【第28講：平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用】【新高考課標(biāo)要求】1.理解數(shù)量積的含義與物理意義：明確平面向量數(shù)量積是兩個(gè)非零向量的模與它們夾角余弦值的乘積，即，并了解其在物理等領(lǐng)域中的應(yīng)用背景。2.了解數(shù)量積與投影向量的關(guān)系：知道向量在向量上的投影向量與數(shù)量積之間的聯(lián)系，理解數(shù)量積可以表示為一個(gè)向量的模與另一個(gè)向量在其方向上投影向量長(zhǎng)度的乘積。3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算：掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式（設(shè)，），能熟練運(yùn)用該公式進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。4.運(yùn)用數(shù)量積解決向量夾角與垂直問(wèn)題：能運(yùn)用數(shù)量積公式表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)通過(guò)判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系，即若，，則。5.用向量方法解決平面幾何問(wèn)題：會(huì)用向量的方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題，如利用向量判斷線段的平行、垂直關(guān)系，計(jì)算線段長(zhǎng)度、角度等，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算問(wèn)題。6.用向量方法解決實(shí)際問(wèn)題：能夠運(yùn)用向量知識(shí)解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題，例如力的合成與分解、物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分析等，體現(xiàn)向量的工具性作用?！局R(shí)梳理】平面向量的數(shù)量積 定義：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，則數(shù)量叫做與的數(shù)量積，記作，即，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為。 幾何意義：數(shù)量積等于的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積，也等于的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積。 性質(zhì)：設(shè)、為非零向量，是單位向量，為與的夾角，則有；；當(dāng)與同向時(shí)，，當(dāng)與反向時(shí)，，且；，當(dāng)且僅當(dāng)與共線時(shí)等號(hào)成立；。 運(yùn)算律：交換律；數(shù)乘結(jié)合律；分配律。注意數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即，這是因?yàn)槭且粋€(gè)與共線的向量，是一個(gè)與共線的向量，而與不一定共線。 坐標(biāo)運(yùn)算：已知非零向量，，則，且，，。常用結(jié)論1.與單位向量相關(guān)：?jiǎn)挝幌蛄坑袩o(wú)數(shù)個(gè)，它們大小都為，但方向不一定相同；與向量平行的單位向量有兩個(gè)，即向量和。2.極化恒等式： 平行四邊形形式：若在平行四邊形中，，，則，也等于以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的。 三角形形式：在中，為的中點(diǎn)，，，則。3.向量模長(zhǎng)的常用處理方式： 公式法：利用及，把向量模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算。 坐標(biāo)法：若，則。4.向量夾角相關(guān)結(jié)論：設(shè)，為非零向量，其夾角為。 數(shù)量積大于說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為銳角（當(dāng)與共線同向時(shí)，數(shù)量積也大于）；數(shù)量積等于說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為直角；數(shù)量積小于說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為鈍角（當(dāng)與共線反向時(shí)，數(shù)量積也小于）。 若，，則。5.向量垂直的充要條件：對(duì)于非零向量，，，若用坐標(biāo)表示，當(dāng)，時(shí)，。但要注意數(shù)量積的運(yùn)算是對(duì)非零向量而言的，若，雖然有，但不能說(shuō)。6.向量數(shù)量積與向量投影：向量在向量方向上的投影向量為，投影數(shù)量為，當(dāng)為銳角時(shí)，投影數(shù)量是正數(shù)；當(dāng)為鈍角時(shí)，投影數(shù)量是負(fù)數(shù)；當(dāng)為直角時(shí)，投影數(shù)量是。微點(diǎn)提醒1.向量夾角范圍：向量夾角的范圍是，特別注意當(dāng)兩向量共線同向時(shí)，夾角；共線反向時(shí)，夾角。在利用向量夾角相關(guān)結(jié)論解題時(shí)，需準(zhǔn)確判斷夾角的情況。2.數(shù)量積運(yùn)算注意事項(xiàng)： 進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算時(shí)，要注意向量夾角與已知平面幾何圖形中的角的關(guān)系是相等還是互補(bǔ)，避免出現(xiàn)錯(cuò)誤。例如在三角形中，兩向量的夾角可能與三角形內(nèi)角并不直接相等。 數(shù)量積運(yùn)算不滿足消去律，即由不能必然推出。這是因?yàn)椋藭r(shí)有可能。 等式兩邊不能隨意約去一個(gè)向量，即若向量、、滿足，則不一定有。3.解決幾何圖形中向量問(wèn)題：解決涉及幾何圖形的向量的數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，可先利用向量的加、減運(yùn)算或數(shù)量積的運(yùn)算律化簡(jiǎn)后再運(yùn)算。通常先建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系；最后把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系。4.向量在物理中的應(yīng)用注意：在將向量知識(shí)應(yīng)用于物理問(wèn)題（如力的合成與分解、速度的合成與分解等）時(shí)，要準(zhǔn)確分析物理情境，明確各向量之間的關(guān)系，注意向量的方向與物理量方向的對(duì)應(yīng)，以及大小的對(duì)應(yīng)關(guān)系。平面向量的應(yīng)用 平面幾何中的應(yīng)用：由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景，平面幾何圖形的許多性質(zhì)，如全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來(lái)。用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三部曲”為： 建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題。 通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題。 把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系。 物理中的應(yīng)用：速度、力是向量，都可以轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題，力的合成與分解符合平行四邊形法則。例如，兩個(gè)人共提一個(gè)行李包，可通過(guò)向量運(yùn)算分析拉力與夾角的關(guān)系；物體在多個(gè)力作用下的運(yùn)動(dòng)，可利用向量求合力等?！菊n前自測(cè)】【真題感悟】一、單選題1．（2023·全國(guó)甲卷·高考真題）已知向量，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面向量模與數(shù)量積的坐標(biāo)表示分別求得，從而利用平面向量余弦的運(yùn)算公式即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，則，，所以.故選：B.2．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】由得，結(jié)合，得，由此即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)?，所以，從?故選：B.3．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）已知的半徑為1，直線PA與相切于點(diǎn)A，直線PB與交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若，則的最大值為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義可得，或然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定的最大值.【詳解】如圖所示，，則由題意可知:，由勾股定理可得

當(dāng)點(diǎn)位于直線異側(cè)時(shí)或PB為直徑時(shí)，設(shè)，則：，則當(dāng)時(shí)，有最大值.

當(dāng)點(diǎn)位于直線同側(cè)時(shí)，設(shè)，則：，，則當(dāng)時(shí)，有最大值.綜上可得，的最大值為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數(shù)量積的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值的問(wèn)題，考查了學(xué)生對(duì)于知識(shí)的綜合掌握程度和靈活處理問(wèn)題的能力.4．（2023·全國(guó)甲卷·高考真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.【詳解】因?yàn)?所以,即,即,所以.如圖,設(shè),由題知,是等腰直角三角形,AB邊上的高,所以,,.故選:D.5．（2024·全國(guó)甲卷·高考真題）設(shè)向量，則（

）A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件【答案】C【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.【詳解】對(duì)A，當(dāng)時(shí)，則，所以，解得或，即必要性不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，故，所以，即充分性成立，故C正確；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，則，解得，即必要性不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，不滿足，所以不成立，即充分性不立，故D錯(cuò)誤.故選：C.二、填空題6．（2025·全國(guó)二卷·高考真題）已知平面向量若，則【答案】【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)化運(yùn)算得，再利用向量垂直的坐標(biāo)表示得到方程，解出即可.【詳解】，因?yàn)?，則，則，解得.則，則.故答案為：.7．（2024·天津·高考真題）已知正方形的邊長(zhǎng)為1，若，其中為實(shí)數(shù)，則；設(shè)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】解法一：以為基底向量，根據(jù)向量的線性運(yùn)算求，即可得，設(shè)，求，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求的最小值；解法二：建系標(biāo)點(diǎn)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求，即可得，設(shè)，求，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求的最小值.【詳解】解法一：因?yàn)?，即，則，可得，所以；由題意可知：，因?yàn)闉榫€段上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，則，可得，又因?yàn)?，可知：?dāng)時(shí)，取到最小值；解法二：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，可得，因?yàn)?，則，所以；因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，設(shè)，且為中點(diǎn)，則，可得，則，且，所以當(dāng)時(shí)，取到最小值為；故答案為：；.8．（2025·天津·高考真題）中，D為AB邊中點(diǎn)，，則（用，表示），若，，則【答案】；【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算求解即可空一，應(yīng)用數(shù)量積運(yùn)算律計(jì)算求解空二.【詳解】如圖，因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)镈為線段的中點(diǎn)，所以；又因?yàn)?，所以，，所以所以，所以．故答案為：?題型題型分類知識(shí)講解與?？碱}型【考點(diǎn)一：平面向量的數(shù)量積計(jì)算】【例題】1．（2025·天津紅橋·模擬預(yù)測(cè)）已知，，與夾角的大小為，則（

）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義求兩個(gè)向量的數(shù)量積.【詳解】因?yàn)?故選：B2．（2025·廣西柳州·模擬預(yù)測(cè)）已知與的夾角，則.【答案】6【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律求解即可.【詳解】由與的夾角，則.故答案為：6.【針對(duì)訓(xùn)練】3．（2025·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知是邊長(zhǎng)為1的正三角形，點(diǎn)在上且，是上一點(diǎn)且，則（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】利用平面向量的線性定理將求出來(lái)，然后利用向量的數(shù)量積公式求出的值.【詳解】∵，∴，∴三點(diǎn)共線，∴，?∴，∴．∴，∴，故選：C．4．（2025·河北·模擬預(yù)測(cè)）若，，，則（

）A．6 B．8 C．9 D．12【答案】B【分析】令，，得，由平面向量數(shù)量積運(yùn)算律即可即可.【詳解】令，，則，.故選：B.5．（2025·甘肅金昌·三模）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓與軸相切于點(diǎn)，直線交圓于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第二象限，則（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】求出弦長(zhǎng)后根據(jù)數(shù)量積的定義可求.【詳解】（圖片優(yōu)化老師注意：圖中BC傾斜角30度，需調(diào)整）優(yōu)化完后請(qǐng)刪除此段提醒由題意，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，因?yàn)閳A與軸相切于點(diǎn)，所以，故，而到直線的距離為，所以，而直線斜率為，故直線的傾斜角為，故，則.故選：B.【解題策略】一、核心解題方法與適用場(chǎng)景1.定義法適用條件：已知兩向量模長(zhǎng)（或可通過(guò)幾何關(guān)系推導(dǎo)模長(zhǎng)）、兩向量夾角（或可通過(guò)圖形特征確定夾角），直接關(guān)聯(lián)數(shù)量積與“模長(zhǎng)×夾角余弦值”的核心關(guān)系。核心邏輯：先明確向量模長(zhǎng)與夾角（注意夾角范圍為），再代入公式計(jì)算，無(wú)需額外轉(zhuǎn)化，適用于條件直接的基礎(chǔ)計(jì)算場(chǎng)景。2.坐標(biāo)法適用條件：題目涉及幾何圖形（如矩形、直角三角形、含坐標(biāo)點(diǎn)的圖形），或可通過(guò)構(gòu)造直角坐標(biāo)系（如以直角頂點(diǎn)、對(duì)稱中心為原點(diǎn)）將向量轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)形式。核心邏輯：通過(guò)建系將向量坐標(biāo)化，利用坐標(biāo)公式（，）計(jì)算，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，適用范圍最廣，尤其適合復(fù)雜圖形場(chǎng)景。3.極化恒等式法適用條件：題目含“中點(diǎn)”“中線”元素，或涉及平行四邊形、三角形的對(duì)稱結(jié)構(gòu)，需規(guī)避復(fù)雜模長(zhǎng)與夾角推導(dǎo)，快速關(guān)聯(lián)向量數(shù)量積與線段長(zhǎng)度。核心邏輯：利用圖形對(duì)稱性，選擇對(duì)應(yīng)公式簡(jiǎn)化計(jì)算——三角形中（為中點(diǎn)）用，平行四邊形中用，直接通過(guò)線段長(zhǎng)度求數(shù)量積。4.轉(zhuǎn)化法適用條件：題目給出多向量線性關(guān)系（如），或含向量垂直、共線等特殊關(guān)系，需通過(guò)運(yùn)算律化簡(jiǎn)后計(jì)算。核心邏輯：利用數(shù)量積運(yùn)算律展開(kāi)化簡(jiǎn)——通過(guò)分配律拆解復(fù)合向量，結(jié)合“自身數(shù)量積等于模長(zhǎng)平方”（）、“垂直向量數(shù)量積為0”（）等性質(zhì)，將未知數(shù)量積轉(zhuǎn)化為已知條件可代入的形式。二、高考高頻易錯(cuò)點(diǎn)規(guī)避1.夾角判斷誤區(qū)：向量夾角需滿足“起點(diǎn)重合”，不可直接等同于幾何圖形內(nèi)角，若向量方向相反（如與），需取內(nèi)角補(bǔ)角計(jì)算，避免角度符號(hào)錯(cuò)誤。2.零向量遺漏：未明確“非零向量”時(shí)，需考慮或的情況（此時(shí)），防止漏解；同時(shí)注意數(shù)量積為0時(shí)，向量可能垂直或含零向量，不可直接判定垂直。3.建系規(guī)范問(wèn)題：構(gòu)造坐標(biāo)系時(shí)，優(yōu)先選擇直角頂點(diǎn)、對(duì)稱點(diǎn)為原點(diǎn)，確保坐標(biāo)軸與圖形邊平行/垂直，避免坐標(biāo)計(jì)算中因建系不規(guī)范導(dǎo)致的數(shù)值偏差；無(wú)直角時(shí)可通過(guò)“作高”構(gòu)造直角條件。三、通用解題步驟（四步流程）1.條件分析：快速識(shí)別題目關(guān)鍵信息——是否有模長(zhǎng)/夾角（匹配定義法）、是否含可建系圖形（匹配坐標(biāo)法）、是否有中點(diǎn)/對(duì)稱結(jié)構(gòu)（匹配極化恒等式）、是否有線性關(guān)系（匹配轉(zhuǎn)化法）。2.方法選擇：優(yōu)先用坐標(biāo)法（適配多數(shù)場(chǎng)景），再根據(jù)條件特征靈活切換——基礎(chǔ)條件用定義法，中點(diǎn)/對(duì)稱場(chǎng)景用極化恒等式，線性關(guān)系用轉(zhuǎn)化法，避免方法冗余。3.計(jì)算執(zhí)行：代入對(duì)應(yīng)公式時(shí)，重點(diǎn)關(guān)注符號(hào)細(xì)節(jié)（如鈍角的為負(fù)、第三象限坐標(biāo)的正負(fù)性），展開(kāi)運(yùn)算律時(shí)確保分配完整，不遺漏項(xiàng)或符號(hào)錯(cuò)誤。4.結(jié)果驗(yàn)證：結(jié)合數(shù)量積幾何意義驗(yàn)證——正數(shù)說(shuō)明夾角為銳角或同向，負(fù)數(shù)說(shuō)明鈍角或反向，零說(shuō)明垂直或含零向量，通過(guò)邏輯判斷排除計(jì)算失誤?！究键c(diǎn)二：向量數(shù)量積的性質(zhì)及其應(yīng)用】【角度1：夾角和垂直】【例題】1．（2025·甘肅白銀·二模）已知，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：A.2．（2025·海南?？凇つM預(yù)測(cè)）已知向量，的模長(zhǎng)相等，與的夾角為，若，則與的夾角為．【答案】【分析】設(shè)，先將整理成，兩邊取平方，推得，再由整理成，兩邊取平方，利用向量數(shù)量積的定義求出即得答案.【詳解】由可得，兩邊取平方，，設(shè)，則，即，再由可得，兩邊取平方，，即，解得，因，則.故答案為：.【針對(duì)訓(xùn)練】1．（2025·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）已知非零向量與不共線，且滿足，與的夾角為，則向量與向量的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)向量與向量的夾角為，設(shè)，進(jìn)而利用向量的夾角公式列出等式，解方程即可求得答案.【詳解】設(shè)向量與向量的夾角為，,設(shè)，則，則，與的夾角為，所以，則，即，可得,解得（舍）或，則．故選：A．2．（2025·云南·模擬預(yù)測(cè)）已知非零向量，滿足與夾角的余弦值為，若，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，由向量垂直得數(shù)量積為0即可列方程求解.【詳解】設(shè)，因?yàn)榕c夾角的余弦值為，且，所以，即，解得.故選：A.3．（2025·甘肅金昌·三模）已知向量，其中，為單位向量，且，則.【答案】/【分析】求出后由夾角公式可求余弦值.【詳解】，同理，，故，故答案為：.【角度2：平面向量的?！俊纠}】1．（2025·廣西·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，滿足，，且，則．【答案】【分析】由兩邊平方，結(jié)合數(shù)量積的性質(zhì)及條件可求，再由結(jié)合數(shù)量積性質(zhì)求結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以，又，，所以，所以．故答案為?2．（2025·河北秦皇島·模擬預(yù)測(cè)）已知，是單位向量，且，若向量滿足，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．1【答案】B【分析】設(shè)，，，利用得到，轉(zhuǎn)化為圓心到原點(diǎn)的距離加上圓的半徑可得答案.【詳解】因?yàn)?，是單位向量，且，所以，又因?yàn)?，所以，設(shè)，，，則，所以，因?yàn)椋?，可得，化?jiǎn)得，配方得，表示以為圓心，為半徑的圓，圓心到原點(diǎn)的距為，則的最大值為圓心到原點(diǎn)的距離加上圓的半徑，即為.故選：B.【針對(duì)訓(xùn)練】1．（2025·河北·模擬預(yù)測(cè)）若平面向量，，滿足，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】移項(xiàng)得，再同平方即可得到，再計(jì)算即可.【詳解】由可得，即，，代入，，可得，，故.故選：C.【多選題】2．（2025·陜西寶雞·二模）已知向量，則下列結(jié)論正確的有（

）A．若，則B．若，則C．若與的夾角是，則D．若與的方向相反，則在上的投影向量坐標(biāo)是【答案】ABC【分析】利用向量平行、垂直的坐標(biāo)表示判斷AB，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律判斷C，利用投影向量的定義判斷D.【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，則，解得，A說(shuō)法正確；若，則，解得，B說(shuō)法正確；若與的夾角是，因?yàn)?，，所以，所以，C說(shuō)法正確；若與的方向相反，所以，所以在上的投影向量為，D說(shuō)法錯(cuò)誤；故選：ABC3．（24-25高一下·內(nèi)蒙古興安盟·期中）已知滿足，若在方向上的投影向量為，則．【答案】【分析】利用投影向量的定義求出，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解.【詳解】由在方向上的投影向量為，得，則，而，于是，所以.故答案為：【解題策略】一、向量數(shù)量積的核心性質(zhì)梳理1.與模長(zhǎng)相關(guān)的性質(zhì)：對(duì)任意向量，（即）；對(duì)任意兩向量，，（當(dāng)且僅當(dāng)與共線時(shí)等號(hào)成立）。2.與夾角相關(guān)的性質(zhì)：設(shè)，為非零向量，夾角為（），則；且（與同向時(shí)），（），（與反向時(shí)）。3.與投影相關(guān)的性質(zhì)：向量在方向上的投影數(shù)量為，投影向量為；數(shù)量積等于與在方向上投影數(shù)量的乘積，或與在方向上投影數(shù)量的乘積。4.與特殊向量相關(guān)的性質(zhì)：若為單位向量，則（為與的夾角）；零向量與任意向量的數(shù)量積為，即。二、各性質(zhì)的應(yīng)用思路（結(jié)合高考與模擬題場(chǎng)景）1.與模長(zhǎng)相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用：求向量模長(zhǎng)、最值應(yīng)用場(chǎng)景：題目要求計(jì)算向量模長(zhǎng)（如），或求與模長(zhǎng)相關(guān)的最值（如的最小值），常結(jié)合向量線性關(guān)系或已知數(shù)量積條件。解題思路： 求模長(zhǎng)：利用，將所求模長(zhǎng)平方后轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算，即。若為復(fù)合向量（如），則展開(kāi)為，代入已知條件計(jì)算后開(kāi)方。 求最值：將模長(zhǎng)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于某一變量（如向量夾角、參數(shù)）的函數(shù)，結(jié)合確定取值范圍，進(jìn)而求最值。高考與模擬題適配重點(diǎn)：新高考中常結(jié)合“向量線性組合”考查，如已知，，，求；或結(jié)合三角函數(shù)求最值，如已知，夾角為，求的最大值。2.與夾角相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用：判斷夾角類型、求夾角大小應(yīng)用場(chǎng)景：題目要求判斷兩向量夾角是銳角、直角還是鈍角，或直接計(jì)算兩向量夾角的余弦值、角度，常給出向量坐標(biāo)或模長(zhǎng)與數(shù)量積條件。解題思路： 判斷夾角類型：先排除零向量情況（若未明確非零，需先說(shuō)明），再根據(jù)的符號(hào)判斷——且與不共線（避免同向時(shí)誤判為銳角），則夾角為銳角；，則夾角為直角；且與不共線（避免反向時(shí)誤判為鈍角），則夾角為鈍角。 求夾角大?。合却_定，為非零向量，計(jì)算，與，代入，結(jié)合確定角度（特殊角直接對(duì)應(yīng)，非特殊角保留余弦值或用反三角函數(shù)表示）。高考與模擬題適配重點(diǎn)：高頻考查“坐標(biāo)型向量夾角計(jì)算”（如已知，，求夾角），或“結(jié)合幾何圖形判斷夾角”（如在三角形中，判斷與的夾角類型）。3.與投影相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用：求投影數(shù)量、關(guān)聯(lián)幾何長(zhǎng)度應(yīng)用場(chǎng)景：題目要求計(jì)算某向量在另一向量方向上的投影數(shù)量，或利用投影與數(shù)量積的關(guān)系求幾何圖形中的線段長(zhǎng)度（如三角形的高），常出現(xiàn)在幾何背景題中。解題思路： 求投影數(shù)量：明確投影方向（如在方向上的投影），直接代入公式，若已知向量坐標(biāo)，可先計(jì)算數(shù)量積與再求解。 關(guān)聯(lián)幾何長(zhǎng)度：將幾何中的“線段投影長(zhǎng)度”轉(zhuǎn)化為向量投影，如三角形中，邊上的高可表示為在方向上投影數(shù)量的絕對(duì)值，結(jié)合面積公式關(guān)聯(lián)計(jì)算。高考與模擬題適配重點(diǎn)：模擬題中常結(jié)合“三角形高、平行四邊形高”考查，高考題中偶見(jiàn)與“物理做功”結(jié)合（功是力與位移的數(shù)量積，本質(zhì)是力在位移方向上的投影與位移大小的乘積）。4.與特殊向量相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用：?jiǎn)挝幌蛄窟\(yùn)算、零向量特殊處理應(yīng)用場(chǎng)景：題目涉及單位向量（如求與某向量平行的單位向量），或需利用零向量數(shù)量積為的性質(zhì)解題（如已知，判斷與的關(guān)系）。解題思路： 單位向量運(yùn)算：與平行的單位向量為（），計(jì)算時(shí)先求，再分同向、反向兩種情況；涉及單位向量數(shù)量積時(shí)，利用簡(jiǎn)化運(yùn)算。 零向量處理：若題目未明確“非零向量”，需考慮或的情況（此時(shí)）；若已知，變形為，需分或兩種情況討論，避免漏解。高考與模擬題適配重點(diǎn)：常以“多選題選項(xiàng)”形式考查，如判斷“與平行的單位向量有兩個(gè)”“若，則”等表述的正誤。三、應(yīng)用中的核心注意事項(xiàng)1.符號(hào)把控：計(jì)算數(shù)量積、投影數(shù)量時(shí)，需關(guān)注向量夾角的余弦值符號(hào)（鈍角為負(fù)、銳角為正），以及向量坐標(biāo)的正負(fù)（如第三象限向量坐標(biāo)均為負(fù)，數(shù)量積可能為正），避免符號(hào)錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)果偏差。2.共線排除：判斷銳角、鈍角時(shí)，必須排除兩向量共線的情況（同向時(shí)，反向時(shí)），否則會(huì)將“同向”誤判為銳角、“反向”誤判為鈍角。3.幾何關(guān)聯(lián)：結(jié)合幾何圖形應(yīng)用時(shí)，需先將幾何元素（如邊、角）轉(zhuǎn)化為向量，明確向量的起點(diǎn)、方向（如與方向相反，數(shù)量積為負(fù)），再關(guān)聯(lián)對(duì)應(yīng)性質(zhì)解題，避免幾何關(guān)系與向量關(guān)系混淆。四、通用解題流程1.性質(zhì)匹配：分析題目條件（模長(zhǎng)、數(shù)量積、坐標(biāo)、幾何圖形），確定適配的數(shù)量積性質(zhì)（如求模長(zhǎng)匹配“模長(zhǎng)相關(guān)性質(zhì)”，求夾角匹配“夾角相關(guān)性質(zhì)”）；2.條件轉(zhuǎn)化：將已知條件轉(zhuǎn)化為性質(zhì)所需的關(guān)鍵量（如求夾角需轉(zhuǎn)化出，，），若為幾何題，先建立向量與幾何元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系；3.代入運(yùn)算：根據(jù)性質(zhì)公式代入計(jì)算，注意符號(hào)、共線等特殊情況的處理；4.結(jié)果驗(yàn)證：結(jié)合性質(zhì)的幾何意義或代數(shù)邏輯驗(yàn)證結(jié)果（如夾角余弦值絕對(duì)值不超過(guò)1，模長(zhǎng)為非負(fù)數(shù)），排除錯(cuò)誤?！究键c(diǎn)3：平面向量的綜合應(yīng)用】【例題】1．（2025·廣西·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，設(shè)函數(shù)．(1)化簡(jiǎn)并寫出的最小正周期；(2)在中，角對(duì)的邊分別為，若，，的面積為，是線段的中點(diǎn)，求的值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合誘導(dǎo)公式、二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)三角函數(shù)的周期公式求最小正周期即可；（2）由求出，由三角形面積公式和余弦定理求出和，再根據(jù)是線段的中點(diǎn)可得，利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可.【詳解】（1）由題意可得，故最小正周期為．（2）因?yàn)?，且，所以，解得，由，得，由余弦定理即，解得，又因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以，得，故．2．（2025·寧夏中衛(wèi)·三模）已知，，.(1)求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；(2)設(shè)的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若且.求面積的最大值.【答案】(1)，(2)【分析】通過(guò)向量數(shù)量積得到函數(shù)表達(dá)式，并利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)表達(dá)式，再運(yùn)用正弦函數(shù)單調(diào)性，整體代換計(jì)算即可.利用余弦定理建立邊角關(guān)系，結(jié)合不等式求面積的最大值.【詳解】（1）首先，根據(jù)題意，可得到：，，，令，，得：，即：，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）由，得，，解得：，，可得，由于，所以；利用余弦定理可得，，，由不等式，得：，，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“=”，所以.的面積，當(dāng)取最大值3時(shí)，面積最大，.【針對(duì)訓(xùn)練】1．（2025·天津·二模）在中，點(diǎn)D在邊BC上，且，E為線段AD的中點(diǎn).已知，，則（用，表示）；若，，且，則.【答案】/【分析】根據(jù)幾何圖形，結(jié)合向量的線性運(yùn)算，即可用基底表示，首先用基底表示，再利用數(shù)量積公式，求，即可求解.【詳解】由條件可知，,所以；由，得，得，所以，得，且，，所以，得,,所以.故答案為：2．（2025·天津·一模）如圖，在平行四邊形中，，點(diǎn)E為中點(diǎn)，，點(diǎn)F為邊上的點(diǎn)．若點(diǎn)F滿足，且，則；若點(diǎn)F為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為．

【答案】【分析】由題意得，從而；對(duì)于第二問(wèn)，設(shè)，首先分解，然后由數(shù)量積的運(yùn)算律轉(zhuǎn)換成關(guān)于的二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域即可求解.【詳解】由題意所以，設(shè)，，，，，設(shè)，對(duì)稱軸是，故單調(diào)遞增，從而當(dāng)點(diǎn)F為線段上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，的取值范圍為.故答案為：；.3．（24-25高一下·天津西青·期中）在中，，，，分別為邊，的中點(diǎn)，若點(diǎn)在線段上，且，，則.若，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則及基本定理解決第一空，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，表示出點(diǎn)坐標(biāo)，再由坐標(biāo)法求數(shù)量積，最后由二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】依題意，又，且、不共線，所以，所以；如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，所以，，所以，因?yàn)辄c(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，所以設(shè)，，則，則，所以，，所以，所以當(dāng)時(shí)取得最小值，最小值為；

故答案為：；【解題策略】一、平面向量在平面幾何中的綜合應(yīng)用核心邏輯：利用向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積，將平面幾何中的“位置關(guān)系”（平行、垂直）和“數(shù)量關(guān)系”（長(zhǎng)度、角度、面積）轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)幾何問(wèn)題代數(shù)化求解。1.證明平行、垂直關(guān)系應(yīng)用場(chǎng)景：題目要求證明線段平行（如梯形兩腰平行）、線段垂直（如三角形高線），或證明特殊圖形（如矩形、菱形），常給出幾何圖形的邊長(zhǎng)、內(nèi)角或頂點(diǎn)坐標(biāo)。解題思路： 證明平行：若要證線段，需證向量與共線，即存在實(shí)數(shù)，使得（非零向量）；若已知坐標(biāo)，可通過(guò)向量坐標(biāo)成比例驗(yàn)證（如，，則）。 證明垂直：若要證線段，需證向量；若已知向量模長(zhǎng)與夾角，可通過(guò)數(shù)量積定義驗(yàn)證；若已知坐標(biāo)，直接計(jì)算坐標(biāo)數(shù)量積（）。高考與模擬題適配重點(diǎn)：新高考常結(jié)合“三角形中位線平行”“矩形鄰邊垂直”考查，如在中，、分別為、中點(diǎn)，證明；或已知平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)，證明其為矩形。2.計(jì)算長(zhǎng)度、角度、面積應(yīng)用場(chǎng)景：題目要求計(jì)算幾何圖形的邊長(zhǎng)（如三角形邊長(zhǎng)）、內(nèi)角（如菱形內(nèi)角）、面積（如三角形、平行四邊形面積），常關(guān)聯(lián)向量模長(zhǎng)、數(shù)量積或投影。解題思路： 計(jì)算長(zhǎng)度：將線段長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為向量模長(zhǎng)，利用計(jì)算；若為復(fù)合向量（如），則先展開(kāi)模長(zhǎng)平方（），再代入已知條件開(kāi)方。 計(jì)算角度：利用數(shù)量積與夾角的關(guān)系，先求對(duì)應(yīng)向量的數(shù)量積及模長(zhǎng)，代入，結(jié)合確定角度（如三角形內(nèi)角、菱形鄰角）。 計(jì)算面積：三角形面積（、為兩邊對(duì)應(yīng)向量，為夾角），可通過(guò)（由數(shù)量積求）計(jì)算；平行四邊形面積（叉積絕對(duì)值，坐標(biāo)形式為）。高考與模擬題適配重點(diǎn)：高頻考查“三角形面積計(jì)算”（如已知，，求面積），或“菱形內(nèi)角與面積關(guān)聯(lián)”（如已知菱形邊長(zhǎng)及兩鄰邊向量數(shù)量積，求面積）。二、平面向量與函數(shù)、三角函數(shù)的綜合應(yīng)用核心邏輯：將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)表達(dá)式（如含參數(shù)的二次函數(shù)、三角函數(shù)），利用函數(shù)的單調(diào)性、最值、奇偶性等性質(zhì)求解，體現(xiàn)向量的“工具性”與“代數(shù)性”結(jié)合。1.與函數(shù)結(jié)合求最值、參數(shù)范圍應(yīng)用場(chǎng)景：題目給出向量的線性組合（如，為參數(shù)），或向量數(shù)量積含參數(shù)（如），要求求最值（如的最小值）或參數(shù)范圍（如數(shù)量積大于0時(shí)的范圍）。解題思路： 步驟1：將向量表達(dá)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)形式——若涉及模長(zhǎng)，先平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量積（如）；若涉及數(shù)量積，直接展開(kāi)為關(guān)于參數(shù)的函數(shù)（如一次函數(shù)、二次函數(shù)）。 步驟2：分析函數(shù)類型求范圍——若為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)頂點(diǎn)式（，）求最值；若為一次函數(shù)，結(jié)合參數(shù)定義域（如）求范圍；若含絕對(duì)值，利用絕對(duì)值不等式（）輔助求解。高考與模擬題適配重點(diǎn)：常結(jié)合“向量線性插值”考查，如已知、為非零向量，，求的最小值；或已知，，求的最小值。2.與三角函數(shù)結(jié)合求解析式、最值應(yīng)用場(chǎng)景：題目中向量坐標(biāo)含三角函數(shù)（如，），要求求數(shù)量積的三角函數(shù)解析式（如），或求三角函數(shù)的最值、周期、單調(diào)性。解題思路： 步驟1：計(jì)算向量數(shù)量積，化簡(jiǎn)為三角函數(shù)表達(dá)式——利用數(shù)量積坐標(biāo)公式展開(kāi)（如），結(jié)合三角恒等變換（二倍角公式、和差公式）將表達(dá)式化為“”或“”的形式。 步驟2：利用三角函數(shù)性質(zhì)求解——根據(jù)化簡(jiǎn)后的解析式，求最值（如的最大值為）、周期（）、單調(diào)區(qū)間（結(jié)合正弦/余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解）。高考與模擬題適配重點(diǎn)：新高考高頻考點(diǎn)，如已知，，求的最小正周期與最大值；或結(jié)合三角形內(nèi)角范圍（）求單調(diào)區(qū)間?！就卣梗浩矫嫦蛄颗c三角形的“四心”】【一：平面向量與三角形的“重心”】【例題】1．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的（

）．A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】C【分析】利用向量的線性運(yùn)算，結(jié)合向量共線及三角形重心性質(zhì)即可判斷.【詳解】由，得，設(shè)邊的中點(diǎn)為，則，所以，因此三點(diǎn)共線，所以點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的重心.故選：C.【針對(duì)訓(xùn)練】2．（2025高一·全國(guó)·專題練習(xí)）已知是的重心，，，，則．【答案】【分析】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)得到和的表達(dá)式，然后通過(guò)向量的數(shù)量積運(yùn)算，將展開(kāi)并進(jìn)行化簡(jiǎn)，最終求出結(jié)果.【詳解】是的重心，，，又，，，.故答案為：.【二：平面向量與三角形的“內(nèi)心”】【例題】1．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知,,是平面上不共線的三點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過(guò)（

）A．的內(nèi)心 B．的垂心C．的重心 D．的外心【答案】C【分析】本題可通過(guò)向量的線性運(yùn)算，將的表達(dá)式進(jìn)行變形，再根據(jù)向量共線的性質(zhì)即可確定點(diǎn)的軌跡經(jīng)過(guò)的特殊點(diǎn).【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，則，∵，∴，而，∴三點(diǎn)共線，所以點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過(guò)的重心，故選：C.【針對(duì)訓(xùn)練】2．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)為的內(nèi)心，，，，，則.【答案】【分析】根據(jù)為的內(nèi)心，可以得到等式，由，，分別表示，，得到關(guān)于，，的等式，令兩個(gè)等式相對(duì)應(yīng)的系數(shù)相等即可.【詳解】插入分點(diǎn)，得，即，又，從而有，得，所以，故答案為：.【三：平面向量與三角形的“外心”】【例題】1．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知是的外心，若，則．【答案】/【分析】由，分別與向量點(diǎn)積，即可得到從而求出的值.【詳解】由，又是的外心，得即從而有所以，．故答案為：.【針對(duì)訓(xùn)練】2．（24-25高一下·安徽·階段練習(xí)）在中，，點(diǎn)是外心，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則為（

）A．4 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可將向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化到向量上去，再代入數(shù)據(jù)即可計(jì)算得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是外心，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，點(diǎn)是各邊垂直平分線的交點(diǎn)，則.故選：B.【四：平面向量與三角形的“垂心”】【例題】1.（23-24高一下·浙江·階段練習(xí)）在等腰中，，若點(diǎn)M為的垂心，且滿足，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】合理作圖，建立平面直角坐標(biāo)系，利用垂心的性質(zhì)得到之間的關(guān)系，進(jìn)而求出，再利用二倍角公式求出，最后求出即可.【詳解】如圖，在等腰中，找底邊的中點(diǎn)，作，，交點(diǎn)即為垂心，以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，故，，，故，，，故，設(shè)，故，則，故，又，故，而，則，解得，故，故，解得，可得，易得，，可得，可得，解得，由三線合一性質(zhì)得平分，故，而，由二倍角公式得，故，故C正確.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查平面向量，解題關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系，然后表利用垂心的性質(zhì)結(jié)合二倍角公式求出，最后得到即可．【針對(duì)訓(xùn)練】2．（23-24高一下·廣東汕尾·期末）在中，，點(diǎn)為的垂心，且滿足，，則（

）A． B．－1 C． D．【答案】D【分析】一方面：根據(jù)已知得出，另一方面：由三點(diǎn)共線的推論即可列式求解.【詳解】由題意可知是以A為頂角的等腰三角形，如圖所示：，，則，在直角三角形中，，即.設(shè)，則，，所以，所以.故選：D.【解題策略】一、與重心（G）相關(guān)的題型核心向量性質(zhì)：重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，且分中線比為（頂點(diǎn)到重心:重心到對(duì)邊中點(diǎn)），其向量本質(zhì)特征為：1.對(duì)任意，；2.若為中點(diǎn)，則；3.坐標(biāo)性質(zhì)：若、、，則。1.?？碱}型：重心的向量線性表示與計(jì)算應(yīng)用場(chǎng)景：題目給出三角形頂點(diǎn)坐標(biāo)或向量關(guān)系，要求用已知向量表示重心相關(guān)向量（如），或計(jì)算重心對(duì)應(yīng)的向量數(shù)量積、模長(zhǎng)。解題思路： 線性表示：利用“重心分中線為”或（為中點(diǎn)），將重心向量轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)向量的線性組合； 坐標(biāo)計(jì)算：若已知頂點(diǎn)坐標(biāo)，先求重心坐標(biāo)，再將向量坐標(biāo)化，代入數(shù)量積或模長(zhǎng)公式計(jì)算。高考與模擬題適配重點(diǎn)：新高考高頻考查“線性表示與模長(zhǎng)結(jié)合”，如2024年新高考Ⅱ卷模擬題：已知中，，，，，，求（為重心）；或已知、、，求。2.易錯(cuò)點(diǎn)提醒 混淆重心分中線的比例：需牢記“頂點(diǎn)到重心是份，重心到對(duì)邊中點(diǎn)是份”，避免將誤寫為； 坐標(biāo)計(jì)算遺漏平均：重心坐標(biāo)是三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均，不可僅用兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算。二、與垂心（H）相關(guān)的題型核心向量性質(zhì)：垂心是三角形三條高線的交點(diǎn)，其向量本質(zhì)特征為“高線對(duì)應(yīng)的向量垂直”，即：1.對(duì)任意，、、（垂心與頂點(diǎn)的連線垂直于對(duì)邊）；2.若為銳角三角形，垂心在三角形內(nèi)部，且（拓展性質(zhì)，需結(jié)合向量垂直推導(dǎo)）。1.?？碱}型：垂心的垂直關(guān)系（數(shù)量積為0）應(yīng)用應(yīng)用場(chǎng)景：題目明確“為垂心”，要求證明向量垂直、計(jì)算參數(shù)值（如已知，求），或判斷垂心位置。解題思路： 證明垂直/求參數(shù)：利用“垂心性質(zhì)”，將向量用已知向量表示后展開(kāi)數(shù)量積，令其等于0，建立方程求解； 坐標(biāo)法輔助：若已知三角形頂點(diǎn)坐標(biāo)，先求兩條高線的直線方程，聯(lián)立得垂心坐標(biāo)，再轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算。高考與模擬題適配重點(diǎn)：高考常以“參數(shù)求解”形式考查，如2023年浙江卷真題：已知中，為垂心，，且，，求；或模擬題：已知為垂心，，，求。2.易錯(cuò)點(diǎn)提醒 忽略三角形形狀：鈍角三角形的垂心在外部，此時(shí)仍成立，但向量方向需結(jié)合圖形判斷，避免坐標(biāo)符號(hào)錯(cuò)誤； 誤用拓展性質(zhì)：僅適用于銳角三角形，鈍角三角形需重新推導(dǎo)，不可直接套用。三、與外心（O）相關(guān)的題型核心向量性質(zhì)：外心是三角形外接圓的圓心，即三邊垂直平分線的交點(diǎn)，其向量本質(zhì)特征為“外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等（均為外接圓半徑）”，即：1.對(duì)任意，；2.對(duì)邊中點(diǎn)與外心的連線垂直于對(duì)邊，即（模長(zhǎng)平方相等），且（為中點(diǎn)）。1.?？碱}型：外心的模長(zhǎng)相等（）應(yīng)用應(yīng)用場(chǎng)景：題目明確“為外心”，要求計(jì)算外接圓半徑、向量數(shù)量積（如），或證明模長(zhǎng)關(guān)系。解題思路： 計(jì)算模長(zhǎng)/數(shù)量積：利用“”，將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為，而（圓心角是圓周角的2倍），結(jié)合三角形內(nèi)角關(guān)系求解； 模長(zhǎng)平方相等：將展開(kāi)為，即，體現(xiàn)垂直平分線性質(zhì)。高考與模擬題適配重點(diǎn)：高頻考查“數(shù)量積與圓周角結(jié)合”，如2024年新高考Ⅰ卷模擬題：已知為外心，，，求；或真題：已知為外心，，，求。2.易錯(cuò)點(diǎn)提醒 圓心角與圓周角關(guān)系：僅當(dāng)與在同側(cè)時(shí)成立，異側(cè)時(shí)為，需結(jié)合圖形判斷； 模長(zhǎng)平方展開(kāi)錯(cuò)誤：，不可直接拆分為（雖結(jié)果相同，但推導(dǎo)需用平方差公式）。四、與內(nèi)心（I）相關(guān)的題型核心向量性質(zhì)：內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，也是內(nèi)切圓的圓心，其向量本質(zhì)特征與“角平分線”“內(nèi)切圓半徑”相關(guān)，即：1.內(nèi)心到三邊距離相等（均為內(nèi)切圓半徑）；2.向量線性表示：若、、，則（核心公式，系數(shù)為對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)）；3.單位向量結(jié)合：（、為、方向的單位向量）。1.?？碱}型：內(nèi)心的向量線性表示與面積關(guān)聯(lián)應(yīng)用場(chǎng)景：題目明確“為內(nèi)心”，要求用邊長(zhǎng)表示內(nèi)心向量（如）、計(jì)算內(nèi)切圓半徑，或結(jié)合面積公式求解。解題思路： 線性表示：利用“”，將目標(biāo)向量（如）用、表示，需結(jié)合、代換； 面積關(guān)聯(lián)：三角形面積（為內(nèi)切圓半徑），可通過(guò)向量數(shù)量積求（），進(jìn)而求。高考與模擬題適配重點(diǎn)：模擬題?？肌熬€性表示與邊長(zhǎng)結(jié)合”，如已知中，、、（直角三角形），為內(nèi)心，求；或高考真題變形：已知為內(nèi)心，，、、，求。2.易錯(cuò)點(diǎn)提醒 線性表示系數(shù)：“”中系數(shù)為“對(duì)邊邊長(zhǎng)”（對(duì)應(yīng)，即的對(duì)邊），不可與“鄰邊邊長(zhǎng)”混淆； 單位向量方向：是方向的單位向量，需除以，避免遺漏模長(zhǎng)計(jì)算。五、通用解題策略（結(jié)合“四心”共性）1.定義優(yōu)先：遇到“四心”問(wèn)題，先回憶對(duì)應(yīng)“心”的核心向量性質(zhì)（如重心的、垂心的），以此為解題起點(diǎn)；2.坐標(biāo)法兜底：若向量關(guān)系復(fù)雜，優(yōu)先建立平面直角坐標(biāo)系（如以中點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸），將“四心”坐標(biāo)求出（重心用平均坐標(biāo)、垂心用高線聯(lián)立、外心用垂直平分線聯(lián)立、內(nèi)心用角平分線公式），再轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算；3.數(shù)量積與模長(zhǎng)聯(lián)動(dòng)：“四心”問(wèn)題常涉及數(shù)量積（垂心）與模長(zhǎng)（外心），需靈活運(yùn)用與，將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算；4.真題結(jié)論遷移：高考對(duì)“四心”的考查集中在“性質(zhì)直接應(yīng)用”（如重心的線性表示、垂心的數(shù)量積為0），較少涉及復(fù)雜推導(dǎo)，可直接遷移已總結(jié)的核心性質(zhì)解題。課后針對(duì)訓(xùn)練課后針對(duì)訓(xùn)練一、單選題1．（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量．則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．72．（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形ABCD中，為CD的中點(diǎn)，若，則（

）A．1 B． C． D．23．（2025·湖南永州·模擬預(yù)測(cè)）已知，求與在上的投影長(zhǎng)度的比值為（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（2025·山東臨沂·三模）在平行四邊形中，，，，為邊上一點(diǎn)，若，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B． C．3 D．5．（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，則（

）A． B． C． D．6．（2025·湖南邵陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，滿足，且，若，則（

）A． B． C．2 D．7．（2025·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，為上一點(diǎn)，且滿足，若，則的最小值是（

）A．2 B．4 C． D．8．（2025·廣東佛山·三模）如圖，已知矩形的邊長(zhǎng)滿足，以為圓心的圓與相切于，則（

）A． B．C．8 D．9．（2025·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）已知非零向量滿足，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．10．（2025·遼寧·三模）已知向量，向量在向量上的投影的數(shù)量為．若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B． C．2 D．11．（2025·遼寧鞍山·模擬預(yù)測(cè)）已知，，在上的投影的數(shù)量為，則（

）A．6