北京航空航天大學(xué)傳遞函數(shù)的時(shí)域和頻域辨識

劉金琨傳遞函數(shù)的頻率辨識頻率特性是描述動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的非參數(shù)模型，可通過實(shí)驗(yàn)方法測取。本節(jié)討論在頻率特性的已經(jīng)測取的情況下，求系統(tǒng)傳遞函數(shù)的方法。被控對象用頻率特性描述時(shí)，

一般表達(dá)式為(5.18)式

中Y(s)是辨識對象輸出量的拉式變換，U(s)是辨識對象輸入量的拉式變換。上式也可以寫為Y(jo)=G(ja)U(jo)工程分析和設(shè)計(jì)中，常把線性系統(tǒng)的頻率特性畫成對數(shù)頻率特性曲線，

該曲線即為Bode

圖。對數(shù)頻率特性曲線的橫坐標(biāo)按lg

w分度，單位是(rad/s),

對數(shù)幅頻特性曲線的縱坐標(biāo)按L(w)=20lg|G(jw)|

線性分度，單位是分貝

(dB),

對數(shù)相頻特性曲線的縱坐標(biāo)按φ(w)=∠G(jw)線性分度，單位是度(°)。如果實(shí)驗(yàn)測得了系統(tǒng)的頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)，則可按頻率特性作出對數(shù)頻率特性曲線，從而求得傳遞函數(shù)。最小相位系統(tǒng)通?？梢杂靡韵率絹砻枋觯?5.19)其中T?

和T?是一階微分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)，ξ1和ξ2;是二階微分

環(huán)節(jié)和振蕩環(huán)節(jié)的阻尼比，T?

和

T?;是二階微分環(huán)節(jié)和振蕩環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。通過實(shí)驗(yàn)測定系統(tǒng)的頻率響應(yīng)之后，就可以利用表5-2中各種基本環(huán)節(jié)頻率特性的漸進(jìn)特性，獲得相應(yīng)的基本環(huán)節(jié)特性，從而得到傳遞函數(shù)。具體方

法是用一些斜率為0,±20dB/dec.,±40dB/dec.,……

的直線來逼近幅頻特性，

并設(shè)法找到頻率拐點(diǎn)，就可以求式(5.19)的傳遞函數(shù)。品

一、利用Bode圖特性求傳遞函數(shù)基本環(huán)節(jié)輻頻dB輻頻斜率dB/dec輻頻dB輻頻dB輻頻斜率dB/decK201gK0201gK201gK0Snn×201gn×20n×201gn×201gn×20Ts+1003dB201g@

+201gT2000-3dB-201g@-201gT-20T2s2+2ξTs00因而異401g@

+401gT401T4+3?T800因而異-401g@-401gT-40e-TS00000品

一、利用Bode圖特性求傳遞函數(shù)表5-2基本環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻響應(yīng)漸進(jìn)特性被測對象按最小相位系統(tǒng)處理，得到的傳遞函數(shù)是G(s),

如果所求得的∠G(s)與實(shí)

驗(yàn)結(jié)果不符，且兩者相差一個(gè)恒定的角頻變化率，則說明被控對象包含延遲環(huán)節(jié)。若

被控對象傳遞函數(shù)為G(s)e-Ts,則有因此，根據(jù)頻率の趨于無窮時(shí)實(shí)驗(yàn)所得相頻特性的相角變化率，即可確定延遲環(huán)節(jié)的延遲時(shí)間t

。但在高頻時(shí)相頻特性的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)難以測量，所以工程上采用下列方法確

定系統(tǒng)的純延遲。如圖5-6所示，圖中實(shí)線為實(shí)驗(yàn)得到的對數(shù)相頻曲線，虛線為擬合的傳遞函數(shù)G'(s)

所決定的對數(shù)相頻特性。如果虛線和實(shí)線很接近，則系統(tǒng)不含延遲環(huán)節(jié)。如果虛線和實(shí)

線相差較多，則系統(tǒng)存在純延遲。選取若干個(gè)頻率@k(k=1,2,

…

,n),

對應(yīng)于每一個(gè)@可找

出其實(shí)測曲線與擬合曲線的相差角△φk=q'-Qk,于

是再求平均值得,t即可作為系統(tǒng)的純延遲。品

一、利用Bode圖特性求傳遞函數(shù)

一、利用Bode圖特性求傳遞函數(shù)圖5-6(b)對數(shù)頻率特性曲線(含純延遲)圖5-6(a)對數(shù)頻率特性曲線(不含延遲)品

一、利用Bode圖特性求傳遞函數(shù)例5

.

1[2]

針對系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)頻率響應(yīng)曲線確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。L(ω)/dB-20dB/dec40dB/dec圖

5

-

7測

試

系

統(tǒng)

對

數(shù)

幅

頻

漸

進(jìn)

特

性

實(shí)

驗(yàn)

曲

線10

w/s-

160dB/dec0.1-20dB/dec0

0.01-2060品

一、利用Bode圖特性求傳遞函數(shù)假設(shè)被測試系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，其對數(shù)幅頻特性的近似特性曲線如圖5-8所示，則系統(tǒng)具有如下特點(diǎn)：1.在低頻段w∈0,0.1](第一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率之前的區(qū)域，由表5-2可見，此時(shí)

其余環(huán)節(jié)的增益近似為1(OdB)),

對數(shù)幅頻特性曲線的斜率為-20dB/dec.,

則由表5-2可知被測對象包含一個(gè)積分環(huán)節(jié)sn(n=-1),

即

2.

對數(shù)幅頻特性曲線有3個(gè)轉(zhuǎn)折頻率，即0.1rad/sec,1rad/sec和10rad/sec,

按轉(zhuǎn)折頻率處的斜率變化，可寫出被測系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為品

一、利用Bode圖特性求傳遞函數(shù)分析如下：(1)在低頻情況下,各個(gè)基本環(huán)節(jié)除

之外幅頻都為0;(2)當(dāng)轉(zhuǎn)折頻率為w=0.1rad/sec

時(shí)，T=10,對應(yīng)頻帶的斜率分別為-20dB/dec和-

40dB/dec,轉(zhuǎn)折點(diǎn)處的實(shí)際幅值為37dB

(漸進(jìn)值為40dB,修正幅值為-3dB),

考慮到在之

前有1個(gè)基本積分環(huán)節(jié),則該環(huán)節(jié)實(shí)際對應(yīng)的幅頻斜率值應(yīng)分別加上20dB/dec,即分別

為0dB/dec和-20dB/dec,轉(zhuǎn)折點(diǎn)的修正幅值為-3dB,由表5-2可得，所對應(yīng)的基本環(huán)節(jié)為(3)當(dāng)轉(zhuǎn)折頻率為w=1rad/sec

時(shí)，對應(yīng)頻帶的斜率分別為-40dB/dec和-20dB/dec,轉(zhuǎn)折點(diǎn)處的實(shí)際幅值為3dB

(漸進(jìn)值為0dB,修正幅值為3dB),考慮到在之前有2個(gè)基本環(huán)節(jié)和

的作用，則該環(huán)節(jié)實(shí)際對應(yīng)的幅頻斜率值應(yīng)分別加上40dB/dec,

即分別為

OdB/dec和20dB/dec,

轉(zhuǎn)折點(diǎn)的修正幅值為3dB,由表5-2可得，所對應(yīng)的基本環(huán)節(jié)為s+1。◎品

一、利用Bode圖特性求傳遞函數(shù)(4)當(dāng)轉(zhuǎn)折頻率為w=10rad/sec

時(shí)，對應(yīng)幅頻斜率分別為-20dB/dec和-

60dB/dec,轉(zhuǎn)折點(diǎn)處的實(shí)際幅值為-20dB(漸進(jìn)值為-20dB,

修正幅值為0dB),則修正幅值為-20lg2ξdB=0,即2ξ=1,ξ=0.5。考慮到在之前有3個(gè)基本

環(huán)節(jié)

和s+1

的作用，則該環(huán)節(jié)實(shí)際對應(yīng)的幅頻斜率分別加上20dB/dec,

即分別為OdB/dec和-40dB/dec,轉(zhuǎn)折點(diǎn)的修正幅值為OdB。由表5-2可得，所對應(yīng)的基本環(huán)節(jié)為(5)由圖5-8可見，w=0.01

時(shí)，幅頻為60dB,

即20lg|G(jw)|w=0.01=60,則可得201,則被測系統(tǒng)的比例環(huán)節(jié)可

近似為K=10。品

一、利用Bode圖特性求傳遞函數(shù)則可以寫出被測系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為針對表5-2,有以下幾點(diǎn)說明：注1:以基本環(huán)節(jié)Ts+1

為例，其幅頻值為

|jwT+1|,

當(dāng)

時(shí)

，wT》1,則幅頻值近似為|jwT|,注2:單獨(dú)考慮積分環(huán)節(jié)和比例環(huán)節(jié),當(dāng)w=0.1時(shí)，圖中對應(yīng)點(diǎn)的幅頻

為40dB,

而在實(shí)際曲線中對應(yīng)的幅頻為37dB,

如果將積分環(huán)節(jié)和比例環(huán)節(jié)

的影響去除，則w=0.1

處的幅頻為-3dB。品

一、利用Bode圖特性求傳遞函數(shù)上式只是根據(jù)幅頻特性得出的傳遞函數(shù)，可得到相應(yīng)的相頻特性曲線，即∠G漸進(jìn)曲線，如果∠G漸進(jìn)曲線與實(shí)驗(yàn)所得的實(shí)際相頻曲線不符，例如，在

w=1時(shí)，實(shí)驗(yàn)曲線與∠G之差約-5°,w=10時(shí)，實(shí)驗(yàn)曲線與∠G之差約-60°,

這說明實(shí)際傳遞函數(shù)包含延遲環(huán)節(jié)，考慮G(s)e-TS,t=0.1

與實(shí)驗(yàn)曲線的相

頻特性相符，則被測系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可修正為給定離散頻率采樣點(diǎn){Wi},i=1,2,…,N,

假定已測試出系統(tǒng)的頻率響應(yīng)數(shù)據(jù){Pi,Qi},

其中Hi=Pi+jQi。在MATLAB信號處理工具箱中，給出了一個(gè)辨識系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型的函

數(shù)invfreqs(),該函數(shù)的調(diào)用格式是[B,A]=invfreqs(H,W,n,

m),

其中W為由

離散頻率點(diǎn)構(gòu)成的向量，n和m

為待辨識系統(tǒng)的分子和分母階次，H

為頻域響

應(yīng)的復(fù)數(shù)向量，其實(shí)部和虛部為辨識時(shí)用到的實(shí)部和虛部。返回的B和A分別

為辨識出的傳遞函數(shù)的分子和分母的系數(shù)向量。下面通過兩個(gè)實(shí)例說明Matlab

函數(shù)invfreqs的用法8。品

二、利用MATLAB

工具求系統(tǒng)傳遞函數(shù)假設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：(5.20)通過Maltab仿真，可實(shí)現(xiàn)對G(s)的頻率響應(yīng)測試及通過頻率響應(yīng)測試結(jié)果求傳遞函

數(shù)，仿真程序見chap5_2.m。假設(shè)在頻率范圍W上測出系統(tǒng)頻率響應(yīng)數(shù)值為H,則可得

到頻率范圍w

及頻率響應(yīng)數(shù)值H,

頻率值采用logspace函數(shù)實(shí)現(xiàn)，其中l(wèi)ogspace(a,b,n)為

Matlab函數(shù)，其中a、b、n分別表示開始值、結(jié)束值和元素個(gè)數(shù)，其功能為生成從

[10°,10°]內(nèi)，按對數(shù)等分的n個(gè)元素的行向量。n如果省略，則默認(rèn)值為50。品

二、利用MATLAB

工具求系統(tǒng)傳遞函數(shù)例5.2對一階連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)辨識close

all;w=logspace(-1,1)num

=[1]den

=[1,5]H=freqs(num,den,w)[num,den]=invfreqs(H,w,0,1);

G=tf(num,den)仿真程序：chap5_2.m品

二、利用MATLAB

工具求系統(tǒng)傳遞函數(shù)例5.3假設(shè)實(shí)驗(yàn)得到的頻域特性，其中頻率范圍為W,

頻率響應(yīng)數(shù)值為H,求傳遞函數(shù)。仿真中，根據(jù)實(shí)驗(yàn)測定的W和H,

采用invfreqs(H,W,n,m)求傳遞函數(shù)，不妨分別取傳遞函數(shù)分子與分母的階數(shù)為n=3,m=4,則得到辨識的傳遞

函數(shù)為

：品

二、利用MATLAB

工具求系統(tǒng)傳遞函數(shù)clear

all;close

all;w=logspace(-1,1)H=[0.9892-0.1073i0.9870-0.1176i0.9843-0.1289i0.9812-0.1412i0.9773-0.1545i0.9728-0.1691i0.9673-0.1848i0.9608-0.2017i0.9530-0.2200i0.9437-0.2396i

0.9328-0.2605i0.9198-0.2826i0.9047-0.3058i0.8869-0.3301i0.8662-0.3551i0.8424-0.3805i0.8150-0.4060i0.7840-0.4310i0.7491-0.4549i0.7103-0.4771i0.6677-0.4968i0.6216-0.5133i0.5725-0.5258i0.5210-0.5335i0.4680-0.5361i0.4144-0.5331i0.3613-0.5242i0.3099-0.5098i0.2613-0.4900i0.2164-0.4654i0.1762-0.4370i0.1413-0.4057i0.1121-0.3728i0.0886-0.3393i0.0706-0.3064i0.0577-0.2753i0.0489-0.2466i0.0