北京東城北京二中2026屆數學高二上期末監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．將的展開式按x的降冪排列，第二項不大于第三項，若，且，則實數x的取值范圍是（）A. B.C. D.2．已知，，且，則向量與的夾角為（）A. B.C. D.3．已知點是橢圓上的一點，點，則的最小值為A. B.C. D.4．“”是“直線和直線垂直”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件5．設雙曲線的離心率為，則下列命題中是真命題的為（）A.越大，雙曲線開口越小 B.越小，雙曲線開口越大C.越大，雙曲線開口越大 D.越小，雙曲線開口越大6．已知雙曲線的離心率為5，則其標準方程為()A. B.C. D.7．一質點的運動方程為（位移單位：m，時間單位：s），則該質點在時的瞬時速度為（）A.4 B.12C.15 D.218．已知圓過點，，且圓心在軸上，則圓的方程是（）A. B.C. D.9．直線的傾斜角為（）A.1 B.－1C. D.10．已知是等比數列，則（）A.數列是等差數列 B.數列是等比數列C.數列是等差數列 D.數列是等比數列11．世界上最早在理論上計算出“十二平均律”的是我國明代杰出的律學家朱載堉，他當時稱這種律制為“新法密率”十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它前一個單音的頻率的比都相等，且最后一個單音是第一個單音頻率的2倍.已知第十個單音的頻率，則與第四個單音的頻率最接近的是（）A.880 B.622C.311 D.22012．在中，，滿足條件的三角形的個數為（）A.0 B.1C.2 D.無數多二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．向量，，若，且，則的值為______.14．甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球．現(xiàn)同時從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入對方口袋，共進行了2次這樣的操作后，甲口袋中恰有2個黑球的概率為__________________.15．設是同一個半徑為4的球的球面上四點，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為___________.16．已知函數，若關于的不等式恒成立，則實數的取值范圍是__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓，P（2，0），M點是圓Q上任意一點，線段PM的垂直平分線交半徑MQ于點C，當M點在圓上運動時，點C的軌跡為曲線C（1）求曲線C方程；（2）已知直線l：x＝8，A、B是曲線C上的兩點，且不在x軸上，，垂足為，，垂足為，若D（3，0），且的面積是△ABD面積的5倍，求△ABD面積的最大值18．（12分）已知在長方形ABCD中，AD=2AB=2，點E是AD的中點，沿BE折起平面ABE，使平面ABE⊥平面BCDE.（1）求證：在四棱錐A-BCDE中，AB⊥AC.（2）在線段AC上是否存在點F，使二面角A-BE-F的余弦值為？若存在，找出點F的位置；若不存在，說明理由.19．（12分）如圖，已知圓C與y軸相切于點，且被x軸正半軸分成的兩段圓弧長之比為1∶2（1）求圓C的方程；（2）已知點，是否存在弦被點P平分？若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由20．（12分）如圖，四邊形是矩形，平面平面，為中點，，，（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值21．（12分）橢圓的離心率為，設為坐標原點，為橢圓的左頂點，動直線過線段的中點，且與橢圓相交于、兩點．已知當直線的傾斜角為時，（1）求橢圓的標準方程；（2）是否存在定直線，使得直線、分別與相交于、兩點，且點總在以線段為直徑的圓上，若存在，求出所有滿足條件的直線的方程；若不存在，請說明理由22．（10分）已知為各項均為正數的等比數列，且，（1）求數列的通項公式；（2）令，求數列前n項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】按照二項展開式展開表示出第二項第三項，解不等式即可.【詳解】由二項展開式，第二項為：，第三項為：，依題意，兩邊約去得到，即，由知，則，同時約去得到.故選：A.2、B【解析】先求出向量與的夾角的余弦值，即可求出與的夾角.【詳解】，所以，∴，∴，∴，又∵，∴與的夾角為.故選：B.3、D【解析】設，則，.所以當時，的最小值為.故選D.4、A【解析】根據直線垂直求出值即可得答案.【詳解】解：若直線和直線垂直，則，解得或，則“”是“直線和直線垂直”的充分非必要條件.故選：A.5、C【解析】根據雙曲線的性質結合離心率對雙曲線開口大小的影響即可得解.【詳解】解：對于A，越大，雙曲線開口越大，故A錯誤；對于B，越小，雙曲線開口越小，故B錯誤；對于C，由，越大，則越大，雙曲線開口越大，故C正確；對于D，越小，則越小，雙曲線開口越小，故D錯誤.故選：C.6、D【解析】雙曲線離心率公式和a、b、c的關系即可求得m，從而得到雙曲線的標準方程.【詳解】∵雙曲線，∴，又，∴，∵離心率為，∴，解得，∴雙曲線方程.故選：D.7、B【解析】由瞬時變化率的定義，代入公式求解計算.【詳解】由題意，該質點在時的瞬時速度為.故選：B8、B【解析】根據圓心在軸上，設出圓的方程，把點，的坐標代入圓的方程即可求出答案.【詳解】因為圓的圓心在軸上，所以設圓的方程為，因為點，在圓上，所以，解得，所以圓的方程是.故選：B.9、C【解析】根據直線斜率的定義即可求解.【詳解】，斜率為1，則傾斜角為.故選：C.10、B【解析】取，可判斷AC選項；利用等比數列的定義可判斷B選項；取可判斷D選項.【詳解】若，則、無意義，A錯C錯；設等比數列的公比為，則，（常數），故數列是等比數列，B對；取，則，數列為等比數列，因為，，，且，所以，數列不是等比數列，D錯.故選：B.11、C【解析】依題意，每一個單音的頻率構成一個等比數列，由，算出公比，結合，即可求出.【詳解】設第一個單音的頻率為，則最后一個單音的頻率為，由題意知，且每一個單音的頻率構成一個等比數列，設公比為，則，解得：又，則與第四個單音的頻率最接近的是311,故選：C【點睛】關鍵點點睛：本題考查等比數列通項公式的運算，解題的關鍵是分析題意將其轉化為等比數列的知識，考查學生的計算能力，屬于基礎題.12、B【解析】利用正弦定理得到，進而或，由，得，即可求解【詳解】由正弦定理得，，或，，，故滿足條件的有且只有一個.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據可求出，再根據向量垂直即可求出，即可得出答案.【詳解】因為，，所以，解得，又因為，所以，解得，所以.故答案為：.14、【解析】分兩類：兩次都互相交換白球的概率和第一次甲交出黑球收到白球，且第二次甲交出白球收到黑球的概率求和可得答案.【詳解】分兩類：①兩次都互相交換白球的概率為；②第一次甲交出黑球收到白球，且第二次甲交出白球收到黑球的概率為.故答案為：.15、【解析】求出等邊的邊長，畫出圖形，判斷D的位置，然后求解即可.【詳解】為等邊三角形且其面積為，則，如圖所示，設點M為的重心，E為AC中點，當點在平面上的射影為時，三棱錐的體積最大，此時，，點M為三角形ABC的重心，，中，有，，所以三棱錐體積的最大值故答案為：【點睛】思路點睛：本題考查球的內接多面體，棱錐的體積的求法，要求內接三棱錐體積的最大值，底面是面積一定的等邊三角形，需要該三棱錐的高最大，故需要底面，再利用內接球，求出高，即可求出體積的最大值，考查學生的空間想象能力與數形結合思想，及運算能力，屬于中檔題.16、【解析】分析：應用換元法，令，，不等式恒成立，轉化為在恒成立，確定關系式，即可求得答案.詳解：函數對稱軸，最小值令，則恒成立，即在上.，在單調遞增，，解得，即實數的取值范圍是故答案為.點睛：本題考查了函數的單調性、最值問題、不等式恒成立問題以及二次函數的圖象和性質等知識，考查了復合函數問題求解的換元法三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由定義法求出曲線C的方程；（2）先判斷出直線AB過定點H(2,0)或H(4,0).當AB過定點H(4,0)，求出最大；當H(2,0)時，可設直線AB：.用“設而不求法”表示出，不妨設（），利用函數的單調性求出△ABD面積的最大值.【小問1詳解】因為線段PM的垂直平分線交半徑MQ于點C，所以,所以,符合橢圓的定義，所以點C的軌跡為以P、Q為焦點的橢圓，其中，所以，所以曲線C的方程為.【小問2詳解】不妨設直線l：x＝8交x軸于G(8,0)，直線AB交x軸于H(h,0)，則,.因為，，，所以.又因為的面積是△ABD面積的5倍，所以.因為G(8,0)，D（3，0），所以，所以H(2,0)或H(4,0).當H(4,0)時，則H與A（或H與B）重合，不妨設H與A重合，此時，，要使△ABD面積最大，只需B在短軸頂點時，=2最大，所以最大；當H(2,0)時，要想構成三角形ABD，直線AB的斜率不為0，可設直線AB：.設,則，消去x可得：，所以，，，所以.不妨設（），則，由對勾函數的性質可知，在上單調遞減，所以當t=4時，，此時最大綜上所述，△ABD面積的最大值為.【點睛】（1）“設而不求”是一種在解析幾何中常見的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問題；（2）解析幾何中最值計算方法有兩類：①幾何法：利用幾何圖形求最值；②代數法：表示為函數，利用函數求最值.18、（1）證明見解析（2）點F為線段AC的中點【解析】（1）由平面幾何知識證得CE⊥BE，再根據面面垂直的性質，線面垂直的判定和性質可得證；（2）取BE的中點O，以O為原點，分別以的方向為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，假設在線段AC上存在點F，設=λ，運用二面角的向量求解方法可求得，可得點F的位置.【小問1詳解】證明：因為在長方形ABCD中，AD=2AB=2，點E是AD的中點，所以BE=CE=2，又BC=2，所以，所以CE⊥BE，又平面ABE⊥平面BCDE，面面，所以CE⊥平面ABE，所以AB⊥CE.又AB⊥AE，，所以AB⊥平面AEC，即得AB⊥AC.【小問2詳解】解：存在點F，F(xiàn)為線段AC的中點.由（1）得△ABE和△BEC均為等腰直角三角形，取BE的中點O，則，又平面ABE⊥平面BCDE，面面，所以面，以O為原點，分別以的方向為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，取平面ABE的一個法向量為.假設在線段AC上存在點F，使二面角A-BE-F的余弦值為.則A（0，0，1），B（1，0，0），C（-1，2，0），E（-1，0，0），=（1，0，1），=（-1，2，-1），設=λ，則+λ=（1-λ，2λ，1-λ），又=（2，0，0），設平面BEF的法向量為，可得，即得，可取y=1，得，所以，解得λ=，即當點F為線段AC的中點時，二面角A-BE-F的余弦值為.19、（1）.（2）.【解析】（1）由已知得圓心C在直線上，設圓C與x軸的交點分別為E、F，則有，，圓心C的坐標為(2,1)，由此求得圓C的標準方程；（2）假設存在弦被點P平分，有，由此求得直線AB的斜率可得其方程再檢驗，直線AB與圓C是否相交即可.小問1詳解】解：因為圓C與y軸相切于點，所以圓心C在直線上，設圓C與x軸的交點分別為E、F，由圓C被x軸分成的兩段弧長之比為2∶1，得，所以，圓心C的坐標為(2,1)，所以圓C的方程為；【小問2詳解】解：因為點，有，所以點P在圓C的內部，假設存在弦被點P平分，則，又，所以，所以直線AB的方程為，即，檢驗，圓心C到直線AB的距離為，所以直線AB與圓C相交，所以存在弦被點P平分，此時直線的方程為.20、（1）證明見解析；（2）【解析】(1)利用面面垂直的性質，證得平面，進而可得，平面即可得證；(2)在平面ABC內過點A作Ax⊥AB，以A為原點建立空間直角坐標系，借助空間向量而得解.【詳解】（1）因為，為中點，所以，因為是矩形，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，又，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）在平面ABC內過點A作Ax⊥AB，由（1）知，平面，故以點A為坐標原點，分別以，，的方向為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系，如圖：則，，，，，則，所以，，，，由（1）知，為平面的一個法向量，設平面的法向量為，則，即，令，則，，所以，所以，因為二面角為銳角，則二面角的余弦值為.【點睛】思路點睛：二面角大小求解時要注意結合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角21、（1）（2）存在，且直線的方程為或【解析】（1）分析可知，，直線的方程為，設點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用弦長公式可求得的值，即可得出橢圓的標準方程；（2）設點、，設直線的方程為，將該直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，求出點、，由已知得出，求出的值，即可得出結論.【小問1詳解】解：因為，則，，所以，橢圓的方程為，即，易知點，則點，當直線的傾斜角為時，直線的方程為，設點、，聯(lián)立，可得，，由韋達定理可得，，所以，，解得，則，，因此，橢圓的標準方程為.【小問2詳解】解：易知點，若直線與軸重合，則、為橢圓長軸的兩個端點，不合乎題意.設直線的方程為，設點、，聯(lián)立