第二章函數(shù)§2.9指、對、冪的大小比較【考情分析·探規(guī)律】考點三年考情（2021-2024）命題趨勢指對冪函數(shù)值大小比較2024·天津卷2023·全國甲卷2023·天津卷2022·天津卷2022·全國甲卷2022·全國新Ⅰ卷2021·天津卷2021·全國新Ⅱ卷函數(shù)“比大小”是非常經(jīng)典的題型，每年高考基本都會出現(xiàn)，高考命題中，常常在選擇題中出現(xiàn)，往往將冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等混在一起，進(jìn)行排序?？疾閷W(xué)生利用函數(shù)的性質(zhì)與圖象解答能力。【名師點撥】函數(shù)“比大小”是非常經(jīng)典的題型，難度不定，方法無常，很受命題者的青睞。每年高考基本都會出現(xiàn)，難度逐年上升；高考命題中，常常在選擇題中出現(xiàn)，往往將冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等混在一起，進(jìn)行排序。這類問題的解法可以從代數(shù)和幾何方面加以探尋，即利用函數(shù)的性質(zhì)與圖象解答。題型一直接法比較大小命題點1利用函數(shù)的性質(zhì)例1.已知a＝0.734,b＝log83A.b<a<c B.a<c<bC.b<c<a D.a<b<c【答案】A【解析】由于y＝0.7x是R上的減函數(shù)，則0<0.734<0.70＝1，所以0<由于y＝log8x是(0，＋∞)上的增函數(shù)，則log834<log81＝0，所以b<0由于y＝4x是R上的增函數(shù)，則434>40＝1，所以c所以b<a<c.命題點2找中間值例2.設(shè)a＝0.20.5，b＝log53，c＝50.2，則a，b，c的大小關(guān)系是()A.a<b<c B.a<c<bC.c<b<a D.c<a<b【答案】A【解析】0<a＝0.20.5＝55<1>b＝log53>log55c＝50.2>50＝1，所以a<b<c.命題點3特殊值法例3.已知a>b>1，0<c<12A.ac<bc B.abc<bacC.alogbc<blogac D.logac<logbc【答案】C【解析】取特殊值，令a＝4，b＝2，c＝1則ac＝414,bc＝214,∴aabc＝4×214＝294∴abc>bac，故B錯誤；logac＝log414＝－1，logbc＝log214alogbc＝－8，blogac＝－2，∴alogbc<blogac，logac>logbc，故C正確，D錯誤.【解題技巧】利用特殊值作“中間量”在指數(shù)、對數(shù)中通?？蓛?yōu)先選擇“－1，0,12,1”對所比較的數(shù)進(jìn)行劃分，然后再進(jìn)行比較，有時可以簡化比較的步驟，也有一些題目需要選擇特殊的常數(shù)對所比較的數(shù)的值進(jìn)行估計，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，進(jìn)而可估計log23是一個1~2之間的小數(shù)【變式訓(xùn)練】變式1.設(shè)a＝2－0.5，b＝120.3,c＝log0.50.3，則a，bA.c<b<a B.a<b<cC.b<a<c D.c<a<b【答案】B【解析】因為a＝2－0.5，b＝120.3＝2易知函數(shù)y＝2x在R上是增函數(shù)，又－0.5<－0.3<0，所以a<b<20＝1，又易知y＝log0.5x在(0，＋∞)上是減函數(shù)，所以c＝log0.50.3>log0.50.5＝1，綜上，a<b<c.變式2.(2025·天津模擬)設(shè)a＝log2π，b＝log12π，c＝π－2A.a>b>c B.b>a>cC.a>c>b D.c>b>a【答案】C【解析】依題意，a＝log2π>log22＝1，b＝log12π<log121＝0，0<c＝π－2<π0＝1，所以a>題型二利用指數(shù)、對數(shù)及冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡比較大小命題點1作差法例1.設(shè)a＝log62，b＝log123，c＝log405，則()A.a<b<c B.b<a<cC.c<a<b D.a<c<b【答案】D【解析】∵1b＝log312＝1＋log34＝1＋＝1＋2lg2lg3,1＝1＋log58＝1＋lg8＝1＋3lg2∴1＝2lg2×lg5?3lg2×lg3＝lg2(2lg5?3lg3)＝lg2(lg25?lg27)lg3×lg5<0∴1b<又b>0，c>0，∴b>c；∵1c＝1＋log58<1＋log5＝1＋log5532＝5∵1a＝log26＝1＋log23>1＋log2＝1＋log2232＝5∴a<c.∴a<c<b.命題點2作商法例2.(2025·成都模擬)若a＝3?14,b＝32?13,cA.a>b>c B.b>c>aC.c>a>b D.c>b>a【答案】D【解析】因為0<a＝3?14<30<b＝32?13令ab＝3?而3112×2＝3×2－4＝316<1即3112×2?13<1，又因為c＝log1225＝log12410>log125命題點3乘方法例3.已知a＝log35，b＝log57，c＝43A.a>b>c B.b>a>cC.c>b>a D.a>c>b【答案】D【解析】因為53＝125>(343)所以log35>log3343＝43因為73＝343<(543)所以log57<log5543＝43所以a>c>b.【解題技巧】求同存異法比較大小如果兩個指數(shù)或?qū)?shù)的底數(shù)相同，則可通過真數(shù)的大小與指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出指數(shù)或?qū)?shù)的大小關(guān)系，要熟練運(yùn)用指數(shù)、對數(shù)公式、性質(zhì)，盡量將比較的對象轉(zhuǎn)化為某一部分相同的形式.【變式訓(xùn)練】變式1.已知正數(shù)a，b，c滿足2024a＝2025，2025b＝2024，ec＝2，下列說法正確的是()A.logac>logbc B.logca>logcbC.ac<bc D.ca<cb【答案】D【解析】∵2024a＝2025，2025b＝2024，ec＝2，∴a＝log20242025>1，b＝log20252024<1，c＝ln2<1，∴a>1，0<b<1，0<c<1，∴l(xiāng)ogac<0，logbc>0，∴l(xiāng)ogac<logbc，故A錯誤；∵0<c<1，a>b，∴l(xiāng)ogca<logcb，ac>bc，ca<cb，故B，C錯誤，D正確.變式2.若a＝4log232,b＝log147，A.a>b>c B.b>c>aC.c>b>a D.a>c>b【答案】A【解析】a＝4b＝log147＝1－log142＝1－ln2ln14,c＝log126＝1－log12因為4log142＝log1424＝log1416>1，則log142>1所以1－log142<1－14＝34,而ln2>0，ln14>ln12>0，所以ln2ln14<所以1－ln2ln14>1－ln2ln12,即b綜上，a>b>c.【限時訓(xùn)練】（45分鐘）一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.已知a＝20.3，b＝30.2，c＝log0.20.3，則()A.b>c>a B.c>b>aC.a>b>c D.b>a>c【答案】D【解析】依題意，b＝30.2＝90.1>80.1＝20.3＝a>1，c＝log0.20.3<log0.20.2＝1，所以b>a>c.2.(2025·攀枝花模擬)若a＝(3)23,b＝log3e，A.a>c>b B.a>b>cC.c>a>b D.c>b>a【答案】A【解析】易知y＝x13在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則(3)23＝3而由y＝3x，y＝ex均為增函數(shù)，得313>30＝1,e13>e0＝1，即又y＝log3x為增函數(shù)，故1＝log33>log3e＝b，則a>c>1>b.3.已知a＝ln3,b＝π1e,c＝ln3π,則A.b>a>c B.b>c>aC.a>c>b D.a>b>c【答案】A【解析】∵(3)6＝27,(3π)∴3>3∴0<ln3π<ln3<lne＝1，即c<a<1∵b＝π1e∴b>a>c.4.已知a＝log32，b＝log43，c＝sinπ6,則a，b，c的大小關(guān)系為A.a>b>c B.a>c>bC.b>c>a D.b>a>c【答案】D【解析】c＝sinπ6＝12,因為函數(shù)y＝log3x，y＝log4則a＝log32>log33b＝log43>log42＝12a－b＝ln2因為ln2>0，ln4>0，則ln2＋ln4>2ln2×ln4?ln2×ln4<14×(ln8)2<14×(ln9)2＝(ln3)故a<b，綜上，b>a>c.5.(2025·沈陽模擬)設(shè)a＝e1033,b＝ln1110A.a<b<c B.c<b<aC.b<c<a D.a<c<b【答案】B【解析】a＝e1033>e0＝1，b＝ln1110<1，c＝ln2.210<1，故a>b，要比較ln1110與ln2.210的大小，即比較ln11等價于比較1.110與2.2的大小，等價于比較1.19與2的大小，又1.19＝1.1×1.18＝1.1×1.214>1.1×1.24＝1.1×1.442>1.1×1.42＝1.1×1.96>2，故1.19>2，即ln1110>ln2.210,即b故c<b<a.6.已知log4m＝920,log12n＝14,0.9p＝0.8，則正數(shù)m，n，A.p>m>n B.m>n>pC.m>p>n D.p>n>m【答案】A【解析】由log4m＝920,得m＝4由log12n＝14,得nmn＝4920121由0.9p＝0.8，得p＝log0.90.8>log0.90.81＝2，于是p>m>n，所以正數(shù)m，n，p的大小關(guān)系為p>m>n.二、多項選擇題(每小題6分，共12分)7.已知x>y>0，則()A.log2(x2＋1)>log2(y2＋1)B.cosx>cosyC.(x＋1)3>(y＋1)3D.e－x＋1>e－y＋1【答案】AC【解析】對于A，由x>y>0，得x2＋1>y2＋1，又f(t)＝log2t是增函數(shù)，所以log2(x2＋1)>log2(y2＋1)，故A正確；對于B，由于g(t)＝cost在(0，＋∞)上不單調(diào)，所以cosx與cosy的大小關(guān)系無法確定，故B錯誤；對于C，由x>y，得x＋1>y＋1，又h(t)＝t3是增函數(shù)，所以(x＋1)3>(y＋1)3，故C正確；對于D，由x>y，得－x＋1<－y＋1，又φ(t)＝et是增函數(shù)，所以e－x＋1<e－y＋1，故D錯誤.8.設(shè)a＝ln4，b＝lg4，c＝20.6，則()A.b>a B.c>aC.a－b>ab D.a＋b>ab【答案】BD【解析】因為a＝ln4>lne＝1，b＝lg4<lg10＝1，所以b<a，故A錯誤；因為42<e3，所以ln42<lne3，即ln4<32,又325＝24332,(20.6)5＝(235因為a－b－ab＝ln4－lg4－ln4·lg4＝lg4lge－lg4－(lg4)2lge＝lg4[1?lg(4e)]lge,而lg(4e)>1，lg4>0，lge>0，所以a－b－由a＋b－ab＝lg4lge＋lg4－lg4lge·lg4＝lg4·lg5e2lge>0，所以a＋三、填空題(每小題5分，共10分)9.已知a＝log20.5，b＝20.5，c＝sin2，則a，b，c的大小關(guān)系為.

【答案】a<c<b【解析】因為函數(shù)y＝log2x是增函數(shù)，且0.5<1，則a＝log20.5<log21＝0，因為函數(shù)y＝2x是增函數(shù)，且0.5>0，則b＝20.5>20＝1，因為正弦函數(shù)y＝sinx在區(qū)間π2,3π2上單調(diào)遞減，所以0＝sinπ<c＝sin2<sinπ2＝1所以a<c<b.10.定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)為偶函數(shù)，且當(dāng)x1<x2<2時，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0恒成立，a＝f(1)，b＝f(ln10)，c＝f(354)，則a，b，c的大小關(guān)系為【答案】b>a>c【解析】因為函數(shù)f(x)滿足f(2－x)＝f(2＋x)，所以函數(shù)f(x)