《萬有引力與宇宙航行復(fù)習(xí)課》高中物理一、開普勒的行星運動規(guī)律開普勒第一定律：所有的行星圍繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在所有橢圓一個焦點上。開普勒第二定律：對于每一個行星而言，太陽和行星的連線在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。開普勒第三定律：所有行量軌道半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等。

kT

2a3比值k是一個與太陽質(zhì)量有關(guān),與行星無關(guān)的常量R3T

2

k12R

3 R

3T

2 T

2

1

2 22R TRT(

1

)3

(

1

)2高中物理二、萬有引力定律宇宙間的一切物體都是相互吸引的，兩個物體間的引力大小與它們的質(zhì)量的乘積成正比，跟它們距離的平方r

2成反比。 m

mF

G

1 2卡文迪什扭秤實驗G

6.67

10

11

N

m2

/kg2萬有引力定律的應(yīng)用思路一：天體表面重力近似等于萬有引力思路二：天體運動中，萬有引力提供物體圓周運動向心力高中物理 解決天體問題的兩條基本思路T

24

2MmGr

2v2r

mn)r

ma

m

2r

m(由環(huán)繞天體v、ω、r中任意兩個量可求解中心天體質(zhì)量GMm

mgR2MmR

2F

G引nF

m

2

rωMRFn

mmg1、引力和重力rF引高中物理 三、萬有引力在天文學(xué)上的應(yīng)用(1)當(dāng)物體在赤道上:F引、G、Fn三力同向此時向心力達到最大值，重力達到最小值(2)當(dāng)物體在兩極時:Fn=0，F(xiàn)引

=G此時重力等于萬有引力，重力達到最大值F引Fnmg高中物理對萬有引力和重力的關(guān)系要注意以下幾點：(1)在地面上，忽略地球自轉(zhuǎn)時，認為物體的向心力為零，各位置均有N 向 N2．在地球上所有只在重力作用下的運動形式，如自由落體運動、豎直上拋運動、平拋運動、斜拋運動等，其運動規(guī)律和研究方法同樣適用于在其他星球表面的同類運動的分析，只是當(dāng)?shù)刂亓铀俣热≈挡煌?。GMm

mg

；R2R2(2)若考慮地球自轉(zhuǎn)，對在赤道上的物體，有G

Mm

－F ＝F ，其中F 大小等于mg，對處于南北兩極的物體，則有

R

2

＝mg。G

Mm高中物理R

2g

GMMm(R

h)

2GM(R

h)

2G

mg

' g

'

GM

gR22、重力加速度g(1)天體表面的重力加速度為(2)離表面某一高度的物體的重力加速度(軌道重力加速度)—星球半徑—運行軌道注意：Rrh —離地面的高度(到地心的距離)rgR2

r(R

h)2GMm

mgR2高中物理3、由環(huán)繞天體求解中心天體的質(zhì)量及密度GT

24

2r

3TMmGr2)2

r M

2

m(VGT

2

3

當(dāng)環(huán)繞天體在中心天體的表面運行時GT

2R33

r

3

M

gR2GM

3g4

RG

r為環(huán)繞半徑R為中心天體的半徑r

=RV

4

R33RGMm

mg2Mmv2r rG

mGMrv

r

2GMr3GMm

m

2

r

高中物理4、環(huán)繞天體的繞行速度、角速度、周期與半徑的關(guān)系r

越大,v越小Gr

2Mm 4

2

m rT

2GM4

2r3T

r

2nG

Mm

mar

2a

GMr

越大,ω越小r

越大,T越大r

越大,a越小高中物理衛(wèi)星的環(huán)繞速度、角速度、周期與其質(zhì)量無關(guān)，僅由軌道半徑?jīng)Q定。離地面越高的衛(wèi)星，運行速度(v,ω)越小，向心加速度越小，周期越長。向高軌道發(fā)射衛(wèi)星所需要較大的發(fā)射速度，但高軌道的運行速度反而小。軌道越高，動能越小，勢能越大，機械能越大第一宇宙速度發(fā)射衛(wèi)星的最小發(fā)射速度衛(wèi)星繞地球做圓周運動最大環(huán)繞速度近地衛(wèi)星環(huán)繞速度5、宇宙速度（1）第一宇宙速度:v

=7.9km/s，是物體在地球表面做勻速圓周運動的速度,又叫環(huán)繞速度。（2）第二宇宙速度：v

=11.2km/s，是物體克服地球引力，永遠離開地球的最小發(fā)射速度，也稱為脫離速度。（3）第三宇宙速度：v

=16.7km/s，是物體掙脫太陽引力束縛，飛到太陽系外的最小發(fā)射速度。也成為逃逸速度。高中物理發(fā)射速度v運動情況v﹤7.9km/s物體落回地面v=7.9km/s物體在地面附近繞地做勻速圓周運動7.9km/s﹤v﹤11.2km/s物體繞地球運轉(zhuǎn)，運動軌跡是橢圓11.2km/s≤

v﹤16.7km/s物體繞太陽運動v≥16.7km/s物體飛出太陽系Mmv2G

mg

mR2

Rv

gRRGMv

Mmv2G

mR2

R第一宇宙速度GM

gR2高中物理6、衛(wèi)星的運行軌道①赤道軌道：衛(wèi)星軌道在赤道平面，衛(wèi)星始終處于赤道上方②極地軌道：衛(wèi)星軌道平面與赤道平面垂直，衛(wèi)星通過兩極上空③一般軌道：衛(wèi)星軌道和赤道成某一定角度。平面過球心同步衛(wèi)星同周期、同角速度、同頻率、同轉(zhuǎn)速、同高度、同線速度大小、同向心加速度大小、同繞行方向，同在赤道的正上方。 質(zhì)量不同，向心力不同高中物理r

2) rTGMm

m(2

2h

3.6

104

kmMmv2Gr

2

mr環(huán)繞方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同7、地球同步衛(wèi)星所謂同步衛(wèi)星，即與地球保持同步，周期同地球自轉(zhuǎn)周期相同(角速度相同)，且軌道面必須在赤道平面T

24hr

R

hGM

gR2v=3.1km/s高中物理8、赤道上物體、近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星ωRA BCB、C:a近>a同A、C:a近>

a同>

a赤綜上所述：v近>

v同>

v赤均為衛(wèi)星，同步衛(wèi)星軌道半徑大v近>v同 ω近>ω同角速度相同a同>a赤 v同>

v赤ω赤=ω同ω近>ω同=ω赤a近>a赤 v近>

v赤A、B: 半徑相同ω近>ω赤高中物內(nèi)理容赤道近地同步線速度v1

1Rv

GM2 Rv

GM

(

R

h)3 R

h 3v1

v3

v2 第一宇宙速度角速度

1

地

GM2 R3

GM3 地 (R

h)3

1

3

2向心加速度a

2

R1 1a

2

R2 2

GMR2a

2

(R

h)3 3

GM(R

h)2a1

a3

a2高中物理地球9、衛(wèi)星變軌軌道越高，速度越小軌道越低，速度越大當(dāng)衛(wèi)星由于某種原因速度突然改變時(開啟或關(guān)閉發(fā)動機或空氣阻力作用)，萬有引力不再等于向心力，衛(wèi)星將變軌運行：不足以提供向心力，衛(wèi)星將做離心運動，脫離原來的圓軌Mmv2(1)當(dāng)衛(wèi)星的速度突然增大時，Gr

2r

m

，即萬有引力GMr道，軌道半徑變大，當(dāng)衛(wèi)星進入新的軌道穩(wěn)定時由v

可知其運行速度比原軌道時減小。高中物理Mmv2(2)當(dāng)衛(wèi)星的速度突然減小時，G r2

m r ，即萬有引力GMr大于所需要的向心力，衛(wèi)星將做近心運動，脫離原來的圓軌道，軌道半徑變小，當(dāng)衛(wèi)星進入新的軌道穩(wěn)定時由

v

可知其運行速度比原軌道時增大。（3）衛(wèi)星變軌中物理量的比較a.速度：v2A＞v1A＞v3B＞v2B.b.加速度：a1A＝a2A>a2B＝a3B.c.周期：T1＜T2＜T3.d.能量：機械能E1<E3，動能E1>E3，勢能E1<E3高中物理10、雙星運動的特點繞公共圓心轉(zhuǎn)動的兩個星體組成的系統(tǒng)，我們稱之為雙星系統(tǒng)，

“雙星”是由兩顆繞著共同的中心旋轉(zhuǎn)的恒星組成。對于其中一顆來說，另一顆就是其“伴星”。1、兩顆恒星均圍繞共同的旋轉(zhuǎn)中心做勻速圓周運動。2、兩恒星之間萬有引力分別提供了兩恒星的向心力，即兩顆恒星受到的向心力大小相等。

m

2

r

m

2r1 1 2 2r2 m1r1

m2m1m2G(r

r

)21 2高中物理11、天體的追及相遇問題r

2（2）兩星追上或相距最近時，兩星運行的角度之差等于2π的整數(shù)倍；相距最遠時，兩星運行的角度之差等于π的奇數(shù)倍。衛(wèi)星與地面上物體追及(衛(wèi)星在地面上物體的正上方)時，要根據(jù)地面上物體與同步衛(wèi)星角速度相同的特點進行判斷。（1）根據(jù)

G

Mm＝mrω2，可判斷出誰的角速度大；高中物理AB衛(wèi)星“追擊”問題

某時刻兩衛(wèi)星相距最近(兩衛(wèi)星與地心共線)，經(jīng)過多長時間兩衛(wèi)星再次相距最近或最遠？BA

A

B

2

AB

A

B

TA TB2

2

t

t

2

At

Bt

2

At

Bt

TA TB2

2

t

t

探究一衛(wèi)星變軌問題情境導(dǎo)引右圖是嫦娥五號從地球上發(fā)射到繞月球運動的飛行示意圖,請思考:從繞地球運動的軌道上進入奔月軌道,飛船應(yīng)采取什么措施?從奔月軌道進入月球軌道,又采取什么措施呢?要點提示

從繞地球運動的軌道上加速,使飛船做離心運動,飛船轉(zhuǎn)移到奔月軌道;要進入月球軌道,飛船應(yīng)減速。知識歸納1.變軌問題概述

(1)穩(wěn)定運行衛(wèi)星繞天體穩(wěn)定運行時,萬有引力提供衛(wèi)星做圓周運動的向心力,即2.變軌問題的兩種常見形式(1)漸變由于某個因素的影響使衛(wèi)星的軌道半徑發(fā)生緩慢的變化,由于半徑變化緩慢,衛(wèi)星每一周的運動仍可以看成是勻速圓周運動。①關(guān)鍵要點:軌道半徑r減小(近心運動)。這種變軌運動的起因是阻力使衛(wèi)星速度減小,所需要的向心力減小了,而萬有引力大小沒有變,因此衛(wèi)星將做近心運動,即軌道半徑r將減小。②各個物理參量的變化:當(dāng)軌道半徑r減小時,衛(wèi)星線速度v、角速度ω、向心加速度a增大,周期T減小。(2)突變由于技術(shù)上的需要,有時要在適當(dāng)?shù)奈恢枚虝r間啟動飛行器上的發(fā)動機,使飛行器軌道發(fā)生突變,使其到達預(yù)定的軌道。發(fā)射同步衛(wèi)星時,通常先將衛(wèi)星發(fā)送到近地軌道Ⅰ,使其繞地球做勻速圓周運動,速率為v1,在P點第一次點火加速,在短時間內(nèi)將速率由v1增加到v2,使衛(wèi)星進入橢圓軌道Ⅱ;衛(wèi)星運行到遠地點Q時的速率為v3,此時進行第二次點火加速,在短時間內(nèi)將速率由v3增加到v4,使衛(wèi)星進入同步軌道Ⅲ,繞地球做勻速圓周運動。遷移應(yīng)用例1(多選)嫦娥一號衛(wèi)星從地球發(fā)射到月球過程的路線示意圖如圖所示。關(guān)于嫦娥一號的說法正確的是(

)A.在P點由a軌道轉(zhuǎn)變到b軌道時,速度必須變小B.在Q點由d軌道轉(zhuǎn)變到c軌道時,要加速才能實現(xiàn)(不計嫦娥一號的質(zhì)量變化)C.在b軌道上,P點速度比R點速度大D.嫦娥一號在a、b軌道上正常運行時,通過同一點P時,加速度相等答案

CD解析

衛(wèi)星在軌道a上的P點進入軌道b,需加速,使萬有引力小于需要的向心力而做離心運動,選項A錯誤;在Q點由d軌道轉(zhuǎn)移到c軌道時,必須減速,使萬有引力大于需要的向心力而做近心運動,選項B錯誤;根據(jù)開普勒第二定律知在b軌道上,P點速度比R點速度大,選項C正確;根據(jù)牛頓第二定律得

=ma,衛(wèi)星在a、b軌道上正常運行時,通過同一點P時加速度相等,選項D正確。規(guī)律方法

判斷衛(wèi)星變軌時速度、加速度變化情況的思路(1)判斷衛(wèi)星在不同圓軌道的運行速度大小時,可根據(jù)“越遠越慢”的規(guī)律判斷。(2)判斷衛(wèi)星在同一橢圓軌道上不同點的速度大小時,可根據(jù)開普勒行星運動第二定律判斷,即離中心天體越遠,速度越小。(3)判斷衛(wèi)星由圓軌道進入橢圓軌道或由橢圓軌道進入圓軌道時的速度大小如何變化時,可根據(jù)離心運動或近心運動的條件進行分析。變式訓(xùn)練12021年5月30日天舟二號貨運飛船與中國空間站天和號核心艙“溫柔”對接,形成完美合體,如圖所示。試分析:(1)為什么天舟二號飛船與天和號核心艙對接前不在同一軌道上?(2)天舟二號飛船與空間站對接后,空間站的周期會發(fā)生變化嗎?答案

見解析

解析

(1)飛船在較低軌道上加速,需要的向心力變大,但此高度萬有引力不變,故做離心運動,飛到較高的軌道與空間站對接。探究二雙星問題情境導(dǎo)引宇宙中兩顆靠得很近的天體構(gòu)成一個“雙星系統(tǒng)”,兩顆天體以它們連線上的一點為圓心,做勻速圓周運動,兩天體及圓心始終在同一條直線上。請思考:(1)“雙星系統(tǒng)”中的兩顆天體做圓周運動的向心力由什么力提供?(2)兩顆天體轉(zhuǎn)動的周期有什么關(guān)系?要點提示

(1)兩顆天體做圓周運動的向心力由它們之間的萬有引力提供。(2)因兩天體及圓心始終在同一條直線上,所以兩顆天體轉(zhuǎn)動的周期必定相同。知識歸納1.雙星模型如圖所示,宇宙中相距較近的兩個星球,它們離其他星球都較遠,因此其他星球?qū)λ鼈兊娜f有引力可以忽略不計。在這種情況下,它們將圍繞它們連線上的某一固定點做勻速圓周運動,這種結(jié)構(gòu)叫作“雙星”。2.雙星模型的特點(1)兩星的運行軌道為同心圓,圓心是它們之間連線上的某一點。

(3)兩星的運動周期、角速度都相同。(4)兩星的運動半徑之和等于它們之間的距離,即r1+r2=L。遷移應(yīng)用例2宇宙中兩個相距較近的天體稱為“雙星”,它們以兩者連線上的某一點為圓心做勻速圓周運動,但兩者不會因萬有引力的作用而吸引到一起。設(shè)兩者的質(zhì)量分別為m1和m2,兩者相距為L。求:(1)雙星的軌道半徑之比;(2)雙星的線速度之比;(3)雙星的角速度。解析

這兩顆星必須各自以一定的速度繞某一中心轉(zhuǎn)動才不至于因萬有引力作用而吸引在一起,從而保持兩星間距離L不變,且兩者做勻速圓周運動的角速度ω必須相同。如圖所示,兩者軌跡圓的圓心為O,圓半徑分別為R1和R2。由萬有引力提供向心力得規(guī)律方法

解決雙星問題的基本思路1.明確兩星做勻速圓周運動的圓心、半徑、向心力來源。2.由牛頓運動定律分別對兩星列向心力方程。3.利用兩星運動的特點,構(gòu)建兩星的角速度(或周期)、半徑、向心力之間的關(guān)系方程。注意:萬有引力定律表達式中的r表示雙星間的距離L,而不是軌道半徑(雙星中兩顆星的軌道半徑一般不同)。變式訓(xùn)練2銀河系的恒星中大約有四分之一是雙星,某雙星由質(zhì)量不等的星體S1和S2構(gòu)成,兩星在相互之間的萬有引力的作用下繞兩者連線上某一定點O做勻速圓周運動,如圖所示。由天文觀察測得其運動周期為T,S1到O點的距離為r1,S1和S2的距離為r,已知引力常量為G。由此可求出S1的質(zhì)量為(

)答案

A解析

雙星之間的萬有引力提供各自做圓周運動的向心力,對S2有

探究三同步衛(wèi)星、近地衛(wèi)星、赤道上的物體運行參量的比較情境導(dǎo)引對于赤道上的物體、近地衛(wèi)星和同步衛(wèi)星,它們的周期如何比較?它們的線速度大小如何比較?要點提示

赤道上的物體和同步衛(wèi)星轉(zhuǎn)一圈都是一天,周期相同,近地衛(wèi)星的軌道半徑比同步衛(wèi)星的小,所以近地衛(wèi)星的周期比同步衛(wèi)星的小。由v=ωr,同步衛(wèi)星的軌道半徑大,所以同步衛(wèi)星比赤道物體的線速度大,衛(wèi)星越遠越慢,近地衛(wèi)星的線速度大于同步衛(wèi)星的線速度。知識歸納1.相同點:都以地心為圓心做勻速圓周運動。2.不同點