專題14用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值（最值）（一題多變）【典例展示】（2022·全國·高考真題）已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點和極大值點．若，則a的取值范圍是．【思路分析】思路一：轉(zhuǎn)化法，零點的問題轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象的交點.依題可知，方程的兩個根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，構(gòu)造函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的圖象和圖象變換得到的圖象，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得過原點的切線的斜率，根據(jù)幾何意義可得出答案.思路二：構(gòu)造新函數(shù)，二次求導(dǎo).依題可知，設(shè)函數(shù)，再次求導(dǎo)數(shù)，分類討論.【精細解析】[方法一]：【最優(yōu)解】轉(zhuǎn)化法，零點的問題轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象的交點因為，所以方程的兩個根為，即方程的兩個根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，因為分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時，，即圖象在上方當(dāng)時，，即圖象在下方，圖象顯然不符合題意，所以．令，則，設(shè)過原點且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點為，則切線的斜率為，故切線方程為，則有，解得，則切線的斜率為，因為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，所以，解得，又，所以，綜上所述，的取值范圍為．[方法二]：【通性通法】構(gòu)造新函數(shù)，二次求導(dǎo)=0的兩個根為因為分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，設(shè)函數(shù)，則g，若，則在上單調(diào)遞增，此時若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時若有和分別是函數(shù)且的極小值點和極大值點，則，不符合題意；若，則g在上單調(diào)遞減，此時若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，此時若有和分別是函數(shù)且的極小值點和極大值點，且，則需滿足，，即故，所以.【題后反思】本例是根據(jù)函數(shù)的極值點求參數(shù)范圍，其中方法一，根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化成利用函數(shù)的零點與兩函數(shù)圖象交點的關(guān)系，由數(shù)形結(jié)合解出，突出“小題小做”，避免了繁瑣計算，是該題的最優(yōu)解；方法二：通過構(gòu)造新函數(shù)，多次求導(dǎo)判斷單調(diào)性，根據(jù)極值點的大小關(guān)系得出不等式，解出a的范圍，屬于通性通法．作為該題的兩種解法，都涉及到了“構(gòu)造函數(shù)”，值得注意.另外，某些“恒成立”問題，也可以轉(zhuǎn)化成最值問題求解.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值問題，是高考命題的熱點，常見題型包括：（1）求極值點、最值點；（2）求極值、最值；（3）根據(jù)極值點、最值點求參數(shù)范圍；（4）根據(jù)極值、最值求參數(shù)范圍；（5）極值點、最值點的辨析.（6）函數(shù)的優(yōu)化問題即實際問題中的最值問題.【追根溯源】1．求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟（1）第一步，求導(dǎo)數(shù)．（2）第二步，求方程的所有實數(shù)根．（3）第三步，考察每個根．附近，從左到右，若導(dǎo)函數(shù)的符號由正變負，則是極大值；若導(dǎo)函數(shù)的符號由負變正，則是極小值，若在的根的左、右側(cè)，的符號不變，則不是極值，所以，可導(dǎo)函數(shù)在點處取得極值的充要條件是是的變號零點．2．函數(shù)的最大值與最小值（1）設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，且在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值可分兩步進行．第一步，求在內(nèi)的極值；第二步，將在各極值點的極值與、比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．（2）若函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，則為函數(shù)的最小值，為函數(shù)的最大值；若函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，則為函數(shù)的最大值，為函數(shù)的最小值．3．極值與最值的關(guān)系極值只是對某點附近而言，是局部最值；而最值是對整個區(qū)間或是對所考查問題的整體而言．4.利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的恒成立或有解問題的主要策略：①構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最值，進而求出參數(shù)的取值范圍；②分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．有些不易分參的也可采用“同構(gòu)”技巧．5.解決恒成立、能成立問題的基本策略：分離變量，①構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．②轉(zhuǎn)化策略：a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min；a≥f(x)能成立?a≥f(x)min；a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.【變化角度】根據(jù)含參數(shù)函數(shù)的極值點，確定參數(shù)的大小關(guān)系.（2021·全國·高考真題）設(shè)，若為函數(shù)的極大值點，則（）A．

B．

C．

D．【思路分析】先考慮函數(shù)的零點情況，注意零點左右附近函數(shù)值是否變號，結(jié)合極大值點的性質(zhì)，對進行分類討論，畫出圖象，即可得到所滿足的關(guān)系，由此確定正確選項.【詳解】若，則為單調(diào)函數(shù)，無極值點，不符合題意，故.有和兩個不同零點，且在左右附近是不變號，在左右附近是變號的.依題意，a為函數(shù)的極大值點，在左右附近都是小于零的.當(dāng)時，由，，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，，故.當(dāng)時，由時，，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，，故.綜上所述，成立.故選：D【變換角度】根據(jù)函數(shù)極值點的存在性，確定參數(shù)不等關(guān)系.（2023·全國·高考真題）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（）．A．

B．

C．

D．【思路分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由已知可得在上有兩個變號零點，轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個不等的正根判斷作答.【詳解】函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，因為函數(shù)既有極大值也有極小值，則函數(shù)在上有兩個變號零點，而，因此方程有兩個不等的正根，于是，即有，，，顯然，即，A錯誤，BCD正確.故選：BCD【變換角度】與導(dǎo)數(shù)的幾何意義相結(jié)合，根據(jù)函數(shù)極值點情況求參數(shù)范圍.（2024·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．【思路分析】（1）求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；（2）思路一：求導(dǎo)，分析和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和極值，分析可得，構(gòu)建函數(shù)解不等式即可；思路二：求導(dǎo)，可知有零點，可得，進而利用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)性和極值，分析可得，構(gòu)建函數(shù)解不等式即可.【詳解】（1）當(dāng)時，則，，可得，，即切點坐標為，切線斜率，所以切線方程為，即.（2）解法一：因為的定義域為，且，若，則對任意恒成立，可知在上單調(diào)遞增，無極值，不合題意；若，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則有極小值，無極大值，由題意可得：，即，構(gòu)建，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，不等式等價于，解得，所以a的取值范圍為；解法二：因為的定義域為，且，若有極小值，則有零點，令，可得，可知與有交點，則，若，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則有極小值，無極大值，符合題意，由題意可得：，即，構(gòu)建，因為則在內(nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，不等式等價于，解得，所以a的取值范圍為.【變換角度】研究函數(shù)的單調(diào)性并求極值，探索參數(shù)是否存在，使函數(shù)取得最小值.（21-22高三上·四川眉山·階段練習(xí)）已知，，，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，．(1)討論當(dāng)a=1時，函數(shù)的單調(diào)性和極值；(2)求證：在（1）的條件下；(3)是否存在正實數(shù)a，使的最小值是3?若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．【思路分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)討論得到函數(shù)的單調(diào)性，求出極值；（2）先求出在上的最小值為1，再利用導(dǎo)數(shù)求，，即證；（3）假設(shè)存在實數(shù)a，使有最小值3.對a進行分類討論：①當(dāng)時，②當(dāng)時，分別求出最小值，解方程進行驗證.【詳解】（1）∵當(dāng)a=1時，，∴．∴當(dāng)時，；當(dāng)時，時.∴在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，∴的極小值為，無極大值．（2）∵的極小值為1，∴在區(qū)間上的最小值為1，即．又，∴當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增．∴，∴，∴在（1）的條件下，．（3）假設(shè)存在正實數(shù)a，使有最小值3，則．①當(dāng)時，即，由，解得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；所以，滿足條件；②當(dāng)時，即，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，（舍去）．綜上，存在實數(shù)使得當(dāng)時，有最小值3【點睛】方法點睛（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，常常通過求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化為解方程或不等式求解，其判定方法為：設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，則在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．（2）利用導(dǎo)數(shù)證明不等式通常轉(zhuǎn)化為最值問題.（2024·云南·模擬預(yù)測）1．已知函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為（

）A．0 B． C． D．-1【答案】C【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，對于使得取得最小值時，直線和函數(shù)的圖象相切，求得上的一點的切線方程為，得到，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，即可求解.【詳解】由在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，對于使得取得最小值時，直線和函數(shù)的圖象相切，又由，可得，則，可得在點的切線為，即，令，所以，令，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以的最小值為.故選：C.【點睛】方法點睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、合理轉(zhuǎn)化，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值之間的比較，列出不等式關(guān)系式求解；2、構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；3、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．4、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．（23-24高二下·湖北荊州·階段練習(xí)）2．若關(guān)于x的不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】變形不等式得到，設(shè)，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，得到，令，則求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性和極值最值情況，求出，設(shè)，求導(dǎo)得到單調(diào)性，并求出，，所以，得到答案.【詳解】不等式，即，所以．設(shè)，則，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以．令，則．當(dāng)時，，單調(diào)遞增，則，故滿足條件；當(dāng)時，在單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增，則；設(shè)，則，則在上單調(diào)遞減，又，所以，所以，所以的最大值為．故選：D（2024·上海·三模）3．若函數(shù)在上存在最小值，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)題意，函數(shù)的極小值點在內(nèi)，再結(jié)合即可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，所以，令得，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，有極小值，因為函數(shù)在上存在最小值，又，所以，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.（2024·四川南充·模擬預(yù)測）4．已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，函數(shù)與函數(shù)有相同的最大值，求的值.【答案】(1)答案見解析(2)1【分析】（1）求導(dǎo)，對進行分類討論，即可.（2）先對求導(dǎo)，分析單調(diào)性，求出最大值，與的最大值建立等量關(guān)系，求出即可【詳解】（1）解

①當(dāng)時，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減.②當(dāng)時，在單調(diào)遞增.

.綜上所述，當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.當(dāng)時，在單調(diào)遞增.（2）由（1）得當(dāng)時，當(dāng)時，取得最大值，

,易知單調(diào)遞減，令，，當(dāng)時，0，單調(diào)遞增;當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時，取得最大值依題意，有，所以令則

由的單調(diào)性可知，當(dāng)時，在時取得最大值0，即,從而可得因此在上單調(diào)遞減，又,所以，.（2023·北京·高考真題）5．設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)求的極值點個數(shù)．【答案】(1)(2)答案見解析(3)3個【分析】（1）先對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，，從而得到關(guān)于的方程組，解之即可；（2）由（1）得的解析式，從而求得，利用數(shù)軸穿根法求得與的解，由此求得的單調(diào)區(qū)間；（3）結(jié)合（2）中結(jié)論，利用零點存在定理，依次分類討論區(qū)間，，與上的零點的情況，從而利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值點的關(guān)系求得的極值點個數(shù).【詳解】（1）因為，所以，因為在處的切線方程為，所以，，則，解得，所以.（2）由（1）得，則，令，解得，不妨設(shè)，，則，易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為和.（3）由（1）得，，由（2）知在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，即所以在上存在唯一零點，不妨設(shè)為，則，此時，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則單調(diào)遞增；所以在上有一個極小值點；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，則，故，所以在上存在唯一零點，不妨設(shè)為，則，此時，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；所以在上有一個極大值點；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，則，故，所以在上存在唯一零點，不妨設(shè)為，則，此時，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則單調(diào)遞增；所以在上有一個極小值點；當(dāng)時，，所以，則單調(diào)遞增，所以在上無極值點；綜上：在和上各有一個極小值點，在上有一個極大值點，共有個極值點.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第3小題的解題關(guān)鍵是判斷與的正負情況，充分利用的單調(diào)性，尋找特殊點判斷即可得解.（2023·全國·高考真題）6．（1）證明：當(dāng)時，；（2）已知函數(shù)，若是的極大值點，求a的取值范圍．【答案】（1）證明見詳解（2）【分析】（1）分別構(gòu)建，，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進而可得結(jié)果；（2）根據(jù)題意結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可知只需要研究在上的單調(diào)性，求導(dǎo)，分類討論和，結(jié)合（1）中的結(jié)論放縮，根據(jù)極大值的定義分析求解.【詳解】（1）構(gòu)建，則對恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以；構(gòu)建，則，構(gòu)建，則對恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，即對恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以；綜上所述：.（2）令，解得，即函數(shù)的定義域為，若，則，因為在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞