高中數(shù)學(xué)精編資源2/2重難2?1函數(shù)值域的求法7大題型【命題趨勢(shì)】函數(shù)的值域是函數(shù)概念中三要素之一,是高考中的必考內(nèi)容,具有較強(qiáng)的綜合性,貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)的始終.在高考試卷中的形式千變?nèi)f化,但萬(wàn)變不離其宗,真正實(shí)現(xiàn)了?？汲Ｐ碌目荚囈?考生在復(fù)習(xí)過(guò)程中首先要掌握一些簡(jiǎn)單函數(shù)的值域求解的基本方法,其次要多看多練在其他板塊中涉及值域類(lèi)型的內(nèi)容.【滿分技巧】一、求函數(shù)值域的常見(jiàn)方法1、直接法:對(duì)于簡(jiǎn)單函數(shù)的值域問(wèn)題,可通過(guò)基本初等函數(shù)的圖象、性質(zhì)直接求解;2、逐層法:求型復(fù)合函數(shù)的值域,利用一些基本初等函數(shù)的值域,從內(nèi)向外逐層求函數(shù)的值域;3、配方法:配方法是二次型函數(shù)值域的基本方法,即形如“”或“”的函數(shù)均可用配方法求值域;4、換元法:利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為易求值域的函數(shù),常用的換元有(1)或的結(jié)構(gòu),可用“”換元;(2)(均為常數(shù),),可用“”換元;(3)型的函數(shù),可用“”或“”換元;5、分離常數(shù)法:形如的函數(shù),應(yīng)用分離常數(shù)法求值域,即,然后求值域;6、基本不等式法:形如的函數(shù),可用基本不等式法求值域,利用基本不等式法求函數(shù)的值域時(shí),要注意條件“一正、二定、三相等”,即利用求函數(shù)的值域(或最值)時(shí),應(yīng)滿足三個(gè)條件:=1\*GB3①;=2\*GB3②(或)為定值;=3\*GB3③取等號(hào)的條件為,三個(gè)條件缺一不可;7、函數(shù)單調(diào)性法:確定函數(shù)在定義域上的單調(diào)性,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求出函數(shù)值域(或最值)(1)形如的函數(shù)可用函數(shù)單調(diào)性求值域;(2)形如的函數(shù),當(dāng)時(shí),若利用基本不等式等號(hào)不能成立時(shí),可考慮利用對(duì)勾函數(shù)求解;當(dāng)時(shí),在和上為單調(diào)函數(shù),可直接利用單調(diào)性求解.8、函數(shù)的有界性法:形如(或)(其中不為0)的函數(shù)求值域或最值,可用表示出(或),再根據(jù)且(或且),列出關(guān)于的取值范圍.類(lèi)似地,有:=1\*GB3①,則;=2\*GB3②,則;=3\*GB3③,則9、判別式法:形如或的函數(shù)求值域,可將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程,利用二次項(xiàng)系數(shù)不為0,判別式或二次項(xiàng)系數(shù)為0,一次方程有解得出函數(shù)的值域.10、導(dǎo)數(shù)法:對(duì)可導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo),令,求出極值點(diǎn),判斷函數(shù)單調(diào)性;如果定義域是閉區(qū)間,則函數(shù)最值一定取在極值點(diǎn)處或區(qū)間端點(diǎn)處;如果定義域是開(kāi)區(qū)間且函數(shù)存在最值,則函數(shù)最值一定取在極值點(diǎn)處.二、根據(jù)最值條件求解參數(shù)范圍解題思路已知函數(shù)的最值求參數(shù)范圍時(shí),要視參數(shù)為已知數(shù),結(jié)合函數(shù)值域(或最值)的求法,得到函數(shù)的最值(含有參數(shù)),再與給出的函數(shù)最值作比較,求出參數(shù)范圍.【熱點(diǎn)題型解讀】【題型7已知函數(shù)的最值求參數(shù)】【例7】(2022·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè))的最小值是,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A.B.C.D.【答案】A【解析】當(dāng)時(shí),,令,得,則在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,即函數(shù)在處取得最小值,所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立,令,則在上恒成立當(dāng)時(shí),不符合.當(dāng)時(shí),對(duì)稱(chēng)軸,則或解得或,所以,故選:A.【變式7?1】(2023秋·廣東茂名·高三統(tǒng)考階段練習(xí))設(shè)函數(shù)若存在最小值,則的取值范圍為()A.B.C.D.【答案】B【解析】若時(shí),,;若時(shí),當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,故沒(méi)有最小值;若時(shí),時(shí),單調(diào)遞減,,當(dāng)時(shí),,若函數(shù)有最小值,需或,解得.故選:B【變式7?2】(2022秋·新疆烏魯木齊·高三烏市八中?？茧A段練習(xí))若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,則實(shí)數(shù)_______.【答案】3【解析】∵函數(shù),由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,最大值為;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,最大值為,即,顯然不合題意,故實(shí)數(shù).【變式7?3】(2022秋·江西·高三九江一中校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù),,且的最大值為,則的取值范圍是()A.B.C.D.【答案】A【解析】由題意可知,,即,且,∴,,即.∴,(當(dāng)時(shí)也成立),令,,,,則,∵,且∴由,可得,即,又在上單調(diào)遞增,∴,∴.故選:A.【變式7?4】(2022·內(nèi)蒙古赤峰·高三赤峰二中校考階段練習(xí))已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù),且當(dāng)時(shí),.若函數(shù)在上的最小值為3,則實(shí)數(shù)a的值為()A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù),且當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),,則,所以當(dāng)時(shí),,此時(shí)當(dāng)時(shí),在,上恒成立,函數(shù)在,上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最小值,解得(舍,當(dāng)時(shí),,,函數(shù)單調(diào)遞減;,,函數(shù)單調(diào)遞增,時(shí),函數(shù)取得最小值,解得,綜上,.故選:D.【變式7?5】(2022秋·上海楊浦·高三復(fù)旦附中?？茧A段練習(xí))已知,函數(shù)的最