建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面,x軸叫做實(shí)軸,y軸叫做虛軸.實(shí)軸上的點(diǎn)

都表示實(shí)數(shù),除了原點(diǎn)外,虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).7.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義1|復(fù)平面知識點(diǎn)2|復(fù)數(shù)的幾何意義知識點(diǎn)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R,i為虛數(shù)單位)對應(yīng)的向量為

,則向量

的模叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的?；蚪^對值,記作|z|或|a+bi|.即|z|=|a+bi|=

.3|復(fù)數(shù)的模知識點(diǎn)1.定義:一般地,當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等,虛部互為相反數(shù)時(shí),這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)(對

應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)關(guān)于實(shí)軸對稱).虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù).2.表示:復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用

表示,即如果z=a+bi(a,b∈R),那么

=a-bi.特別地,實(shí)數(shù)a的共軛復(fù)數(shù)仍為a.4|共軛復(fù)數(shù)知識點(diǎn)

1.在復(fù)平面內(nèi),虛軸上的點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)都是純虛數(shù)嗎?2.復(fù)數(shù)的模一定是正實(shí)數(shù)嗎?3.互為共軛復(fù)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)有什么特點(diǎn)?4.復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)的充要條件是z=

嗎?知識辨析

1.不是.除原點(diǎn)外,虛軸上的點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)都是純虛數(shù).2.不一定.復(fù)數(shù)的模是非負(fù)實(shí)數(shù),如復(fù)數(shù)0的模是0.3.實(shí)部相等,虛部互為相反數(shù),模相同;兩復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱.4.是.設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則

=a-bi,z=

?a+bi=a-bi?b=0?z是實(shí)數(shù).一語破的復(fù)數(shù)的幾何意義有兩個(gè)方面,一是和復(fù)平面上的點(diǎn)一一對應(yīng),二是和以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向

量一一對應(yīng).在做復(fù)數(shù)相關(guān)題目時(shí),可以利用這兩種幾何意義實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向

量之間的轉(zhuǎn)化.1|復(fù)數(shù)幾何意義的應(yīng)用定點(diǎn)關(guān)鍵能力定點(diǎn)破已知i為虛數(shù)單位,在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)i,1,4+2i對應(yīng)的點(diǎn)分別是A,B,C.求平行四邊形ABCD

的頂點(diǎn)D所對應(yīng)的復(fù)數(shù).典例

解析

解法一:由復(fù)數(shù)的幾何意義得A(0,1),B(1,0),C(4,2),則AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為

,由平行四邊形的性質(zhì)知,該點(diǎn)也是BD的中點(diǎn),設(shè)D(x,y),則

解得

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3,3),∴點(diǎn)D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3+3i.解法二:由復(fù)數(shù)的幾何意義得A(0,1),B(1,0),C(4,2),則

=(1,-1),設(shè)D(x,y),則

=(4-x,2-y).∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴

=

,∴

解得

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3,3),∴點(diǎn)D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3+3i.解法三:在復(fù)平面內(nèi),設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O(0,0).由已知得

=(0,1),

=(1,0),

=(4,2),∴

=

-

=(-1,1),

=

-

=(3,2),∴

=

+

=(2,3),∴

=

+

=(3,3),∴點(diǎn)D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3+3i.對復(fù)數(shù)模的理解(1)從數(shù)的角度理解:復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)的模|a+bi|=

,兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小,但它們的模是實(shí)數(shù),可以比較大小.(2)從幾何角度理解:復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模就是復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)Z(a,b)到原點(diǎn)的

距離.重要結(jié)論:復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為Z,r表示大于0的常數(shù),則|z|=r表示點(diǎn)Z的軌跡是以

原點(diǎn)為圓心,r為半徑的圓,|z|<r表示點(diǎn)Z的集合為圓|z|=r的內(nèi)部所有的點(diǎn)組成的集合,|z|>r表示

點(diǎn)Z的集合為圓|z|=r的外部所有的點(diǎn)組成的集合.2|復(fù)數(shù)的模及應(yīng)用定點(diǎn)已知復(fù)數(shù)z1=

+i,z2=-

+

i.(1)求|z1|及|z2|,并比較它們的大小;(2)設(shè)z∈C,在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點(diǎn)為Z,那么滿足條件|z2|≤|z|≤|z1|的點(diǎn)Z的集合是什么圖形?典例

解析

(1)|z1|=|

+i|=

=2,|z2|=

=1,所以|z1|>|z2|.(2)由|z2|≤|z|≤|z1|及(1)知1≤|z|≤2.因?yàn)閨z|的幾何意義就是復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,所以

不等式|z|≥1的解集是圓|z|=1上及其