第第頁第01講直線的方程第一部分：知識點必背知識點一：直線的傾斜角以軸為基準，軸正向與直線向上的方向之間所成的角叫做直線的傾斜角.（1）當直線與軸平行或者重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為；所以傾斜角的取值范圍為：；特別地，當直線與軸垂直時，直線的傾斜角為.（2）所有直線都有唯一確定的傾斜角，傾斜角表示的是直線的傾斜程度.知識點二：直線的斜率1、我們把一條直線的傾斜角（）的正切值叫做這條直線的斜率.斜率通常用字母表示，即（1）傾斜角不是的直線都有斜率，傾斜角不同，直線的斜率也不同；（2）傾斜角時，直線的斜率不存在.2、如果直線經過兩點，（），那么可得到如下斜率公式：（1）當時，直線與軸垂直，直線的傾斜角，斜率不存在；（2）斜率公式與兩點坐標的順序無關，橫縱坐標的次序可以同時調換；（3）當時，斜率，直線的傾斜角，直線與軸重合或者平行。知識點三：直線方程的五種形式1、直線的點斜式方程已知條件（使用前提）直線過點和斜率（已知一點+斜率）圖示點斜式方程形式適用條件斜率存在（注直線若斜率不存在不可使用該形式直線方程）2、直線的斜截式方程已知條件（使用前提）直線的斜率為且在軸上的縱截距為（已知斜率+縱截距）圖示點斜式方程形式適用條件斜率存在（注直線若斜率不存在不可使用該形式直線方程）3、直線的兩點式方程已知條件（使用前提）直線上的兩點，（，）（已知兩點）圖示點斜式方程形式適用條件斜率存在且不為0；當直線沒有斜率()或斜率為時，不能用兩點式求出它的方程4、直線的截距式方程已知條件（使用前提）直線在軸上的截距為，在軸上的截距為圖示點斜式方程形式適用條件，5、直線的一般式方程定義:關于,的二元一次方程都表示一條直線.我們把關于,的二元一次方程(其中,不同時為0)叫做直線的一般式方程,簡稱一般式.說明：1．、不全為零才能表示一條直線，若、全為零則不能表示一條直線.當時，方程可變形為，它表示過點，斜率為的直線．當，時，方程可變形為，即，它表示一條與軸垂直的直線．由上可知，關于、的二元一次方程，它都表示一條直線．2．在平面直角坐標系中，一個關于、的二元一次方程對應著唯一的一條直線，反過來，一條直線可以對應著無數個關于、的一次方程.3.解題時,如無特殊說明,應把最終結果化為一般式.高頻考點一：直線的傾斜角與斜率例題1．已知直線l經過點．直線的傾斜角是．【答案】/【詳解】因為過兩點的直線的斜率為：，因為，是直線的傾斜角，且所以直線的傾斜角為：．故答案為：.例題2．已知直線和以，為端點的線段相交，則實數的取值范圍為（

）A．B．C．或D．或【答案】C【詳解】直線恒過定點，且，，由圖可知，或.故選：C.練透核心考點1．已知直線，若直線與垂直，則的傾斜角為（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】因為直線與垂直，且，所以，解得，設的傾斜角為，，所以.故選：A.2．已知直線的傾斜角為，則實數（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】已知直線的傾斜角為，則直線的斜率為，則.故選：B.3．設直線的方程為，則的傾斜角的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】直線的斜率，所以直線的傾斜角的取值范圍是.故選：A高頻考點二：求直線的方程例題1．已知直線的一個方向向量為，且經過點，則直線的方程為（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】因為直線的一個方向向量為，所以直線的斜率，又直線經過點，所以直線的方程為，即.故選：D例題2．已知點求：(1)邊上的中線所在直線的方程；(2)邊上的高所在直線方程；(3)邊的垂直平分線的方程.【答案】(1)；(2)；(3)【詳解】（1）的中點坐標為，且所以BC邊上的中線所在直線的方程：（2）BC的斜率：，所以BC邊上的高所在直線方程的斜率：BC邊上的高所在直線方程：即：.（3）由前兩問知：的中點坐標為，.BC邊的垂直平分線的斜率：，BC邊的垂直平分線的方程:即：練透核心考點1．經過點且與直線平行的直線方程為（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】直線的斜率為，兩直線平行，故所求直線方程為.整理得：.故選：D2．已知中，、、，寫出滿足下列條件的直線方程．(1)BC邊上的高線的方程；(2)BC邊的垂直平分線的方程．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）因為，所以BC邊上的高線的斜率，故BC邊上的高線的方程為：,即所求直線方程為：.（2）因為，所以BC邊上的垂直平分線的斜率，又BC的中點為，故BC邊的垂直平分線的方程為：，即所求直線方程為：.高頻考點三：直線過定點問題例題1．不論取任何實數，直線恒過一定點，則該定點的坐標是（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】直線方程可整理為：，則由得：，即直線恒過定點.故選：B.例題2．直線（）必過點.【答案】【詳解】直線方程（）可化為，（），∴由，解得，∴直線（）必過定點.故答案為：.練透核心考點1．求證：不論為何實數，直線都恒過一定點．【答案】證明見解析【詳解】證法一（特殊值法）：取，得到直線，取，得到直線，故與的交點為．將點代入方程左邊，得，∴點在直線上．∴直線恒過定點．證法二（分離參數法）：由，整理，得．則直線通過直線與的交點．由方程組，得，∴恒過定點．2．若實數、、成等差數列，則直線必經過一個定點，則該定點坐標為.【答案】【詳解】因為實數、、成等差數列，所以，即，所以直線必過點.故答案為：高頻考點四：與直線方程有關的最值問題例題1．當點到直線的距離取得最大值時，（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】將直線轉化為，聯立方程組，解得，所以直線經過定點，當直線與該直線垂直時，點到該直線的距離取得最大值，此時，解得.故選：C.例題2．已知直線與曲線有兩個交點，則的取值范圍為．【答案】【詳解】直線，得，可知直線過定點，如圖，曲線表示以為圓心，2為半徑的上半圓．當直線與半圓相切時，，解得．曲線與軸負半軸交于點．因為直線與曲線有兩個交點，所以．故答案為：.

練透核心考點1．已知直線與曲線有兩個交點，則m的取值范圍為．【答案】【詳解】由題意得，直線的方程可化為，所以直線恒過定點，又曲線可化為，其表示以為圓心，半徑為2的圓的下半部分，如圖.當與該曲線相切時，點到直線的距離，解得，設，則，由圖可得，若要使直線與曲線有兩個交點，須得，即m的取值范圍為.故答案為：.高頻考點五：直線方程的綜合應用例題1．在三角形中，已知點，，.(1)求邊上中線所在的直線方程；(2)若某一直線過點，且軸上截距是軸上截距的倍，求該直線的一般式方程.【答案】(1)；(2)或【詳解】（1）∵，，∴線段的中點的坐標為，又邊上的中線經過點，∴，即，故邊上中線所在的直線方程（2）當直線在軸和軸上的截距均為0時，可設直線的方程為，代入點，則，解得，所以所求直線的方程為，即；當直線在軸和軸上的截距均不為0時，可設直線的方程為，代入點，則，解得，所以所求直線的方程為，綜上所述，該直線的一般式方程為或.例題2．直線經過兩條直線和的交點，且_____．(1)求直線的方程；(2)求直線與坐標軸圍成的三角形面積．試從以下兩個條件中任選一個補充在上面的問題中，完成解答，若選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．①與直線平行，②直線在軸上的截距為．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）選①直線經過兩條直線和的交點，，解得，，即，直線與直線平行．可設直線的方程，把代入可得，直線的方程為，選②直線經過兩條直線和的交點，，解得，，即，由題意可知直線的斜率存在，設為且，則過，代入可得，直線的方程，（2）在直線中，令可得，令可得，所以直線與坐標軸圍成的三角形面積．練透核心考點1．已知的三個頂點分別是A（4，0），B（6，6），C（0，2）．(1)求BC邊上的高所在直線的方程；(2)求AB邊的垂直平分線所在直線的方程．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）邊所在的直線的斜率，因為邊上的高與垂直，所以邊上的高所在直線的斜率為．又邊上的高經過點，所以邊上的高所在的直線方程為，即；（2）邊所在的直線的斜率，所以邊的垂直平分線的斜率為，邊中點E的坐標是，即，所以AC邊的垂直平分線的方程是即．2．已知的三頂點是，，，直線平行于，交，分別于，，且、分別是、的中點．求：(1)邊上的高所在直線的方程．(2)直線的方程．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）在中，，，，則直線AB的斜率為，于是得邊上的高所在直線斜率為，其方程為：，即，所以邊上的高所在直線的方程是：.（2）因直線平行于，則直線的斜率為，又邊的中點在直線上，于是得直線的方程為：，即，所以直線的方程為.第01講直線的方程1．已知點，則直線的傾斜角為（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】解析：，又因為所以，故選：B.2．已知直線經過，兩點，則直線的斜率為（

）A．3B．C．1D．【答案】D【詳解】因為直線經過，兩點，所以直線的斜率為，故選：D．3．已知直線l的傾斜角，在y軸上的截距為，則此直線方程為（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】因為直線l的傾斜角，則直線的斜率，所以直線方程為.故選：C.4．直線恒過定點（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】將變形為：，令且，解得，所以直線恒過定點.故選：A5．過點，且與原點距離最遠的直線方程為（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】當直線與垂直時，此時原點到直線的距離最大，,所以所求直線斜率為，由點斜式可得直線方程為，即，故選：C6．已知點和，直線與線段相交，則實數的取值范圍是（

）A．或B．C．D．【答案】A【詳解】直線方程可整理為：，則直線恒過定點，，，直線與線段相交，直線的斜率或.故選：A.7．若直線：與曲線：有兩個交點，則實數的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】∵直線l：恒過定點曲線C：即：∴曲線C表示：以（1，1）為圓心，1為半徑的的那部分圓.∵直線l與曲線C有兩個交點，∴如圖所示，當過點M的直線與圖中這部分圓相切時有1個交點，此時解得：當過點M的直線也過點時有2個交點，此時∴故選：B.8.與兩坐標軸圍成的三角形面積為4，且斜率為的直線l的方程為．【答案】【詳解】設直線l的方程為，令，可得；令，可得；由題意可得：，解得，所以直線l的方程為.故答案為：.9.已知直線，.(1)證明直線l過定點A，并求出點A的坐標；(2)在（1）的條件下，若直線過點A，且在y軸上的截距是在x軸上的截距的，求直線的方程.【答案】(1)定點A的坐標為；(2)或【詳解】（1）直線可化為，則，解得，直線l過定點，且定點A的坐標為；（2）直線過點，且在y軸上的截距是在x軸上的截距的，則當直線過坐標原點時，符合題意，此時直線方程為，即；當直線的橫縱截距均不為零時，設直線的方程為，代入點，得，解得，此時直線的方程為，即，綜上，直線的方程為或.10.在平面直