1.2數(shù)列的極限無窮數(shù)列2,4,8,16,32,…

當(dāng)n無限增大時(shí)，xn的變化趨勢(shì)如何？

{xn}

記作或

一、數(shù)列極限的定義數(shù)列極限的描述定義

記作或

數(shù)列極限的描述定義

定性的描述定量的分析問題:“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它.數(shù)學(xué)上常用兩個(gè)數(shù)之間的‘距離’來刻化兩個(gè)數(shù)的接近程度.無限接近距離任意小

[x]為取整函數(shù)

ε的二重性:N的存在性,N(ε),

當(dāng)

當(dāng)

當(dāng)

二是ε的確定性一是ε的任意性

不唯一(

以小為貴)

數(shù)列極限的精確定義設(shè){xn}為一數(shù)列，如果存在常數(shù)a，對(duì)于任意給定的正數(shù)

(不論它多么小)，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí),不等式|xn–a|<

都成立，那么就稱常數(shù)a是數(shù)列{xn}的極限，數(shù)列的極限為a稱數(shù)列{xn}收斂于a，記為或xn

a(n),數(shù)列沒有極限也稱數(shù)列{xn}發(fā)散.

ε的二重性:N的存在性,N(ε),二是ε的確定性一是ε的任意性

注:(

以小為貴)不唯一極限定義的簡(jiǎn)記形式

0,

N

N

當(dāng)n

N時(shí)

有|xn

a|

.數(shù)列極限的精確定義設(shè){xn}為一數(shù)列，如果存在常數(shù)a，對(duì)于任意給定的正數(shù)

(不論它多么小)，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N

時(shí),不等式|xn–a|<

都成立，那么就稱常數(shù)a

是數(shù)列{xn}的極限，記為或xn

a(n),

xn無限接近a|xn

a|<e

定性的描述定量的分析—感性認(rèn)識(shí)—理性認(rèn)識(shí)都成立，而對(duì)則不要求它們一定成立|xn－a|＜ε

0,

N

N

當(dāng)n

N時(shí)

有|xn

a|

.

|x2－a|＜ε……

數(shù)列極限的幾何意義

都成立，而對(duì)則不要求它們一定成立|xn－a|＜ε

0,

N

N

當(dāng)n

N時(shí)

有|xn

a|

.

|x2－a|＜ε……n>N●●●●●●●●●●●●●●●●●●

數(shù)列極限的幾何意義

【例1】【證】所以,用定義驗(yàn)證{xn}

以a為極限關(guān)鍵在于由給定的ε，求出一個(gè)相應(yīng)的N，使當(dāng)n

＞N時(shí)，不等式|xn－a|＜ε成立。|xn－a|＜εn

＞N關(guān)鍵要使

【例2】【證】所以,

【例3】【證】—公式

要使只要|q|>1,q=1,q=-1,原極限不存在原極限=1原極限不存在(極限的唯一性)如果數(shù)列{xn}收斂，那么它的極限唯一【證】用反證法矛盾【證完】【定理1】二、收斂數(shù)列的性質(zhì)【例4】【證】由定義,區(qū)間長(zhǎng)度為1.不可能同時(shí)位于長(zhǎng)度為1的區(qū)間內(nèi).數(shù)列極限不存在數(shù)列的通項(xiàng)不趨近于一個(gè)確定的常數(shù)數(shù)列的通項(xiàng)趨近于無窮大{數(shù)列的有界性【例如】有界無界【定理2】【證】由定義,【說明】①逆否命題必成立：無界數(shù)列必定發(fā)散.②逆命題不成立；有界列不一定收斂.③數(shù)列有界是收斂的

條件.如果數(shù)列{xn}收斂，那么它一定有界（收斂數(shù)列的有界性）必要

(保號(hào)性)【定理3】【證明】由數(shù)列極限定義，有從而【證完】,,【推論】【證明】用反證法由定理3知【證完】(保號(hào)性)【定理3】,,假設(shè)收斂數(shù)列某一項(xiàng)后面的所有項(xiàng)與極限保持同一符號(hào)【注意】［例如］【定義】①②③數(shù)列的子數(shù)列【證畢】（尋找到K）收斂數(shù)列的任一子數(shù)列也收斂．且極限相同．【分析】欲證（收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系）【定理4】

收斂數(shù)列的任一子數(shù)列也收斂．且極限相同．（收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系）【定理4】【注意】a.常用此關(guān)系判斷一個(gè)數(shù)列極限不存在方法①：若數(shù)列有兩個(gè)子列收斂于不同的極限，則原數(shù)列發(fā)散.方法②：若數(shù)列有一個(gè)子列發(fā)散,則原數(shù)列發(fā)散.b