2026年矩陣行列式測(cè)試題及答案

一、填空題（每題2分，共20分）1.在一個(gè)3階行列式中，若第1行第2列的元素為2，第2行第3列的元素為3，第3行第1列的元素為4，則該行列式的值為_________。2.行列式det(A)的元素aij的余子式Aij是指去掉矩陣A的第i行和第j列后得到的_________的行列式。3.若矩陣A是一個(gè)2×2矩陣，且det(A)=-3，則矩陣A的逆矩陣A^-1的行列式det(A^-1)為_________。4.行列式det(AB)等于矩陣A的行列式det(A)與矩陣B的行列式det(B)的_________。5.行列式det(A)的值等于其轉(zhuǎn)置矩陣A^T的行列式det(A^T)的_________。6.若矩陣A是一個(gè)n階矩陣，且存在一個(gè)非零向量x使得Ax=0，則矩陣A的行列式det(A)為_________。7.行列式det(A)的值可以通過其任意一行（或列）的元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和來計(jì)算，這個(gè)性質(zhì)稱為_________。8.行列式det(A)的值等于其主對(duì)角線元素的乘積，當(dāng)且僅當(dāng)矩陣A為_________矩陣。9.若矩陣A是一個(gè)n階矩陣，且其所有元素的值都為1，則矩陣A的行列式det(A)為_________。10.行列式det(A)的值可以通過其任意一行（或列）的元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和的代數(shù)和來計(jì)算，這個(gè)性質(zhì)稱為_________。二、判斷題（每題2分，共20分）1.行列式的值等于其任意一行（或列）的元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和。（對(duì)）2.若矩陣A的行列式det(A)為0，則矩陣A不可逆。（對(duì)）3.行列式det(A)的值等于其轉(zhuǎn)置矩陣A^T的行列式det(A^T)的值。（對(duì)）4.若矩陣A是一個(gè)2×2矩陣，且det(A)=-3，則矩陣A的逆矩陣A^-1的行列式det(A^-1)為-1/3。（錯(cuò)）5.行列式det(AB)等于矩陣A的行列式det(A)與矩陣B的行列式det(B)的乘積。（對(duì)）6.若矩陣A是一個(gè)n階矩陣，且存在一個(gè)非零向量x使得Ax=0，則矩陣A的行列式det(A)為0。（對(duì)）7.行列式det(A)的值等于其主對(duì)角線元素的乘積，當(dāng)且僅當(dāng)矩陣A為對(duì)角矩陣。（錯(cuò)）8.若矩陣A是一個(gè)n階矩陣，且其所有元素的值都為1，則矩陣A的行列式det(A)為n。（錯(cuò)）9.行列式det(A)的值可以通過其任意一行（或列）的元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和的代數(shù)和來計(jì)算，這個(gè)性質(zhì)稱為拉普拉斯展開定理。（對(duì)）10.行列式det(A)的值等于其任意一行（或列）的元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和。（對(duì)）三、選擇題（每題2分，共20分）1.在一個(gè)3階行列式中，若第1行第2列的元素為2，第2行第3列的元素為3，第3行第1列的元素為4，則該行列式的值為多少？（C）A.12B.6C.0D.82.行列式det(A)的元素aij的余子式Aij是指去掉矩陣A的第i行和第j列后得到的什么？（B）A.矩陣B.行列式C.向量D.線性方程組3.若矩陣A是一個(gè)2×2矩陣，且det(A)=-3，則矩陣A的逆矩陣A^-1的行列式det(A^-1)為多少？（A）A.-1/3B.3C.1/3D.-34.行列式det(AB)等于矩陣A的行列式det(A)與矩陣B的行列式det(B)的什么？（C）A.商B.差C.積D.和5.行列式det(A)的值等于其轉(zhuǎn)置矩陣A^T的行列式det(A^T)的什么？（B）A.商B.值C.差D.和6.若矩陣A是一個(gè)n階矩陣，且存在一個(gè)非零向量x使得Ax=0，則矩陣A的行列式det(A)為多少？（D）A.1B.-1C.nD.07.行列式det(A)的值可以通過其任意一行（或列）的元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和來計(jì)算，這個(gè)性質(zhì)稱為什么？（A）A.拉普拉斯展開定理B.行列式展開定理C.矩陣展開定理D.代數(shù)余子式展開定理8.行列式det(A)的值等于其主對(duì)角線元素的乘積，當(dāng)且僅當(dāng)矩陣A為什么？（C）A.上三角矩陣B.下三角矩陣C.對(duì)角矩陣D.奇異矩陣9.若矩陣A是一個(gè)n階矩陣，且其所有元素的值都為1，則矩陣A的行列式det(A)為多少？（D）A.1B.-1C.nD.010.行列式det(A)的值可以通過其任意一行（或列）的元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和的代數(shù)和來計(jì)算，這個(gè)性質(zhì)稱為什么？（B）A.拉普拉斯展開定理B.行列式展開定理C.矩陣展開定理D.代數(shù)余子式展開定理四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.簡(jiǎn)述行列式的定義及其在矩陣?yán)碚撝械淖饔?。答：行列式是一個(gè)定義在方陣上的標(biāo)量值函數(shù)，它通過方陣中的元素計(jì)算得到。行列式在矩陣?yán)碚撝衅鹬匾淖饔茫挥糜谂袛嗑仃囀欠窨赡?、?jì)算矩陣的逆、求解線性方程組等。行列式的值可以通過多種方法計(jì)算，如拉普拉斯展開定理、余子式展開定理等。2.解釋什么是余子式，并說明余子式在行列式計(jì)算中的作用。答：余子式是指去掉矩陣A的第i行和第j列后得到的子矩陣的行列式。余子式在行列式計(jì)算中起著重要的作用，它被用于拉普拉斯展開定理中，通過將行列式展開為余子式的線性組合來計(jì)算行列式的值。3.描述行列式的性質(zhì)，并舉例說明其中幾個(gè)性質(zhì)的應(yīng)用。答：行列式具有多種性質(zhì)，如交換律、反對(duì)稱性、分配律等。例如，交換律指的是交換行列式的兩行（或列）會(huì)改變行列式的符號(hào)；反對(duì)稱性指的是如果行列式的兩行（或列）相同，則行列式的值為0；分配律指的是行列式可以按照行（或列）進(jìn)行分配計(jì)算。這些性質(zhì)在行列式計(jì)算和矩陣?yán)碚撝杏兄鴱V泛的應(yīng)用。4.解釋什么是奇異矩陣和非奇異矩陣，并說明行列式在判斷矩陣是否奇異中的作用。答：奇異矩陣是指行列式為0的矩陣，非奇異矩陣是指行列式不為0的矩陣。行列式在判斷矩陣是否奇異中起著重要的作用，如果矩陣的行列式為0，則該矩陣是奇異的，不可逆；如果矩陣的行列式不為0，則該矩陣是非奇異的，可逆。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論行列式在求解線性方程組中的應(yīng)用，并舉例說明。答：行列式在求解線性方程組中有著重要的應(yīng)用，可以通過克萊姆法則來求解?？巳R姆法則指出，對(duì)于線性方程組Ax=b，如果矩陣A的行列式不為0，則方程組有唯一解，解可以通過將常數(shù)向量b替換矩陣A的行列式中的對(duì)應(yīng)列來計(jì)算。例如，對(duì)于線性方程組Ax=b，其中A為2×2矩陣，b為2×1向量，如果det(A)不為0，則解x可以通過det(A1)/det(A)和det(A2)/det(A)來計(jì)算，其中A1和A2分別是將矩陣A的第一列和第二列替換為向量b得到的矩陣。2.討論行列式在矩陣求逆中的應(yīng)用，并舉例說明。答：行列式在矩陣求逆中有著重要的應(yīng)用，可以通過伴隨矩陣來計(jì)算矩陣的逆。伴隨矩陣是由矩陣的代數(shù)余子式組成的矩陣的轉(zhuǎn)置?？巳R姆法則指出，對(duì)于矩陣A，如果det(A)不為0，則A的逆矩陣A^-1可以通過伴隨矩陣除以det(A)來計(jì)算。例如，對(duì)于2×2矩陣A，如果det(A)不為0，則A^-1可以通過伴隨矩陣除以det(A)來計(jì)算，其中伴隨矩陣是由A的代數(shù)余子式組成的矩陣的轉(zhuǎn)置。3.討論行列式在矩陣相似變換中的應(yīng)用，并舉例說明。答：行列式在矩陣相似變換中有著重要的應(yīng)用，相似變換是指通過一個(gè)可逆矩陣P將矩陣A變換為矩陣B，即B=PA^-1。相似變換不改變矩陣的行列式，即det(B)=det(A)。例如，對(duì)于2×2矩陣A和B，如果存在一個(gè)可逆矩陣P使得B=PA^-1，則det(B)=det(A)。4.討論行列式在矩陣特征值計(jì)算中的應(yīng)用，并舉例說明。答：行列式在矩陣特征值計(jì)算中有著重要的應(yīng)用，特征值是矩陣的特征多項(xiàng)式的根。特征多項(xiàng)式是通過將矩陣A減去λI（λ為特征值，I為單位矩陣）后的行列式得到的。例如，對(duì)于2×2矩陣A，特征多項(xiàng)式為det(A-λI)，特征值是特征多項(xiàng)式的根。通過求解特征多項(xiàng)式，可以得到矩陣A的特征值。答案和解析：一、填空題1.02.余子式3.-1/34.積5.值6.07.拉普拉斯展開定理8.對(duì)角9.010.拉普拉斯展開定理二、判斷題1.對(duì)2.對(duì)3.對(duì)4.錯(cuò)5.對(duì)6.對(duì)7.錯(cuò)8.錯(cuò)9.對(duì)10.對(duì)三、選擇題1.C2.B3.A4.C5.B6.D7.A8.C9.D10.B四、簡(jiǎn)答題1.行列式是一個(gè)定義在方陣上的標(biāo)量值函數(shù)，它通過方陣中的元素計(jì)算得到。行列式在矩陣?yán)碚撝衅鹬匾淖饔?，它被用于判斷矩陣是否可逆、?jì)算矩陣的逆、求解線性方程組等。行列式的值可以通過多種方法計(jì)算，如拉普拉斯展開定理、余子式展開定理等。2.余子式是指去掉矩陣A的第i行和第j列后得到的子矩陣的行列式。余子式在行列式計(jì)算中起著重要的作用，它被用于拉普拉斯展開定理中，通過將行列式展開為余子式的線性組合來計(jì)算行列式的值。3.行列式具有多種性質(zhì)，如交換律、反對(duì)稱性、分配律等。例如，交換律指的是交換行列式的兩行（或列）會(huì)改變行列式的符號(hào)；反對(duì)稱性指的是如果行列式的兩行（或列）相同，則行列式的值為0；分配律指的是行列式可以按照行（或列）進(jìn)行分配計(jì)算。這些性質(zhì)在行列式計(jì)算和矩陣?yán)碚撝杏兄鴱V泛的應(yīng)用。4.奇異矩陣是指行列式為0的矩陣，非奇異矩陣是指行列式不為0的矩陣。行列式在判斷矩陣是否奇異中起著重要的作用，如果矩陣的行列式為0，則該矩陣是奇異的，不可逆；如果矩陣的行列式不為0，則該矩陣是非奇異的，可逆。五、討論題1.行列式在求解線性方程組中有著重要的應(yīng)用，可以通過克萊姆法則來求解?？巳R姆法則指出，對(duì)于線性方程組Ax=b，如果矩陣A的行列式不為0，則方程組有唯一解，解可以通過將常數(shù)向量b替換矩陣A的行列式中的對(duì)應(yīng)列來計(jì)算。例如，對(duì)于線性方程組Ax=b，其中A為2×2矩陣，b為2×1向量，如果det(A)不為0，則解x可以通過det(A1)/det(A)和det(A2)/det(A)來計(jì)算，其中A1和A2分別是將矩陣A的第一列和第二列替換為向量b得到的矩陣。2.行列式在矩陣求逆中有著重要的應(yīng)用，可以通過伴隨矩陣來計(jì)算矩陣的逆。伴隨矩陣是由矩陣的代數(shù)余子式組成的矩陣的轉(zhuǎn)置。克萊姆法則指出，對(duì)于矩陣A，如果det(A)不為0，則A的逆矩陣A^-1可以通過伴隨矩陣除以det(A)來計(jì)算。例如，對(duì)于2×2矩陣A，如果det(A)不為0，則A^-1可以通過伴隨矩陣除以det(A)來計(jì)算，其中伴隨矩陣是由A的代數(shù)余子式組成的矩陣的轉(zhuǎn)置。3.行列式在矩陣相似變換中有著重要的應(yīng)用，相似變換是指通過一個(gè)可逆矩陣P將矩陣A變換為矩