保密★啟用前2025屆新高三學(xué)情摸底考02（新課標(biāo)卷）數(shù)學(xué)注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1．設(shè)集合，則的元素的個數(shù)為A． B． C． D．【答案】C【詳解】分析：分別求出A和B，再利用交集計算即可.詳解：，，則，交集中元素的個數(shù)是5.故選：C.2．（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法和除法運算求解.【詳解】解：．故選：C．3．已知向量，若與方向相反，則=（

）A．54 B．8 C． D．【答案】B【分析】利用給定條件求出m，再利用向量線性運算的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)求模，計算作答.【詳解】向量，與方向相反，則，解得，即，則，所以.故選：B4．已知函數(shù)在上滿足，則曲線在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先對求導(dǎo)數(shù)，將代入導(dǎo)數(shù)求得，再將代入，求得，用點斜式求出直線方程即可．【詳解】由，兩邊求導(dǎo)得：即所以，因此，即又，即故在處的切線方程為即．故選：C．5．已知在點處的切線的傾斜角為，則（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系，求得齊次式的值即可.【詳解】因為，故可得，則在點處的切線斜率；又因為.故選：A.6．點的直線中，被圓截得的最長弦所在的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】要使得直線被圓截得的弦長最長，則直線必過圓心，利用斜率公式求得斜率，結(jié)合點斜式方程，即可求解.【詳解】由題意，圓，可得圓心坐標(biāo)為，要使得直線被圓截得的弦長最長，則直線必過圓心，可得直線的斜率為，所以直線的方程為，即所求直線的方程為.故選：A.7．陀螺是中國民間最早的娛樂工具之一，它是一種繞一個支點高速轉(zhuǎn)動的剛體，種類很多，其中有一種金屬陀螺（如圖），它的形狀可以認(rèn)為是上半部分為圓柱，下半部分為倒置的圓錐；現(xiàn)知尖底長為3，柱體與錐體部分高之比，底周長為，則陀螺的表面積為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用已知條件得到底面半徑，圓柱母線長以及圓錐的高，進而得到圓錐的母線長，再利用圓柱和圓錐的表面積公式求解即可.【詳解】由底周長為，可得底面半徑，又現(xiàn)知尖底長為3，柱體與錐體部分高之比，得圓柱的高即母線長為，圓錐的高為，圓錐的母線長為，則陀螺的表面積為：；故選：D.8．已知，分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線與圓相切且分別交雙曲線的左、右兩支于、兩點，若，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合幾何性質(zhì)，利用圓的切線形成的垂直關(guān)系和余弦定理構(gòu)造齊次式求解.【詳解】由雙曲線的定義可知，，在中，，整理得.解得，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：C二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9．在下列關(guān)于概率的命題中，正確的有（

）A．若事件A，B滿足，則A，B為對立事件B．若事件A與B是互斥事件，則A與也是互斥事件C．若事件A與B是相互獨立事件，則A與也是相互獨立事件D．若事件A，B滿足，，，則A，B相互獨立【答案】CD【分析】對于A：舉反例判斷命題不成立；對于B：由互斥事件的定義直接判斷；對于C：由相互獨立事件的性質(zhì)直接判斷；對于D：利用公式法直接判斷.【詳解】對于A：若事件A、B不互斥，但是恰好，滿足，但是A，B不是對立事件.故A錯誤；對于B：由互斥事件的定義可知，事件A、B互斥，但是A與也是互斥事件不成立.故B錯誤；對于C：由相互獨立事件的性質(zhì)可知：若事件A與B是相互獨立事件，則A與也是相互獨立事件.故C正確；對于D：因為事件A，B滿足，，，所以，所以A，B相互獨立.故選：CD10．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若函數(shù)的最小正周期為，則其圖象關(guān)于直線對稱B．若函數(shù)的最小正周期為，則其圖象關(guān)于點對稱C．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為2D．若函數(shù)在有且僅有5個零點，則的取值范圍是【答案】ACD【分析】根據(jù)最小正周期可以計算出，便可求出對稱軸和對稱點，可判斷A、B選項；根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性可以推出的值，可判斷C選項；根據(jù)零點情況可以求出的取值范圍，可判斷D選項.【詳解】選項：的最小正周期為，故正確；B選項：的最小正周期為，故B錯誤；C選項：又函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C正確；D選項：又在有且僅有個零點，則，故D正確.故選：ACD11．已知函數(shù)，則下列說法正確的有（

）A．若，則的值域為B．若，則過原點有且僅有一條直線與曲線相切C．存在，使得有三個零點D．若，則的取值范圍為【答案】ABD【分析】A選項，根據(jù)趨近于0時，函數(shù)值趨近于負(fù)無窮，當(dāng)趨近于正無窮時，函數(shù)值趨近于正無窮得到A正確；B選項，求導(dǎo)，設(shè)出切點，得到切線方程，把點代入切線方程得，此方程只有一個根，故B正確；C選項，分與兩種情況，推導(dǎo)出至多兩個零點；D選項，先得到不合要求，滿足要求，考慮，時，滿足要求，故只需時，恒成立，若，，故不合要求，若，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)單調(diào)性和最值，得到滿足要求，得到答案.【詳解】A選項，若，則，故，當(dāng)趨近于0時，趨近于負(fù)無窮，此時趨近于負(fù)無窮，當(dāng)趨近于正無窮時，和都趨近于正無窮，函數(shù)值趨近于正無窮，因此函數(shù)的值域為R，A正確；B選項，函數(shù)定義域為，時，，因為時，，故，則，設(shè)切點坐標(biāo)為，故，則在處，的切線方程為，把點代入切線方程得，，化簡得，當(dāng)時，，此方程無解，當(dāng)時，，此方程無解，當(dāng)時，，且函數(shù)此時為增函數(shù)，故方程只有這1個解，即過原點有且僅有一條切線和相切，B正確；C選項，，當(dāng)時，，，則，故單調(diào)遞減，故在此區(qū)間上函數(shù)最多一個零點，要想這個零點存在，需，當(dāng)時，，，則，顯然這是一個增函數(shù)，要想函數(shù)零點盡可能多，則需存在一個使得成立，此時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若在上存在一個零點，則，故此時在上只存在一個零點，此時函數(shù)一共有兩個零點，不合要求，若在上不存在零點，則，又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故此時函數(shù)最多有兩個零點，不合要求，綜上，不存在，使得函數(shù)存在三個零點，C錯誤；D選項，由A知，當(dāng)時，函數(shù)的值域為R，不滿足，當(dāng)時，，滿足要求，當(dāng)時，時，，滿足要求，故只需時，恒成立，若，，故不合要求，若，，則，顯然這是一個增函數(shù)，，函數(shù)單調(diào)遞增，則，故滿足題意，又也滿足要求，因此，D正確；故選：ABD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12．用1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，若滿足的五位數(shù)有個，則在的展開式中，的系數(shù)是．（用數(shù)字作答）【答案】56【分析】根據(jù)給定條件，利用組合計數(shù)問題求出，再利用二項式定理結(jié)合組合數(shù)性計算即得.【詳解】由五位數(shù)滿足，得，從2、3、4、5中任取兩個分別作，另兩個為，因此，的展開式中的系數(shù)為：.故答案為：5613．在中，角所對的邊分別為，若，則．【答案】【詳解】試題分析：由正弦定理得，即，且，所以，，所以,故應(yīng)填.14．已知橢圓的方程為，，為橢圓的左右頂點，為橢圓上不同于.的動點，直線與直線，分別交于，兩點，若，則過，，三點的圓必過軸上不同于點的定點，其坐標(biāo)為.【答案】【分析】利用橢圓的性質(zhì)首先證明，然后結(jié)合題意設(shè)出直線方程，由點的坐標(biāo)確定圓的直徑所在的位置，最后由直線垂直的充分必要條件可得點D的坐標(biāo).【詳解】首先證明橢圓的一個性質(zhì)：橢圓，點是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，是橢圓上異于上的一個點，則.證明如下：設(shè)，，，由于點是橢圓上的兩點，故，兩式作差可得：，此時.故結(jié)論成立.回到本題，由題意可知：，設(shè)直線PA的方程為：，則，設(shè)直線PB的方程為：，則，故，故為外接圓的直徑，設(shè)所求的點為，則：，即，解得：，(舍去).綜上可得：所求點的坐標(biāo)為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．（13分）文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽稱號，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要創(chuàng)造者.衢州市某學(xué)校為提高學(xué)生對文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，已知所有學(xué)生的競賽成績均位于區(qū)間，從中隨機抽取了40名學(xué)生的競賽成績作為樣本，繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求圖中的值，并估計這40名學(xué)生競賽成績的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）；(2)利用比例分配的分層隨機抽樣方法，從成績不低于80分的學(xué)生中抽取7人組成創(chuàng)建文明城市知識宣講團.若從這選定的7人中隨機抽取2人，求至少有1人競賽成績位于區(qū)間的概率.【答案】(1)，平均數(shù)74.5，中位數(shù)為75；(2).【分析】（1）利用各小矩形的面積和為1可求，利用組中值可求平均數(shù)，利用面積等分可求中位數(shù).（2）利用列舉法及古典概型的概率公式可求概率.【詳解】（1）由于圖中所有小矩形的面積之和等于1，所以，解得.所以樣本中40名學(xué)生的競賽成績的平均數(shù).設(shè)這40名學(xué)生的競賽成績的中位數(shù)為，由于前2組頻率之和為0.35，前3組頻率之和為0.65，故中位數(shù)落在第3組，于是有，解得.即這40名學(xué)生的競賽成績的中位數(shù)為75.（2）由分層隨機抽樣可知，在區(qū)間應(yīng)抽取5人，記為a，b，c，d，e，在區(qū)間應(yīng)抽取2人，記為A，B，從中任取2人的所有可能結(jié)果為：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21種.其中至少有一人測試成績位于區(qū)間內(nèi)有：，，，，，，，，，，，共11種.所以，至少有一人的測試成績位于區(qū)間內(nèi)的概率為.16．（15分）已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，前項和為，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，為數(shù)列的前項和，求.【答案】（1）；（2）【分析】（1）由，利用等比數(shù)列的通項公式，得到，求得，即可求解數(shù)列的通項公式；（2）由（1）可得，利用乘公比錯位相減法和等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】（1）由題意，因為，得，即，設(shè)公比為，所以，又，所以.（2）由（1）可得，所以其中

①

②①-②得，所以.17．（15分）在四棱錐中，為正三角形，平面平面ABCD，E為AD的中點，，，．（1）求證：平面平面PAD；（2）在棱CD上是否存在點M，使得平面PBE？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）存在，.【分析】（1）推導(dǎo)出，從而平面ABCD，進而，然后可證得平面PAD，得證平面平面PAD．（2）在棱CD上假設(shè)存在點M，使得平面PBE，由平面ABCD，得要使平面PBE成立，只需成立，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出．【詳解】證明：（1）為正三角形，E為AD的中點，．平面底面ABCD，平面底面，平面ABCD．平面ABCD，．，，．，面平面PAD．平面PCD，平面平面PAD．（2）在棱CD上假設(shè)存在點M，使得平面PBE．平面ABCD，．要使平面PBE成立，只需成立．以過與平行的直線為軸，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)，，即．，，．．，由，得，即解得．故．18．（17分）已知動圓C的圓心在x軸上，且經(jīng)過點，動圓C與x軸的另一個交點為A，與y軸的一個交點為B，過點A作x軸的垂線，過點B作y軸的垂線，兩條垂線交于點M.(1)求點M的軌跡方程；(2)設(shè)點M的軌跡為E，曲線E上一點，過點P的直線PS，PT交曲線E于S，T兩點，且PS⊥PT，求證：直線ST過定點，并求出定點坐標(biāo).【答案】(1)(2)證明見解析，【分析】（1）根據(jù)建立等式即可求解；（2）先求出點，再根據(jù)題意分別求出和，再由直線的兩點式得到直線ST的方程即可求解.【詳解】（1）由題意設(shè)，則，，且，得到，即，故M的軌跡方程為.（2）由（1）知點，直線PS，PT斜率存在且不為0，不妨設(shè)直線PS的斜率為k，則直線PS的方程為，聯(lián)立與，消掉x得到，設(shè)點，則，得到，代入直線方程得到，，因為PS⊥PT，將點S坐標(biāo)中的k換成，得到，則，直線ST的方程為，化簡得到，所以直線ST過定點.19．（17分）給出以下三個材料：①若函數(shù)可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做的二階導(dǎo)數(shù)，記作.類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，記作，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)……一般地，階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做階導(dǎo)數(shù)，記作.②若，定義.③若函數(shù)在包含的某個開區(qū)間上具有階的導(dǎo)數(shù)，那么對于任一有，我們將稱為函數(shù)在點處的階泰勒展開式.例如，在點處的階泰勒展開式為.根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：(1)求出在點處的階泰勒展開式，并直接寫出在點處的階泰勒展開式；(2)比較（1）中與的大小.(3)證明：.【答案】(1),；(2)答案見解析；(3)證明過程見解析.【分析】（1）根據(jù)在點處的階泰勒展開式的定義可直接求得結(jié)果；（2）令，利用導(dǎo)數(shù)可求得在上單調(diào)遞增，結(jié)合可得的正負(fù)，由此可得與的大小