專題22有理數(shù)及其運算章末訓練注意事項：本試卷滿分120分，考試時間90分鐘，試題共26題．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2023·河南信陽·?？既＃?023全國“兩會”政府工作報告中指出：我國糧食產(chǎn)量連年穩(wěn)定在萬億斤以上．其中數(shù)據(jù)“萬億”用科學記數(shù)法可表示為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】科學記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，n為整數(shù)，確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．【詳解】解：數(shù)據(jù)“萬億”用科學記數(shù)法可表示為，故選：B【點睛】本題主要考查了科學記數(shù)法，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握科學記數(shù)法的定義．2．（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）大雪，是二十四節(jié)氣中的第二十一個節(jié)氣．大雪標志著仲冬時節(jié)正式開始．如圖是今年大雪節(jié)氣（12月7日）孝義市的天氣預(yù)報圖，這天的氣溫為，孝義市這天的最高氣溫與最低氣溫的溫差是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】直接用最高氣溫減去最低氣溫即可得到答案．【詳解】解：，∴孝義這天的最高氣溫與最低氣溫的溫差是，故選：A．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)減法的實際應(yīng)用，正確計算是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·廣東茂名·七年級?？计谥校┤魧崝?shù)、在數(shù)軸上的位置如下圖所示，以下說法正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由圖可判斷，再逐項計算，即可解答．【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸可知：，∴，，．所以只有選項D成立．故選：D．【點睛】此題考查了數(shù)軸的有關(guān)知識，有理數(shù)的加法與乘法運算，利用數(shù)形結(jié)合思想，可以解決此類問題．數(shù)軸上，原點左邊的點表示的數(shù)是負數(shù)，原點右邊的點表示的數(shù)是正數(shù)．4．（2023·河北廊坊·?？既＃┤鐖D，數(shù)軸上兩點、所表示的數(shù)分別為、，則下列各數(shù)中最大的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意知，，，則，，，，然后比較作答即可．【詳解】解：由題意知，，，∴，，，，∴最大的為，故選：D．【點睛】本題考查了根據(jù)點在數(shù)軸的位置判斷式子的正負．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握．5．（2022秋·廣東韶關(guān)·七年級?？计谥校τ谌我鈱崝?shù)，通常用表示不超過的最大整數(shù)，如，下列結(jié)論正確的是（

）①

②

③

④A．①② B．②③ C．①③ D．③④【答案】C【分析】根據(jù)符號[x]表示不超過x的最大整數(shù)，依次判斷可得答案．【詳解】解：由題意可得，[-3]=-3，故①正確；[-2.9]=-3，故②錯誤；[0.9]=0，故③正確；當x為整數(shù)時，[x]+[-x]=x+（-x）=0，當x為小數(shù)時，如x=1.2，則[x]+[-x]=1+（-2）=-1≠0，故④錯誤；故選：C．【點睛】本題考查了有理數(shù)的大小比較，解答本題的關(guān)鍵是理解題目中的新定義．6．（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）同學們都熟悉“幻方”游戲，現(xiàn)將“幻方”游戲稍作改進變成“幻圓”游戲．將，2，，，，，，分別填入圖中的圓圈內(nèi)，使橫、豎以及內(nèi)外兩圈上的4個數(shù)字之和都相等，則的值為（

）

A．1或 B．或 C．或 D．1或【答案】C【分析】由于八個數(shù)的和是4，所以需滿足兩個圈的和是2，橫、豎的和也是2．列等式可得結(jié)論．【詳解】解：設(shè)小圈上的數(shù)為c，大圈上的數(shù)為d，又，∵橫、豎以及內(nèi)外兩圈上的4個數(shù)字之和都相等，∴兩個圈的和是2，橫、豎的和也是2，

則，得，，得，，∵當時，，則，當時，，則，故選：C．【點睛】本題考查了有理數(shù)的加法．解決本題的關(guān)鍵是知道橫豎兩個圈的和都是2．7．（2023秋·山西晉中·七年級統(tǒng)考期末）計算，運算中運用的運算律為（

）．A．乘法交換律B．乘法分配律C．乘法結(jié)合律D．乘法交換律和乘法結(jié)合律【答案】D【分析】解答時，運用了乘法交換律和乘法結(jié)合律．【詳解】∵運用的運算律為乘法交換律和乘法結(jié)合律，故選D．【點睛】本題考查了用運算律進行有理運算，熟練掌握運算律的使用規(guī)律是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·廣東梅州·七年級校考階段練習）已知是正實數(shù)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將式子轉(zhuǎn)化為按值大小排序排列，觀察發(fā)現(xiàn)，取最中間的值就是式子的最小值，即可求出答案.【詳解】解：當時，有最小值.故選：B.【點睛】本題考查了絕對值的化簡計算，解題的關(guān)鍵在于明確絕對值的化簡法和明確式子中要求取得最小值的意思.9．（2022秋·廣東梅州·七年級?？茧A段練習）利用如圖1的二維碼可以進行身份識別，某校建立了一個身份識別系統(tǒng)，圖2是某個學生的識別圖案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，將第一行數(shù)字從左到右依次記為,那么可以轉(zhuǎn)換為該生所在班級序號，其序號為，如圖2第一行數(shù)字從左到右依次為,序號為，表示該生為5班學生，那么表示7班學生的識別圖案是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)班級序號的計算方法一一進行計算即可．【詳解】A.第一行數(shù)字從左到右依次為1，0，1，0,序號為，表示該生為10班學生；B.第一行數(shù)字從左到右依次為0，1，1，1，序號為，表示該生為7班學生；C.第一行數(shù)字從左到右依次為1，0，0，1，序號為，表示該生為9班學生；D.第一行數(shù)字從左到右依次為0，1，1，0，序號為，表示該生為6班學生．故選：B．【點睛】本題屬于新定義題目，主要考查了含乘方的有理數(shù)的混合運算，讀懂題目中班級序號的計算方法是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·廣東江門·七年級統(tǒng)考期末）已知有理數(shù)滿足：．如圖，在數(shù)軸上，點是原點，點所對應(yīng)的數(shù)是，線段在直線上運動（點在點的左側(cè)），，下列結(jié)論:①；②當點與點重合時，；③當點與點重合時，若點是線段延長線上的點，則；④在線段運動過程中，若為線段的中點，為線段的中點，則線段的長度不變．其中正確的是（

）A．①③ B．①④ C．①②③④ D．①③④【答案】D【分析】根據(jù)平方式和絕對值的非負性求出a和b的值，然后根據(jù)數(shù)軸上兩點之間距離的計算方法和中點的表示方法去證明命題的正確性．【詳解】解：∵，，且，∴，，解得，，故①正確；當點與點重合時，∵，，∴，故②錯誤；設(shè)點P表示的數(shù)是，當點與點重合時，點B表示的數(shù)是2，，，，∴，故③正確；設(shè)點B表示的數(shù)是，則點C表示的數(shù)是，∵M是OB的中點，∴點M表示的數(shù)是，∵N是AC的中點，∴點N表示的數(shù)是，則，故④正確．故選：D．【點睛】本題考查數(shù)軸的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)軸上兩點之間距離的求解，中點的表示方法．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）11．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）320000精確到千位應(yīng)記為_________；有_________個有效數(shù)字；保留三個有效數(shù)字應(yīng)記為_________．【答案】3【分析】近似數(shù)精確到哪一位，應(yīng)當看末位數(shù)字實際在哪一位，根據(jù)有效數(shù)字的定義求解即可．【詳解】解：，有1、0、2三個有效數(shù)字；保留三個有效數(shù)字應(yīng)記為．故答案為：，3，．【點睛】本題考查了近似數(shù)和有效數(shù)字，對于用科學記數(shù)法表示的數(shù)，有效數(shù)字的計算方法以及與精確到哪一位是需要識記的內(nèi)容，經(jīng)常會出錯．12．（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）大米包裝袋上標注著“凈含量：”，則該袋大米的凈含量最低值是______kg．【答案】【分析】根據(jù)正負數(shù)的意義計算即可．【詳解】∵，∴該袋大米的凈含量最低值是．故答案為：．【點睛】本題考查了有理數(shù)的減法，正負數(shù)的意義，注意單位的一致性是解題的關(guān)鍵．13．（2023秋·廣東云浮·七年級?？计谀┍容^大小：_________．（填“>”“<”或“=”）【答案】【分析】分別將兩個數(shù)化簡后，利用有理數(shù)比較大小的法則進行比較．【詳解】解：∵，，又∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查有理數(shù)大小的比較，相反數(shù)的意義，絕對值的意義．將要比較的兩數(shù)進行化簡是解題的關(guān)鍵．14．（2023春·湖南衡陽·七年級?？计谀┮阎?，滿足，則式子的值是________．【答案】1【分析】根據(jù)絕對值和平方式的非負性求出a、b，再代值求解即可．【詳解】解：∵，，，∴，，解得：，∴，故答案為：．【點睛】本題考查絕對值和平方式的非負性、有理數(shù)的混合運算和代數(shù)式求值，理解非負數(shù)的性質(zhì)并正確求解是解答的關(guān)鍵．15．（2023·江蘇·七年級假期作業(yè)）若，那么_____．【答案】7【分析】首先根據(jù)a的取值范圍確定和的符號，然后去絕對值計算即可．【詳解】解：，，，，故答案為：7．【點睛】本題考查了絕對值的知識，解題關(guān)鍵是確定絕對值里面的代數(shù)式的符號．16．（2022秋·湖北十堰·七年級十堰市實驗中學?？茧A段練習）對于任意的有理數(shù)a，b，定義新運算：，如．試計算：___________．【答案】373【分析】根據(jù)轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的混合運算求解即可．【詳解】∵，∴故答案為：373【點睛】本題考查了新定義，有理數(shù)的混合運算，正確理解新定義是解答本題的關(guān)鍵．17．（2022秋·湖南衡陽·七年級統(tǒng)考期末）若的最小值為3，則的值為______．【答案】或【分析】根據(jù)代數(shù)式的最小值，得到關(guān)于的方程，求出的值即可．【詳解】表示數(shù)軸上到與到的距離之和，且其最小值為3，當介于與之間時，與的距離為3，即若，解得；若，解得故答案為：2或．【點睛】本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．18．（2023·北京·?？寄M預(yù)測）現(xiàn)在有三個倉庫、、，分別存有噸、噸、噸某原材料；要將這種原材料運往三個加工廠、、，每個加工廠都需要噸原材料．從每個倉庫運送噸材料到每個加工廠的成本如下表所示（單位：元噸）：（）（）（）現(xiàn)在要讓每個倉庫清倉、每個加工廠都得到足夠的材料，（1）如果從運噸到、運噸到，從運噸到，那么從需要運__________噸到；（2）考慮各種方案，運費最低為__________元．【答案】【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合表格，根據(jù)有理數(shù)的運算法則進行計算即可求解；（2）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，尋求最優(yōu)解即可求解．【詳解】解：（1）如果從運噸到、運噸到，從運噸到，那么從需要運噸到，故答案為：；（2）解：運費如下：（）（）（）運輸方案一：（）7（）102（）38運費為：運輸方案二：（）7（）210（）38運費為：運輸方案三：（）7（）309（）0101運費為：故答案為：40．【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，找到最優(yōu)解是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共8小題，共66分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（2023春·黑龍江綏化·六年級綏化市第八中學校?？计谥校┯嬎闩c化簡：(1)；(2)(3)；(4)．【答案】(1)9(2)0(3)26(4)【分析】（1）（2）根據(jù)有理數(shù)的加減計算法則求解即可；（3）根據(jù)有理數(shù)的乘法分配律進行求解即可；（4）按照先計算乘方，在計算乘除法，最后計算加減法，有括號先計算括號的運算順序求解即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的加減計算，有理數(shù)乘法分配律，含乘方的有理數(shù)混合計算，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．20．（2023春·黑龍江哈爾濱·六年級統(tǒng)考期中）某自行車廠一周計劃生產(chǎn)700輛自行車，平均每天生產(chǎn)100輛，由于各種原因?qū)嶋H每天生產(chǎn)量與計劃量相比有出入．下表是某周的生產(chǎn)情況（超產(chǎn)為正、減產(chǎn)為負）：星期一二三四五六日增減(1)根據(jù)記錄可知前四天共生產(chǎn)輛；(2)產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)輛；(3)該廠實行計件工資制，每周生產(chǎn)一輛自行車給工人60元，超額完成任務(wù)超額部分每輛再獎15元，少生產(chǎn)一輛扣20元，那么該廠工人這一周的工資總額是多少元？【答案】(1)412(2)26(3)42675【分析】（1）前四個數(shù)據(jù)的和加上原計劃每天生產(chǎn)的數(shù)量乘以4，即可得解；（2）表格中數(shù)據(jù)最大的數(shù)減去最小的數(shù)即可得解；（3）先求出生產(chǎn)自行車的總數(shù)量，再根據(jù)題意，列出算式進行計算即可．【詳解】（1）解：（輛）；故答案為：；（2）解：產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)（輛），故答案為：．（3）解：根據(jù)圖表信息，本周生產(chǎn)的車輛共計：．（元）．答：該廠工人這一周的工資總額是42675元．【點睛】本題考查正負數(shù)的意義，有理數(shù)運算的實際應(yīng)用．讀懂題意，正確的列出算式，是解題的關(guān)鍵．21．（2022秋·貴州黔南·七年級統(tǒng)考期中）閱讀下面的解題過程，并用解題過程中的解題方法解決問題．示例：計算：．解：原式以上解題方法叫做拆項法．請你利用拆項法計算下面式子的值．【答案】【分析】利用題目提供的方法計算即可．【詳解】解：【點睛】本題考查了有理數(shù)的加減混合運算，正確理解題干提供的計算方法是解答本題的關(guān)鍵．22．（2022秋·河南南陽·七年級?？茧A段練習）根據(jù)下面給出的數(shù)軸，解答下面的問題：(1)請你根據(jù)圖中、兩點的位置，分別寫出它們所表示的有理數(shù)：：______；：______；(2)若將數(shù)軸折疊，使得點與表示的點重合，則點與數(shù)______表示的點重合；(3)若數(shù)軸上、兩點之間的距離為（在的左側(cè)），且、兩點經(jīng)過（2）中折疊后互相重合，則、兩點表示的數(shù)分別是：：______：______．【答案】(1)，(2)(3)，【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸概念直接讀數(shù)即可；（2）判斷出對稱點進行分析即可；（3）根據(jù)對稱點為進行分析即可．【詳解】（1）解：根據(jù)數(shù)軸可以判斷出：點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為．故答案為：，．（2）解：由題意可知，數(shù)軸是在處對折，關(guān)于的對稱點為．故答案為：．（3）解：數(shù)軸是在處對折，點、關(guān)于對稱，，點距的長度為，點的距離的長度為，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為．故答案為：，．【點睛】本題考查數(shù)軸和有理數(shù)，判斷出對稱點是解題的關(guān)鍵．23．（2023春·全國·七年級期中）閱讀材料：求的值．解：設(shè)，將等式兩邊同時乘，得．將下式減去上式，得即，即仿照此法計算：(1)(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）仿照閱讀材料中的方法求出所求即可；（2）仿照閱讀材料中的方法求出所求即可．【詳解】（1）解：設(shè)，兩邊乘以3得：，將下式減去上式，得即，即；（2）設(shè)，兩邊乘以得：，將下式減去上式得：解得：，即．【點睛】此題考查的是探索運算規(guī)律題，根據(jù)已知材料中的方法，探索出運算規(guī)律是解決此題的關(guān)鍵．24．（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）把幾個數(shù)用大括號圍起來，中間用逗號斷開，如：、，我們稱之為集合，其中的每個數(shù)稱為該集合的元素．如果一個所有元素均為有理數(shù)的集合滿足：當有理數(shù)a是集合的元素時，也必是這個集合的元素，這樣的集合我們稱為好的集合．例如集合就是一個好的集合．(1)集合好的集合，集合好的集合（兩空均填“是”或“不是”）；(2)若一個好的集合中最大的一個元素為4001，則該集合是否存在最小的元素？如果存在，請直接寫出答案，否則說明理由；(3)若一個好的集合所有元素之和為整數(shù)M，且，則該集合共有幾個元素？說明你的理由．【答案】(1)不是，是(2)存在，(3)22個，見解析【分析】（1）據(jù)有理數(shù)a是集合的元素時，也必是這個集合的元素，這樣的集合我們稱為好的集合，從而可以可解答本題；（2）根據(jù)，如果a的值越大，則的值越小，從而可以解答本題；（3）據(jù)題意可知好的集合都是成對出現(xiàn)的，并且這對對應(yīng)元素的和為2015，然后通過估算即可解答本題．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得，，而集合中沒有元素0，故不是好的集合；∵，，∴集合是好的集合．故答案為：不是，是．（2）解：一個好的集合中最大的一個元素為4001，則該集合存在最小的元素，該集合最小的元素是．∵中a的值越大，則的值越小，∴一個好的集合中最大的一個元素為4001，則最小的元素為：．（3）解：該集合共有22個元素．理由：∵在好的集合中，如果一個元素為a，則另一個元素為，∴好的集合中的元素一定是偶數(shù)個．∵好的集合中的每一對對應(yīng)元素的和為：，又∵一個好的集合所有元素之和為整數(shù)M，且，∴這個好的集合中的元素個數(shù)為：個．【點睛】本題考查了有理數(shù)的知識點，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握有理數(shù)的性質(zhì)．25．（2023·江蘇·七年級期中）【定義新知】我們知道：式子的幾何意義是數(shù)軸上表示有理數(shù)x的點與表示有理數(shù)3的點之間的距離，因此，若點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，則A、B兩點之間的距離．請根據(jù)數(shù)軸解決以下問題：(1)式子在數(shù)軸上的意義是；(2)當取最小值時，x可以取整數(shù)；(3)最大值為；(4)的最小值為；【解決問題】(5)如圖，一條筆直的公路邊有四個居民區(qū)A、B、C、D和市民廣場O，居民區(qū)A、B、C、D分別位于市民廣場左側(cè)，左側(cè)，右側(cè)，右側(cè)．現(xiàn)需要在該公路邊上建一個便民服務(wù)點P，那么這個便民服務(wù)點P建在何處，能使服務(wù)點P到四個居民區(qū)A、B、C、D總路程最短？最短路程是多少？試說明理由．【答案】(1)數(shù)軸上表示有理數(shù)x的點與表示有理數(shù)－2的點之間的距離(2)-1，0，1，2，3(3)4(4)7(5)便民服務(wù)點P建在點B或點C處，能使服務(wù)點P到四個居民區(qū)A、B、C、D總路程最短，最短距離是【分析】（1）根據(jù)題意即可得出結(jié)論；（2）的最小值表示有理數(shù)x的點到的點的距離與表示x的點到3的點的距離之和，x應(yīng)該在和3之間的線段上，即可求出結(jié)果；（3）根據(jù)的幾何意義是表示x的點到的距離減去x到3的距離，可得時取得最大值，即可求出結(jié)果；（4）的幾何意義是表示x的點到的點和到的點和到1的點的距離之和，由題意即可求出結(jié)果；（5）設(shè)便民服務(wù)點P在數(shù)軸上表示x的點處，由題意可得點P到各點的距離之和即，求出最小值即可．【詳解】（1）解：由題意可知，式子在數(shù)軸上的意義是數(shù)軸上表示有理數(shù)x的點與表示有理數(shù)的點之間的距離；故答案為：數(shù)軸上表示有理數(shù)x的點與表示有理數(shù)的點之間的距離．（2）解：根據(jù)題意可得，的幾何意義是數(shù)軸上表示有理數(shù)x到的距離與x到3的距離之和，∴當時，取最小值，即當x可以取整數(shù)，0，1，2，3；故答案為：，0，1，2，3．（3）解：的幾何意義是表示x的點到的點的距離減去表示x的點到表示3的點的距離，時取得最大值，的最大值是：．（4）解：根據(jù)題意可得，的幾何意義是數(shù)軸上表示x的點到表示的點和到表示的點和表示1的點的距離之和，當表示x的點在表示的點到表示1的點的線段上，有最小值，即，當時，的值最小，最小值為7；故答案為：7．（5）解：設(shè)便民服務(wù)點P在數(shù)軸上表示x的點處，根據(jù)題意可得，便民服務(wù)點到四點的距離為，當表示x的點在表示的點到表示3的點的線段上，有最小值，即，當時，取得最小值，此時，答：便民服務(wù)點P建在點B或點C處，能使服務(wù)點P到四個居民區(qū)A、B、C、D總路程最短，最短距離是．【點睛】本題考查了數(shù)軸表示數(shù)的意義和絕對值的意義，理解絕對值的意義是解題的關(guān)鍵．26．（2022秋·浙江寧波·七年級?？计谥校?shù)軸上點A表示，點B表示6，點C表示12，點D表示18．如圖，將數(shù)軸在原點O和點B、C處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”．在“折線數(shù)軸”上，把兩點所對應(yīng)的兩數(shù)之差的絕對值叫這兩點間的和諧距離．例如，點A和點D在折線數(shù)軸上的和諧距離為個單位長度．動點M從點A出發(fā)，以4個單位/秒的速度沿著折線數(shù)軸的正方向運動，從點O運動到點C期間速度變?yōu)樵瓉淼囊话?，過點C后繼續(xù)以原來的速度向終點D運動；點M從點A出發(fā)的同時，點N從點D出發(fā)，一直以3個單位/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”負方向向終點A運動，其中一點到達終點時，兩點都停止運動．設(shè)運動的時間為t秒．(1)當秒時，M、N兩點在折線數(shù)軸上的和諧距離為__________；(2)當點M