§2.1

幾個(gè)概念一、幾何構(gòu)造分析的目的1.幾何不變體系和幾何可變體系第2章結(jié)構(gòu)的幾何構(gòu)造分析1.所謂忽略桿件本身的材料變形，即把體系中各桿件視

為不會(huì)發(fā)生變形的剛

體。2.建筑結(jié)構(gòu)必須是幾何不變體系。幾何可變體系：

體系在任意

荷載作用下，即使忽略桿件

本身的材料變形，也不能保

持其幾何形狀和位置不變，

而發(fā)生機(jī)械運(yùn)動(dòng)的體系。幾何不變體系：

體系在任意

荷載作用下，若忽略桿件本

身的材料變形，而能保持其

幾何形狀和位置不變的體系。(a)(b)圖2.

12.

研究體系幾何組成的目的(1)研究幾何不變體系的組成規(guī)律，判斷某一體系是否

幾何不變，從而判定該體系是否可作為結(jié)構(gòu)使用；(2)明確結(jié)構(gòu)各部分在幾何組成上的相互關(guān)系，從而選

擇簡(jiǎn)便合理的計(jì)算順序；(3)判定結(jié)構(gòu)是靜定結(jié)構(gòu)還是超靜定結(jié)構(gòu)，以便選擇正

確的計(jì)算方法。二、相關(guān)概念1.剛片平面內(nèi)的剛體稱為剛片。一根桿件、地基基礎(chǔ)

(

即地球)

或體系中已經(jīng)肯定

為幾何不變的某個(gè)部分都可看作一個(gè)平面剛片。注意：由于剛片中任意兩點(diǎn)的距離保持不變，故剛片可以由剛片內(nèi)的一條直線來代替。2.自由度確定物體在平面內(nèi)的位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)。(1)平面內(nèi)一點(diǎn)

(2)平面內(nèi)一剛片W=2

W=3注意：凡體系W>0

,

則是可以發(fā)生運(yùn)動(dòng)的，都是幾何可變體系。3.約束(聯(lián)系)又稱聯(lián)系，是體系中構(gòu)件之間或構(gòu)件與基礎(chǔ)之間的聯(lián)接

裝置，限制了體系的某些方向的運(yùn)動(dòng)，是使體系自由度減少

的因素。減少一個(gè)自由度的裝置，稱為一個(gè)約束。約束的類型：鏈桿、鉸結(jié)點(diǎn)、剛結(jié)點(diǎn)(1)鏈桿：

兩端用鉸與其它物體相連的桿件，可以是直桿、折桿、曲桿。0(a)

(b)

(c)圖2.2X增加一根鏈桿可以減少一個(gè)自由度，相當(dāng)于一個(gè)約束。W=3(x

、y

、φ)W=2(φ1

、φ2)XQ?Ⅲy0增加一個(gè)單鉸可以減少兩個(gè)自由度，相當(dāng)于二個(gè)約束。一個(gè)鏈桿提供一個(gè)約束，故一個(gè)單鉸相當(dāng)于兩根鏈桿。(2)單鉸結(jié)點(diǎn)：連接兩個(gè)剛片的鉸結(jié)點(diǎn)。W=4(x

、y

、

1

、φ2)W=6X連接3個(gè)剛片的復(fù)鉸，相當(dāng)于2個(gè)單鉸的作用，提供4個(gè)約束。(3)復(fù)鉸結(jié)點(diǎn)：連接兩個(gè)剛片以上的鉸結(jié)點(diǎn)。W=5(x

、y

、φ1

、Φ2

、φ3)W=9連接4個(gè)剛片的復(fù)鉸，相當(dāng)于3個(gè)單鉸的作用，提供6個(gè)約束。

連接n個(gè)剛片的復(fù)鉸，相當(dāng)于

(n-1)個(gè)單鉸的作用，提供

2(n-1)

個(gè)約束。W=6(x

、y、④1

、φ2

、φ3

、φ4)W=12(4)單剛結(jié)點(diǎn)：

連接兩個(gè)剛片的剛結(jié)點(diǎn)。W=6

W=3一個(gè)單剛結(jié)點(diǎn)可減少三個(gè)自由度相當(dāng)于三個(gè)約束。(5)復(fù)剛結(jié)點(diǎn)：

連接兩個(gè)剛片以上的剛結(jié)點(diǎn)。W=9W=3連接n個(gè)剛片的復(fù)剛結(jié)點(diǎn)，相當(dāng)于(n-1)

個(gè)單剛結(jié)點(diǎn)的作用，提供3

(n-1)

個(gè)約束。(a)

(b)(c)(6)支座約束：構(gòu)件與基礎(chǔ)之間的聯(lián)接裝置。相當(dāng)于1個(gè)約束。

相當(dāng)于2個(gè)約束。

相當(dāng)于3個(gè)約束。(a)

可動(dòng)鉸支座(b)固定鉸支座(c)

固定支座(a)

(b)(1)必要約束：能限制體系自由度的約束，是使體系自由度數(shù)減

少為零所需的最少約束。(2)多余約束：

對(duì)限制體系自由度不起作用的約束，即不能使體

系自由度減少的約束。靜定結(jié)構(gòu)：沒有多余練幾何不變體系超靜定結(jié)構(gòu)：有多余練4.必要約束與多余約束5.實(shí)鉸與虛鉸(瞬鉸)(1)實(shí)鉸：由兩根鏈桿相交于一點(diǎn)構(gòu)成的鉸成為實(shí)鉸。(2)虛鉸：虛鉸是由不直接相連接的兩根鏈桿構(gòu)成的。

虛鉸的兩根鏈桿的桿軸可以平行、交叉，或延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)。注意：無論是實(shí)鉸還是虛鉸，都提供2個(gè)約束。虛鉸的特點(diǎn)：如下圖(

a)所示剛片Ⅱ不動(dòng)，剛片I以點(diǎn)C為瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)，只有一個(gè)自由度。經(jīng)過

一微小位移后，兩桿延長(zhǎng)線的交點(diǎn)C的位置也發(fā)生了改變，

C點(diǎn)起到一個(gè)鉸的作用。(b)無窮遠(yuǎn)虛鉸(a)6.瞬

變體系(1)概念：原本是幾何可變，在微小荷載作用下發(fā)生瞬間的

微小位移后成為幾何不變的體系稱為瞬變體系。(2)靜力特性：在微小荷載作用下可產(chǎn)生無窮大內(nèi)力。注意：I.

瞬變體系一般是總約束數(shù)滿足但約束方式不滿足規(guī)則的體系，是特殊的幾何可變體系，往往具有多余約束。Ⅱ.瞬變體系是嚴(yán)禁作為結(jié)構(gòu)使用的。工(a)

(b)圖(a)是有一個(gè)多余約束的幾何不變體系圖(b)是瞬變體系§2.2平面幾何不變體系的組成規(guī)律一

、一點(diǎn)一剛片1.規(guī)

則一

：一個(gè)點(diǎn)與一個(gè)剛片之間用兩根不在同一條直線上

的鏈桿相連，組成無多余約束的幾何不變體系。2.推論：

二元體規(guī)則(1)二元體：兩根不在同一條直線上的鏈桿聯(lián)接一個(gè)新結(jié)點(diǎn)

的裝置，如圖2.3(a)所示。(2)二元體規(guī)則：在一已知體系中依次增加或拆除二元體，

不改變?cè)w系的幾何性質(zhì)。注意：利用二元體規(guī)則可以簡(jiǎn)化體系，使構(gòu)造分析更簡(jiǎn)單。(a)(b)(c)圖2.3二、兩剛片規(guī)則1.規(guī)則二：

兩個(gè)剛片用一個(gè)單鉸和桿軸不過該鉸鉸心的

一根鏈桿相連，組成無多余約束的幾何不變

體系。如圖2.3(b)

所示。2.推論：兩個(gè)剛片用不全交于一點(diǎn)也不全平行的三根鏈

桿相連，組成無多余約束的幾何不變體系。如

圖2.4(a)所示。三、三剛片規(guī)則1.規(guī)則三：

三個(gè)剛片用不全在一條直線上的三個(gè)單鉸(可

以是虛鉸)兩兩相連，組成無多余約束的幾何不變體系。如圖2.3(c)

所示。2.鉸接三角形規(guī)則：

平面內(nèi)一個(gè)鉸接三角形是無多余約束

的幾何不變體系。注意：以上三個(gè)規(guī)則可互相變換。之所以用三種不同的表達(dá)方式，是為了在具體的構(gòu)造分析中靈活運(yùn)用。(a)(b)

(c)(d)圖(b)(c)是幾何常變體系圖(d)是幾何常變體系圖2.4四、分析舉例1.分析的一般要領(lǐng)：

先將能直接觀察出的幾何不變部分當(dāng)

作剛片，并盡可能擴(kuò)大其范圍，這樣可簡(jiǎn)化體系的組成，

揭示出分析的重點(diǎn)，便于運(yùn)用組成規(guī)則考察這些剛片間的

聯(lián)結(jié)情況，作出結(jié)論。2.分析步驟：

選擇剛片→確定約束→運(yùn)用規(guī)則→得出結(jié)論3.常用的分析途徑：(1)當(dāng)體系中有明顯的二元體時(shí)，可先依次去掉其上的二元

體，再對(duì)余下的部分進(jìn)行分析。如圖2.5所示體系。(a)

(b)圖2.5E(2)當(dāng)體系的基礎(chǔ)以上部分與基礎(chǔ)間以三根支承鏈桿按

規(guī)則二相聯(lián)結(jié)時(shí)，可先拆除這些支桿，只對(duì)上部體

系本身進(jìn)行分析，所得結(jié)果即代表整個(gè)體系的組成

性質(zhì)。如圖2.6所示體系。(3)凡是只以兩個(gè)鉸與外界相連的剛片，不論其形狀如何，從幾何組成分析的角度看，都可看作為通過鉸心

的鏈桿。如圖2.7所示體系。H(a)(b)圖2.6(a)

(b)圖2.7圖2.8【解】AB桿與基礎(chǔ)之間用鉸A和鏈桿1相連，組成幾何不變體系，可看作一擴(kuò)大了的剛片。將BC桿看作鏈桿，則CD桿用不

交于一點(diǎn)的三根鏈桿BC

、2

、3和擴(kuò)大剛片相連，組成無多余

約束的幾何不變體系?！纠?.1】試對(duì)圖2.8所示體系進(jìn)行幾何組成分析。【解】體系中折桿DHG和FKG可分別看作鏈桿DG、FG

(圖中虛線所示),依次去掉二元體

(DG、FG)、(EF、CF),對(duì)余下部分，將折桿ADE、桿BE和基礎(chǔ)分別看作剛片，它們通過不共線的三個(gè)鉸A、E、B兩兩相連，故為無多余約束的幾何不變體系。【例2.2】試對(duì)圖2.9所示體系進(jìn)行幾何組成分析?！窘狻矿w系基礎(chǔ)以上部分與基礎(chǔ)用三根不交于一點(diǎn)且不完全平行的鏈桿1、2、3相連，符合兩剛片規(guī)則，只分析上

部體系。將AB看作剛片I,

用鏈桿AC、EC固定C,鏈桿BD、FD固定D,

則鏈桿CD是多余約束，故此體系是有一多余約

束的幾何不變體系。在本例中鏈桿AC、EC、CD、FD

及BD其

中之一均可視為多余約束?！纠?

.3】試對(duì)圖2.

10所示體系進(jìn)行幾何組成分析?！纠?.4】分析圖2.

11所示體系的幾何構(gòu)造。(a)(b)【解】

(1)

分析圖(a)中的體系首先，三角形ADE和AFG是兩個(gè)無多余約束的幾何不變體系，分別以I

和Ⅱ表示。

I

與地基Ⅲ間的鏈桿1、2相當(dāng)

于瞬鉸B,Ⅱ

與地基Ⅲ間的鏈桿3、4相當(dāng)于鉸C。如A、B

、C三個(gè)鉸不共線，則體系為無多余約束的幾何不變體系。(2)

分析圖

(b)

中的體系先把折桿AC和BD用虛線表示的鏈桿2與3來替換，于是T形剛片CDE由三個(gè)鏈桿1、2、3與基礎(chǔ)相連。如三鏈桿共

點(diǎn)，則體系是瞬變的。體系中的單個(gè)桿件、折桿、曲桿或已確定的幾何不變體系均可視為剛片。但若剛片只用兩個(gè)鉸與體系的其它部

分連接時(shí)，則可用一根過兩鉸心的鏈桿代替，視其為一根

鏈桿的作用。2.

如果上部體系與大地的連接符合兩剛片的規(guī)則，則可去

掉與大地的約束，只分析上部體系。3.

通過依次從外部拆除二元體或從內(nèi)部

(基礎(chǔ)、基本三角

形

)增加二元體的方法，簡(jiǎn)化體系后再作分析。4.

桿件和約束不能重復(fù)利用。五

、注意的問題1.

恰當(dāng)靈活地確定體系中的剛片和約束剛片數(shù)m

單剛結(jié)點(diǎn)數(shù)g

單鉸結(jié)點(diǎn)數(shù)j

支座鏈桿數(shù)r

平面體系的計(jì)算自由度W:§2.3

平面桿件體系的計(jì)算自由度一、平面一般體系計(jì)算自由度的表達(dá)式自由度數(shù)3m約束數(shù)3g約束數(shù)2j

約束數(shù)r注意：支座鏈桿數(shù)是把所有的支座約束全部轉(zhuǎn)化為鏈桿約束所得到的。W=3m-(3g+2j+r)鏈桿體系的計(jì)算自由度W:

W=2j-(m+r)鉸結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)j鏈桿數(shù)m支座鏈桿數(shù)r自由度數(shù)2j約束數(shù)m約束數(shù)r二、鏈桿體系計(jì)算自由度的表達(dá)式(a)(b)圖(a)中

：

m=1,r=3,W=3m-(3g+2j+r)=3×1-3=0體系自由度為0。圖(b)中

：

m=1,r=3,W=3m-(3g+2j+r)=3×1-3=0從計(jì)算結(jié)果看，體系自計(jì)算由度為0。但是，從圖中可以

看出，體系在水平方向沒有約束力，有1個(gè)運(yùn)動(dòng)自由度。例1

.求圖示體系的計(jì)算自由度。解：m=3,j=2,r=3,W=3m-(3g+2j+r)=3×3-2×2-4=1>0體系自由度大于0,是幾何可變的。例2.求圖示體系的計(jì)算自由度。(a)

(b)

(c)

(d)例3.計(jì)算圖示體系的計(jì)算自由度。圖

(a)中

：

W