/第24章解直角三角形練習(xí)一、單選題1．計(jì)算的值是（

）A． B． C． D．12．如圖，的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，那么的值為（

）A． B． C． D．3．如圖，在中，平分∠ABC，于點(diǎn)F，D為的中點(diǎn)，連接延長(zhǎng)交于點(diǎn)E．若，則線段的長(zhǎng)為（

）A．8 B．10 C．2 D．14．如圖，在銳角中，點(diǎn)O是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)O作直線，設(shè)交的平分線于點(diǎn)E，交的外角平分線于點(diǎn)F，若，，則的長(zhǎng)為（

）A．5 B．6 C． D．75．如圖，在平行四邊形中，，點(diǎn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，連接，則的最小值為（

）A．2 B． C．1 D．6．如圖，在中，點(diǎn)E在上，且平分．若，，則的面積為（

）A．25 B． C．50 D．7．老師帶領(lǐng)數(shù)學(xué)小組僅用測(cè)角儀和皮尺測(cè)量某橋外側(cè)拱頂離水面的高度．如圖，拱頂離水面的高度為，點(diǎn)，是水平地面上兩點(diǎn)，且與點(diǎn)，均在同一豎直平面內(nèi)．已知水平地面離水面的高度為2米，測(cè)角儀支架高度為1.5米，為達(dá)成目的，還需測(cè)量的數(shù)據(jù)是（

）A．的長(zhǎng)，的度數(shù)B．的長(zhǎng)，的度數(shù)C．的長(zhǎng)，的度數(shù)D．的長(zhǎng)，的度數(shù)8．如圖，點(diǎn)在等邊的邊上，，射線，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，．則這個(gè)最小值是（）A． B． C． D．9．如圖，在中，，，分別為，，邊的中點(diǎn)，于，，則等于（

）A．5 B．4 C．2 D．2.510．如圖，已知，M、N分別是邊上動(dòng)點(diǎn)．將沿直線折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連結(jié)、．若，，則的值為（

）A． B． C． D．二、填空題11．在直角三角形中，斜邊及其中線之和等于，那么斜邊長(zhǎng)是．12．如圖，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)，，都在格點(diǎn)上，則的值為．13．如圖，點(diǎn)在的平分線上，于點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，，則．14．如圖，在中，，，，平分交于點(diǎn)，則點(diǎn)到的距離是．15．如圖，為訂書(shū)機(jī)的托板，壓柄繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，連接桿的一端點(diǎn)D固定，點(diǎn)E從A向B處滑動(dòng)，在滑動(dòng)的過(guò)程中，的長(zhǎng)度保持不變．若，，，則的長(zhǎng)度為．三、解答題16．計(jì)算：；17．年6月2日，嫦娥六號(hào)著陸器和上升器組合體（簡(jiǎn)稱為“著上組合體”）成功著陸在月球背面．某校綜合實(shí)踐小組制作了一個(gè)“著上組合體”模擬裝置，在一次試驗(yàn)中，如圖，該模擬裝置首先進(jìn)入減速下降階段（從A點(diǎn)垂直下降到B點(diǎn)），之后進(jìn)入著陸下降階段（從點(diǎn)B垂直勻速下降到著陸點(diǎn)C），從B點(diǎn)測(cè)得地面D點(diǎn)的俯角為，米．（參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求的長(zhǎng)；(2)若在著陸下降階段，為了保證模擬裝置能夠穩(wěn)定著陸，需要保證著陸速度不超過(guò)米/秒，則該模擬裝置進(jìn)入著陸下降階段后，安全著陸的最快時(shí)間是多少秒？18．在正方形中，為射線上一點(diǎn)．(1)如圖1．若點(diǎn)在邊上，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．求證：．(2)如圖2，在（1）的條件下，與交于點(diǎn)，連接．若，當(dāng)平分時(shí)，求的長(zhǎng)．(3)如圖3，若點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，連接，，是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．求證：為的中點(diǎn)．直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．19．某中學(xué)為了豐富同學(xué)們的課外實(shí)踐活動(dòng)，組織科技愛(ài)好者在斜坡A地進(jìn)行無(wú)人機(jī)試飛．小明的無(wú)人機(jī)放飛到與水平地面距離為米的P點(diǎn)，測(cè)得斜坡A地的俯角為，斜坡B地的俯角為，斜坡的斜面坡度為(1)求斜坡A地到B地的距離；(2)下課前，老師要求同學(xué)們?cè)贏地集合，小明對(duì)無(wú)人機(jī)P發(fā)出回收指令以后，他立即從山腳的C地跑回到A地，已知斜坡與水平地面夾角為，小明上坡的跑步速度為，無(wú)人機(jī)的速度為，在小明跑到A地時(shí)，無(wú)人機(jī)是否已經(jīng)回到A地？請(qǐng)說(shuō)明理由．（，，，，，結(jié)果精確到）20．如圖1，這個(gè)圖案是我國(guó)漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．從這幅圖我們還可以演化出其他的圖形，下面就是這幅圖的一種演化：在中，，將線段繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)如圖2，求證：．(2)如圖3，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若，．①求的長(zhǎng)；②連接交于點(diǎn)N，求的值；③若點(diǎn)P在直線上，連接，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．《第24章解直角三角形練習(xí)2025-2026學(xué)年華東師大版（2024）九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)》參考答案題號(hào)12345678910答案DBDCDCDCAC1．D【分析】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握是解題關(guān)鍵根據(jù)計(jì)算即可.【詳解】解：原式.故選：D.2．B【分析】本題考查了正切函數(shù)，由圖得，即可求解．【詳解】解：如圖，在中，．故選：B．3．D【分析】由和D為中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)得；利用平分及等邊對(duì)等角推出，進(jìn)而得；延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使，連接，證明，進(jìn)而得四邊形是平行四邊形，得；根據(jù)中位線定理求得，再通過(guò)線段的差即可計(jì)算的長(zhǎng)．【詳解】解：在中，∵，∴．∵D為的中點(diǎn)，，∴（直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半）．∴（等邊對(duì)等角）．∵平分，∴．∴，∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使，連接，∵，∴，∴，，∴，又，∴四邊形是平行四邊形，，∴，∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∴是的中位線，．又∵，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理，解題的關(guān)鍵是通過(guò)角平分線和垂直條件推出等腰三角形，再結(jié)合中位線性質(zhì)求解線段長(zhǎng)度．4．C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出，，由等腰三角形的判定即可得出點(diǎn)O是的中點(diǎn)；利用勾股定理可求得的長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可求得的長(zhǎng)．【詳解】解：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，同理可得，∴；∴點(diǎn)O是的中點(diǎn)，∵、分別平分和，∴，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)定理，勾股定理是解題的關(guān)鍵．5．D【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，中位線的定義和性質(zhì)，勾股定理，先根據(jù)中位線的定義和性質(zhì)可得，再根據(jù)“垂線段最短”可知當(dāng)時(shí)，最小時(shí)，即最小，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)求出，最后根據(jù)勾股定理求出，則答案可得.【詳解】解：如圖所示，連接，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，可知最小時(shí)，最小，根據(jù)“垂線段最短”可知當(dāng)時(shí)，最小時(shí)，即最小，如圖，∵四邊形是平行四邊形，，∴，∴，在中，，，∴，根據(jù)勾股定理，得，∴的最小值為．故選：D．6．C【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定等，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F，利用直角三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的定義得到，可得，最后利用平行四邊形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F，則，又，，，平分，，四邊形是平行四邊形，，，，，的面積等于．故選：C．7．D【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用——仰角俯角問(wèn)題，根據(jù)題意構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．設(shè)，．，．，．則．，若已知的長(zhǎng)，設(shè)，則，代入可解得，進(jìn)而求得，最終得到．【詳解】解：由題意可得，測(cè)角儀水平視線到水面的高度為米，即3.5米，因此，要求只需先求．設(shè)，．在中，，則．在中，，則．所以．又因?yàn)槭堑孛嫔蟽牲c(diǎn)的距離，且與測(cè)角儀測(cè)量點(diǎn)在同一水平線上，測(cè)角儀支架高度相同，所以，若已知的長(zhǎng)，設(shè)，則，代入可解得，進(jìn)而求得，最終得到．綜上，需要測(cè)量、，這樣就能通過(guò)解方程組求出，從而得到．選項(xiàng)中的長(zhǎng)和的度數(shù)，無(wú)法直接求EH，也無(wú)法建立兩個(gè)方程求解：選項(xiàng)缺少，無(wú)法聯(lián)立方程組：選項(xiàng)中的長(zhǎng)已知?jiǎng)t無(wú)需，但實(shí)際測(cè)量中無(wú)法直接得到；選項(xiàng)中的長(zhǎng)、的度數(shù)，符合上述分析，通過(guò)兩個(gè)仰角和兩點(diǎn)距離可求解，進(jìn)而得到．故選：D8．C【分析】作E點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接、、，當(dāng)、P、F三點(diǎn)共線，時(shí)，此時(shí)的值最小，由題意可得，則，根據(jù)勾股定理即可求出的值，即的最小值．【詳解】解：作E點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)P，連接，則，∴，當(dāng)、P、F三點(diǎn)共線，且時(shí)，的值最小，∵是正三角形，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，在中，由勾股定理可得，∴的最小值．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了將軍飲馬問(wèn)題，垂線段最短，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理．熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．9．A【分析】本題主要考查了三角形中位線的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上性質(zhì)，并靈活應(yīng)用．根據(jù)條件先得出是的中位線，求出長(zhǎng)度，再利用直角三角形斜邊中線定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，分別為，邊的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∵于，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴,故選：A．10．C【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)．連接，在上截取，作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交于T，證明，推出，，設(shè)，則，在中，由勾股定理求得，，再利用正切函數(shù)的定義求解即可．【詳解】解：如圖，連接，在上截取，作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交于T，設(shè)，，∵沿直線折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上，∴，，∴，，∴，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∴，是等邊三角形，，∴，，，∴，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，，∴，∴，∴，∴，故選：C．11．8【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，設(shè)斜邊的長(zhǎng)為，則斜邊上的中線長(zhǎng)度為，根據(jù)題意列出一元一次方程，解方程即可得解，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線為斜邊的一半是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)斜邊的長(zhǎng)為，則斜邊上的中線長(zhǎng)度為，∵斜邊及其中線之和等于，∴，∴，即斜邊長(zhǎng)是，故答案為：．12．【分析】本題考查了構(gòu)造直角三角形和勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題、正弦，熟練掌握正弦的求解方法是解題關(guān)鍵．【詳解】解：如圖；延長(zhǎng)，作的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，根據(jù)勾股定理得：，，∴在中，故答案為：.13．【分析】本題考查了角平分線、含角直角三角形的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握含角直角三角形的性質(zhì)，從而完成求解．根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得，再根據(jù)含角直角三角形的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)點(diǎn)在的平分線上，，，故答案為：．14．2【分析】本題考查了直角三角形兩銳角互余，等角對(duì)等邊，角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，過(guò)點(diǎn)作于，由可得，由平分可得，即可得，進(jìn)而得到，再根據(jù)角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可解．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于，則，，，∵平分，，，，，∴點(diǎn)到的距離是2，故答案為：2．15．/7厘米【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握解直角三角形的方法是關(guān)鍵，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為F，先求出，進(jìn)而求出，可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為F，在中，，∴，，∵，∴，∴．故答案為：．16．【分析】本題考查了立方根，三角函數(shù)，含二次根式的絕對(duì)值化簡(jiǎn)和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的知識(shí)，掌握以上知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵；先根據(jù)立方根，三角函數(shù)，含二次根式的絕對(duì)值和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的知識(shí)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后按照加減運(yùn)算作答，即可求解．【詳解】解：．17．(1)(2)秒【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——仰俯角問(wèn)題，靈活運(yùn)用銳角三角函數(shù)求邊長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)B作交于點(diǎn)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，然后在中，根據(jù)三角函數(shù)，即可求解；（2）在中，根據(jù)三角函數(shù)，求得，然后即可求解；【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)B作交于點(diǎn)，如圖：，由題意可知，，，∵，∴，在中，，，，即，解得：；（2）解：在中，，，，，解得：，秒，答：安全著陸的最快時(shí)間是秒；18．(1)詳見(jiàn)解析(2)(3)詳見(jiàn)解析；【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，利用證明，即可得到結(jié)論；（2）先根據(jù)證明，即可得到，再根據(jù)，即可得到，進(jìn)而得到，根據(jù)勾股定理求出長(zhǎng)，再證明，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例得到解答即可；（3）①過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)于點(diǎn)，證明，可得，求出長(zhǎng)，再根據(jù)求出，推理得到，即可得到解答即可；②過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)勾股定理求出和長(zhǎng)，然后根據(jù)余弦的定義求出長(zhǎng)解答即可．【詳解】（1）證明：四邊形為正方形，，．．，，．，．．（2）四邊形為正方形，．平分，．，．．由（1）知，，．．．，．．．．，．（3）①證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)于點(diǎn)．四邊形是正方形，平分，．是的中點(diǎn)，．，．．．，，．，．．．，，，．，．，即為的中點(diǎn)．②．如圖2，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．在中，，．，．．由①得，在中，．．．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．19．(1)斜坡A地到B地的距離為100米(2)小明跑到A地時(shí)，無(wú)人機(jī)已經(jīng)回到A地【分析】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，是解題的關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，解直角三角形求出的長(zhǎng)，根據(jù)坡度求出，進(jìn)而推出為等腰直角三角形，得到即可；（2）分別求出的長(zhǎng)，根據(jù)時(shí)間等于路程除以速度求解即可．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，由題意，得：，，∴，∵，∴，在中，，∴，∵斜坡的斜面坡度為，∴，∴，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴；故斜坡A地到B地的距離為100米；（2）解：是，理由如下：在中，，∴，在中，，∴小明跑到A地時(shí)需要秒；∵為等腰直角三角形，，∴，∴無(wú)人機(jī)到達(dá)A地時(shí)需要秒，∵，∴小明跑到A地時(shí)，無(wú)人機(jī)已經(jīng)回到A地．20．(1)見(jiàn)解析(2)①12；②；③或【分析】（1）利用“一線三垂直”證即可得證；（2）①先證得，，再證可求長(zhǎng)度，然后即可求出的長(zhǎng)度；②利用和建立關(guān)于的方程，求出的長(zhǎng)度，最后根據(jù)正切的定義和相似的性質(zhì)得即可獲解；③根據(jù)點(diǎn)P在B點(diǎn)的左側(cè)或右側(cè)時(shí)，分類討論，由已