試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁湖南省株洲市2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期期末模擬考試數(shù)學(xué)試題（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：人教A版選擇性必修第一冊、選擇性必修第二冊。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，平行六面體中，以為頂點的三條棱長均為1，且兩兩之間的夾角都是，則（

）A．2 B． C． D．2．已知是空間的一個基底，是空間的另一個基底，向量在基底下的坐標為，則向量在基底下的坐標是（）A． B． C． D．3．已知直線恒過定點，點也在直線上，其中、均為正數(shù)，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．6 D．84．設(shè)，為平面上兩點，定義為，的“直角距離”.若，則線段長度的最小值為（

）A． B． C．2 D．5．如圖，雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，它的最小直徑為米，塔底的直徑為米，塔頂直徑為米，最小直徑處距塔底的垂直距離米，則該冷卻塔的垂直高度約為（其中）（

）A．米 B．米 C．米 D．米6．若方程在上有解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．已知直線是函數(shù)與的兩條公切線，式子的值為的是（

）A． B． C． D．8．設(shè)是由個二次函數(shù)組成的集合，對于連續(xù)的正整數(shù)，存在二次函數(shù)可重復(fù)，使得是等差數(shù)列，則的最小可能值是（

）.A．507 B．1013 C．1519 D．2025二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知遞增等比數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A． B．C．是公差為的等差數(shù)列 D．是等比數(shù)列10．已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于兩點，以線段為直徑的圓交軸于兩點，設(shè)線段的中點為，則下列說法中正確的是（

）A．若拋物線上存在一點到焦點的距離等于3，則拋物線的方程為B．C．若點到拋物線準線的距離為2，則的最小值為D．若，則直線的斜率為11．已知正方體的棱長為1，定義，，若，則的值可以是（

）A． B． C． D．3第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知,,,則原點到平面的距離為．13．某城市核心區(qū)域可看作一個平面，市中心為點，城市有兩個交通樞紐站點、，其中站點在市中心的正東方向，距離點4公里，站點在市中心的正北方向，距離點也是4公里．為了動態(tài)調(diào)整交通信號，相關(guān)部門計劃在距離中心點2公里的位置，設(shè)置一個移動數(shù)據(jù)采集點，通過監(jiān)測的大小來優(yōu)化信號．當最大時，．（結(jié)果精確到）14．設(shè)數(shù)列滿足，且，則.四、解答題：本題共4小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．等差數(shù)列的前項和記為，已知，且成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)當取最小值時，求序號的值，并求出的最小值；(3)求數(shù)列的前項的和．16．如圖，在三棱錐中，，，，記二面角的大小為，分別為的中點．(1)求證：；(2)若，，求直線與平面所成角的正弦值．(3)設(shè)在三棱錐內(nèi)有一個半徑為的球，，且，求證：．17．已知圓的半徑為2，圓心在直線上，且圓被軸截得的弦長為4，直線與圓交于兩點．(1)求圓的標準方程；(2)弦長是否有最大值？何時弦長最小？當弦長最小時，求直線的方程及弦長；(3)直線過點，且，直線與圓交于兩點，求四邊形面積的最大值．18．已知橢圓的左、右焦點分別為，左、右頂點分別為，短軸長為，橢圓上的點滿足直線的斜率之積為．(1)求橢圓的方程．(2)若是以為焦點，為頂點的拋物線（在橢圓內(nèi)部的軸上，且在左邊）．交橢圓于兩點．（i）過點作斜率為1的直線，交橢圓于，兩點，再作斜率為的直線，交橢圓于兩點．其中，在軸的同一側(cè)．求的最大值；（ii）若，求的橫坐標．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁湖南省株洲市2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期期末模擬考試數(shù)學(xué)試題（參考答案)《2026年1月9日高中數(shù)學(xué)作業(yè)》參考答案題號12345678910答案CBDABCABBCDBCD題號11答案ABD1．C【分析】利用空間向量的基底表示結(jié)合向量的數(shù)量積和模長的計算即可.【詳解】，所以，因為三條棱長均為1，且兩兩之間的夾角都是，所以，所以.故選：C.2．B【分析】設(shè)向量在基底下坐標為，用該基底表示出向量，再由在基底下坐標為，表示出向量，建立等式求出即可.【詳解】設(shè)向量在基底下坐標為，則.已知在基底下坐標為，即.所以，即，則：，所以向量在基底下的坐標是，故選：B.3．D【分析】先將直線方程變形得到定點，將點代入直線確定的關(guān)系，最后運用基本不等式中的“乘1法”即可.【詳解】由，得，由得，則直線過定點，故，代入直線，得，整理得，，當且僅當時，即時取等號，故最小值為.故選：D．4．A【分析】令，根據(jù)題意可化為二次函數(shù)，即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，直角距離，令，則，，線段長度，由，得，代入得：，當時，取最小值為，此時，即，滿足條件.故選：A5．B【分析】利用雙曲線的性質(zhì)，結(jié)合已知條件求出雙曲線方程，再求出塔頂?shù)目v坐標，從而計算塔高．【詳解】以雙曲線虛軸為軸，最小直徑處的水平線為軸，雙曲線中心為原點，最小直徑為米，實半軸，雙曲線標準方程為，塔底直徑為米，最小直徑處距塔底高度為米，點在雙曲線上，故，解得，雙曲線方程為，塔頂直徑為，設(shè)塔頂直徑上點為，，解得，塔頂位于軸上方，，故，塔高：米，故B正確故選：B．6．C【分析】將方程整理成，利用同構(gòu)思想，設(shè)，求導(dǎo)判斷其單調(diào)性，推得，設(shè)，判斷其單調(diào)性確定其最小值，即得參數(shù)的范圍.【詳解】由得，即，即.設(shè)，則，因為，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，設(shè)，則，當時，，則在上單調(diào)遞減，當時，，則在上單調(diào)遞增，所以，所以.故選：C.7．A【分析】設(shè)函數(shù)的切點為，函數(shù)的切點為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，由題意建立方程組，計算可得或，代入計算可得切線方程，進而計算可解.【詳解】設(shè)函數(shù)的切點為，對函數(shù)求導(dǎo)可得，則函數(shù)在點切線的斜率為，故切線方程為，即，設(shè)函數(shù)的切點為，對函數(shù)求導(dǎo)可得，則函數(shù)在點切線的斜率為，故切線方程為，即，由題意可得，所以，，即，解得或，當時，，此時切線方程為，當時，，此時切線方程為，所以，，，，，，，.故選：A8．B【分析】由等差數(shù)列的基本量法求出通項，結(jié)合題意與二次函數(shù)的表達式合并后由二次方程解的個數(shù)求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，則第項滿足，每個二次函數(shù)滿足，變形為，對于固定的，這是一個關(guān)于的二次方程，最多有兩個整數(shù)解，因此，每個二次函數(shù)最多能覆蓋兩個不同的值.所以總共2025個值需要覆蓋，因此需要個，但為整數(shù)，所以需要1013個.故選：B9．BCD【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式與求和公式，進行基本量的計算判斷AB；利用等差、等比數(shù)列的定義判斷CD.【詳解】設(shè)遞增等比數(shù)列的公比為，由，得，而，則，解得，，對于A，，A錯誤；對于B，，，B正確；對于C，，則數(shù)列是等差數(shù)列，公差為，C正確；對于D，，又，因此是首項為3，公比為的等比數(shù)列，D正確.故選：BCD10．BCD【分析】對A：借助拋物線定義計算即可得；對B：設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合向量數(shù)量積公式與韋達定理計算即可得；對C：法一：由題意可得拋物線的方程，再設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，表示出到軸的距離與圓的半徑后，可表示出，即可得解；法二：作出相應(yīng)輔助線，再利用點橫坐標表示出，即可得解；對D：法一：結(jié)合B中所得方程，結(jié)合韋達定理與拋物線定義計算即可得；法二：借助拋物線焦半徑公式計算即可得.【詳解】拋物線的焦點為，準線方程為，對于A，若拋物線上存在一點到焦點的距離等于3，由拋物線的定義可得，解得，則拋物線的方程為，故A錯誤；對于B，可設(shè)，直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，消去，可得，可得，則，故B正確；對于C，拋物線的焦點到準線的距離為，則該拋物線的方程為，（法一）設(shè)直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，可得，所以，到軸的距離為，所以，當且僅當時，取得等號，故C正確；（法二）作軸，交軸于，交準線于，則為切點，所以，所以，當軸時，取得最小值1，此時取得最小值，故C正確；對于D，（法一）由B可得，，由拋物線的定義可得：，解得，則直線的斜率為，故D正確.（法二）設(shè)的傾斜角為，則，解得，則或，所以直線的斜率為，故D正確.

故選：BCD.11．ABD【分析】建立空間直角坐標系，可得到坐標的集合，根據(jù)題意可得的坐標，取值驗證ABD，分析C不成立即可.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，，，，所以的坐標集合為，，，又由，，，所以，不妨取，則，，故A正確；不妨取，則，，故B正確；由于，所以，但是觀察集合B，的橫、縱、豎坐標中不可能有，故C錯誤.不妨取，則，，故D正確.故選：ABD12．/【分析】求出平面的法向量，利用空間中點到面的距離公式求解.【詳解】設(shè)原點到平面的距離為，平面的法向量為，則，，，即得，令，可得，，故，則，故答案為：.13．【分析】建立平面直角坐標系，設(shè)出點，利用直線的夾角公式，表示出直線與的夾角的正切，再利用換元法令以及直線與圓的位置關(guān)系，求出的范圍，再結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，得到當最大時點的坐標，再根據(jù)向量夾角公式，求出，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，計算出，即可得解.【詳解】

不妨以為坐標原點，為軸，為軸建立平面直角坐標系，則：，，設(shè)是圓上的點，設(shè).，，結(jié)合圖象，易知當最大時，點位于第一象限，且為鈍角，設(shè)，則兩直線夾角的正切值公式為：則：，，又因為在圓上，故，因此，，令，則，因為在圓上，因此可認為直線與圓有交點，即圓心到直線的距離，解得.由于點在第一象限的圓上，易知，因此，故.由于是關(guān)于的減函數(shù)(分母增大，整體減小)，因此當時，取得最小，即最小，此時對應(yīng)最大.當時，結(jié)合，解得，即.，，又因為，解得，故答案為：.14．4【分析】由可知數(shù)列是正項數(shù)列，且是等比數(shù)列，由公比及等比數(shù)列的性質(zhì)可得到結(jié)果.【詳解】因為數(shù)列滿足，所以數(shù)列是正項數(shù)列，且，所以，所以數(shù)列是公比的等比數(shù)列.又，所以.故答案為：4.15．(1)(2)，(3)【分析】（1）由等差數(shù)列通項公式基本量計算即可求解；（2）根據(jù)等差數(shù)列求和公式可得，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可求解；（3）結(jié)合（2）的及的符號，按照和分情況討論求出即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題可得：，解得，；（2）由（1）知，，所以，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當時，取最小值，此時最小值為；（3），由，當時，；當時，，所以當時，；當時，.綜上，.16．(1)證明見解析；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）首先利用線面垂直的判定定理證明：平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即可證明：；（2）以為原點，分別為軸，過作平面的垂線為軸建立空間直角坐標系，然后根據(jù)空間向量的夾角公式進行求解即可；（3）過作交于，首先利用線面垂直的判斷定理證明平面,進而可得，利用勾股定理可得，然后分別求解三棱錐的表面積與體積，進而得到，進而證明結(jié)論即可.【詳解】（1）取中點，連接，又分別為的中點，則，，因為，所以，，又，平面，所以平面，又平面，所以．（2）由（1）知是二面角的平面角，所以．如圖，以為原點，分別為軸，過作平面的垂線為軸建立空間直角坐標系，則，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，解得：，，即得.設(shè)直線與平面所成角為，則.故直線與平面所成角的正弦值為.（3）由（2）知，，過作交于，，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，平面，所以，，設(shè)的高，所以，又，，所以，即，所以三棱錐的表面積，，所以三棱錐的內(nèi)切球半徑，所以．17．(1)(2)沒有最大值；有最小值，直線軸時，弦長最短，的方程為，最短弦長為(3)7【分析】（1）由題意推導(dǎo)出圓心C在軸上，再根據(jù)圓心在直線上即可求出圓C的標準方程；（2）結(jié)合圖像分析出弦最大、最小時，直線AB和圓C的位置關(guān)系，再據(jù)此即可求解；（3）分斜率存在和不存在兩種情況求解四邊形面積，當斜率存在時，根據(jù)直線與圓相交弦的弦長公式即可求出AB、EF的表達式，再結(jié)合換元法和基本不等式求解該表達式的最大值即可，最后再與斜率不存在的情況進行比較．【詳解】（1）因為圓的半徑，且被軸截得的弦長為4，所以圓心在軸上，又因為圓心在直線上，令，解得，所以圓心，所以