2025年大三（統(tǒng)計(jì)學(xué)）數(shù)理統(tǒng)計(jì)考核題

（考試時(shí)間：90分鐘滿分100分）班級______姓名______第I卷（選擇題共30分）答題要求：本卷共6題，每題5分。在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。請將正確答案的序號填在括號內(nèi)。1.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，X?,X?,…,X?是來自總體X的樣本，X?為樣本均值，則下列說法正確的是（）A.X?服從正態(tài)分布N(μ,σ2)B.X?服從正態(tài)分布N(μ,σ2/n)C.(n-1)S2/σ2服從χ2分布D.(X?-μ)/(S/√n)服從t分布答案：B2.對于給定的顯著性水平α，檢驗(yàn)假設(shè)H?:μ=μ?，H?:μ≠μ?，當(dāng)（）時(shí)，拒絕H?。A.|Z|>Zα/2B.|Z|<Zα/2C.|t|>tα/2(n-1)D.|t|<tα/2(n-1)答案：AC3.在一元線性回歸模型Y=β?+β?X+ε中，ε服從（）A.正態(tài)分布N(0,σ2)B.正態(tài)分布N(β?,σ2)C.正態(tài)分布N(β?,σ2)D.正態(tài)分布N(β?+β?X,σ2)答案：A4.設(shè)樣本X?,X?,…,X?來自總體X，且E(X)=μ，D(X)=σ2，則樣本均值X?的方差D(X?)為（）A.μB.σ2C.σ2/nD.μ/n答案：C5.若總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，樣本容量為n，則樣本方差S2是總體方差σ2的（）A.無偏估計(jì)量B.有偏估計(jì)量C.一致估計(jì)量D.有效估計(jì)量答案：A6.在假設(shè)檢驗(yàn)中，若增大樣本容量，則犯兩類錯(cuò)誤的概率（）A.都增大B.都減小C.都不變D.一個(gè)增大一個(gè)減小答案：B第II卷（非選擇題共70分）二、填空題（共10分）答題要求：本卷共5題，每題2分。請將答案填在題中的橫線上。1.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(0,1)，X?,X?,X?是來自總體X的樣本，則(X?+X?)2+X?2服從______分布。答案：χ2(2)2.已知樣本均值X?=10，樣本方差S2=4，樣本容量n=25，則總體均值μ的置信水平為0.95的置信區(qū)間為______。（t?.025(24)=2.064）答案：(9.1672,10.8328)3.在一元線性回歸分析中，回歸系數(shù)β?的最小二乘估計(jì)為______。答案：(L??/L??)4.設(shè)總體X服從均勻分布U(0,θ)，X?,X?,…,X?是來自總體X的樣本，則θ的矩估計(jì)量為______。答案：2X?5.若總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，樣本容量為n，當(dāng)原假設(shè)H?:μ=μ?成立時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z=(X?-μ?)/(σ/√n)服從______分布。答案：N(0,1)三、簡答題（共15分）答題要求：簡要回答下列問題。1.簡述假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想和步驟。答案：假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想是基于小概率事件原理。先提出原假設(shè)H?和備擇假設(shè)H?，然后構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，根據(jù)給定的顯著性水平α確定拒絕域。通過樣本數(shù)據(jù)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值，若該值落入拒絕域，則拒絕原假設(shè)，否則不拒絕原假設(shè)。步驟包括：提出假設(shè)、構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、確定拒絕域、計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量值、做出決策。2.什么是無偏估計(jì)量？請舉例說明。答案：若估計(jì)量θ?的數(shù)學(xué)期望E(θ?)等于被估計(jì)的參數(shù)θ，則稱θ?是θ的無偏估計(jì)量。例如，樣本均值X?是總體均值μ的無偏估計(jì)量，因?yàn)镋(X?)=μ。樣本方差S2是總體方差σ2的無偏估計(jì)量，E(S2)=σ2。3.簡述一元線性回歸模型的基本假設(shè)。答案：一元線性回歸模型的基本假設(shè)包括：解釋變量X是非隨機(jī)變量；隨機(jī)誤差項(xiàng)ε服從正態(tài)分布N(0,σ2)；不同觀測值對應(yīng)的隨機(jī)誤差項(xiàng)相互獨(dú)立；解釋變量X與隨機(jī)誤差項(xiàng)ε不相關(guān)。四、計(jì)算題（共25分）答題要求：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。1.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中μ已知，σ2未知。X?,X?,…,X?是來自總體X的樣本。求σ2的極大似然估計(jì)量。解：總體X的概率密度函數(shù)為f(x;μ,σ2)=(1/√(2πσ2))e^(-(x-μ)2/(2σ2))。似然函數(shù)L(σ2)=∏(1/√(2πσ2))e^(-(x?-μ)2/(2σ2))=(1/(2πσ2)^(n/2))e^(-∑(x?-μ)2/(2σ2))。取對數(shù)得lnL(σ2)=-n/2ln(2π)-n/2ln(σ2)-∑(x?-μ)2/(2σ2)。對lnL(σ2)求關(guān)于σ2的導(dǎo)數(shù)并令其為0：dlnL(σ2)/dσ2=-n/(2σ2)+∑(x?-μ)2/(2(σ2)2)=0。解得σ2的極大似然估計(jì)量為σ?2=∑(x?-μ)2/n。2.某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)?，F(xiàn)從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取25件，測得樣本均值X?=160，樣本方差S2=120。在顯著性水平α=0.05下，檢驗(yàn)該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)均值是否為155。解：提出假設(shè)H?:μ=155，H?:μ≠155。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t=(X?-μ?)/(S/√n)=(160-155)/(√120/√25)≈2.041。自由度n-1=24，t?.025(24)=2.064。因?yàn)閨t|=2.041<t?.025(24)=2.064，所以不拒絕H?，即認(rèn)為該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)均值是155。五、綜合分析題（共20分）答題要求：結(jié)合所學(xué)知識，對給定的材料進(jìn)行分析解答。材料：為了研究某地區(qū)居民的收入水平與消費(fèi)支出之間的關(guān)系，隨機(jī)抽取了10戶居民作為樣本，得到如下數(shù)據(jù)：|居民編號|收入X（千元）|消費(fèi)支出Y（千元）||----|----|----||1|8|6||2|10|7||3|12|8||4|14|9||5|16|10||6|18|11||7|20|12||8|22|13||9|24|14||10|26|15|1.建立收入X與消費(fèi)支出Y之間的一元線性回歸方程，并解釋回歸系數(shù)的意義。解：首先計(jì)算相關(guān)數(shù)據(jù)：L??=∑(x?-X?)2=220，L??=∑(y?-Y?)2=20，L??=∑(x?-X?)(y?-Y?)=220?；貧w系數(shù)β?=L??/L??=1，β?=Y?-β?X?=2。所以回歸方程為Y?=2+X?；貧w系數(shù)β?=1表示收入每增加1千元，消費(fèi)支出平均增加1千元。2.對回歸方程進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)（α=0.05）。解：提出假設(shè)H?:β?=0，H?:β?≠0。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F=(