《總體集中趨勢的估計》教學設計一、課前預習（一）知識梳理眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值（若有多個數(shù)值出現(xiàn)次數(shù)相同且均為最多，則這組數(shù)據(jù)有多個眾數(shù)；若所有數(shù)值出現(xiàn)次數(shù)一致，則該組數(shù)據(jù)無眾數(shù)）。中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按從小到大（或從大到小）的順序排列后，位于最中間位置的數(shù)值；若數(shù)據(jù)個數(shù)為偶數(shù)，則為最中間兩個數(shù)值的算術(shù)平均數(shù)。平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即所有數(shù)據(jù)之和除以數(shù)據(jù)的個數(shù)（簡稱平均數(shù)）。（二）思考問題如何用一個數(shù)值量化兩部影視作品的熱度差異？平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)各自具有哪些特征？哪個統(tǒng)計量受極端值的影響更為顯著？（三）預習檢測已知某影視作品首周7天票房（單位：億元）：23.5,18.2,15.7,12.3,10.8,9.6,8.4，計算其平均數(shù)為______。一組關(guān)稅稅率數(shù)據(jù)為12%、15%、18%、22%、25%，其中位數(shù)為______。隨機抽取100人調(diào)查某影視作品的觀眾年齡分布，具體人數(shù)如下：12歲以下15人，1318歲32人，1925歲28人，2635歲18人，36歲以上7人，其眾數(shù)對應的年齡區(qū)間為______。二、課堂探究（一）知識探究平均數(shù)的特征：通過分析某影視作品第8天票房突增為50億元時平均數(shù)的變化情況，明確平均數(shù)對極端值具有較強的敏感性，極端值會顯著拉偏平均數(shù)的大小。中位數(shù)的特征：在關(guān)稅稅率數(shù)據(jù)（12%、15%、18%、22%、25%）中加入異常值30%后，觀察中位數(shù)的變化，理解中位數(shù)是數(shù)據(jù)排序后的中間位置數(shù)值，其大小不受極端值的影響，對異常值具有穩(wěn)健性。眾數(shù)的特征：當36歲以上觀眾人數(shù)調(diào)整為35人時，分析眾數(shù)的變化，明確眾數(shù)主要反映數(shù)據(jù)的集中趨勢，適用于分類數(shù)據(jù)或存在明顯峰值的數(shù)值型數(shù)據(jù)，能直觀體現(xiàn)數(shù)據(jù)中最常出現(xiàn)的類別或數(shù)值。（二）例題分析例：某直播帶貨從業(yè)者統(tǒng)計了近期5場直播的銷售額（單位：元），錄入數(shù)據(jù)時誤將第三場銷售額7000元錄為70000元。已知真實數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7000元，中位數(shù)為7000元。計算錯誤錄入后的平均數(shù)和中位數(shù)。對比真實數(shù)據(jù)與錯誤錄入后的結(jié)果，說明哪個統(tǒng)計量的變化幅度更大，并分析原因。答案：錯誤錄入后的平均數(shù)為19800元，中位數(shù)為8000元。平均數(shù)的變化幅度更大（真實平均數(shù)7000元，錯誤錄入后19800元，差值12800元）；中位數(shù)變化較?。ㄕ鎸嵵形粩?shù)7000元，錯誤錄入后8000元，差值1000元），這一結(jié)果表明平均數(shù)對樣本中的極端值更為敏感，而中位數(shù)對極端值不敏感。（三）由頻率分布直方圖估計集中趨勢平均數(shù)的估計方法：頻率分布直方圖中，各小矩形底邊中點的橫坐標與對應小矩形面積（即頻率）的乘積之和，即為總體平均數(shù)的估計值。中位數(shù)的估計方法：找到使得頻率分布直方圖左右兩側(cè)面積均為0.5的橫坐標值，該值即為總體中位數(shù)的估計值。眾數(shù)的估計方法：頻率分布直方圖中最高矩形底邊中點的橫坐標，即為總體眾數(shù)的估計值。例：根據(jù)某地區(qū)居民月平均用水量的頻率分布直方圖，估計該地區(qū)居民月平均用水量的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)。答案：平均數(shù)約為8.96，中位數(shù)約為6.71，眾數(shù)為5.7。三、課堂練習在統(tǒng)計5種進口商品的加征關(guān)稅稅率時，誤將某商品的加征關(guān)稅稅率25%錄入為52%。已知原來5種商品加征關(guān)稅稅率的平均數(shù)為30%，求錯誤錄入后計算的平均數(shù)與實際平均數(shù)的差值。統(tǒng)計8部影視作品的豆瓣評分時，誤將其中一部作品的評分8.0分錄入為80分。已知原來8部作品的平均評分為7.5分，求錯誤錄入后計算的平均數(shù)與實際平均數(shù)的差值。已知200輛汽車通過某一段公路時的時速頻率分布直方圖，求該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù)。某城市交通部門隨機選取100人就共享單車推行情況進行問卷調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的頻率分布直方圖，求參數(shù)x的值、調(diào)查數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)。四、課后作業(yè)（一）基礎題一組數(shù)據(jù)為10,12,15,18,20，求該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)。若一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，中位數(shù)為8，分析該組數(shù)據(jù)可能的分布形態(tài)。（二）提高題某高中高一年級學生對不同音樂類型的喜好頻數(shù)如下表所示，選擇合適的統(tǒng)計量代表該年級學生喜歡的音樂類型，并分析用該數(shù)據(jù)估計全國高一年級學生音樂喜好類型的合理性。音樂類型搖滾古典流行民謠其他合計頻數(shù)45301208025300某班級學生在相關(guān)調(diào)查問卷中反饋的玩游戲（手機）時間數(shù)據(jù)如下表所示，計算該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)，并簡要分析該班級學生的游戲時間分布特征。你平常玩游戲（手機）的時間小計比例A.平常不玩游戲36.38%B.0—1小時817.02%C.1—3小時2553.19%D.3小時以上1123.40%（三）拓展題如果一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)比平均數(shù)小很多，判斷以下敘述哪個一定錯誤，并說明理由。A．數(shù)據(jù)中可能有異常值B．這組數(shù)據(jù)是近似對稱的C．數(shù)據(jù)中可能有極端大的值D．數(shù)據(jù)中眾數(shù)可能和中位數(shù)相同五、參考答案課前預習檢測14.0718%1318歲課堂練習差值為4.4%差值為8.125眾數(shù)為65，平均數(shù)為62，中位數(shù)為62.5x=0.02，平均數(shù)為77，中位數(shù)約為77.14課后作業(yè)基礎題平均數(shù)：15，中位數(shù)：15，眾數(shù)：無（所有數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)均為1，無出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值）數(shù)據(jù)可能呈現(xiàn)右偏分布（右邊“拖尾”），即存在較大的極端值，導致平均數(shù)被拉高，而中位數(shù)不受極端值影響，仍保持在較低水平。提高題選擇眾數(shù)“流行”作為代表合適，因為“流行”音樂的喜好頻數(shù)最高（120人），能反映該年級學生中最受歡迎的音樂類型；僅用某一所高中高一年級的數(shù)據(jù)估計全國高一年級學生的音樂喜好類型不合理，因為該樣本僅來自單一學校，缺乏廣泛代表性，無法涵蓋不同地區(qū)、不同類型學校學生的喜好差異。平均數(shù)為2.09小時，中位數(shù)為2小時，眾數(shù)為13小時；分析：該班級學生玩游戲時間的眾數(shù)為13小時，占比超過50%，說明多數(shù)學生的游戲時間集中在該區(qū)間；中位數(shù)為2小時，表明一半學生的游戲時間不超過2小時，一半學生不低于2小時；平均數(shù)為2.09小時，略高于中位數(shù)，可能存在部分學生游戲時間較長（3小時以上），對平均數(shù)有一定拉高作用。拓展題B一定錯誤。理由：若數(shù)據(jù)是近似對稱的，其平均數(shù)、中位數(shù)