4.3等比數(shù)列4.3.1等比數(shù)列的概念第2課時(shí)

等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能根據(jù)等比數(shù)列的定義推出等比數(shù)列的性質(zhì)，并能運(yùn)用這些性質(zhì)簡(jiǎn)化運(yùn)算.(重點(diǎn))2.靈活應(yīng)用等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣形式及變形.3.能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問(wèn)題.(難點(diǎn))導(dǎo)語(yǔ)在我們學(xué)習(xí)等比數(shù)列的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)它與等差數(shù)列有相似之處，這其實(shí)就是我們?cè)谶@兩類(lèi)數(shù)列之間無(wú)形之中產(chǎn)生了類(lèi)比思想，類(lèi)比的前提大多為結(jié)論提供線索，它往往能把人的認(rèn)知從一個(gè)領(lǐng)域引申到另一個(gè)共性的領(lǐng)域，由此推出另一個(gè)對(duì)象也具有同樣的其他特定屬性的結(jié)論，今天我們就用類(lèi)比的思想來(lái)研究等比數(shù)列具有哪些性質(zhì).新知探究問(wèn)題1

你能把等差數(shù)列里面的an=am+(n-m)d類(lèi)比出等比數(shù)列中相似的性質(zhì)嗎？

課本30頁(yè)例2新知探究問(wèn)題2

結(jié)合上面的類(lèi)比，你能把等差數(shù)列里面的am+an=ak+al(m+n=k+l，m，n，k，l∈N*)類(lèi)比出等比數(shù)列中相似的性質(zhì)嗎？等差數(shù)列的性質(zhì)等比數(shù)列的性質(zhì)m+n=s+tm+n=2k

l

等式左右兩邊的項(xiàng)數(shù)相同與首末項(xiàng)“等距”的兩項(xiàng)之積相等

知識(shí)梳理

amqn-mak·al=am·anam，ap，anaman

典例分析學(xué)習(xí)筆記24頁(yè)例1

已知{an}為正項(xiàng)等比數(shù)列.(1)若a2a4+2a3a5+a4a6=25，求a3+a5；

(2)若a5a6=9，求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，得a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9，∴a1a2…a9a10=(a5a6)5=95，∴l(xiāng)og3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a9a10)=log395=10.

延伸探究1

在本例(1)中，添加條件a1a7=4，求an.

典例分析典例分析

延伸探究2

把(2)的條件改為“公比q為3，a1a2a3…a30=3300”，求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.a1a2a3…a30=(a1a2a3…a10)·q100(a1a2a3…a10)·q200(a1a2a3…a10)=q300(a1a2a3…a10)3=3300，故a1a2a3…a10=1，則log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a10)=log31=0.新知探究

結(jié)論：數(shù)列{an}是等差數(shù)列?數(shù)列

是等比數(shù)列.數(shù)列{an}是正項(xiàng)等比數(shù)列?數(shù)列{logban}是等差數(shù)列.b>0且b≠1

問(wèn)題四：你能得到一般性的結(jié)論嗎？

lp

p2pq|p|

思考：仍為等比數(shù)列.是否仍為等比數(shù)列？公比

知識(shí)梳理q|q|qmq1·q2

典例分析

√

跟蹤訓(xùn)練1

設(shè){an}是各項(xiàng)為正數(shù)的無(wú)窮數(shù)列，Ai是邊長(zhǎng)為ai，ai+1的矩形面積(i=1，2，…)，則{An}為等比數(shù)列的充要條件為A.{an}是等比數(shù)列B.a1，a3，…，a2n-1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比數(shù)列C.a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比數(shù)列D.a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比數(shù)列，且公比相同√

典例分析(課本30頁(yè)例3)數(shù)列{an}共有5項(xiàng)，前三項(xiàng)成等比數(shù)列，后三項(xiàng)成等差數(shù)列，第3項(xiàng)等于80，第2項(xiàng)與第4項(xiàng)的和等于136，第1項(xiàng)與第5項(xiàng)的和等于132.求這個(gè)數(shù)列.

跟蹤訓(xùn)練學(xué)習(xí)筆記26頁(yè)例3

有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且首末兩數(shù)的和是16，中間兩數(shù)的和是12.求這四個(gè)數(shù).

學(xué)習(xí)筆記26頁(yè)例3

有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且首末兩數(shù)的和是16，中間兩數(shù)的和是12.求這四個(gè)數(shù).

學(xué)習(xí)筆記26頁(yè)例3

有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且首末兩數(shù)的和是16，中間兩數(shù)的和是12.求這四個(gè)數(shù).延伸探究

若將本例中“和是16”改為“積是-128”，將“和是12”改為“積是16”，如何求解？

(課本31頁(yè)例4)

用10

000元購(gòu)買(mǎi)某個(gè)理財(cái)產(chǎn)品一年.(1)若以月利率0.400%的復(fù)利計(jì)息，12個(gè)月能獲得多少利息(精確到0.01元)？設(shè)這筆錢(qián)存n個(gè)月以后的本利和組成一個(gè)數(shù)列{an}，則{an}是等比數(shù)列，首項(xiàng)a1=104(1+0.400%)，公比q=1+0.400%，所以a12=104(1+0.400%)12≈10

490.702.所以12個(gè)月后的利息為10

490.702-104≈490.70(元).(2)若以季度復(fù)利計(jì)息，存4個(gè)季度，則當(dāng)每季度利率為多少時(shí)，按季結(jié)算的利息不少于按月結(jié)算的利息(精確到10-5)？設(shè)季度利率為r，這筆錢(qián)存n個(gè)季度以后的本利和組成一個(gè)數(shù)列{bn}，則{bn}也是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)b1=104(1+r)，公比為1+r，于是b4=104(1+r)4.因此，以季度復(fù)利計(jì)息，存4個(gè)季度后的利息為[104(1+r)4-104]元.解不等式104(1+r)4-104≥490.70，得r≥1.205%.所以當(dāng)季度利率不小于1.205%時(shí)，按季結(jié)算的利息不少于按月結(jié)算的利息.學(xué)習(xí)筆記26頁(yè)例4

某人買(mǎi)了一輛價(jià)值13.5萬(wàn)元的新車(chē)，專(zhuān)家預(yù)測(cè)這種車(chē)每年按10%的速度貶值.(1)用一個(gè)式子表示n(n∈N*)年后這輛車(chē)的價(jià)值；從第一年起，每年車(chē)的價(jià)值(萬(wàn)元)依次設(shè)為a1，a2，a3，…，an，…，由題意，得a1=13.5，a2=13.5×(1-10%)，a3=13.5×(1-10%)2，….由等比數(shù)列的定義，知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，首項(xiàng)a1=13.5，公比q=1-10%=0.9，∴an=a1·qn-1=13.5×0.9n-1.∴n年后車(chē)的價(jià)值為an+1=(13.5×0.9n)萬(wàn)元.(2)如果他打算用滿4年時(shí)賣(mài)掉這輛車(chē)，他大概能得到多少錢(qián)？由(1)得a5=a1·q4=13.5×0.94≈8.9(萬(wàn)元)，∴用滿4年時(shí)賣(mài)掉這輛車(chē)，他大概能得到8.9萬(wàn)元.跟蹤訓(xùn)練2

窗花(俗稱(chēng)剪紙)蘊(yùn)含著辭舊迎新、接福納祥的美好寓意.一位藝術(shù)家把一張厚度(單位：cm)為0.012

5的紙對(duì)折了三次，開(kāi)始進(jìn)行剪紙創(chuàng)作，若不計(jì)紙與紙之間的間隙，則對(duì)折后的半成品厚度是

mm.1由題設(shè)，對(duì)折了三次后半成品厚度為0.012

5×23=0.1(cm)，即1

mm.課堂小結(jié)

隨堂演練1.已知{an}，{bn}都是等比數(shù)列，那么A.{an+bn}，{anbn}都一定是等比數(shù)列B.{an+bn}一定是等比數(shù)列，但{anbn}不一定是等比數(shù)列C.{an+bn}不一定是等比數(shù)列，但{anbn}一定是等比數(shù)列D.{an+bn}，{anbn}都不一定是等比數(shù)列√當(dāng)兩個(gè)數(shù)列都是等比數(shù)列時(shí)，這兩個(gè)數(shù)列的和不一定是等比數(shù)列，比如取兩個(gè)數(shù)列是互為相反數(shù)的數(shù)列，兩者的和就不是等比數(shù)列.兩個(gè)等比數(shù)列的積一定是等比數(shù)列.隨堂演練2.(多選)記等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為T(mén)n，且a6，a7∈N*，若T12=212，則a6+a7的可能取值為A.4 B.5 C.6

D.7√√3.畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，再以這個(gè)正方形的一條對(duì)角線為邊畫(huà)第2個(gè)正方形，以第2個(gè)正方形的一條對(duì)角線為邊畫(huà)第3個(gè)正方形……這樣共畫(huà)了10個(gè)正方形，則第10個(gè)正方形的面積等于A.2

024 B.1

012 C.2

048 D.4

096√4.有四個(gè)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)