熱點(diǎn)題爆破14新定義綜合（數(shù)列新定義、函數(shù)新定義、集合新定義）1．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）我們把由0和1組成的數(shù)列稱(chēng)為數(shù)列，數(shù)列在計(jì)算機(jī)科學(xué)和信息技術(shù)領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用，把斐波那契數(shù)列（，）中的奇數(shù)換成0，偶數(shù)換成1可得到數(shù)列，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的值可能是（

）A．100 B．201 C．302 D．3992．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若數(shù)列，對(duì)于，都有（為常數(shù)）成立，則稱(chēng)數(shù)列具有性質(zhì)．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，且具有性質(zhì)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2024·安徽池州·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成了一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石．簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個(gè)點(diǎn)，使得，那么我們稱(chēng)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)．若存在個(gè)點(diǎn)，滿足，則稱(chēng)為“型不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，則下列函數(shù)中為“3型不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)的是（

）A． B．C． D．4．（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)任意，記，并稱(chēng)為集合的對(duì)稱(chēng)差．例如：若，則．下列命題中，為真命題的是（

）A．若且，則B．若且，則C．若且，則D．存在，使得5．（2024·河南·一模）對(duì)于數(shù)列（），定義為，，…，中最大值（）（），把數(shù)列稱(chēng)為數(shù)列的“M值數(shù)列”.如數(shù)列2，2，3，7，6的“M值數(shù)列”為2，2，3，7，7，則（

）A．若數(shù)列是遞減數(shù)列，則為常數(shù)列B．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則有C．滿足為2，3，3，5，5的所有數(shù)列的個(gè)數(shù)為8D．若，記為的前n項(xiàng)和，則6．（2024·山東煙臺(tái)·一模）給定數(shù)列，定義差分運(yùn)算：.若數(shù)列滿足，數(shù)列的首項(xiàng)為1，且，則（

）A．存在，使得恒成立B．存在，使得恒成立C．對(duì)任意，總存在，使得D．對(duì)任意，總存在，使得7．（2024·湖南·二模）對(duì)于非空集合，定義函數(shù)已知集合，若存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.8．（2024·貴州·三模）以表示數(shù)集中最大（?。┑臄?shù).設(shè)，已知，則.9．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知表示不超過(guò)的最大整數(shù)，，設(shè)，且，則的最小值為；當(dāng)時(shí)，滿足條件的所有值的和.10．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知集合中含有三個(gè)元素，同時(shí)滿足①；②；③為偶數(shù)，那么稱(chēng)集合具有性質(zhì).已知集合，對(duì)于集合的非空子集，若中存在三個(gè)互不相同的元素，使得均屬于，則稱(chēng)集合是集合的“期待子集”.(1)試判斷集合是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；(2)若集合具有性質(zhì)，證明：集合是集合的“期待子集”；(3)證明：集合具有性質(zhì)的充要條件是集合是集合的“期待子集”.11．（2024·廣東梅州·二模）已知是由正整數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列，該數(shù)列前項(xiàng)的最大值記為，即；前項(xiàng)的最小值記為，即，令（），并將數(shù)列稱(chēng)為的“生成數(shù)列”．(1)若，求其生成數(shù)列的前項(xiàng)和；(2)設(shè)數(shù)列的“生成數(shù)列”為，求證：；(3)若是等差數(shù)列，證明：存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，，是等差數(shù)列．12．（2024·廣西·二模）設(shè)，用表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則稱(chēng)為取整函數(shù)，取整函數(shù)是德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯最先使用，也稱(chēng)高斯函數(shù)．該函數(shù)具有以下性質(zhì)：①的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閆；②任意實(shí)數(shù)都能表示成整數(shù)部分和純小數(shù)部分之和，即，其中為x的整數(shù)部分，為x的小數(shù)部分；③；④若整數(shù)a，b滿足，則.(1)解方程；(2)已知實(shí)數(shù)r滿足，求的值；(3)證明：對(duì)于任意的大于等于3的正整數(shù)n，均有．一、單選題1．（2024·黑龍江·二模）已知集合，，定義集合：，則集合的非空子集的個(gè)數(shù)是（

）個(gè)．A．16 B．15 C．14 D．132．（2024·全國(guó)·一模）數(shù)學(xué)上，常用表示不大于x的最大整數(shù)．已知函數(shù)，則下列正確的是（）．A．函數(shù)在定義域上是奇函數(shù) B．函數(shù)的零點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)C．函數(shù)在定義域上的值域是 D．不等式解集是3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）大數(shù)據(jù)時(shí)代，需要對(duì)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索，檢索過(guò)程中有時(shí)會(huì)出現(xiàn)笛卡爾積現(xiàn)象，而笛卡爾積會(huì)產(chǎn)生大量的數(shù)據(jù)，對(duì)內(nèi)存、計(jì)算資源都會(huì)產(chǎn)生巨大壓力，為優(yōu)化檢索軟件，編程人員需要了解笛卡爾積．兩個(gè)集合和，用中元素為第一元素，中元素為第二元素構(gòu)成有序?qū)?，所有這樣的有序?qū)M成的集合叫作與的笛卡兒積，又稱(chēng)直積，記為．即且．關(guān)于任意非空集合，下列說(shuō)法一定正確的是（

）A． B．C． D．二、多選題4．（2024·廣西柳州·三模）設(shè)S是至少含有兩個(gè)元素的集合，在S上定義了一個(gè)二元運(yùn)算“*”（即對(duì)任意的，對(duì)于有序元素對(duì)，在S中有唯一確定的元素a*b與之對(duì)應(yīng)）.若對(duì)任意的，有，則對(duì)任意的，下列等式中恒成立的是（

）A． B．C． D．5．（2024·浙江寧波·二模）指示函數(shù)是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)函數(shù)，通常用來(lái)表示某個(gè)條件的成立情況.已知為全集且元素個(gè)數(shù)有限，對(duì)于的任意一個(gè)子集，定義集合的指示函數(shù)若，則（

）注：表示中所有元素所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值之和（其中是定義域的子集）.A．B．C．D．6．（2024·山西·一模）群的概念由法國(guó)天才數(shù)學(xué)家伽羅瓦（1811-1832）在19世紀(jì)30年代開(kāi)創(chuàng)，群論雖起源于對(duì)代數(shù)多項(xiàng)式方程的研究，但在量子力學(xué)?晶體結(jié)構(gòu)學(xué)等其他學(xué)科中也有十分廣泛的應(yīng)用.設(shè)是一個(gè)非空集合，“”是一個(gè)適用于中元素的運(yùn)算，若同時(shí)滿足以下四個(gè)條件，則稱(chēng)對(duì)“”構(gòu)成一個(gè)群：（1）封閉性，即若，則存在唯一確定的，使得；（2）結(jié)合律成立，即對(duì)中任意元素都有；（3）單位元存在，即存在，對(duì)任意，滿足，則稱(chēng)為單位元；（4）逆元存在，即任意，存在，使得，則稱(chēng)與互為逆元，記作.一般地，可簡(jiǎn)記作可簡(jiǎn)記作可簡(jiǎn)記作，以此類(lèi)推.正八邊形的中心為.以表示恒等變換，即不對(duì)正八邊形作任何變換；以表示以點(diǎn)為中心，將正八邊形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)變換；以表示以所在直線為軸，將正八邊形進(jìn)行軸對(duì)稱(chēng)變換.定義運(yùn)算“”表示復(fù)合變換，即表示將正八邊形先進(jìn)行變換再進(jìn)行變換的變換.以形如，并規(guī)定的變換為元素，可組成集合，則對(duì)運(yùn)算“”可構(gòu)成群，稱(chēng)之為“正八邊形的對(duì)稱(chēng)變換群”，記作.則以下關(guān)于及其元素的說(shuō)法中，正確的有（

）A．，且B．與互為逆元C．中有無(wú)窮多個(gè)元素D．中至少存在三個(gè)不同的元素，它們的逆元都是其本身三、填空題7．（2024·湖北·一模）記，分別表示函數(shù)在上的最大值和最小值．則．四、解答題8．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)，定義數(shù)列如下：如果，，則．(1)求和（用表示）；(2)令，證明：；(3)若，證明：對(duì)于任意正整數(shù)，存在正整數(shù)，使得．9．（2024·浙江溫州·二模）數(shù)列滿足：是等比數(shù)列，，且．(1)求；(2)求集合中所有元素的和；(3)對(duì)數(shù)列，若存在互不相等的正整數(shù)，使得也是數(shù)列中的項(xiàng)，則稱(chēng)數(shù)列是“和穩(wěn)定數(shù)列”．試分別判斷數(shù)列是否是“和穩(wěn)定數(shù)列”．若是，求出所有的值；若不是，說(shuō)明理由．10．（2024·廣西·二模）已知函數(shù)，若存在恒成立，則稱(chēng)是的一個(gè)“下界函數(shù)”．(1)如果函數(shù)為的一個(gè)“下界函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)，試問(wèn)函數(shù)是否存在零點(diǎn)？若存在，求出零點(diǎn)個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．11．（2024·浙江寧波·二模）定義：對(duì)于定義在區(qū)間上的函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減），在區(qū)間上單調(diào)遞減（遞增），則稱(chēng)這個(gè)函數(shù)為單峰函數(shù)且稱(chēng)為最優(yōu)點(diǎn).已知定義在區(qū)間上的函數(shù)是以為最優(yōu)點(diǎn)的單峰函數(shù)，在區(qū)間上選取關(guān)于區(qū)間的中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，稱(chēng)使得較小的試驗(yàn)點(diǎn)為好點(diǎn)（若相同，就任選其一），另一個(gè)稱(chēng)為差點(diǎn).容易發(fā)現(xiàn)，最優(yōu)點(diǎn)與好點(diǎn)在差點(diǎn)的同一側(cè).我們以差點(diǎn)為分界點(diǎn)，把區(qū)間分成兩部分，并稱(chēng)好點(diǎn)所在的部分為存優(yōu)區(qū)間，設(shè)存優(yōu)區(qū)間為，再對(duì)區(qū)間重復(fù)以上操作，可以找到新的存優(yōu)區(qū)間，同理可依次找到存優(yōu)區(qū)間，滿足，可使存優(yōu)區(qū)間長(zhǎng)度逐步減小.為了方便找到最優(yōu)點(diǎn)（或者接近最優(yōu)點(diǎn)），從第二次操作起，將前一次操作中的好點(diǎn)作為本次操作的一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，若每次操作后得到的存優(yōu)區(qū)間長(zhǎng)度與操作前區(qū)間的長(zhǎng)度的比值為同一個(gè)常數(shù)，則稱(chēng)這樣的操作是“優(yōu)美的”，得到的每一個(gè)存優(yōu)區(qū)間都稱(chēng)為優(yōu)美存優(yōu)區(qū)間，稱(chēng)為優(yōu)美存優(yōu)區(qū)間常數(shù).對(duì)區(qū)間進(jìn)行次“優(yōu)美的”操作，最后得到優(yōu)美存優(yōu)區(qū)間，令，我們可任取區(qū)間內(nèi)的一個(gè)實(shí)數(shù)作為最優(yōu)點(diǎn)的近似值，稱(chēng)之為在區(qū)間上精度為的“合規(guī)近似值”，記作.已知函數(shù)，函數(shù).(1)求證：函數(shù)是單峰函數(shù)；(2)已知為函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)，為函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn).（i）求證：；（ii）求證：.注：.12．（2024·湖南邵陽(yáng)·二模）給定整數(shù)，由元實(shí)數(shù)集合定義其隨影數(shù)集.若，則稱(chēng)集合為一個(gè)元理想數(shù)集，并定義的理數(shù)為其中所有元素的絕對(duì)值之和.(1)分別判斷集合是不是理想數(shù)集；（結(jié)論不要求說(shuō)明理由）(2)任取一個(gè)5元理想數(shù)集，求證：；(3)當(dāng)取遍所有2024元理想數(shù)集時(shí)，求理數(shù)的最小值.注：由個(gè)實(shí)數(shù)組成的集合叫做元實(shí)數(shù)集合，分別表示數(shù)集中的最大數(shù)與最小數(shù).13．（2024·湖南衡陽(yáng)·二模）莫比烏斯函數(shù)在數(shù)論中有著廣泛的應(yīng)用．所有大于1的正整數(shù)都可以被唯一表示為有限個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積形式：（為的質(zhì)因數(shù)個(gè)數(shù)，為質(zhì)數(shù)，），例如：，對(duì)應(yīng)．現(xiàn)對(duì)任意，定義莫比烏斯函數(shù)(1)求；(2)若正整數(shù)互質(zhì)，證明：；(3)若且，記的所有真因數(shù)（除了1和以外的因數(shù)）依次為，證明：．14．（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于無(wú)窮數(shù)列，我們稱(chēng)（規(guī)定）為無(wú)窮數(shù)列的指數(shù)型母函數(shù)．無(wú)窮數(shù)列1，1，…，1，…的指數(shù)型母函數(shù)記為，它具有性質(zhì)．(1)證明：；(2)記．證明：（其中i為虛數(shù)單位）；(3)以函數(shù)為指數(shù)型母函數(shù)生成數(shù)列，．其中稱(chēng)為伯努利數(shù)．證明：．且．15．（2024·安徽安慶·二模）取整函數(shù)被廣泛應(yīng)用于數(shù)論、函數(shù)繪圖和計(jì)算機(jī)領(lǐng)域，其定義如下：設(shè)，不超過(guò)x的最大整數(shù)稱(chēng)為x的整數(shù)部分，記作，函數(shù)稱(chēng)為取整函數(shù)．另外也稱(chēng)是x的整數(shù)部分，稱(chēng)為x的小數(shù)部分．(1)直接寫(xiě)出和的值；(2)設(shè)a，，證明：，且，并求在b的倍數(shù)中不大于a的正整數(shù)的個(gè)數(shù)；(3)對(duì)于任意一個(gè)大于1的整數(shù)a，a能唯一寫(xiě)為，其中為質(zhì)數(shù)，為整數(shù)，且對(duì)任意的，，i，，稱(chēng)該式為a的標(biāo)準(zhǔn)分解式，例如100的標(biāo)準(zhǔn)分解式為．證明：在的標(biāo)準(zhǔn)分解式中，質(zhì)因數(shù)（，，）的指數(shù)．16．（2024·遼寧·二模）如果數(shù)列，其中，對(duì)任意正整數(shù)都有，則稱(chēng)數(shù)列為數(shù)列的“接近數(shù)列”．已知數(shù)列為數(shù)列的“接近數(shù)列”．(1)若，求的值；(2)若數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(3)若數(shù)列滿足，且，記數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，試判斷是否存在正整數(shù)，使得？若存在，請(qǐng)求出正整數(shù)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：）17．（2024·湖南岳陽(yáng)·二模）已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是，接下來(lái)的兩項(xiàng)是，，再接下來(lái)的三項(xiàng)是，，，依此類(lèi)推．設(shè)該數(shù)列的前項(xiàng)和為，規(guī)定：若，使得，則稱(chēng)為該數(shù)列的“佳冪數(shù)”．(1)將該數(shù)列的“佳冪數(shù)”從小到大排列，直接寫(xiě)出前4個(gè)“佳冪數(shù)”；(2)試判斷50是否為“佳冪數(shù)”，并說(shuō)明理由；(3)（?。┣鬂M足的最小的“佳冪數(shù)”；（ⅱ）證明：該數(shù)列的“佳冪數(shù)”有無(wú)數(shù)個(gè)．18．（2024·江蘇徐州·一模）對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的數(shù)列P：，定義變換，將數(shù)列P變換成數(shù)列：．對(duì)于每項(xiàng)均是非負(fù)整數(shù)的數(shù)列，定義，定義變換，將數(shù)列Q各項(xiàng)從大到小排列，然后去掉所有為零的項(xiàng)，得到數(shù)列．(1)若數(shù)列為2，4，3，7，求的值；(2)對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的有窮數(shù)列，令，．（i）探究與的關(guān)系；（ii）證明：．19．（2