1.頻率的隨機性大量試驗表明,在任何確定次數(shù)的隨機試驗中,一個隨機事件A發(fā)生的頻率具有隨機性.2.頻率的穩(wěn)定性一般地,隨著試驗次數(shù)n的增大,頻率偏離概率的幅度會縮小,即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會

逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A),我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此,我們可以

用頻率fn(A)估計概率P(A).10.3頻率與概率10.3.1頻率的穩(wěn)定性

10.3.2隨機模擬1|頻率的隨機性和穩(wěn)定性知識點必備知識清單破1.隨機數(shù):要產(chǎn)生1~n(n>1,n∈N*)之間的隨機整數(shù),把n個質(zhì)地和大小相同的小球分別標上1,2,

3,…,n,放入一個容器中,充分攪拌后取出一個球,這個球上的數(shù)就稱為隨機數(shù).2.偽隨機數(shù):計算器或計算機產(chǎn)生的隨機數(shù)是按照確定的算法產(chǎn)生的數(shù),具有周期性(周期很

長),它們具有類似隨機數(shù)的性質(zhì).因此,計算器或計算機產(chǎn)生的隨機數(shù)不是真正的隨機數(shù),我

們稱它們?yōu)閭坞S機數(shù).3.產(chǎn)生隨機數(shù)的方法:①用計算器或計算機軟件產(chǎn)生;②抽簽法.4.蒙特卡洛方法利用隨機模擬解決問題的方法稱為蒙特卡洛方法.2|隨機模擬知識點

1.隨機事件的頻率和概率不可能相等,對嗎?2.隨機事件的頻率和概率都隨著試驗次數(shù)的變化而變化,對嗎?3.小概率事件一定不會發(fā)生嗎?4.用計算機模擬試驗來代替大量的重復試驗有什么優(yōu)點?5.在相同的環(huán)境下,兩次隨機模擬試驗得到的概率的估計值一定相等嗎?知識辨析一語破的1.不對.隨著試驗次數(shù)的增加,頻率在概率附近波動,在波動的過程中,可能會出現(xiàn)頻率等于概

率的情況.2.不對.頻率隨試驗次數(shù)的變化而變化,但概率是穩(wěn)定的,無論做不做試驗,概率值都存在且是

一個固定值,與試驗次數(shù)無關(guān).3.不一定.小概率事件只是發(fā)生的可能性比較小,不表示一定不發(fā)生.4.用頻率估計概率時,需做大量的重復試驗,費時費力,并且有些試驗具有破壞性,有些試驗無

法真正進行,因此利用計算機進行隨機模擬試驗就成為一種很重要的替代方法,它可以在短

時間內(nèi)多次重復地來做.5.不一定.隨機模擬試驗中得到的是概率的估計值,是事件發(fā)生的頻率,與隨機模擬的結(jié)果有

關(guān),可能會出現(xiàn)兩次試驗中概率的估計值不相等的情況.頻率與概率的關(guān)系(1)頻率本身是隨機的,在試驗前不能確定;(2)概率是一個確定的常數(shù),是客觀存在的,在試驗前已經(jīng)確定,與試驗次數(shù)無關(guān);(3)頻率是概率的近似值,隨著試驗次數(shù)的增加,頻率會越來越接近概率.當某隨機事件的概率

未知時,可用樣本中事件發(fā)生的頻率去近似估計總體中該事件發(fā)生的概率;(4)概率是頻率的穩(wěn)定值,體現(xiàn)了隨機事件發(fā)生的可能性,在現(xiàn)實生活中我們可以根據(jù)隨機事

件概率的大小去預測事件能否發(fā)生,從而對某些事情作出決策.1|用頻率估計概率定點關(guān)鍵能力定點破在一個不透明的袋中有大小、質(zhì)地完全相同的4個小球,其中有2個白球,1個紅球,1個藍

球,每次從袋中摸出一個球,然后放回攪勻后再摸,在摸球試驗中得到下列表格中部分數(shù)據(jù):典例

摸球次數(shù)105080100150200250300出現(xiàn)紅球的頻數(shù)2

20273650

出現(xiàn)紅球的頻率

30%

26%24%(1)請將表中數(shù)據(jù)補充完整;(2)如果按照此方法再摸球300次,所得頻率與表格中摸球300次對應的頻率一定一樣嗎?為什么?(3)試估計紅球出現(xiàn)的概率.解析

(1)頻數(shù)從左到右依次填15,65,72;頻率從左到右依次填20%,25%,27%,24%,25%.(2)不一定一樣,因為頻率會隨每次試驗的變化而變化.(3)由題表中數(shù)據(jù)可知紅球出現(xiàn)的頻率集中在25%附近,所以可估計其概率為0.25.方法技巧

解決此類頻率與概率相關(guān)的題目時,先利用

得到頻率,然后用頻率估計概率.用隨機模擬方法估計事件概率的步驟:(1)確定整數(shù)隨機數(shù)的范圍和用哪些數(shù)字代表不同的試驗結(jié)果:①當試驗的樣本點等可能出現(xiàn)時,根據(jù)樣本點總數(shù)確定產(chǎn)生隨機數(shù)的范圍,每個隨機數(shù)代表

一個樣本點;用按比例分配的方法確定表示各個結(jié)果的數(shù)字個數(shù).②當試驗的樣本點不是等可能出現(xiàn)時,要根據(jù)題目本身的特點來設(shè)計試驗,并把設(shè)計試驗的

重點放在確定哪個或哪些數(shù)字代表哪些試驗結(jié)果上,并確保符合題意.(2)進行模擬試驗,可用計算器或計算機進行模擬試驗.(3)統(tǒng)計試驗結(jié)果:當每次試驗結(jié)果需要n個隨機數(shù)表示時,要把n個隨機數(shù)作為一組來處理,統(tǒng)

計出符合條件的隨機數(shù)的組數(shù).(4)用頻率估計概率.2|用隨機模擬方法估計事件的概率定點天氣預報說,在今后的三天中,每一天下雨的概率均為40%,用隨機模擬的方法估計這三

天中恰有兩天下雨的概率.可利用計算機產(chǎn)生0到9之間的整數(shù)隨機數(shù),如果我們用1,2,3,4表示

,用5,6,7,8,9,0表示

,以每3個隨機數(shù)為一組,通過隨機模擬產(chǎn)生了如下20組

隨機數(shù):907

966

191

925

271

932

812

458569

683

631

257

393

027

556

488730

105

137

989(1)完成橫線中填空;(2)估計這三天中恰有兩天下雨的概率.典例

解析

(1)因為一天下雨的概率為40%,共有10個隨機數(shù),所以可用4個隨機數(shù)表示下雨,用6個

隨機數(shù)表示不下雨,故第一個空填“下雨”,第二個空填“不下雨”.(2)由題意知,20組隨機數(shù)中,表示三天中恰有兩天下雨的有191,271,932,812,631,393,137,共7

組隨機數(shù),所以所求概率約為

.素養(yǎng)解讀概率與統(tǒng)計的綜合題目主要以統(tǒng)計圖表和數(shù)字信息為載體,應用概率與統(tǒng)計的相關(guān)知識對實際問題作出決策,其中正確理解圖表含義和提取信息是解決問題的關(guān)鍵.統(tǒng)計問題的核心是樣本數(shù)據(jù)的獲得及分析方法,重點是頻率分布直方圖和樣本的數(shù)字特征的相關(guān)計算;概率問題的核心是概率計算,重點是互斥事件、對立事件、獨立事件的概率計算.概率與統(tǒng)計的綜合問題主要考查學生數(shù)據(jù)處理、運算求解能力,體現(xiàn)了數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算等核心素養(yǎng).|通過解決概率與統(tǒng)計的綜合問題發(fā)展數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)素養(yǎng)學科素養(yǎng)情景破2023年,某地為了幫助中小微企業(yè)渡過難關(guān),給予企業(yè)一定的專項貸款資金支持.下圖是

該地120家中小微企業(yè)的專項貸款金額的頻率分布直方圖.(1)確定圖中a的值,并估計這120家中小微企業(yè)的專項貸款金額的中位數(shù)(結(jié)果保留整數(shù));(2)按專項貸款金額進行分層隨機抽樣,從這120家中小微企業(yè)中隨機抽取20家,記其中專項貸典例款金額在[200,300]內(nèi)的中小微企業(yè)數(shù)為m.①求m的值;②從這m家中小微企業(yè)中隨機抽取3家,求這3家中小微企業(yè)的專項貸款金額都在[200,250)內(nèi)

的概率.解析

(1)由題中頻率分布直方圖,得(0.002+0.003+2a+0.006+0.001)×50=1,解得a=0.004.設(shè)中位數(shù)為t萬元,由題圖可知專項貸款金額在[0,150)內(nèi)的頻率為0.45,在[0,200)內(nèi)的頻率為0.45+0.006×50=0.75,所以t在[150,200)內(nèi),所以(t-150)×0.006=0.5-0.45,解得t≈158,所以估計這120家中小微企業(yè)的專項貸款金額的中位數(shù)為158萬元.(2)①由題意得抽樣比為

=

,專項貸款金額在[200,300]內(nèi)的中小微企業(yè)共有120×50×(0.004+0.001)=30(家),所以應抽取30×

=5(家),所以m=5.②易得專項貸款金額在[200,250)內(nèi)和在[250,300)內(nèi)的頻率之比為4∶1,故在抽取的5家中小

微企業(yè)中,專項貸款金額在[200,250)內(nèi)的有5×

=4(家),分別記為A,B,C,D,專項貸款金額在[250,300]內(nèi)的有5×

=1(家),記為E.從這5家中小微企業(yè)中隨機抽取3家的可能情況有ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,

BDE,CDE,共10種,其中這3家中小微企業(yè)的專項貸款金額都在[200,250)內(nèi)的情況有ABC,ABD,ACD,B