吉林省五地六市聯(lián)盟2026屆數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量，，且，則實(shí)數(shù)等于（）A.1 B.2C. D.2．圓與圓的位置關(guān)系是（）A.外離 B.外切C.相交 D.內(nèi)切3．設(shè),則是的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為雙曲線C上一點(diǎn)，，直線與y軸交于點(diǎn)Q，若，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B.C. D.5．如圖，某圓錐軸截面是等邊三角形，點(diǎn)是底面圓周上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.6．設(shè)圓：和圓：交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB所在直線的方程為（）A. B.C. D.7．已知直線l1：y＝x+2與l2：2ax+y﹣1＝0垂直，則a＝（）A. B.C.﹣1 D.18．過雙曲線的右焦點(diǎn)有一條弦是左焦點(diǎn)，那么的周長為（）A.28 B.C. D.9．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B.C. D.10．已知向量，，則向量等于（）A.（3，1，－2） B.（3，－1，2）C.（3，－1，－2） D.（－3，－1，－2）11．如圖，某鐵路客運(yùn)部門設(shè)計(jì)的從甲地到乙地旅客托運(yùn)行李的費(fèi)用c（元）與行李質(zhì)量w（kg）之間的流程圖．已知旅客小李和小張托運(yùn)行李的質(zhì)量分別為30kg，60kg，且他們托運(yùn)的行李各自計(jì)費(fèi)，則這兩人托運(yùn)行李的費(fèi)用之和為（）A.28元 B.33元C.38元 D.48元12．繞著它的一邊旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體可能是（）A.圓臺(tái) B.圓臺(tái)或兩個(gè)圓錐的組合體C.圓錐或兩個(gè)圓錐的組合體 D.圓柱二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)的橢圓上運(yùn)動(dòng)，則的重心的軌跡方程是___________.14．如圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過橢圓上的點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，若四邊形為菱形，則該橢圓的離心率為_________.15．“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”學(xué)習(xí)平臺(tái)是由中宣部主管，以深入學(xué)習(xí)宣傳新時(shí)代中國特色社會(huì)主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員，面向全社會(huì)的優(yōu)質(zhì)平臺(tái)，現(xiàn)日益成為老百姓了解國家動(dòng)態(tài)，緊跟時(shí)代脈搏的熱門APP，某市宣傳部門為了解全民利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”了解國家動(dòng)態(tài)的情況，從全市抽取2000名人員進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)他們每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的時(shí)長，下圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的頻率分布直方圖（1）根據(jù)上圖，求所有被抽查人員利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的平均時(shí)長和中位數(shù)；（2）宣傳部為了了解大家利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的具體情況，準(zhǔn)備采用分層抽樣的方法從和組中抽取50人了解情況，則兩組各抽取多少人？再利用分層抽樣從抽取的50入中選5人參加一個(gè)座談會(huì),現(xiàn)從參加座談會(huì)的5人中隨機(jī)抽取兩人發(fā)言，求小組中至少有1人發(fā)言的概率？16．若恒成立，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，，點(diǎn)D，E分別在棱和棱上，且，，M為棱的中點(diǎn)（1）求證：；（2）求直線AB與平面所成角的正弦值18．（12分）已知橢圓的離心率為，短軸長為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知，A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)A作斜率為的直線交橢圓于另一點(diǎn)E，連接EP并延長交橢圓于另一點(diǎn)F，記直線BF的斜率為．若，求直線EF的方程19．（12分）已知圓C的圓心在直線上，且過點(diǎn).（1）求圓C的方程；（2）若圓C與直線交于A，B兩點(diǎn)，且，求m的值.20．（12分）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)W到直線的距離為d，且，.（1）記動(dòng)點(diǎn)W的軌跡為曲線C，求曲線C的方程；（2）若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，直線與曲線C交于，兩點(diǎn)，直線l與的交點(diǎn)為P（P不在曲線C上），且，設(shè)直線l，的斜率分別為k，.求證：為定值.21．（12分）已知橢圓一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，橢圓C的離心率為.（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）從橢圓C在第一象限內(nèi)的部分上取橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)P，若橢圓C上有兩個(gè)點(diǎn)A，B使得的平分線垂直于坐標(biāo)軸，且點(diǎn)B與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)之差為，求直線AP的方程.22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面滿足，，底面，且，.（1）證明平面；（2）求平面與平面的夾角.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算即可得解【詳解】因向量，，且，則，解得，所以實(shí)數(shù)等于.故選：C2、C【解析】利用圓心距與半徑的關(guān)系確定正確選項(xiàng).【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，圓心距為，，所以兩圓相交.故選：C3、B【解析】,，所以是必要不充分條件，故選B.考點(diǎn)：1.指、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；2.充分條件與必要條件.4、B【解析】由題意可設(shè)且，即得a、b的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而求雙曲線C的漸近線方程.【詳解】由題設(shè)，，，又，P為雙曲線C上一點(diǎn)，∴，又，為的中點(diǎn)，∴，即，∴雙曲線C的漸近線方程為.故選：B.5、C【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，分別得到，然后根據(jù)空間向量夾角公式計(jì)算即可.【詳解】以過點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸，直線，分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則根據(jù)題意可得，，，，所以，，設(shè)異面直線與所成角為，則.故選：C.6、A【解析】將兩圓的方程相減，即可求兩圓相交弦所在直線的方程.【詳解】設(shè)，因?yàn)閳A：①和圓：②交于A，B兩點(diǎn)所以由①-②得：,即，故坐標(biāo)滿足方程，又過AB的直線唯一確定，即直線的方程為.故選：A7、A【解析】利用兩直線垂直斜率關(guān)系，即可求解.【詳解】直線l1：y＝x+2與l2：2ax+y﹣1＝0垂直，.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查兩直線垂直間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】根據(jù)雙曲線方程得，，由雙曲線的定義，證出，結(jié)合即可算出△的周長【詳解】雙曲線方程為，，根據(jù)雙曲線的定義，得，，，，相加可得，，，因此△的周長，故選：C9、C【解析】化為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用焦點(diǎn)坐標(biāo)公式求解.【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以拋物線的焦點(diǎn)在軸上，且，所以，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：C10、B【解析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，，所?故選：B.11、D【解析】根據(jù)程序框圖分別計(jì)算小李和小張托運(yùn)行李的費(fèi)用，再求和得出答案.【詳解】由程序框圖可知，當(dāng)時(shí)，元；當(dāng)時(shí)，元，所以這兩人托運(yùn)行李的費(fèi)用之和為元.故選：D12、C【解析】討論是按直角邊旋轉(zhuǎn)還是按斜邊旋轉(zhuǎn)【詳解】按直角邊選擇可得下圖圓錐：如果按直角邊旋轉(zhuǎn)可得下圖的兩個(gè)圓錐的組合體：故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)出點(diǎn)和三角形的重心，利用重心坐標(biāo)公式得到點(diǎn)和三角形的重心坐標(biāo)的關(guān)系，，代入橢圓方程即可求得軌跡方程，再利用，，三點(diǎn)不共線得到.【詳解】設(shè)，，由，得，即，，因?yàn)闉榈闹匦模?，，即，，代入，得，即，因?yàn)椋?，三點(diǎn)不共線，所以，則的重心的軌跡方程是.故答案：.14、【解析】根據(jù)題意可得，利用推出，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】由題意知，，將代入方程中，得，因?yàn)?，所以，整理，得，又，所以，由，解?故答案為：15、（1）平均時(shí)長為，中位數(shù)為（2）在和兩組中分別抽取30人和20人，概率【解析】（1）由頻率分布直方圖計(jì)算平均數(shù)，中位數(shù)的公式即可求解；（2）先根據(jù)分層抽樣求出每一組抽取的人數(shù)，再列舉抽取總事件個(gè)數(shù)，從而利用古典概型概率計(jì)算公式即可求解【小問1詳解】解：（1）設(shè)被抽查人員利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的平均時(shí)長為，中位數(shù)為，，被抽查人員利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的時(shí)長中位數(shù)滿足，解得，即抽查人員利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的平均時(shí)長為6.8，中位數(shù)為【小問2詳解】解：組的人數(shù)為人，設(shè)抽取的人數(shù)為，組的人數(shù)為人，設(shè)抽取的人數(shù)為，則，解得，，所以在和兩組中分別抽取30人和20人，再利用分層抽樣從抽取的50入中抽取5人，兩組分別抽取3人和2人，將組中被抽取的工作人員標(biāo)記為，，，將中的標(biāo)記為，，則抽取的情況如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共10種情況，其中在中至少抽取1人有7種，故所求概率16、1【解析】利用導(dǎo)數(shù)研究的最小值為，再構(gòu)造研究其最值，即可確定參數(shù)a的值.【詳解】令，則且，當(dāng)時(shí)，遞減；當(dāng)時(shí)，遞增；所以，即在上恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，遞增；當(dāng)時(shí)，遞減；所以，綜上，.故答案為：1三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）由線面垂直、等腰三角形的性質(zhì)易得、，再根據(jù)線面垂直的判定及性質(zhì)證明結(jié)論；（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求的方向向量、面的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】在三棱柱中，平面，則平面，由平面，則，，則，又為的中點(diǎn)，則，又，則平面，由平面，因此，.【小問2詳解】以為原點(diǎn)，以，，為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得：，，，，，，.∴，，，，設(shè)為面的法向量，則，令得，設(shè)與平面所成角為，則，∴直線與平面所成角的正弦值為.18、（1）（2）【解析】（1）由離心率得關(guān)系，短軸求出，結(jié)合關(guān)系式解出，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，，過EF的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程得韋達(dá)定理，結(jié)合斜率定義和化簡得，由在橢圓上代換得，聯(lián)立韋達(dá)定理可求，進(jìn)而得解；【小問1詳解】由題意可得，，，又，解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】由（1）得，，顯然直線EF的斜率存在且不為0，設(shè)，，則，都不為和0設(shè)直線EF的方程為，由消去y得，顯然，則，因?yàn)椋?，等式兩邊平方得①又因?yàn)椋跈E圓上，所以，②將②代入①可得，即，所以，即，解得或（舍去，此時(shí)）所以直線EF的方程為19、（1）（2）或【解析】（1）由已知設(shè)圓C的方程為，點(diǎn)代入計(jì)算即可得出結(jié)果.（2）由已知可得圓心C到直線的距離,利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可求得值.【小問1詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓C的圓心在直線上，.則圓C的方程為，圓C過點(diǎn)，則，解得：則，圓C的圓心坐標(biāo)為.則圓C的方程為；【小問2詳解】圓心C到直線的距離.則，解得或20、（1）（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，由即所以化簡即可得到答案.（2）設(shè)，，設(shè)直線l的方程為：與（1）中W的軌跡方程聯(lián)立，得出韋達(dá)定理，求出，同理設(shè)直線的方程為：，得出，再根據(jù)從而可證明結(jié)論.【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以所以所以所以所以C的方程為：【小問2詳解】設(shè)，，設(shè)直線l的方程為：，則由得：所以，，所以所以設(shè)直線的方程為：，則同理可得因所以即，即，即解得，即所以為定值.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由題意可得關(guān)于參數(shù)的方程，解之即可得到結(jié)果；（Ⅱ）設(shè)直線AP的斜率為k，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理可得A點(diǎn)坐標(biāo)，同理可得B點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合橫坐標(biāo)之差為，可得直線方程.【詳解】（Ⅰ）由拋物線方程可得焦點(diǎn)為，則橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為，即.由，解得.∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是；（Ⅱ）由題可知點(diǎn)，設(shè)直線AP的斜率為k，由題意知，直線BP的斜率為，設(shè)，，直線AP的方程為，即.聯(lián)立方程組消去y得.∵P，A為直線AP與橢圓C的交點(diǎn)，∴，即.把換成，得.∴，解得，當(dāng)時(shí)，直線BP的方程為，經(jīng)驗(yàn)證與橢圓C相切，不符合題意；當(dāng)時(shí)，直線BP的方程為，符合題意.∴直線AP得方程為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：兩條直線關(guān)于直線對(duì)