江蘇省南京市梅山高級中學(xué)2026屆數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在的展開式中，只有第4項的二項式系數(shù)最大，則（）A.5 B.6C.7 D.82．設(shè)是可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)，則（）A.2 B.C. D.3．若將一個橢圓繞其中心旋轉(zhuǎn)90°，所得橢圓短軸兩頂點恰好是旋轉(zhuǎn)前橢圓的兩焦點，這樣的橢圓稱為“對偶橢圓”，下列橢圓中是“對偶橢圓”的是（）A. B.C. D.4．如圖，在三棱錐中，是線段的中點，則（）A. B.C. D.5．已知a，b為正數(shù)，，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.6．若存在，使得不等式成立，則實數(shù)k的取值范圍為（）A. B.C. D.7．三棱柱中，，，，若，則（）A. B.C. D.8．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9．設(shè).若，則＝（）A. B.C. D.e10．已知過點的直線l與圓相交于A，B兩點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.11．“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學(xué)成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了多年，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記為圖中虛線上的數(shù)，，，，…構(gòu)成的數(shù)列的第項，則的值為（）A. B.C. D.12．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．?dāng)?shù)列滿足，，則______.14．已知平面的法向量為，平面的法向量為，若，則___________.15．某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的情況，采用分層抽樣的方法從高一人、高二人、高三人中，抽取人進(jìn)行問卷調(diào)查.已知高一被抽取的人數(shù)為，那么高二被抽取的人數(shù)為__.16．如圖，某河流上有一座拋物線形的拱橋，已知橋的跨度米，高度米（即橋拱頂?shù)交诘闹本€的距離）．由于河流上游降雨，導(dǎo)致河水從橋的基座處開始上漲了1米，則此時橋洞中水面的寬度為______米三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.18．（12分）已知圓（1）若一直線被圓C所截得的弦的中點為，求該直線的方程；（2）設(shè)直線與圓C交于A，B兩點，把的面積S表示為m的函數(shù)，并求S的最大值19．（12分）設(shè)正項數(shù)列的前項和為，已知，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為，若不等式對一切恒成立，求的取值范圍20．（12分）已知數(shù)列{an}的首項a1＝1，且an＋1＝(n∈N*).（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)bn＝－，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，.（1）證明：平面平面；（2）若，為棱的中點，，，求二面角的余弦值22．（10分）過原點O的圓C，與x軸相交于點A(4,0)，與y軸相交于點B(0,2)(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線l過B點與圓C相切，求直線l的方程，并化為一般式

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】當(dāng)n為偶數(shù)時，展開式中第項二項式系數(shù)最大，當(dāng)n為奇數(shù)時，展開式中第和項二項式系數(shù)最大.【詳解】因為只有一項二項式系數(shù)最大，所以n為偶數(shù)，故，得.故選：B2、C【解析】由導(dǎo)數(shù)的定義可得，即可得答案【詳解】根據(jù)題意，，故.故選：C3、A【解析】由題意可得，所給的橢圓中的，的值求出的值，進(jìn)而判斷所給命題的真假【詳解】解：因為橢圓短的軸兩頂點恰好是旋轉(zhuǎn)前橢圓的兩焦點，即，即，中，，，所以，故，所以正確；中，，，所以，所以不正確；中，，，所以，所以不正確；中，，，所以，所以不正確；故選：4、A【解析】根據(jù)給定幾何體利用空間向量基底結(jié)合向量運(yùn)算計算作答.【詳解】在三棱錐中，是線段的中點，所以：.故選：A5、A【解析】構(gòu)造新函數(shù)，以函數(shù)單調(diào)性把不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式即可解決.【詳解】不等式可化為：令，則則函數(shù)為單調(diào)增函數(shù).由可得故選：A6、C【解析】根據(jù)題意和一元二次不等式能成立可得對于，成立，令，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，即可求出.【詳解】存在，不等式成立，則，能成立，即對于，成立，令，，則，令，所以當(dāng)，單調(diào)遞增，當(dāng)，單調(diào)遞減，又，所以f(x)>-3，所以.故選：C7、A【解析】利用空間向量線性運(yùn)算及基本定理結(jié)合圖形即可得出答案.【詳解】解：由，，，若，得.故選：A.8、B【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的概念即可判斷.【詳解】∵，∴“”是“”的必要不充分條件.故選：B.9、D【解析】由題可得，將代入解方程即可.【詳解】∵，∴,∴，解得.故選：D.10、D【解析】經(jīng)判斷點在圓內(nèi)，與半徑相連，所以與垂直時弦長最短，最長為直徑【詳解】將代入圓方程得：，所以點在圓內(nèi)，連接，當(dāng)時，弦長最短，，所以弦長，當(dāng)過圓心時，最長等于直徑8，所以的取值范圍是故選：D11、B【解析】根據(jù)楊輝三角可得數(shù)列的遞推公式，結(jié)合累加法可得數(shù)列的通項公式與.【詳解】由已知可得數(shù)列的遞推公式為，且，且，故，，，，，等式左右兩邊分別相加得，，故選：B.12、B【解析】由可得，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，由此比較函數(shù)值的大小確定正確選項.【詳解】∵∴，當(dāng)時，，∴，故∴在內(nèi)單調(diào)遞增，又，∴，所以故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)遞推關(guān)系依次求得的值.【詳解】依題意數(shù)列滿足，，所以.故答案為：14、2【解析】由，可兩平面的法向量也平行，從而可求出，進(jìn)而可求得答案【詳解】因為平面的法向量為，平面的法向量為，，所以∥，所以存實數(shù)使，所以，所以，解得，所以，故答案為：215、【解析】利用分層抽樣可求得的值，再利用分層抽樣可求得高二被抽取的人數(shù).【詳解】高一年級抽取的人數(shù)為：人，則，則高二被抽取的人數(shù)，故答案為：.16、【解析】以橋的頂點為坐標(biāo)原點，水平方向所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則根據(jù)點在拋物線上，可得拋物線的方程，設(shè)水面與橋的交點坐標(biāo)為，求出，進(jìn)而可得水面的寬度.【詳解】以橋的頂點為坐標(biāo)原點，水平方向所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則拋物線的方程為，因為點在拋物線上，所以，即故拋物線的方程為，設(shè)河水上漲1米后，水面與橋的交點坐標(biāo)為，則，得，所以此時橋洞中水面的寬度為米故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）要證，可證，由題意可得，，易證，從而平面，即有，從而得證；（2）取中點，根據(jù)題意可知，兩兩垂直，所以以點為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，再分別求出向量和平面的一個法向量，即可根據(jù)線面角的向量公式求出【詳解】（1）中，，，，由余弦定理可得，所以，．由題意且，平面，而平面，所以，又，所以（2）由，，而與相交，所以平面，因為，所以，取中點，連接，則兩兩垂直，以點為坐標(biāo)原點，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系,則,又為中點，所以.由（1）得平面，所以平面的一個法向量從而直線與平面所成角的正弦值為【點睛】本題第一問主要考查線面垂直的相互轉(zhuǎn)化，要證明，可以考慮，題中與有垂直關(guān)系直線較多，易證平面，從而使問題得以解決；第二問思路直接，由第一問的垂直關(guān)系可以建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面角的向量公式即可計算得出18、（1）（2），最大值為.【解析】（1）利用垂徑定理求出斜率，即可求出直線的方程；（2）利用幾何法表示出弦長與d的關(guān)系，利用基本不等式求出的面積S的最大值【小問1詳解】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：.則.設(shè)所求的直線為m.由圓的幾何性質(zhì)可知：，所以，所以所求的直線為：，即.【小問2詳解】設(shè)圓心C到直線l的距離為d，則，且，所以因為直線與圓C交于A，B兩點，所以,解得：且.而的面積：因為所以（其中時等號成立）.所以S的最大值為.19、（1）；（2）.【解析】（1）利用的關(guān)系求的通項公式；（2）由（1）得，應(yīng)用錯位相減法求，根據(jù)不等式，討論n的奇偶性求參數(shù)范圍即可.【小問1詳解】由題設(shè)，當(dāng)時，則，整理得，，則，當(dāng)時，，又得：，故，所以數(shù)列是首項、公差均為2的等差數(shù)列，故.【小問2詳解】由（1），，所以，，兩式相減得，故，所以令，易知：單調(diào)遞增，若為偶數(shù)，則，所以；若為奇數(shù)，則，所以，即綜上，20、（1）證明見解析.（2）2－.【解析】（1）根據(jù)遞推公式，得到，推出，即可證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）先由（1）求出，即bn＝，再錯位相減法，即可求出數(shù)列的和.【小問1詳解】（1）證明：因為an＋1＝，所以＝＝＋，所以－＝－＝，又a1－≠0，所以數(shù)列為以－＝為首項，為公比的等比數(shù)列.【小問2詳解】解：由（1）可得＝＋，所以bn＝，所以Sn＝＋＋＋…＋，①所以Sn＝＋＋…＋＋，②①－②得，Sn＝＋＋…＋－＝－，解得Sn＝2－.21、（1）見解析；（2）【解析】分析：（1）由四邊形為矩形，可得，再由已知結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得平面，進(jìn)一步得到，再由，利用線面垂直的判定定理可得面，即可證得平面；（2）取的中點，連接，以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題得，解得.進(jìn)而求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解二面角的余弦值.詳解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD⊥BC.∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，CD平面ABCD，∴CD⊥平面PBC，∴CD⊥PB.∵PB⊥PD，CD∩PD=D，CD、PD平面PCD，∴PB⊥平面PCD.∵PB平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD.（2）設(shè)BC中點為,連接，，又面面，且面面，所以面.以為坐標(biāo)原點，的方向為軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由（1）知PB⊥平面PCD，故PB⊥，設(shè)，可得所以由題得，解得.所以設(shè)是平面的法向量，則，即，可取.設(shè)是平面的法向量，則，即，可取.則，所以二面角的余弦值為.點睛：本題考查了立體幾何中的面面垂直的判定和二面角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴(yán)密推理，明確角的構(gòu)成.同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.22、（1）；（2）【解析】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則分別代入原點和，得到方程組，解出即可得到；（2）由（1）得到圓心為，半徑，由于直線過點與圓相切，則分別討論斜率存在與否，運(yùn)用直線與圓相切的條件：，解方程即可得到所求直線方程.【詳解】(1)設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則分