/天津市北辰區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)2025-2026學(xué)年上學(xué)期九年級第二次階段知識摸底數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1.下列說法正確的是（）A.“若a是實(shí)數(shù)，則”是必然事件B.成語“水中撈月”所描述的事件，是隨機(jī)事件C.“天津市明天降雨的概率為”，表示天津市明天一定降雨D.若抽獎活動的中獎概率為，則抽獎50次必中獎1次【答案】A【解析】【分析】根據(jù)事件的分類和概率的意義進(jìn)行解答即可，此題考查了事件的分類、概率的意義，熟練掌握事件的分類、概率的意義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A．“若a是實(shí)數(shù)，則”是必然事件，故選項(xiàng)正確，符合題意；B．成語“水中撈月”所描述的事件，是不可能事件，故選項(xiàng)錯誤，不符合題意；C．“天津市明天降雨的概率為”，天津市明天不一定降雨，故選項(xiàng)錯誤，不符合題意；D．若抽獎活動的中獎概率為，則抽獎50次不一定中獎1次，故選項(xiàng)錯誤，不符合題意．故選：A．2.若是關(guān)于的一元二次方程的一個根，則的值為（）A. B.2 C. D.1【答案】D【解析】【分析】本題主要考查一元二次方程的解，將根代入一元二次方程，直接求解m的值．【詳解】解：∵是關(guān)于的一元二次方程的一個根，∴，即，解得：．故選：D．3.對于拋物線，下列說法錯誤的是（）A.開口向上 B.對稱軸是直線C.時，隨的增大而減小 D.，函數(shù)有最小值【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：∵，∴拋物線開口向上，故A選項(xiàng)正確，不符合題意；∵拋物線，∴對稱軸是直線，故B選項(xiàng)正確，不符合題意；C、時，隨的增大而增大，故C選項(xiàng)錯誤，符合題意；D、，函數(shù)有最小值，故D選項(xiàng)正確，不符合題意；故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4.下面四幅球類的平面圖案中，是中心對稱圖形的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】把一個圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，根據(jù)中心對稱圖形的概念進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：選項(xiàng)中，A、B、D均不是中心對稱圖形，C是中心對稱圖形，故選：C．【點(diǎn)睛】題目主要考查中心對稱圖形的概念，理解中心對稱圖形的定義是解題關(guān)鍵．5.一元二次方程的兩根為，則的值為（）A. B. C.3 D.【答案】C【解析】【分析】先求得，，再將變形，代入與的值求解即可．【詳解】解：∵一元二次方程的兩根為，∴，∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，牢記，是解決本題的關(guān)鍵．6.若一個正六邊形的邊長為2，則其外接圓與內(nèi)切圓的半徑分別為（）A.2，1 B.2， C.，2 D.，3【答案】B【解析】【分析】從內(nèi)切圓的圓心和外接圓的圓心向三角形的邊引垂線，構(gòu)建直角三角形，解直角三角形即可．【詳解】解：設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，連接，，過作于．∵正六邊形的邊長為，∴正六邊形的半徑是，則外接圓的半徑，∵內(nèi)切圓的半徑是正六邊形的邊心距，∵，，則是等邊三角形，，∴∴∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形和圓，正多邊形的計(jì)算一般是通過中心作邊的垂線，連接半徑，把正多邊形中的半徑，邊長，邊心距，中心角之間的計(jì)算轉(zhuǎn)化為解直角三角形．7.已知，二次函數(shù)的圖象如圖所示，則點(diǎn)所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)與一元二次方程方程的關(guān)系、判斷點(diǎn)所在象限等知識點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷出的符號是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)判斷a、b、c的符號，進(jìn)而確定的正負(fù)；再根據(jù)拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，則，進(jìn)而確定點(diǎn)所在的象限．【詳解】解：由圖可知二次函數(shù)的圖象開口向上，∴；∵對稱軸在y軸右側(cè)，∴，即；∵拋物線交y軸于負(fù)半軸，∴，∴，∵拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，∴，∴點(diǎn)在第一象限．故選A．8.若點(diǎn)，，都在二次函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了比較二次函數(shù)值的大小，根據(jù)函數(shù)解析式的特點(diǎn)，確定其開口方向和對稱軸，根據(jù)開口向下的二次函數(shù)，離對稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越小即可得到答案．【詳解】解：∵拋物線開口向下，對稱軸為直線，∴離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，∵點(diǎn)，，都在二次函數(shù)的圖象上，，∴，故選：A．9.如圖，已知上三點(diǎn)，半徑，，切線交延長線于點(diǎn)，則的長為（）A.4 B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】連接OA，根據(jù)圓周角定理求出∠AOC，根據(jù)切線的性質(zhì)求出∠OAP=90°，根據(jù)30°角所對直角邊等于斜邊的一半即可得出結(jié)論．【詳解】連接OA．∵∠ABC=30°，∴∠AOC=2∠ABC=60°．∵PA是⊙O的切線，∴∠OAP=90°，∴∠OPA=30°．∵OA=OC=2，∴OP=2OA=4．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)和圓周角定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，能熟記切線的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵，注意：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑．10.如圖，在中，，，將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接并延長交于點(diǎn)D，當(dāng)時，的長是（）

A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先證，再求出的長，最后根據(jù)弧長公式求得即可．【詳解】解：，，，是繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，，，在中，，，，，，，，的長為：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換，等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)定義，弧長公式，正確運(yùn)用三角函數(shù)定義求線段的長度是解本題的關(guān)鍵．11.如圖，在中，將繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)A，B的對應(yīng)點(diǎn)分別為D，E，連接．當(dāng)點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，且時，下列結(jié)論一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及A，D，E在一條直線上和的度數(shù)，可得出為等邊三角形，進(jìn)一步求出的度數(shù)，根據(jù)等量代換可得出，據(jù)此可解決問題．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)可知，，，，即，故A選項(xiàng)不符合題意；由旋轉(zhuǎn)可知，，顯然與不一定相等，即與不一定相等，故B選項(xiàng)不符合題意，由旋轉(zhuǎn)可知，，，，故C選項(xiàng)不符合題意；，是等邊三角形，，則旋轉(zhuǎn)的角度為，，，，由旋轉(zhuǎn)可知，，，，故D選項(xiàng)符合題意，故選：D．12.某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調(diào)查反映：如調(diào)整價格，每漲價1元，每星期要少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出20件，已知商品的進(jìn)價為每件40元，有下列結(jié)論：①設(shè)每件漲價x元，則實(shí)際賣出件；②在降價的情況下，降價5元，即定價55元時，利潤最大，最大利潤是6250元；③綜合漲價與降價兩種情況及現(xiàn)在的銷售狀況可知，定價元時利潤最大；其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）A.0個 B.1個 C.2個 D.3個【答案】B【解析】【分析】本題考查的是一元二次方程應(yīng)用的最值問題.根據(jù)題意用未知數(shù)表示出未知量；根據(jù)題目的條件列出一元二次方程，轉(zhuǎn)化為一般式，求出最值.【詳解】解：∵每星期可以賣出300件，又∵每漲價1元，每星期要少賣出10件，設(shè)每件漲價x元，∴實(shí)際賣出件.故①正確；設(shè)降價y元，那么賣出件，根據(jù)題意可得：所獲得的利潤.當(dāng)時，利潤最大，售價為：，利潤最大為：.故②錯誤；設(shè)漲價x元，由題意可得：所獲利潤當(dāng)時，利潤最大，售價為：，利潤最大為：.綜合漲價與降價兩種情況及現(xiàn)在的銷售狀況可知，定價為65元時利潤最大.故③錯誤.故答案選：B二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）13.已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)，可得答案．詳解】解：由題意，得：，．，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對稱，熟練掌握點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對稱的特征是解題的關(guān)鍵．14.如圖是一個可以自由轉(zhuǎn)動的質(zhì)地均勻的轉(zhuǎn)盤，被分成12個相同的小扇形．若把某些小扇形涂上紅色，使轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤停止時，指針指向紅色的概率是，則涂上紅色的小扇形有______個．【答案】4【解析】【分析】由于轉(zhuǎn)盤被分成12個大小相同的扇形，結(jié)合指針指向紅色的概率為，讓總份數(shù)乘以相應(yīng)概率即為紅色區(qū)域的份數(shù)．【詳解】解：要使轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，指針落在紅色區(qū)域的概率為，只需使紅色區(qū)域占總面積的即可，而已知整個圓面被分成12等份，故只需使紅色占到等份．故涂上紅色的小扇形有4個，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了概率公式，用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．15.若關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是_____．【答案】且k≠0．【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到且，然后求出兩個不等式的公共部分即可．【詳解】解：根據(jù)題意得且，

解得：且k≠0．

故答案是：且k≠0．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．16.如圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點(diǎn)為圓心的圓的一部分．如果是中弦的中點(diǎn)，經(jīng)過圓心交于點(diǎn)，，，求的半徑為________．【答案】13【解析】【分析】連接，根據(jù)垂徑定理的推論，可知，然后在中利用勾股定理即可求解．【詳解】解：連接，如圖所示，設(shè)，，則，是中弦的中點(diǎn)，經(jīng)過圓心交于點(diǎn)，，，，在中，，解得；故答案為：13．【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理的推論和勾股定理，熟練掌握垂徑定理的推論以及運(yùn)用勾股定理是解答此題的關(guān)鍵．17.如圖，一塊直角三角板ABC斜邊AB與量角器的直徑重合，點(diǎn)D對應(yīng)的刻度值為50°，則∠BCD的度數(shù)為__________________．【答案】【解析】【分析】如圖，連接先求解再證明在以為圓心，半徑為的圓上，再利用圓周角定理可得答案.【詳解】解：如圖，連接點(diǎn)D對應(yīng)的刻度值為50°，直角三角板ABC的斜邊AB與量角器的直徑重合，在以為圓心，半徑為的圓上，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的外接圓的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，靈活運(yùn)用以上知識解題是解題的關(guān)鍵.18.當(dāng)時，二次函數(shù)的最大值與最小值之和為，則的值為______（寫出所有滿足條件的的值）．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)解析式求得對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線開口向下，當(dāng)時，，分最小值為，或最大值為，分別求得對應(yīng)最大值或最小值，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵，拋物線開口向下，對稱軸直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)時，，當(dāng)時，最小值為∵二次函數(shù)的最大值與最小值之和為，∴當(dāng)時，二次函數(shù)最大值為，令，即，解得：（舍去），即當(dāng)時，最大值為5，當(dāng)時，最大值為6，則最小值為，令，則，解得：（舍去），即當(dāng)時，最小值為，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的最值問題，分類討論是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共7小題，共66分，解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或推理過程）19.解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】本題考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．（1）運(yùn)用因式分解法求解即可；（2）運(yùn)用公式法求解即可．【小問1詳解】解：，因式分解，得，∴或，解得，．【小問2詳解】解：，∵，，，，∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，，∴，．20.揚(yáng)州是個好地方，有著豐富的旅游資源．某天甲、乙兩人來揚(yáng)州旅游，兩人分別從，，三個景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個景點(diǎn)游覽．（1）甲選擇景點(diǎn)的概率為________；（2）請用畫樹狀圖或列表的方法，求甲、乙兩人中至少有一人選擇景點(diǎn)的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用概率計(jì)算公式求解即可；（2）利用樹狀圖或列表的方法，分析甲、乙至少一人選擇的基本事件的個數(shù)，除以總的基本事件個數(shù)即可．【小問1詳解】解：共有個景點(diǎn)可供選擇，且選擇每種景點(diǎn)是隨機(jī)的，甲選擇景點(diǎn)的概率為．【小問2詳解】解：根據(jù)題意，列表如下：由表格可知，共有種等可能的結(jié)果，其中甲、乙至少有一人選擇景點(diǎn)共有種等可能的結(jié)果，甲、乙至少有一人選擇景點(diǎn)的概率為．【點(diǎn)睛】本題考查了簡單的概率計(jì)算，樹狀圖法或列表法求解概率，熟練掌握相關(guān)計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．21.已知內(nèi)接于，D是上的點(diǎn)．（1）如圖1，求和的大?。唬?）如圖2，，垂足為E，求的大?。敬鸢浮浚?）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可得，再由，可得，從而得到，即可；（2）連接，根據(jù)垂徑定理可得，從而得到，再由圓周角定理可得，即可．【小問1詳解】解：∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；【小問2詳解】解：如圖②，連接，∵，∴，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22.在中，是的直徑，，弦交于點(diǎn)，（1）如圖①，求和的大?。唬?）如圖②，過點(diǎn)作的切線，過點(diǎn)作于點(diǎn)，若求的長．【答案】（1），（2）【解析】【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，（1）連接，根據(jù)垂徑定理證明，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可解決問題；（2）根據(jù)切線的性質(zhì)證明，過點(diǎn)作于點(diǎn)，結(jié)合（1）證明是等腰直角三角形，四邊形為矩形，進(jìn)而可以解決問題．【小問1詳解】解：在中，連接，，，，，，，，，，；【小問2詳解】如圖②，連接，切于點(diǎn)，于點(diǎn)，，于點(diǎn)，，，，同（）可得，，如圖②，過點(diǎn)作于點(diǎn)，是等腰直角三角形，，，，四邊形為矩形，．23.如圖，某勞動小組借助一個直角墻角圍成一個矩形勞動基地，墻角兩邊和足夠長，用總長的籬笆圍成另外兩邊和．設(shè)的長為，矩形的面積為．（1）的長為____________m，的取值范圍是____________；（2）當(dāng)為何值時，勞動基地的面積為；（3）點(diǎn)處有一棵樹（樹的粗細(xì)忽略不計(jì)），它到墻的距離是，到墻的距離是，如果這棵樹需在勞動基地內(nèi)部（包括邊界），則勞動基地面積的最大值是_________，最小值是_________．【答案】（1）；（2）當(dāng)為或時，勞動基地的面積為（3）196；160【解析】【分析】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用和一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意列出等式，掌握二次函數(shù)求最值的方法．（1）籬笆總長，的長為，則，邊長為正數(shù)，故且，即可得；（2）根據(jù)題意列一元二次方程，求解即可；（3）設(shè)，則，矩形的面積為，可得，依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論．【小問1詳解】解：根據(jù)題意得：籬笆總長，的長為，則，又邊長為正數(shù)，故且，∴；故答案為：；；【小問2詳解】解：設(shè)的長為，則，根據(jù)題意得：，整理得，解得或，∴當(dāng)為或時，勞動基地的面積為；【小問3詳解】解：設(shè)，則，矩形的面積為，根據(jù)題意得：，解得，∴，∵，，∴當(dāng)時，S有最大值，最大值為，當(dāng)時，S有最小值，最小值為，故答案為：196；160．24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有，，，．將三角形ABO繞著點(diǎn)O順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A與，點(diǎn)B與相重合．（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為60°時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)落在的延長線上時，求點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）若點(diǎn)E為的中點(diǎn)，求的最大值和最小值．（直接寫出結(jié)果即可）【答案】（1）（2）（3）的最大值為，最小值為【解析】【分析】（1）過點(diǎn)作軸，由旋轉(zhuǎn)可得，進(jìn)而得出，根據(jù)勾股定理得出，即可得出答案；（2）由題意可得出落在x軸上，得出，，即可得出答案；（3）過點(diǎn)作軸，先求出，進(jìn)而得出，求出，根據(jù)三角形三邊關(guān)系得出，即，，即，即可得出答案．【小問1詳解】解：過點(diǎn)作軸，∵旋轉(zhuǎn)角為60°，∴，∴在中，，，∴；【小問2詳解】解：∵點(diǎn)落在BA的延長線上，且，．∴，∴，又，∴落在x軸上，∴在中，，，∴；【小問3詳解】解：過點(diǎn)作軸，∵，，，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∴，∴，∵當(dāng)O、B、E三點(diǎn)不共線時，，即，，即，∴當(dāng)點(diǎn)E在延長線上時，取到最小值，如圖所示；當(dāng)點(diǎn)E在延長線上時，取到最大值，如圖所示；綜上所述，的最大值為，最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．25.拋物線（b，c為常數(shù)，頂點(diǎn)為P，與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，直線l過點(diǎn)C且平行于x軸，M為第一象限內(nèi)直線l上一動點(diǎn)，N為線段上一動點(diǎn)．（1）若，①求點(diǎn)P和點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)M為直線l與拋物線的交