1|向量的夾角知識點(diǎn)必備知識清單破6.2.4向量的數(shù)量積已知兩個非零向量a,b,O是平面上的任意一點(diǎn),作

=a,

=b(如圖所示),則∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角,即<a,b>=θ.

當(dāng)θ=0時,a與b同向;當(dāng)θ=π時,a與b反向;當(dāng)θ=

時,a與b垂直,記作a⊥b.已知兩個非零向量a與b,它們的夾角為θ,我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積(或

內(nèi)積),記作a·b,即a·b=|a|·|b|cosθ(結(jié)果不再是向量,而是數(shù)量;a·b中的“·”表示數(shù)量積這種運(yùn)

算形式,不能省略,也不能用“×”代替).規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為0.2|向量的數(shù)量積知識點(diǎn)3|投影與投影向量知識點(diǎn)1.如圖,設(shè)a,b是兩個非零向量,

=a,

=b,過

的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B,分別作

所在直線的垂線,垂足分別為A1,B1,得到

,則稱上述變換為向量a向向量b投影,

叫做向量a在向量b上的投影向量.

2.設(shè)與b方向相同的單位向量為e,a與b的夾角為θ,則向量a在向量b上的投影向量是|a|cosθe.設(shè)a,b是非零向量,它們的夾角是θ,e是與b方向相同的單位向量,則(1)a·e=e·a=|a|cosθ.(2)a⊥b?a·b=0.(3)當(dāng)a與b同向時,a·b=|a||b|;當(dāng)a與b反向時,a·b=-|a||b|.特別地,a·a=|a|2或|a|=

.(4)|a·b|≤|a||b|.4|向量數(shù)量積的性質(zhì)知識點(diǎn)對于向量a,b,c和實(shí)數(shù)λ,有(1)a·b=b·a;(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb);(3)(a+b)·c=a·c+b·c.5|向量數(shù)量積的運(yùn)算律知識點(diǎn)1.如果a·b=0,則一定有a=0或b=0嗎?知識辨析2.a·a常記作a2,由a2=b2能推出a=b或a=-b嗎?3.對于兩個非零向量a,b,a·b的符號與其夾角θ有什么關(guān)系?4.對于向量a,b,c,等式(a·b)·c=a·(b·c)一定成立嗎?一語破的1.不一定.若兩個非零向量a,b滿足a⊥b,則a·b=0.2.不能.因?yàn)閍2=|a|2,b2=|b|2,所以由a2=b2能推出|a|=|b|.3.當(dāng)a·b<0時,θ為鈍角或θ=180°;當(dāng)a·b>0時,θ為銳角或θ=0°;當(dāng)a·b=0時,θ=90°.4.不一定.因?yàn)閍·b,b·c是數(shù)量積,是實(shí)數(shù),不是向量,所以(a·b)·c與向量c共線,a·(b·c)與向量a共線.

因此,(a·b)·c=a·(b·c)在一般情況下不成立.1|向量數(shù)量積的運(yùn)算定點(diǎn)關(guān)鍵能力定點(diǎn)破1.求向量的數(shù)量積時,需明確兩個關(guān)鍵點(diǎn):模和夾角,再利用公式a·b=|a||b|cosθ求解.2.若問題中向量的模和夾角不是已知的,則可以借助向量的線性運(yùn)算,將問題中的向量轉(zhuǎn)化為

已知模及夾角的向量.典例1已知|a|=4,|b|=6,a與b的夾角為60°,則(1)a·b=

;(2)a·(a+b)=

;(3)(2a-b)·(a+3b)=

.解析

(1)a·b=|a||b|cos60°=4×6×

=12.(2)a·(a+b)=a2+a·b=|a|2+a·b=16+12=28.(3)(2a-b)·(a+3b)=2a2-3b2+5a·b=2|a|2-3|b|2+5a·b=2×16-3×36+5×12=-16.12

28-16在等腰直角△ABC中,AB=AC=1,

=3

,2

=

+

,則

·

=

.典例2思路點(diǎn)撥用

,

表示

,

,然后利用運(yùn)算律求解.解析

∵

=3

,∴

=

=

(

-

),∴

=

+

=

+

.∵2

=

+

,∴

-

=

-

,即

=

,∴

=

=

+

,∴

=

-

=

-

.由題意得

⊥

,|

|=|

|=1,∴

·

=

·

=-

+

=-

+

=

.2|向量數(shù)量積的應(yīng)用定點(diǎn)1.求向量的模求模一般利用公式|a|2=a2,計算時不要忘記開方,即|a|=

.拓展:|a±b|=

=

.在平面圖形中求向量的模時,注意利用圖形特征對向量的數(shù)量積或夾角進(jìn)行轉(zhuǎn)化.2.求向量的夾角求兩個非零向量a,b的夾角θ的關(guān)鍵是計算a·b及|a||b|,利用cosθ=

,結(jié)合θ∈[0,π],求出θ的值.3.由夾角范圍求參數(shù)的取值范圍對于非零向量a,b,根據(jù)夾角θ的范圍,可列關(guān)于數(shù)量積的不等式:若θ∈

,則a·b>0;若θ∈

,則a·b<0;若θ=

,則a·b=0,然后通過解不等式求參數(shù)的取值范圍.如圖,在△ABC中,已知|

|=2,|

|=6

,∠BAC=45°,BC,AC邊上的兩條中線AM,BN相交于點(diǎn)P.

(1)求|

|;(2)求∠MPN的余弦值.典例

解析

(1)由題意可得M為BC的中點(diǎn),所以

=

(

+

),所以

=

(

+

+2

·

),所以

=

(

+

+2|

|·|

|·cos∠BAC),又|

|=2,|

|=6

,∠BAC=45°,所以

=

×

=25,所以|

|=5.

所以|

|=

=

=

=

,又

=

(

+

),所以

·

=

(