2.5函數(shù)的微分問題的提出實(shí)例1:正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.既容易計(jì)算又是較好的近似值

既容易計(jì)算又是較好的近似值實(shí)例2：初速為0的自由落體運(yùn)動(dòng)：物體從到+t

這段時(shí)刻下落的路程為：

（1）（2）(1)和(2)都是當(dāng)自變量取得一個(gè)增量時(shí)，相對(duì)應(yīng)的函數(shù)取得的增量。

第二部分分別是

x

和

t

的高階無窮小量。

和

均與自變量的增量

x

和

t

無關(guān),

統(tǒng)一形式

它們都包括兩部分：

AA（1）（2）

和

均與自變量的增量

x

和

t

無關(guān),

統(tǒng)一形式

AA一、微分的概念1.定義注:1.定義1.定義兩個(gè)基本問題：（1）函數(shù)可微的條件是什么？（2）若函數(shù)可微，則定義中的A=?2、可微的條件定理證(1)必要性2、可微的條件定理證(2)充分性故2、可微的條件定理求函數(shù)在一點(diǎn)的微分的基本公式

注：

例1

求函數(shù)y

x2在x

1和x

3處的微分

函數(shù)y

x2在x

3處的微分為

例2

求函數(shù)y

x3當(dāng)x

2

Dx

0

02時(shí)的微分

解

函數(shù)y

x2在x

1處的微分為解

dy|x=2,Dx=0.02=3

22

0.02=0.24

=3x2|x=2,Dx=0.02dy

(x2)

|x

1Dxdy

(x2)

|x

3Dx

=0.242408

2Dx

6Dx

如圖，設(shè)M(x0,y0),N(x0+

x,y0+

y)為曲線y=f(x)上的兩點(diǎn)，且函數(shù)y

=f(x)在x0處可微，則曲線在M

處有切線，設(shè)為MT.二、微分的幾何意義當(dāng)

y

是曲線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的增量時(shí)，微分dy

就是曲線的當(dāng)|

x

|很小時(shí)，|

y–dy

|=因此在M

的鄰近，可以用MNT）

切線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的相應(yīng)增量.比|

x

|更小.|

y–dy|切線段MP來近似代替曲線段MN.P以直代曲非線性函數(shù)的局部線性化若函數(shù)f(x)在區(qū)間I內(nèi)每一點(diǎn)都可微,三、函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可微的概念則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I內(nèi)可微函數(shù)在x0點(diǎn)的微分,當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間I內(nèi)的可微：自變量x增量Δx等于自變量x的微分dx求微分值的基本公式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也叫“微商”函數(shù)的微分等于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以自變量的微分.注：d(xm)

d(sinx)

d(cosx)d(tanx)

d(cotx)

d(secx)

d(csc

x)d(a

x)

d(e

x)基本初等函數(shù)的微分公式(xm)

mxm

1

(sinx)

cosx

(cosx)

sinx(tanx)

sec2

x

(cotx)

csc2x

(secx)

secxtanx

(csc

x)

csc

xcotx

(a

x)

ax

lna

(e

x)

ex微分公式:

導(dǎo)數(shù)公式:

mxm

1dx

cosxdx

sinxdx

sec2xdx

csc2xdx

secxtanxdx

cscxcotxdx

ax

lnadx

exdx

微分公式:

導(dǎo)數(shù)公式:

求導(dǎo)法則

微分法則

(u

v)

u

v

(Cu)

Cu

(u

v)

u

v

uv

d(u

v)

du

dvd(Cu)

Cdu

d(u

v)

vdu

udv微分的運(yùn)算法則1.函數(shù)的和、差、積、商的微分法則(1)若u是自變量，dy=f

(u)du；2.復(fù)合函數(shù)的微分法則結(jié)論：

設(shè)函數(shù)y=f(u)有導(dǎo)數(shù)f

(u).(2)若u是中間變量，可以令u

j

(x)，即y

f[j(x)]dy

y

xdx微分形式的不變性

f

(u)j

(x)dx

在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)

可以不寫出中間變量

例3

y

sin(2x

1)

求dy

2cos(2x

1)dx

cos(2x

1)

2dx

cos(2x

1)d(2x

1)dy

d(sinu)

cosudu

若y

f(u)

u

j(x)

則dy

f

(u)du

解

把2x

1看成中間變量u

則

例4

解

例5解例6解在下列等式左端的括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),使等式成立.

(2)

湊微分四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用1.函數(shù)的近似計(jì)算

當(dāng)很小時(shí),使用原則:得近似等式:例8

求

的近似值．令

f(x)=sinx取輔助函數(shù)找鄰近于x=30

30

的一點(diǎn)x0代入公式f(x)

f(x0)

f

(x0)

x

取x0=30,則x=30=f

(x)=cosx,解:則f

(x0)=cos四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用1.函數(shù)的近似計(jì)算

當(dāng)很小時(shí),使用原則:得近似等式:特別當(dāng)很小時(shí),特別當(dāng)很小時(shí),常用近似公式:很小)證明:令得（x的單位為弧度）(2)(3)(4)(5)例9

例7.有一批半徑為1cm的球

,為了提高球面的光潔度,解:

已知球體體積為鍍銅體積為V

在時(shí)體積的增量因此每只球需用銅約