第28講數(shù)列的概念與及其簡單表示1.數(shù)列的相關(guān)概念(1)定義:把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).數(shù)列的第一個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)，常用符號(hào)表示，第二個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)，用表示……第n個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)，用表示.其中第1項(xiàng)也叫做首項(xiàng).(2)數(shù)列的一般形式是，簡記為，是數(shù)列的第n項(xiàng).2.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系由于數(shù)列中的每一項(xiàng)與它的序號(hào)n有下面的對應(yīng)關(guān)系，所以數(shù)列從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到實(shí)數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號(hào)n，對應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第n項(xiàng)，記為.3.數(shù)列的分類(1)數(shù)列按項(xiàng)數(shù)的多少來分：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列，項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列叫做無窮數(shù)列．(2)按前后項(xiàng)的大小來分：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做遞增數(shù)列；從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做遞減數(shù)列；各項(xiàng)相等的數(shù)列叫做常數(shù)列．4.數(shù)列的通項(xiàng)公式一般地，如果數(shù)列的第項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．5.數(shù)列的前n項(xiàng)和及前n項(xiàng)和公式我們把數(shù)列從第1項(xiàng)起到第n項(xiàng)止的各項(xiàng)之和，稱為數(shù)列的前n項(xiàng)和，記作，即.如果數(shù)列的前n項(xiàng)和與它的序號(hào)n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.顯然，而，于是我們有.6.常用結(jié)論(1)累加法：變形為，要點(diǎn)：利用恒等式求解；(2)累乘法：，變形為，要點(diǎn)：利用恒等式求解.考點(diǎn)一和關(guān)系法求數(shù)列通項(xiàng)考點(diǎn)二累加法求數(shù)列通項(xiàng)考點(diǎn)三累乘法求數(shù)列通項(xiàng)考點(diǎn)一：和關(guān)系法求數(shù)列通項(xiàng)例1．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A．4 B．8 C．9 D．12【答案】C【分析】根據(jù)與的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】.故選：C例2．“斐波那契數(shù)列”由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多?斐波那契發(fā)現(xiàn)，因?yàn)殪巢瞧跻酝米臃敝碁槔佣?，故又稱該數(shù)列為“兔子數(shù)列”.斐波那契數(shù)列滿足:，記其前項(xiàng)和為，設(shè)(為常數(shù))，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)的關(guān)系，把轉(zhuǎn)化為，結(jié)合遞推關(guān)系可得答案.【詳解】由題意可得，.故選：A.考點(diǎn)二：累加法求數(shù)列通項(xiàng)例3．南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中描述過如圖所示的“三角垛”，最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球……設(shè)各層的球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，即，，，…，且滿足，則第六層球的個(gè)數(shù)為（

）A．28 B．21 C．15 D．10【答案】B【分析】利用遞推公式進(jìn)行累加法求解.【詳解】由題意得，，，，，以上式子累加可得，因?yàn)?，所以，故選:B.例4．已知數(shù)列，若，，則（

）A．2500 B．2501 C．2502 D．2503【答案】B【分析】利用累加法結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可求得答案.【詳解】由，，可得，故選：B考點(diǎn)三：累乘法求數(shù)列通項(xiàng)例5．若數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】用累乘法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出.【詳解】解：由題意，，在數(shù)列中，，∴.故選：A.例6．已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A．

B． C． D．【答案】A【分析】由題得，再利用累乘法求解.【詳解】解：由，得，即，則，，，…，，由累乘法可得，所以，又，符合上式，所以.故選：A．一、單選題1．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足首項(xiàng)為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知可得當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得，可求出，即可求出的值.【詳解】由已知可得當(dāng)時(shí)，，所以，即，且當(dāng)時(shí)，，所以也滿足上式，所以數(shù)列是以首項(xiàng)為1，公比為5的等比數(shù)列.所以，所以.故選：D.2．（2023·四川南充·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，（），則等于（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)列遞推式（），可得（），推出，（），結(jié)合等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可求得答案.【詳解】因?yàn)椋ǎ?，所以（），兩式相減得，（），由（），得，故可知，而，所以，（），故從第二項(xiàng)開始，為公比為4的等比數(shù)列，故，故選：A3．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的值為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件，利用與的關(guān)系求出通項(xiàng)公式，然后根據(jù)等比數(shù)列求和公式即得.【詳解】由條件時(shí)，，兩式相減得，，又，所以從第二項(xiàng)項(xiàng)開始為公比為2的等比數(shù)列，時(shí)，，；故選：B.4．（2023·遼寧阜新·?？寄M預(yù)測）數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)與的關(guān)系求解即可.【詳解】因?yàn)樗?，，所?故選：A.5．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列的求和公式求解數(shù)列的前n項(xiàng)和即可，注意驗(yàn)證時(shí)的相關(guān)結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，又時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，又符合上式，故數(shù)列的前n項(xiàng)和為.故選：C.6．如圖，第（1）個(gè)圖案由1個(gè)點(diǎn)組成，第（2）個(gè)圖案由3個(gè)點(diǎn)組成，第（3）個(gè)圖案由7個(gè)點(diǎn)組成，第（4）個(gè)圖案由13個(gè)點(diǎn)組成，第（5）個(gè)圖案由21個(gè)點(diǎn)組成，，依次類推，根據(jù)圖案中點(diǎn)的排列規(guī)律，第10個(gè)圖形由多少個(gè)點(diǎn)組成（

）A．89 B．91 C．95 D．98【答案】B【解析】利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】記此圖案的點(diǎn)數(shù)為，則，，，，，將上式相加可得，所以，所以.故選：B7．?dāng)?shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意，根據(jù)累加法，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，因此，，，…，，以上各式相加得：，又，所?故選：A.8．已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用累加法可求得的值.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，，，累加可得，解得．故選：B.9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式可得，結(jié)合累加法，即可求解.【詳解】由題意可得，所以當(dāng)時(shí)，，，，，上式累加可得，，又，所以，當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以.故選：B.10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根據(jù)累加法求解即可.【詳解】由，且，根據(jù)累加法可得：，所以，則.故選：B11．在數(shù)列中，已知，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】由數(shù)列的遞推公式可得，數(shù)列是以4為周期的數(shù)列，可求數(shù)列中的項(xiàng).【詳解】因所以，，，，，且的值以4為周期循環(huán)出現(xiàn)，所以數(shù)列是以4為周期的數(shù)列，.故選：B12．已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用累乘法即可求得.【詳解】因?yàn)?，所以，上述各式相乘得，因?yàn)?，所以，?jīng)檢驗(yàn)，滿足，所以.故選：D.13．已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用累乘法計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)?，所以，，，，，，所以，即，又，所以；故選：A14．若數(shù)列滿足，則（

）A．2 B．6 C．12 D．20【答案】D【分析】由已知條件變形可得，然后累乘法可得，即可求出【詳解】由得，，.故選：D15．設(shè)是首項(xiàng)為的正項(xiàng)數(shù)列，且（），則它的通項(xiàng)公式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知化簡可得數(shù)列的遞推公式，結(jié)合累乘法可得通項(xiàng)公式，進(jìn)而得解.【詳解】，，,又，，即，，即，又，，，故選：B．二、解答題16．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】【分析】由推出，得公比，在中，令，得，可得.【詳解】∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴，故等比數(shù)列的公比q＝3，令n＝1，得，∴，∴.17．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，．(1)求，；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】(1)，.(2)【分析】(1)根據(jù)遞推關(guān)系可求得，.(2)由可求得通項(xiàng)公式.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得或(舍)當(dāng)時(shí)，，解得或(舍)所以，.（2）當(dāng)時(shí)，①，②，由①-②得，，因?yàn)?，所以，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，當(dāng)時(shí)，由(1)可知，滿足，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為18．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列.(1)求，的值.(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并判定數(shù)列是否是等比數(shù)列，并說明理由.【答案】(1)，(2)，不是等比數(shù)列，理由見解析【分析】（1）由已知可得的通項(xiàng)公式，再利用特值法可得與（2）利用退一相減法可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列.【詳解】（1）