專題07有理數(shù)42道壓軸題型專訓(xùn)（7大題型）【題型目錄】題型一數(shù)軸上的動點(diǎn)問題——距離問題題型二數(shù)軸上的動點(diǎn)問題——面積問題題型三數(shù)軸上的動點(diǎn)問題——定值問題題型四絕對值與數(shù)軸綜合題型五絕對值的化簡求值題型六絕對值中的最值問題題型七有理數(shù)中的規(guī)律探究問題【經(jīng)典例題一數(shù)軸上的動點(diǎn)問題——距離問題】1．（23-24七年級上·吉林長春·期中）如圖，點(diǎn)均在數(shù)軸上，點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)是，點(diǎn)在點(diǎn)的右邊，且距點(diǎn)個單位長度，點(diǎn)是數(shù)軸上的兩個動點(diǎn)．(1)求出點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)；(2)當(dāng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和是個單位長度時，求出此時點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)；(3)若點(diǎn)分別從點(diǎn)出發(fā)，均沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動，點(diǎn)每秒運(yùn)動個單位長度，點(diǎn)每秒運(yùn)動個單位長度．若點(diǎn)先出發(fā)秒后點(diǎn)出發(fā)，當(dāng)兩點(diǎn)相距個單位長度時，直接寫出此時點(diǎn)分別對應(yīng)的數(shù)．2．（23-24七年級上·河南平頂山·期末）綜合與探究數(shù)軸可以將數(shù)與形完美結(jié)合．請借助數(shù)軸，結(jié)合具體情境解答下列問題：(1)平移運(yùn)動一機(jī)器人從原點(diǎn)O開始，第1次向左跳1個單位，緊接著第2次向右跳2個單位，第3次向左跳3個單位，第4次向右跳4個單位，…，依此規(guī)律跳，當(dāng)它跳完5次時，落在數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)是；當(dāng)它跳完2024次時，落在數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)是．(2)翻折變換①若折疊數(shù)軸所在紙條，表示的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)重合，則表示5的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合．②若數(shù)軸上D、E兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，兩點(diǎn)之間的距離為2024（D在E的左側(cè)，且折痕與①折痕相同），則D點(diǎn)表示，E點(diǎn)表示．③一條數(shù)軸上有點(diǎn)M、N、P，其中點(diǎn)M、N表示的數(shù)分別是、8，現(xiàn)以點(diǎn)P為折點(diǎn)，將數(shù)軸向右對折，若點(diǎn)M對應(yīng)的點(diǎn)落在點(diǎn)N的右邊，并且線段的長度為3，請直接寫出點(diǎn)P表示的數(shù)．3．（23-24七年級上·山東青島·期末）如圖1，在數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為滿足，點(diǎn)是數(shù)軸原點(diǎn)．(1)點(diǎn)表示的數(shù)為______，點(diǎn)表示的數(shù)為______，線段的長為______；(2)若點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離表示為，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離表示為，請?jiān)跀?shù)軸上找一點(diǎn)，使，則點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)為______；(3)在圖1基礎(chǔ)上，將一根長度為6個單位的木棒放在數(shù)軸上（如圖2）．木棒的右端與數(shù)軸上的點(diǎn)重合，以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)移動；木棒出發(fā)6秒后，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度向點(diǎn)移動；且當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時，木棒與點(diǎn)同時停止移動．設(shè)點(diǎn)移動的時間為秒，當(dāng)為多少時，點(diǎn)恰好距離木棒2個單位長度？4．（23-24七年級上·陜西西安·期中）數(shù)軸是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個很重要的工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美結(jié)合研究數(shù)軸我們可發(fā)現(xiàn)許多重要的規(guī)律：①絕對值的幾何意義：一般地，若點(diǎn)A、點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為a，b，那么A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為，記作，則表示數(shù)3和1在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；又如，所以表示數(shù)3和在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；②若數(shù)軸上點(diǎn)A、點(diǎn)B表示的數(shù)分別為a、b，那么線段的中點(diǎn)M表示的數(shù)為．請借用數(shù)軸和以上規(guī)律解決下列問題：如圖，已知數(shù)軸上有A、B兩點(diǎn)，分別表示的數(shù)為，6，點(diǎn)P以每秒2個單位長度的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動，點(diǎn)Q以每秒1個單位長度從點(diǎn)B出發(fā)沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動，當(dāng)一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一個點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．(1)A、B兩點(diǎn)的距離為______個單位長度；線段的中點(diǎn)M所表示的數(shù)為______；(2)點(diǎn)P運(yùn)動t秒后所在位置的點(diǎn)表示的數(shù)為______；點(diǎn)Q運(yùn)動t秒后所在位置的點(diǎn)表示的數(shù)為______．（用含t的式子表示）(3)P、Q兩點(diǎn)經(jīng)過多少秒會相距5個單位長度？(4)在點(diǎn)P、Q運(yùn)動過程中，O、P、Q三點(diǎn)有一點(diǎn)恰好是以另兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)時，直接寫出此時t的值．5．（23-24七年級上·福建三明·期中）已知數(shù)軸上有、、三個點(diǎn)，分別表示有理數(shù)、、，動點(diǎn)從出發(fā)，以每秒個單位長度的速度向終點(diǎn)移動，設(shè)移動時間為秒．若用，，分別表示點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)的距離，試回答以下問題．

(1)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動秒時，______，______，______；(2)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動了秒時，請用含的代數(shù)式表示到點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)的距離：______，______，______；(3)經(jīng)過幾秒后，點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)的距離相等？此時點(diǎn)表示的數(shù)是多少？(4)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個單位長度的速度向點(diǎn)運(yùn)動，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后，再立即以同樣速度返回，運(yùn)動到終點(diǎn)．在點(diǎn)開始運(yùn)動后，、兩點(diǎn)之間的距離能否為個單位長度？如果能，請直接寫出點(diǎn)表示的數(shù)；如果不能，請說明理由．6．（23-24七年級上·吉林·期中）如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)是8，若動點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，以2個單位/秒的速度向左運(yùn)動，同時另一動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以4個單位/秒的速度也向左運(yùn)動，到達(dá)原點(diǎn)后立即以原來的速度返回，向右運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為秒．(1)當(dāng)時，求點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；(2)當(dāng)時，求點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；(3)當(dāng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為4時，求點(diǎn)到點(diǎn)的距離．【經(jīng)典例題二數(shù)軸上的動點(diǎn)問題——面積問題】7．（23-24七年級上·福建福州·期中）定義：數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)的距離為a個單位記作，根據(jù)定義完成下列各題．兩個長方形和的寬都是3個單位長度，長方形的長是6個單位長度，長方形的長是10個單位長度，其中點(diǎn)A、D、E、H在數(shù)軸上（如圖），點(diǎn)E在數(shù)軸上表示的數(shù)是5，且E、D兩點(diǎn)之間的距離為14，原點(diǎn)記為0．(1)求數(shù)軸上點(diǎn)H、A所表示的數(shù)？(2)若長方形以4個單位長度/秒的速度向右勻速運(yùn)動，同時長方形以3個單位長度/秒的速度向左勻速運(yùn)動，數(shù)軸上有M、N兩點(diǎn)，其中點(diǎn)M在A、D兩點(diǎn)之間，且，其中點(diǎn)N在E、H兩點(diǎn)之間，且，設(shè)運(yùn)動時間為x秒．①經(jīng)過x秒后，M點(diǎn)表示的數(shù)是，N點(diǎn)表示的數(shù)是（用含x的式子表示，結(jié)果需化簡）．②求（用含x的式子表示，結(jié)果需化簡）．(3)若長方形以2個單位長度/秒的速度向右勻速運(yùn)動，長方形固定不動，設(shè)長方形運(yùn)動的時間為秒，兩個長方形重疊部分的面積為S，當(dāng)時，求此時t的值．8．（23-24七年級上·江蘇無錫·階段練習(xí)）如圖所示，長方形，長為3，寬為2，如圖所示放置在數(shù)軸上，點(diǎn)B與表示的點(diǎn)重合，點(diǎn)P是數(shù)軸上的一點(diǎn)，規(guī)定：表示三角形的面積．(1)若點(diǎn)P表示的數(shù)為，則是多少？(2)若，則點(diǎn)P表示的數(shù)為多少？(3)若長方形原來位置向左以2個單位速度移動，動點(diǎn)P從表示的點(diǎn)以3個單位速度向右移動，當(dāng)，則點(diǎn)P表示的數(shù)是多少？9．（23-24七年級上·河北保定·期末）如圖，正方形的邊在數(shù)軸上，數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為，正方形的面積為16．

（1）數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為__________；（2）將正方形沿?cái)?shù)軸水平移動，移動后的正方形記為，移動后的正方形與原正方形重疊部分的面積記為．當(dāng)時，畫出圖形，并求出數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)；10．（23-24七年級上·福建福州·期末）如圖1，在數(shù)軸上有，兩點(diǎn)，點(diǎn)表示的數(shù)為4，點(diǎn)在點(diǎn)的左邊，且，若有一動點(diǎn)從數(shù)軸上點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿著數(shù)軸向右勻速運(yùn)動．若點(diǎn)，分別從，兩點(diǎn)同時出發(fā)，設(shè)運(yùn)動時間為秒．(1)寫出數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為______，P所表示的數(shù)為_______（用含的代數(shù)式表示）．(2)問點(diǎn)運(yùn)動多少秒與相距3個單位長度．(3)如圖2，分別以和為邊，在數(shù)軸上方作正方形和正方形，如圖所示，求當(dāng)為何值時，兩個正方形的重疊部分面積是正方形面積的一半，請直接寫出結(jié)論．______秒．11．（23-24八年級上·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）如圖，正方形的邊在數(shù)軸上，數(shù)軸上點(diǎn)表示數(shù)為，正方形的面積為16．(1)數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù)為．(2)將正方形沿?cái)?shù)軸水平移動，移動后的正方形記為，移動后的正方形與原正方形ABCD重疊部分面積記為S，當(dāng)時，畫出圖形，求出數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)．12．（23-24七年級上·江蘇南京·期末）如圖1，正方形的邊在數(shù)軸上，為原點(diǎn)，正方形的面積為16.（1）數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為.（2）將正方形沿?cái)?shù)軸水平移動，移動后的正方形記為，移動后的正方形與原正方形重疊部分的面積記為，如圖2，長方形的面積為，當(dāng)恰好等于原正方形面積的時，求數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)【經(jīng)典例題三數(shù)軸上的動點(diǎn)問題——定值問題】13．（23-24七年級上·北京·期末）如圖，線段，動點(diǎn)P從A出發(fā)，以2個單位/秒的速度沿射線運(yùn)動，M為的中點(diǎn)．(1)出發(fā)多少秒后，；(2)當(dāng)P在線段上運(yùn)動時，試說明為定值．(3)當(dāng)P在延長線上運(yùn)動，N為的中點(diǎn)，下列兩個結(jié)論：①長度不變；②的值不變．選出一個正確的結(jié)論，并求其值．14．（23-24七年級上·福建廈門·階段練習(xí)）我們規(guī)定：對于數(shù)軸上不同的三個點(diǎn)，，，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時，若點(diǎn)到點(diǎn)的距離恰好為點(diǎn)到點(diǎn)的距離的倍，且為正整數(shù)，（即），則稱點(diǎn)是“整關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．如圖，已知在數(shù)軸上，原點(diǎn)為，點(diǎn)，點(diǎn)表示的數(shù)分別為，．

(1)原點(diǎn)________（填“是”或“不是”）“整關(guān)聯(lián)點(diǎn)”；(2)若點(diǎn)是“整關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，則點(diǎn)所表示的數(shù)_______；(3)點(diǎn)在，之間運(yùn)動，且不與，兩點(diǎn)重合，作“整關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，記為，作“整關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，記為，且滿足，分別在線段和上．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動時，若存在整數(shù)，，使得式子為定值，直接寫出，滿足的數(shù)量關(guān)系________．15．（23-24七年級上·陜西渭南·期中）已知數(shù)軸上A，B，C三點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)分別為、3、5，點(diǎn)P為數(shù)軸上任意一點(diǎn)，其對應(yīng)的數(shù)為x．點(diǎn)A與點(diǎn)P之間的距離表示為，點(diǎn)B與點(diǎn)P之間的距離表示為．

(1)若，求x的值；(2)若，求x的值；(3)若點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒3個單位的速度向右運(yùn)動，點(diǎn)A以每秒1個單位的速度向左運(yùn)動，點(diǎn)B以每秒2個單位的速度向右運(yùn)動，三點(diǎn)同時出發(fā)．設(shè)運(yùn)動時間為t秒，試判斷：的值是否發(fā)生變化？若不變化，求出這個定值，若變化，請說明理由．16．（23-24七年級上·廣東廣州·期中）如圖：在數(shù)軸上點(diǎn)表示數(shù)，點(diǎn)表示數(shù)，點(diǎn)表示數(shù)．

(1)若將數(shù)軸折疊，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，則點(diǎn)與______表示的點(diǎn)重合；(2)若點(diǎn)、點(diǎn)和點(diǎn)分別以每秒個單位、個單位長度和個單位長度的速度在數(shù)軸上同時向左運(yùn)動．若秒鐘過后，三點(diǎn)中恰有一點(diǎn)為另外兩點(diǎn)的中點(diǎn)，求值；②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時，是否存在常數(shù)，使的值為定值，若存在，求的值，若不存在，請說明理由．17．（23-24七年級上·廣東廣州·期中）若點(diǎn)在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為，我們把、兩點(diǎn)之間的距離表示為，記，且，滿足．(1)；；線段的長；(2)點(diǎn)在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)是，且與互為相反數(shù)，在數(shù)軸上是否存在點(diǎn)，使得?若存在，求出點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)；若不存在，請說明理由；(3)在（）、（）的條件下，點(diǎn)、、開始在數(shù)軸上運(yùn)動，若點(diǎn)以每秒個單位長度的速度向左運(yùn)動，同時點(diǎn)和點(diǎn)分別以每秒個單位長度和個單位長度的速度向右運(yùn)動，秒鐘后，若點(diǎn)和點(diǎn)之間的距離表示為，點(diǎn)和點(diǎn)之間的距離表示為，那么的值是否隨著時間的變化而變化?若變化，請說明理由；若不變，請求出的值．18．（23-24七年級上·重慶·階段練習(xí)）閱讀下面材料：若點(diǎn)在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)，則兩點(diǎn)之間的距離表示為，且；回答下列問題：(1)①數(shù)軸上表示和2的兩點(diǎn)和之間的距離是；②在①的情況下，如果，那么為；(2)代數(shù)式取最小值時，相應(yīng)的的取值范圍是．(3)若點(diǎn)在數(shù)軸上分別表示數(shù)，是最大的負(fù)整數(shù)，且，①直接寫出的值．②點(diǎn)同時開始在數(shù)軸上運(yùn)動，若點(diǎn)以每秒1個單位長度的速度向左運(yùn)動，同時，點(diǎn)和點(diǎn)分別以每秒1個單位長度和3個單位長度的速度向右運(yùn)動，假設(shè)秒鐘過后，若點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離表示為，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離表示為．請問：的值是否隨著時間的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．

【經(jīng)典例題四絕對值與數(shù)軸綜合】19．（23-24七年級上·福建福州·階段練習(xí)）已知，與兩個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)分別為點(diǎn)A、點(diǎn)B．求A、B兩點(diǎn)之間的距離．【探索】小明利用絕對值的概念，結(jié)合數(shù)軸，進(jìn)行探索：因?yàn)?，則有以下情況：情況一、若，，如圖①、A、B兩點(diǎn)之間的距離：；

（1）補(bǔ)全小明的探索．【應(yīng)用】（2）若點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為，數(shù)軸上點(diǎn)到A、兩點(diǎn)的距離相等，求．（用含、的代數(shù)式表示）（3）若點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為，數(shù)軸上點(diǎn)到A的距離是點(diǎn)到的距離的倍，請?zhí)剿鞯娜≈捣秶c點(diǎn)個數(shù)的關(guān)系，并直接寫出、、、的關(guān)系．20．（23-24七年級上·安徽六安·期末）結(jié)合數(shù)軸、絕對值和方程的知識回答下列問題：數(shù)軸上表示和的兩點(diǎn)之間的距離是；表示和兩點(diǎn)之間的距離是；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)和數(shù)的兩點(diǎn)之間的距離等于．(1)如果表示數(shù)和的兩點(diǎn)之間的距離是，那么可列方程為，則_____；(2)若數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)位于表示與的兩點(diǎn)之間，則_____；(3)如果點(diǎn)表示、點(diǎn)表示、點(diǎn)表示，點(diǎn)從出發(fā)，以每秒個單位的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動，運(yùn)動時間為秒，在一段時間內(nèi)的值不變，直接寫出的取值范圍．21．（23-24七年級上·山東德州·階段練習(xí)）先閱讀，后探究相關(guān)的問題．【閱讀】表示5與2差的絕對值，也可理解為5與2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；可以看作，表示5與的差的絕對值，也可理解為5與兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離．(1)如圖，先在數(shù)軸上畫出表示點(diǎn)的相反數(shù)的點(diǎn)B，再把點(diǎn)A向左移動個單位，得到點(diǎn)C，則點(diǎn)B和點(diǎn)C表示的數(shù)分別為_____和______，B，C兩點(diǎn)間的距離是______；(2)數(shù)軸上表示x和的兩點(diǎn)A和B之間的距離表示為______；如果A與B之間的距離為3，那么______；(3)若點(diǎn)A表示的整數(shù)為x，則當(dāng)x為______時，與的值相等；(4)若x為整數(shù)，當(dāng)時，______．22．（23-24七年級上·吉林長春·階段練習(xí)）閱讀下面的材料：在學(xué)習(xí)絕對值時，根據(jù)絕對值的幾何意義，我們知道表示5、3在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離；，所以表示5、在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；，所以表示5在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．一般地，點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，那么A、B兩點(diǎn)之間的距離可以表示為．回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示6與的兩點(diǎn)之間的距離是______；數(shù)軸上表示x與2的兩點(diǎn)之間的距離是______．(2)若，則______．(3)滿足的有理數(shù)x有______個．(4)當(dāng)______時，代數(shù)式的最小值是2．23．（2022七年級上·浙江·專題練習(xí)）【閱讀】已知m、n兩個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)為M、N，其中，求M、N兩點(diǎn)之間的距離．小明利用絕對值的概念，結(jié)合數(shù)軸，進(jìn)行探索：解：因?yàn)閙＞n，所以有以下情況：情況1：若，，如圖①，M、N兩點(diǎn)之間的距離；情況2：若，，如圖②，M、N兩點(diǎn)之間的距離；情況3：若，，如圖③，M、N兩點(diǎn)之間的距離．由此小明得出結(jié)論：若m、n兩個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)為M、N，其中，則M、N兩點(diǎn)之間的距離．【應(yīng)用】在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)為a，點(diǎn)B表示的數(shù)為b，點(diǎn)C對應(yīng)的數(shù)為c．(1)若，，則a＝．(2)若，，點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是點(diǎn)C到點(diǎn)B距離的倍．①當(dāng)時，求c的值；②對于任意一個n的值，滿足條件的點(diǎn)C的個數(shù)始終有2個，請直接寫出n取值范圍．(3)若，且a、b為整數(shù)，當(dāng)?shù)闹底畲髸r，求A、B兩點(diǎn)之間的距離．24．（23-24七年級上·北京懷柔·期末）閱讀下面一段文字：在數(shù)軸上點(diǎn)A，B分別表示數(shù)a，b.A，B兩點(diǎn)間的距離可以用符號表示，利用有理數(shù)減法和絕對值可以計(jì)算A，B兩點(diǎn)之間的距離.例如：當(dāng)a=2，b=5時，=5-2=3；當(dāng)a=2,b=-5時，==7；當(dāng)a=-2，b=-5時，==3.綜合上述過程，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A、B之間的距離=(也可以表示為).請你根據(jù)上述材料，探究回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示1和3兩點(diǎn)之間的距離是；（2）表示數(shù)a和-2的兩點(diǎn)間距離是6，則a=；（3）如果數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于-4和3之間，求的值.（4）是否存在數(shù)a，使代數(shù)式的值最??？若存在，請求出代數(shù)式的最小值，并直接寫出數(shù)a的值或取值范圍，若不存在，請簡要說明理由.【經(jīng)典例題五絕對值的化簡求值】25．（23-24七年級上·四川成都·期中）請利用“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)方法解決下列問題：

(1)有理數(shù)、、在數(shù)軸上的位置如圖，化簡：．(2)請你找出所有符合條件的整數(shù)，使得．(3)若、為非負(fù)整數(shù)，且，求、的值．26．（23-24七年級上·福建泉州·期中）結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：(1)表示和兩點(diǎn)之間的距離是___________；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)和數(shù)的兩點(diǎn)之間的距離等于如果，那么________．(2)若數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)位于與之間，則的值為_________；(3)若，求(4)求的最小值．27．（23-24七年級上·湖北黃石·階段練習(xí)）在數(shù)學(xué)問題中，我們常用幾何方法解決代數(shù)問題，借助數(shù)形結(jié)合的方法使復(fù)雜問題簡單化．材料一：我們知道的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)a，b的兩點(diǎn)之間的距離；的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)a，的兩點(diǎn)之間的距離；根據(jù)絕對值的幾何意義，我們可以求出以下方程的解．（1）解：由絕對值的幾何意義知：在數(shù)軸上x表示的點(diǎn)到3的距離等于4，∴，；（2）解：∵，∴其絕對值的幾何意義為：在數(shù)軸上x表示的點(diǎn)到的距離等于5．∴，．材料二：如何求的最小值．由的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)到表示數(shù)1和兩點(diǎn)的距離的和，要使和最小，則表示數(shù)x的這點(diǎn)必在和1之間（包括這兩個端點(diǎn)）取值．∴的最小值是3；由此可求解方程，把數(shù)軸上表示x的點(diǎn)記為點(diǎn)P，由絕對值的幾何意義知：當(dāng)時，恒有最小值3，所以要使成立，則點(diǎn)P必在的左邊或1的右邊，且到表示數(shù)或1的點(diǎn)的距離均為0.5個單位．故方程的解為：，．閱讀以上材料，解決以下問題：（1）填空：的最小值為_______；（2）已知有理數(shù)x滿足：，有理數(shù)y使得的值最小，求的值．（3）試找到符合條件的x，使的值最小，并求出此時的最小值及x的取值范圍．28．（23-24七年級上·廣東佛山·階段練習(xí)）結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離等于.(1)數(shù)軸上表示5和1的兩點(diǎn)之間的距離是_______；表示和2兩點(diǎn)之間的距離是_______；(2)如果表示數(shù)a和的兩點(diǎn)之間的距離是2，那么_______；(3)若數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于和2兩點(diǎn)之間，求__________；(4)利用數(shù)軸找出所有符合條件的整數(shù)點(diǎn)x，使得，這些點(diǎn)表示的數(shù)的和是_______.(5)當(dāng)_______時，的值最小，最小值是_______.(6)若x表示一個有理數(shù)，求的最小值是_______.29．（23-24七年級上·廣東佛山·階段練習(xí)）結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：

(1)數(shù)軸上表示3和的兩點(diǎn)之間的距離是_________；表示和兩點(diǎn)之間的距離是_________；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離等于_________．(2)，求x；(3)若，且數(shù)a、b在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是點(diǎn)A、點(diǎn)B，則A、B兩點(diǎn)間的最大距離是_________；(4)若數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于與5之間，________；(5)求的最小值．30．（23-24七年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離等于這兩點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)的差的絕對值．例：點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別對應(yīng)的數(shù)為a、b，則A、B兩點(diǎn)間的距離表示為，根據(jù)以上知識解題：(1)若數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B表示的數(shù)為x、，則A、B之間的距離可用含x的式子表示為；(2)①當(dāng)代數(shù)式取最小值時，x的取值范圍是．②求的最小值為．(3)有理數(shù)，，，且．在以下數(shù)軸上將a、b、c三個數(shù)填在相應(yīng)的括號中，并化簡：．

【經(jīng)典例題六絕對值中的最值問題】31．（23-24七年級上·湖南衡陽·階段練習(xí)）同學(xué)們都知道，表示與之差的絕對值，實(shí)際上也可理解為與兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離．試探索：(1)求______．(2)找出所有符合條件的整數(shù)，使得這樣的整數(shù)是______．(3)由以上探索猜想對于任何有理數(shù)，是否有最小值？如果有寫出最小值（請寫清楚過程），如果沒有說明理由．32．（23-24七年級上·江蘇揚(yáng)州·期中）人們通過長期觀察發(fā)現(xiàn)如果早晨天空中棉絮的高積云，那么午后常有雷雨降臨，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨臨”的諺語．在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，通過對簡單情形的觀察、分析，從特殊到一般地探索這類現(xiàn)象的規(guī)律、提出猜想的思想方法稱為歸納．【數(shù)學(xué)問題】數(shù)軸上分別表示數(shù)a和數(shù)b的兩個點(diǎn)A、B之間的距離該如何表示？【問題探究】（1）觀察分析（特殊）：①當(dāng)，時，A，B之間的距離；②當(dāng)，時，A，B之間的距離______；③當(dāng)，時，A，B之間的距離______．（2）一般結(jié)論：數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a，b的兩點(diǎn)A，B之間的距離表示為______；【問題解決】（3）應(yīng)用：數(shù)軸上，表示x和3的兩點(diǎn)A和B之間的距離是5，試求x的值；【問題拓展】（4）拓展：①若，則______．②若，則______．③若x，y滿足，則代數(shù)式的最大值是______，最小值是______．33．（23-24七年級上·湖南岳陽·期中）觀察下列每對數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)間的距離與，與．并回答下列各題：

(1)你能發(fā)現(xiàn)：與在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)間的距離可以表示為：；與在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)間的距離可以表示為：；根據(jù)以上規(guī)律，則與在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的距離是．(2)若數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)是，點(diǎn)表示的數(shù)是，則與兩點(diǎn)間的距離可以表示為．(3)結(jié)合數(shù)軸思考，的最小值為多少？(4)滿足，求的值為多少？34．（23-24七年級上·河南鄭州·階段練習(xí)）（1）探索材料1（填空）：數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離等于．例如數(shù)軸上表示數(shù)2和5的兩點(diǎn)距離為；數(shù)軸上表示數(shù)3和的兩點(diǎn)距離為；的意義可理解為數(shù)軸上表示數(shù)和這兩點(diǎn)的距離；（2）探索材料2（填空）：①如圖1，在工廠的一條流水線上有兩個加工點(diǎn)A和B，要在流水線上設(shè)一個材料供應(yīng)點(diǎn)P往兩個加工點(diǎn)輸送材料，材料供應(yīng)點(diǎn)P應(yīng)設(shè)在才能使P到A的距離與P到B的距離之和最??？

②如圖2，在工廠的一條流水線上有三個加工點(diǎn)A，B，C，要在流水線上設(shè)一個材料供應(yīng)點(diǎn)P往三個加工點(diǎn)輸送材料，材料供應(yīng)點(diǎn)P應(yīng)設(shè)在才能使P到A，B，C三點(diǎn)的距離之和最??？

③如圖3，在工廠的一條流水線上有四個加工點(diǎn)A，B，C，D，要在流水線上設(shè)一個材料供應(yīng)點(diǎn)P往四個加工點(diǎn)輸送材料，材料供應(yīng)點(diǎn)P應(yīng)設(shè)在才能使P到A，B，C，D四點(diǎn)的距離之和最??？

（3）結(jié)論應(yīng)用（填空）：①代數(shù)式的最小值是______，此時x的范圍是_______；②代數(shù)式的最小值是_______，此時x的值為______；③代數(shù)式的最小值是______，此時x的范圍是______．35．（23-24七年級上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）我們知道，可以理解為，它表示：數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，這是絕對值的幾何意義進(jìn)一步地，數(shù)軸上的兩個點(diǎn)A，，分別用數(shù)，表示，那么，兩點(diǎn)之間的距離為，反過來，式子的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)和表示數(shù)的點(diǎn)之間的距離．(1)利用此結(jié)論，回答以下問題：①數(shù)軸上表示和的兩點(diǎn)之間的距離是______，數(shù)軸上表示和的兩點(diǎn)之間的距離是______．②數(shù)軸上表示和的兩點(diǎn)和之間的距離是______，如果，那么為______．(2)探索規(guī)律：①當(dāng)有最小值是______．②當(dāng)有最小值是______．③當(dāng)有最小值是______．(3)規(guī)律應(yīng)用工廠加工車間工作流水線上依次間隔米排著個工作臺A、、、、、、、、，一只配件箱應(yīng)該放在工作臺______處，能使工作臺上的工作人員取配件所走的路程最短，最短路程是______米(4)知識遷移最大值是______，最小值是______．36．（23-24七年級上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）我們知道，可以理解為，它表示：數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，這是絕對值的幾何意義．進(jìn)一步地，數(shù)軸上的兩個點(diǎn)A，B，分別用數(shù)a，b表示，那么A，B兩點(diǎn)之間的距離為，反過來，式子的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)和表示數(shù)b的點(diǎn)之間的距離．利用此結(jié)論，回答以下問題：(1)數(shù)軸上表示數(shù)8的點(diǎn)和表示數(shù)3的點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)和表示數(shù)的點(diǎn)之間的距離是．(2)數(shù)軸上點(diǎn)A用數(shù)a表示，若，那么a的值為．(3)數(shù)軸上點(diǎn)A用數(shù)a表示，①若，那么a的值是．②當(dāng)時，數(shù)a的取值范圍是，這樣的整數(shù)a有個③有最小值，最小值是．【經(jīng)典例題七有理數(shù)中的規(guī)律探究問題】37．（23-24七年級上·江蘇泰州·階段練習(xí)）數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美結(jié)合．通過研究數(shù)軸，我們發(fā)現(xiàn)了許多重要的規(guī)律，比如：數(shù)軸上點(diǎn)A和點(diǎn)B表示的數(shù)為a，b，則A，B兩點(diǎn)之間的距離，若，則可化簡為．若，則可化簡為，請你利用數(shù)軸解決以下問題：(1)已知點(diǎn)P為數(shù)軸上任一動點(diǎn)，點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)記為m，若點(diǎn)P與表示有理數(shù)的點(diǎn)的距離是個單位長度，則m的值為______；(2)已知點(diǎn)P為數(shù)軸上任一動點(diǎn)，點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)記為m，若數(shù)軸上點(diǎn)P位于表示的點(diǎn)與表示2的點(diǎn)之間，則______；(3)已知點(diǎn)A，B，C，D在數(shù)軸上分別表示數(shù)a，b，c，d，四個點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，若，則等于______．(4)已知點(diǎn)A，B，C，D，E在數(shù)軸上分別表示數(shù)分別為：，，9，，25，一動點(diǎn)Q從原點(diǎn)O出發(fā)，沿?cái)?shù)軸以每秒鐘2個單位長度的速度來回移動，其移動方式是先向右移動1個單位長度，再向左移動2個單位長度，又向右移動3個單位長度，再向左移動4個單位長度，又向右移動5個單位長度……①求Q點(diǎn)運(yùn)動多少秒鐘后所處的位置到點(diǎn)A、B、C、D、E各點(diǎn)距離之和最短？②動點(diǎn)Q能不能在運(yùn)動過程中同時經(jīng)過這5個點(diǎn)A、B、C、D、E，若能求出從出發(fā)到都經(jīng)過這5個點(diǎn)的最短時間，若不能說明理由．38．（23-24七年級上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，有理數(shù)，分別對應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)，，且，滿足．(1)直接寫出，的值：______；______；(2)若動點(diǎn)，分別從，同時出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動，以每秒2個單位的長度的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動，當(dāng)，相遇時停止運(yùn)動，當(dāng)為何值時，；(3)我們規(guī)定，若在線段上存在滿足，則我們稱點(diǎn)是線段的一個分點(diǎn)．點(diǎn)從線段上的2分點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個單位長度在數(shù)軸上按以下規(guī)律往返運(yùn)動：第一回合，從點(diǎn)到點(diǎn)，再從點(diǎn)到點(diǎn)回到點(diǎn)；第二回合，從點(diǎn)到的中點(diǎn)，再從點(diǎn)到的中點(diǎn)回到點(diǎn)；第三回合，從點(diǎn)到的中點(diǎn)，再從點(diǎn)到的中點(diǎn)回到點(diǎn)，如此循環(huán)下去，若第秒時滿足，求的最大值．39．（23-24七年級上·天津津南·期中）平移和翻折是初中數(shù)學(xué)兩種重要的圖形變化．請思考下列問題：(1)平移運(yùn)動①把筆尖放在數(shù)軸的原點(diǎn)處，先向負(fù)方向移動3個單位長度，再向正方向移動2個單位長度，這時筆尖的位置表示的數(shù)為．A．

C．B．

D．②一機(jī)器人從原點(diǎn)O開始，第1次向左跳1個單位，緊接著第2次向右跳2個單位，第3次向左跳3個單位，第4次向右跳4個單位，…，依此規(guī)律跳，當(dāng)它跳2023次時，落在數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)是．(2)翻折變換①若折疊紙條，表示的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)重合，則表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合；②若數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離為2018（A在B的左側(cè)，且折痕與①折痕相同），且A、B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，則A點(diǎn)表示，B點(diǎn)表示．③若數(shù)軸上折疊后重合的兩點(diǎn)分別表示數(shù)a，b，則折疊中間點(diǎn)表示的數(shù)為（用含有a，b的式子表示）40．（23-24七年級上