滿足題意，且點(diǎn)是中點(diǎn)

理由如下：由點(diǎn)分別為中點(diǎn)可得：∵面∴面由（1）可知，面且故面面高頻考點(diǎn)三：線面平行的性質(zhì)角度1：線面平行的性質(zhì)例題1．在正四棱錐中，已知，，，分別為，的中點(diǎn)，平面平面．(1)求證：；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析；(2)【詳解】（1）證明：連接，∵，分別為，的中點(diǎn)，∴又∵平面，平面，∴平面，又∵平面，平面平面，∴（2）解：連接交于點(diǎn)，連接，在正四棱錐中，四邊形為正方形，∴為正方形中心∴平面，又∵平面，∴，因?yàn)?，，，平面，所以平面，即AO為點(diǎn)到平面的距離，，在中，，所以，所以．高頻考點(diǎn)四：面面平行的性質(zhì)角度1：面面平行證明線線平行例題1．如圖所示，已知多面體中，四邊形為矩形，，，平面平面，，分別為，的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)求證：平面；(3)若過的平面交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求證：．(1)平面平面ABCD，平面平面ABCD，在矩形ABCD中，，平面ABCD，平面，，又，，平面，平面，平面，(2)取的中點(diǎn)，連接，分別為的中點(diǎn)，，且，，，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面DAF，平面DAF，平面DAF.(3)，過直線存在一個(gè)平面，使得平面平面ABCD，又過的平面交于，交于點(diǎn)，平面ABCD，，角度2：面面平行證明線面平行例題1．如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，，分別為，的中點(diǎn)．求證：平面；【詳解】取的中點(diǎn)為，連接，由三棱柱可得四邊形為平行四邊形，，則，又平面，平面，故平面，，則，同理可得平面，而，平面，故平面平面，又平面，故平面例題2．已知是矩形所在平面外一點(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn)，求證：平面.【詳解】解法（1）取中點(diǎn)，連接，，是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，，，是矩形邊中點(diǎn)，，，，，所以四邊形是平行四邊形，，且是平面外的一條直線，是平面上的一條直線，平面.解法（2）取中點(diǎn)，連接，，是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以,因?yàn)?，，所以?所以四邊形為平行四邊形所以，因?yàn)槠矫?，平面，平面，平面，所以平面，平面，因?yàn)樗云矫嫫矫妫驗(yàn)槠矫?，所以平?考點(diǎn)四練透核心考點(diǎn)1．如圖，在三棱柱中，⊥平面，，是等邊三角形，分別是棱的中點(diǎn)．證明：平面．

【答案】證明見解析【詳解】連接BD.因?yàn)镋，F(xiàn)分別是棱AC，BC的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?因?yàn)镈，F(xiàn)分別是棱，BC的中點(diǎn)，所以，，所以四邊形是平行四邊形，則.因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?因?yàn)槠矫鍭BD，平面ABD，且，平面所以平面平面，因?yàn)槠矫鍭BD，所以平面.第03講空間直線、平面的平行1．設(shè)，為兩個(gè)不同的平面，則∥的一個(gè)充分條件是（

）A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 B．，垂直于同一個(gè)平面C．，平行于同一條直線 D．，垂直于同一條直線【答案】D【詳解】對于A：內(nèi)有無數(shù)條直線與平推不出∥，只有內(nèi)所有直線與平行才能推出，故A錯(cuò)誤；對于B：，垂直于同一平面，得到∥或與相交，故B錯(cuò)誤；對于C：，平行于同一條直線，得到∥或與相交，故C錯(cuò)誤；對于D：因?yàn)榇怪迸c同一條直線的兩平面平行，故，垂直于同一條直線可得∥，故：D正確．故選：D2．如圖，四邊形是梯形，，且平面，M是AC的中點(diǎn)，與平面交于點(diǎn)N，，，則等于（

）A．4.5 B．5 C．5.4 D．5.5【答案】B【詳解】因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所?又M是的中點(diǎn)，所以是梯形的中位線，故.故選：B3．對于平面和兩條直線，下列說法正確的是（

）A．若，，則 B．若與所成的角相等，則C．若，，則 D．若，，n在平面α外，則【答案】D【詳解】對于A，若，，則或，故A錯(cuò)誤；對于B，若與所成的角相等，則相交、平行或異面，故B錯(cuò)誤；對于C，若，，則相交、平行或異面，故C錯(cuò)誤；對于D，若，，n在平面α外，則由線面平行的判定定理得，故D正確.故選:D.4．已知平面α∥平面β，直線a?α，b?β，那么直線a與直線b一定（

）A．平行 B．異面 C．垂直 D．不相交【答案】D【詳解】由平面α∥平面β，則兩平面沒有公共點(diǎn)，那么直線a與直線b一定沒有公共點(diǎn)，但可以是平行或異面.故選：D5．如圖，在長方體中，過的中點(diǎn)作一個(gè)與平面平行的平面交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則_________．【答案】【詳解】∵平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，∴由兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理可得，．∴，又∵為的中點(diǎn)，∴，分別為，的中點(diǎn)，∴，即．故答案為：6．正方體中，分別是的中點(diǎn)，如圖，則：與平面的位置關(guān)系是________．【答案】平行【詳解】解析：如圖，取的中點(diǎn)，連接∵為的中點(diǎn)，∴為的中位線，則，且.∵為的中點(diǎn)，∴且，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴，而平面，平面，∴平面.答案：平行7.如圖，四棱錐的底面邊長為8的正方形，四條側(cè)棱長均為.點(diǎn)分別是棱上共面的四點(diǎn)，平面平面，