9.1.2余弦定理人教B版（2019）必修第四冊(cè)學(xué)習(xí)目標(biāo)CONTENTS1.借助向量運(yùn)算，探索三角形邊長(zhǎng)與角度的關(guān)系，掌握余弦定理，體現(xiàn)邏輯推理能力（重點(diǎn)）3.能應(yīng)用余弦定理及變形公式進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，解決三角形相關(guān)的幾何計(jì)算、證明問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)計(jì)算能力（難點(diǎn)）2.能應(yīng)用余弦定理及變形公式進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，判定三角形的形狀，體現(xiàn)邏輯推理能力（重點(diǎn)）課程引入利用如圖(1)所示的現(xiàn)代測(cè)量工具，可以方便地測(cè)出3點(diǎn)之間的一些距離和角，從而可得到未知的距離與角.情境與問題：例如，如圖(2)所示，A，B分別是兩個(gè)山峰的頂點(diǎn)，在山腳下任意選擇一點(diǎn)C，然后使用測(cè)量?jī)x得出AC，BC以及∠ACB的大小.你能根據(jù)這3個(gè)量求出AB嗎？課程內(nèi)容教學(xué)情境中的問題可以轉(zhuǎn)化為：已知三角形的兩邊及其夾角,求第三邊.即：已知a、b及C,求c.類似的問題可以通過構(gòu)造直角三角形來解決，也可以借助向量來求解.abc課程內(nèi)容教學(xué)如上圖所示，注意到所以而且

因此又因?yàn)橐虼薱2=a2+b2-2abcosC課程內(nèi)容教學(xué)余弦定理三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.即c2=a2+b2-2abcosCa2=b2+c2-2bccosCb2=c2+a2-2cacosC課程內(nèi)容教學(xué)例1：在△ABC中，已知a=3，b=6，C=60°，求c.由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC=32+62-2×3×6×cos60°=27因此c=例1的啟示：從例1可以看出，已知三角形的兩邊及其夾角時(shí)，三角形唯一確定，這與我們初中所學(xué)的三角形全等的判定定理SAS一致.課程內(nèi)容教學(xué)例2：在△ABC中，已知a=6，b=4，c=，求C.由c2=a2+b2-2abcosC可得=62+42-2×6×cosC可解得cosC=又因?yàn)?°<C<180°，所以C=60°.例2的啟示：由例2可以看出，已知三角形的3條邊時(shí)，可以求出該三角形的3個(gè)角，而且該三角形也唯一確定，這與我們初中所學(xué)的三角形全等的判定定理SSS一致.課程內(nèi)容教學(xué)余弦定理的其他形式課程內(nèi)容教學(xué)例3：在△ABC中，已知acosA=bcosB，判斷該三角形的形狀.方法一：由余弦定理得因此a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)

即a2c2-b2c2-a4+b4=0，從而c2(a2-b2)-(a2+b2)(a2-b2)=0所以(a2-b2)(c2-a2-b2)=0因此a2-b2=0或c2-a2-b2=0當(dāng)a2-b2=0時(shí)，a=b，△ABC是等腰三角形當(dāng)c2-a2-b2=0時(shí)，a2+b2=c2，△ABC是直角三角形課程內(nèi)容教學(xué)例3：在△ABC中，已知acosA=bcosB，判斷該三角形的形狀.方法二：由正弦定理

得sinAcosA=sinBcosB因此sin2A=sin2B所以A=B或A+B=當(dāng)A=B時(shí)，△ABC是等腰三角形當(dāng)A+B=時(shí)，△ABC是直角三角形課程內(nèi)容教學(xué)例4：如圖所示平面四邊形ABCD中，已知B+D=180°，AB=2，BC=4，

CD=4，AD=2，求四邊形ABCD的面積.如圖，連接A，C，在△ABC與△ADC中分別使用余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB×BC

cosBAC2=AD2+CD2-2AD×CDcosD又因?yàn)锽+D=180°，所以cosD=cos(180°-B)=-cosB，因此22+(4)2-2×2×4

cosB=(2)2+42+2×2×4cosB

解得cosB=0，因此cosD=0，則B=D=90°從而可知四邊形的面積為例4的啟示：例4說明，與平面多邊形有關(guān)的問題，有時(shí)可以轉(zhuǎn)化為三角形的問題來求解.課程內(nèi)容教學(xué)例5：在△ABC中，求證：a=bcos

C+ccos

B.如圖所示因此又由圖可知所以a2=bacos

C+cacos

B即a=bcos

C+ccos

B例5的啟示：例5的結(jié)果也可用向量數(shù)量積的幾何意義來解釋.事實(shí)上，bcos

C+ccos

B是

在

上的投影的數(shù)量之和.課程內(nèi)容教學(xué)例5：在△ABC中，求證：b=acos

C+ccos

A.如圖所示因此又由圖可知所以b2=abcos

C+cbcos

A即b=acos

C+ccos

A.課程內(nèi)容教學(xué)拓展：三斜求積術(shù)我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》提出了“三斜求積術(shù)”.秦九韶他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜.“術(shù)”即方法.三斜求積術(shù)就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相減后余數(shù)的一半，自乘而得一個(gè)數(shù)小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個(gè).相減后余數(shù)被4除馮所得的數(shù)作為“實(shí)”，作1作為“隅”，開平方