第第頁第02講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和第一部分：知識點(diǎn)必背1.等差數(shù)列的概念(1)定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母表示．?dāng)?shù)學(xué)語言表示為()(或者），為常數(shù)．(2)等差中項(xiàng)：若，，成等差數(shù)列，則叫做和的等差中項(xiàng)，且.注：證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列可以使用①定義法：()(或者）②等差中項(xiàng)法：2.等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)若等差數(shù)列的首項(xiàng)是，公差是，則其通項(xiàng)公式為，可推廣為(*)．(2)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式(其中)．3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)已知為等差數(shù)列，為公差，為該數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)等差數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，()．特別地，若，則()．(2)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列，即，，，…仍是等差數(shù)列，公差為()．(3)也成等差數(shù)列，其首項(xiàng)與首項(xiàng)相同，公差為.(4)，，…也成等差數(shù)列，公差為.（5）若數(shù)列,均為等差數(shù)列且其前項(xiàng)和分別為,,則4.等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系(1)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系可化為的形式．當(dāng)時(shí)，是關(guān)于的一次函數(shù)；當(dāng)時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列；當(dāng)時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列．(2)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可變形為.當(dāng)時(shí)，它是關(guān)于的二次函數(shù)，表示為(，為常數(shù))．高頻考點(diǎn)一：等差數(shù)列基本量的運(yùn)算例題1．已知等差數(shù)列的前8項(xiàng)和為68，，則（

）A．300 B．298 C．295 D．296【答案】C【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)榈炔顢?shù)列的前8項(xiàng)和為，可得，即，即，又由，可得，聯(lián)立方程組，解得，所以.故選：C.例題2．已知等差數(shù)列{an}中，，，試判斷153是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，如果是，是第幾項(xiàng)？【答案】45【詳解】由題意得，解得，令，得,所以153是這個(gè)數(shù)列的第45項(xiàng).練透核心考點(diǎn)1．在數(shù)列中，，，則的值為（

）A．96 B．98 C．100 D．102【答案】D【詳解】因?yàn)?，可得?shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，所以.故選：D.2．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A．30 B．28 C．26 D．13【答案】C【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，，，所以.故選：C.高頻考點(diǎn)二：等差數(shù)列的判斷與證明角度1：定義法證明或判斷例題1．?dāng)?shù)列中，，且，則這個(gè)數(shù)列的前20項(xiàng)的和為（

）A．495 B．765 C．450 D．120【答案】C【詳解】因?yàn)樵跀?shù)列中，，且，即所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和.故選：C.例題2．已知數(shù)列中，，．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，即，所以，即?shù)列是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列.（2）由（1）可知，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，所以，所以.角度2：等差中項(xiàng)法證明或判斷例題1．已知數(shù)列滿足：.(1)求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）所以數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.例題2．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，..(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，為等差數(shù)列，設(shè)公差為，又，，；角度3：前項(xiàng)和形如的形式例題1．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)，【詳解】（1）因?yàn)棰?，所以時(shí)，②，由①②相減，可得，，當(dāng)時(shí)，，滿足，

故的通項(xiàng)公式為，．例題2．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求及數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的最小值及對應(yīng)的的值．【答案】(1)，(2)，n＝8或n＝9【詳解】（1）由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可知，所以k＝0，即，所以，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)n＝1時(shí)也符合上式，故．（2）由（1）可得，所以是關(guān)于n的二次函數(shù)，又，所以當(dāng)n＝8或n＝9時(shí)，取得最小值，故．練透核心考點(diǎn)二1．已知，則______．【答案】100【詳解】由可知是一個(gè)等差數(shù)列，且公差為，首項(xiàng)為19，所以，故答案為：1002．已如數(shù)列的前項(xiàng)和為，，當(dāng)時(shí)，．(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和為．【答案】(1)證明見解析，(2)【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，由，得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．所以，即．（2）解：由（1）知，所以，①所以，②①②得，所以．3．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)橐矟M足，所以通項(xiàng)公式為．高頻考點(diǎn)三：等差數(shù)列的性質(zhì)例題1．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．則（

）A．29 B．32 C．35 D．38【答案】B【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，則，可得，設(shè)等差數(shù)列的公差為，可得，所以.故選：B.例題2．在等差數(shù)列中，是方程的根，則＝________.【答案】3【詳解】由是方程的根得＝3.又?jǐn)?shù)列為等差數(shù)列，∴＝＝3.故答案為：3例題3．已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.若，，則當(dāng)取最大值時(shí)，的值為___________.【答案】6【詳解】因?yàn)?，所以，又，所?，所以，則，故答案為：6.練透核心考點(diǎn)三1．已知等差數(shù)列中，，則（

）A．30 B．15 C．5 D．10【答案】B【詳解】∵數(shù)列為等差數(shù)列，，所以∴.故選：B2．若前項(xiàng)和為的等差數(shù)列滿足，則（

）A．46 B．48 C．50 D．52【答案】C【詳解】由，有，根據(jù)等差數(shù)量性質(zhì)可知，所以，故，所以，所以.故選：C.高頻考點(diǎn)四：等差數(shù)列的單調(diào)性例題1．設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，都有，若，則（

）A．的最小值是 B．的最小值是C．的最大值是 D．的最大值是【答案】C【詳解】由得，∴數(shù)列為遞減的等差數(shù)列，∵，∴，，∴當(dāng)且時(shí)，，當(dāng)且時(shí)，，∴有最大值，最大值為.故選：C.例題2．設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則___________，若，則使得不等式成立的最小整數(shù)___________.【答案】613【詳解】因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所以，所以為遞減數(shù)列，又，，所以.故答案為：6；13．練透核心考點(diǎn)1．等差數(shù)列是遞增數(shù)列，且公差為，滿足，前項(xiàng)和為，下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．當(dāng)時(shí)最小 D．時(shí)的最小值為【答案】C【詳解】對于A選項(xiàng)，因?yàn)榈炔顢?shù)列是遞增數(shù)列，則，A對；對于B選項(xiàng)，因?yàn)椋?，可得，B對；對于C選項(xiàng)，，所以，當(dāng)或時(shí)，最小，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，，因?yàn)?，解得，故時(shí)的最小值為，D對.故選：C.2．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，當(dāng)取最大值時(shí)的值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【詳解】，所以，又，故，故公差，所以是遞減數(shù)列，前9項(xiàng)為正，其余項(xiàng)為負(fù)，即時(shí)，取最大值.故選：C.高頻考點(diǎn)五：等差數(shù)列的前項(xiàng)和角度1：等差數(shù)列的項(xiàng)和的基本量計(jì)算例題1．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．44 B．48 C．55 D．72【答案】A【詳解】設(shè)的公差為d，則，即，則，故選：A.例題2．若數(shù)列為等差數(shù)列，且，，則該數(shù)列的前項(xiàng)和為_________．【答案】【詳解】由題意數(shù)列為等差數(shù)列，且，，設(shè)數(shù)列公差為d，則，解得，故，故答案為：角度2：含絕對值的等差數(shù)列的項(xiàng)和例題1．已知在前項(xiàng)和為的等差數(shù)列中，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前20項(xiàng)和．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）由，則，由，則，所以，即，故，則.（2）由（1）知：，可得，即，故時(shí)，所以.角度3：等差數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)（偶數(shù)項(xiàng)）的和例題1．已知某等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，前三項(xiàng)與最后三項(xiàng)這六項(xiàng)之和為，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由已知，，所以，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為，于是可得.故選：A.例題2．等差數(shù)列共有項(xiàng)，所有的奇數(shù)項(xiàng)之和為，所有的偶數(shù)項(xiàng)之和為，則等于________．【答案】【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列共有項(xiàng)，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為，所以，，解得.故答案為：.練透核心考點(diǎn)五1．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由得：，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，.故選：C.2．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則_______．【答案】666【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由得，解得，又，所以，由可得，所以.故答案為：666.3．在項(xiàng)數(shù)為2n＋1的等差數(shù)列中，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為165，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為150，則n等于（

）A．9B．10C．11D．12【答案】B【詳解】分別設(shè)該數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和分別為∴，∴，∴n＝10，故選:B.4．已知等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項(xiàng)之和為，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為，則該數(shù)列的中間項(xiàng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)等差數(shù)列共有項(xiàng)，則，，中間項(xiàng)為，故，，故選：B.5．已知在等差數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，求.【答案】(1)；(2)【詳解】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以，.（2）解：.因此，.6．在等差數(shù)列中，，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，解得，．所以．由得，即數(shù)列的前5項(xiàng)為正，其余各項(xiàng)為負(fù)．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和．所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即．高頻考點(diǎn)六：等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)角度1：等差數(shù)列的片段和性質(zhì)例題1．等差數(shù)列前項(xiàng)的和為，前項(xiàng)的和為，則它的前項(xiàng)的和為（

）A．130 B．170 C．210 D．260【答案】C【詳解】利用等差數(shù)列的性質(zhì)：成等差數(shù)列，所以，即，解得.故選：C.例題2．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知、、、成等差數(shù)列，∵，即，，∴，，∴，，∴.故選：A.角度2：兩個(gè)等差數(shù)列前項(xiàng)和的比的問題例題1．等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，且，則（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【詳解】∵，∴由等差數(shù)列的性質(zhì)及等差數(shù)列的求和公式可得，.故選：B.例題2．已知等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】即，又等差數(shù)列的前項(xiàng)和形式滿足，故.則，故.故選：A練透核心考點(diǎn)六1．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則等于（

）A．9 B．11 C．13 D．25【答案】B【詳解】設(shè)公差為，，因?yàn)?，，所以，故選:B.2．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和記為，且，，則=（

）A．70 B．90 C．100 D．120【答案】D【詳解】在等差數(shù)列中，成等差數(shù)列，所以，則，即.故選：D.3．若等差數(shù)列和的前項(xiàng)的和分別是和，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)楹褪堑炔顢?shù)列,故故選:C4．已知兩個(gè)等差數(shù)列{}和}的前n項(xiàng)和分別為和，且，則的值為（）A． B． C． D．2【答案】A【詳解】因等差數(shù)列前n項(xiàng)和為關(guān)于n的不含常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)，又，則可設(shè)，，則.故選：A5．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則___________【答案】【詳解】由題設(shè)成等差數(shù)列，所以，則，所以.故答案為：6．設(shè)等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，若，則________．【答案】【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：第02講等差數(shù)列及其前項(xiàng)和1．古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)．如將一定數(shù)目的點(diǎn)在等距離的排列下可以形成一個(gè)等邊三角形，這樣的數(shù)被稱為三角形數(shù)．如圖所示，三角形數(shù)，，，……在這個(gè)自然數(shù)中三角形數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意知，，……可歸納為，則，，故在中三角形數(shù)的個(gè)數(shù)為個(gè).故選：A．2．若一個(gè)等差數(shù)列的前7項(xiàng)和為21，則該等差數(shù)列的第4項(xiàng)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【詳解】因?yàn)榈?項(xiàng)為該等差數(shù)列前7項(xiàng)的中間項(xiàng)，所以，故選：B.3．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且滿足，，則的值為（

）A．2033 B．2123 C．123 D．0【答案】D【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，故選：D.4．設(shè)為正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，可得，可得，又由且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號成立，所以的最小值為.故選：D.5．已知等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為，，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，得，.故選：B.6．設(shè)等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，.若，則______【答案】/0.4【詳解】因?yàn)?，，所?故答案為：7．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由，兩式相減，得．所以數(shù)列從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為，因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，，顯然不適合，故；（2）因?yàn)?，，?shù)列從第三項(xiàng)