2.4隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)函數(shù)表示變量y與x之間的對應關(guān)系，例如：對每一個x通過這條曲線都能有唯一的y與之對應，因此我們說這條曲線確定了一個函數(shù)y=f(x).顯函數(shù)曲線方程x2+y3+siny=2隱函數(shù)函數(shù)y=f(x)這種對應關(guān)系的表示形式是多種多樣的。引例一、隱函數(shù)的概念

如果在一定條件下，對于某區(qū)間I上的任意一個值x，一般地，通過方程相應地總有滿足這個方程的唯一的實數(shù)y則稱方程

在區(qū)間I上確定了一個隱函數(shù).存在，函數(shù)y=f(x)隱函數(shù)顯化把一個隱函數(shù)化成顯函數(shù)，叫隱函數(shù)的顯化注：不是任意一個隱函數(shù)都能顯化.隱函數(shù)顯化方程在某區(qū)間內(nèi)確定了一個可導的隱函數(shù)，可否直接由方程求出它的導數(shù)呢？若不顯化，例

求方程

確定的隱函數(shù)

的導數(shù)．解

用f(x)替換

中的

y，得方程兩邊同時對求導數(shù)，得解方程即可求得解這個關(guān)于的方程，得即注意到

y是

x的函數(shù)這一事實，這一步需要特別注意什么問題？你注意到隱函數(shù)導數(shù)的表示式的特點了嗎？求隱函數(shù)在某一點處的導數(shù)時應特別注意什么？例

求方程

確定的隱函數(shù)

的導數(shù)．隱函數(shù)y=f(x)在（0，-2）的導數(shù)可不必像上邊那樣去作代換，而直接將方程兩邊同時對

x求導數(shù)，有例1求由方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù)我們把方程兩邊分別對x求導數(shù),利用復合函數(shù)的求導法則,（注意，這里y是x的函數(shù)y=y(x），方程右邊對x求導得所以從而注意:在這個結(jié)果中,分式中的y=y(x)是由方程所確定的隱函數(shù)

方程左邊對x求導得解例1求方程

所確定的隱函數(shù)

的導數(shù)．整理得解方程兩邊同時對求導數(shù)，利用復合函數(shù)的求導法則（注意，這里是的函數(shù)y=y(x），得于是有例2.

求由方程在x=0處的導數(shù)解:

方程兩邊對

x

求導得因x=0時y=0,故確定的隱函數(shù)總結(jié)一下求隱函數(shù)的一階導數(shù)可分哪幾步？

例3求橢圓在點處的切線方程解由導數(shù)的幾何意義知道,所求切線的斜率為橢圓方程的兩邊分別對x求導,有從而當x=2時,代入上式得于是所求的切線方程為即例4求由方程所確定的隱函數(shù)的二階導數(shù)解應用隱函數(shù)的求導方法,得于是上式兩邊再對x求導,得注：上式右端分式中的y=y(x)是由方程所確定的隱函數(shù)求隱函數(shù)的二階導數(shù)的一般步驟1.方程左右兩邊對x求導(注意y是x的函數(shù)).逐階求導

例5解等式兩邊取對數(shù)得對數(shù)求導法先在方程兩邊取對數(shù),然后兩邊求導并解出一階導數(shù).

例6求的導數(shù)解

兩邊取對數(shù)(假定x>4),得兩邊對x求導于是當2<x<3時,當x<1時,用同樣的方法可得與上面相同的結(jié)果。對數(shù)求導法適用范圍:對數(shù)求導法（x<1,2<x<3,x>4）二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)定義若參數(shù)方程確定y

與x

之間的函數(shù)關(guān)系，則稱此函數(shù)為由參數(shù)方程所確定的函數(shù).拋射體的運動軌跡的參數(shù)方程為

tyx確定y

與x

之間的函數(shù)關(guān)系，

消去參數(shù)t，可得直接由參數(shù)方程求導數(shù)

？求導方法由復合函數(shù)及反函數(shù)的求導法則得二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)參數(shù)方程

（參數(shù)方程求導計算公式）＇例

求由參數(shù)方程解所確定的函數(shù)

的導數(shù)

.例7已知橢圓的參數(shù)方程為求橢圓在相應的點處的切線方程解當時,橢圓上的相應點的坐標是:

曲線在點的切線斜率為:代入點斜式方程,即得橢圓在點處的切線方程化簡后得例8已知拋射體的運動軌跡的參數(shù)方程為

求拋射體在時刻t的運動速度的大小和方向解先求速度的大小,由于速度的水平分量為鉛直分量為所以拋射體運動速度的大小為速度的方向,就是軌跡的切線方向設(shè)α是切線的傾角,所以,在拋射體剛射出(即t=0)時,當時，這時,運動方向是水平的,即拋物體達到最高點逐階求導不必刻意記公式.

例9計算由擺線的參數(shù)方程所確定的函數(shù)y=y(x)的二階導數(shù)解而與又都三、相關(guān)變化率設(shè)變量y與x之間存在著函數(shù)關(guān)系y=f(x)，都是（對它們的自變量）可導的，這兩個相互依賴的變化率稱為相關(guān)變化率．是第三個變量的函數(shù)：，如果函數(shù)那么由于與因此二者分別相對于的變化率,之間存在依賴關(guān)系，之間也一定存在著依賴關(guān)系．

我們要研究的相關(guān)變化率問題就是要研究變化率,之間的關(guān)系，從而利用其中的一個求出另外的一個．解仰角增加率即觀察員視線的仰角增加率是0.14rad/min例10

分,通過這個例題，總結(jié)一下，求相關(guān)變化率問題主要分幾步